(2017-2019)三年高考数学(文)真题分项汇编 专题18 坐标系与参数方程-含解析

（2017-2019）三年高考数学（文）真题分项汇编
专题18 坐标系与参数方程
1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．
【答案】（1）2
2
1(1)4
y x x +=≠-；l
的直角坐标方程为2110x +=；（2
．
【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()
2
2
2
22
222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为2
2
1(1)4
y x x +=≠-． l
的直角坐标方程为2110x ++=．
（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,
2sin x y αα
=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．
C 上的点到l
π4cos 11
α⎛
⎫-+ ⎪=．
当2π3α=-
时，π4cos 113α⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭取得最小值7，故C 上的点到l
．
2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线
:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．
（1）当0=3
θπ
时，求0ρ及l 的极坐标方程；
（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．
2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
，2cos sin 110ρθθ+=
【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭；
（2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
π．
【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3
ρπ
== 由已知得||||cos
23
OP OA π
==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛
⎫-== ⎪⎝⎭，
经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭上．
所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭．
（2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=．
因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦．
所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
π．
3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，
)4
C 3π
，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2
π
，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，
曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ． （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；
（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．
【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛
⎫=≤≤ ⎪⎝
⎭，2M 的极坐标方程为。