福建省莆田第十五中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷及解析

福建省莆田第十五中学2018-2019学年高二上学期期中考试数
学试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题
1.若向量1,2AB =，()3,4BC =，则AC =（ ）
A.()4,6
B.()4,6--
C.()2,2--
D.()2,2 2.如图，D ，E ，F 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列结论错误的是（ ）
A.DE FC =
B.12DF BC =
C.DE EF DF +=
D.0DE EC CF ++=
3.已知向量()1,2a =，()0,1b =，(),2c k =-，若()
2a b c +⊥，则k =（ ）
A.2
B.-2
C.8
D.-8 4.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且(),m a c b =+，(),n b a c =-，//m n ，则ABC 的形状为（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能判定
5.已知数列112⨯，123⨯，134
⨯，，()11n n +，，下面各数中是此数列中的项的是（ ）
A.135
B.142
C.148
D.154
6.下列图案关于星星的数量构成一个数列，该数列的一个通项公式是（ ）
A.21n a n n =-+
B.()12n n n a -=
C.()12n n n a +=
D.()22
n n n a += 7.在等差数列{a n }中， a 2=2,a 3=4 ，则a 10=（ ）
A. 12
B. 14
C. 16
D. . 18
8.在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则a 2+a 10=( )
A.12
B.16
C.20
D.24
9.在ΔABC 中，a=15,b=10,A=60°，则cos B
=( ) A.－2√23 B.2√23 C.－√63 D.√63
10.在ABC 中，若2sin b a B =，则角A 为（ ）
A.30°或60°
B.45°或60°
C.120°或60°
D.30°或150°
11.在△ABC 中，已知4AB =，1AC =，ABC S ∆=AB AC ⋅的值为（ ）
A.2-
B.2
C.4±
D.2±
12.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）
B.10
C.10
D.15
第II 卷（非选择题）
二、填空题
13.在平行四边形中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ=________．
14.已知数列{a n }满足a 1=1，且a n +1=2a n +1（n ∈N *），则a 5=______.
15.已知两个单位向量12,e e 的夹角为
3
π，若向量1122122,34b e e b e e =-=+，则12b b ⋅=_____________. 16.
在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，
那么，位于下表中的第n 行第n+1列的数是 。

17.已知点1,0A -，0,2B ，3,1C -.
（1）若(),2AE m =，3AB AC +与AE 垂直，求AE 的坐标；
（2）若5AB AD ⋅=，210AD =，求点D 的坐标.
18.化简
（1）)
000tan70cos101- （2）()()()()()
000001tan11tan21tan3...1tan441tan45+++++
1.(1) 1-；(2) 23
2.
【解析】1.试题分析：（1）切化弦可得三角函数式的值为－1
（2）结合三角函数的性质可得三角函数式的值为232
试题解析：
（1）tan70°cos10°（﹣1） =cot20°cos10°（﹣1） =cot20°cos10° ） =2020cos sin ︒︒×cos10°×（122020220sin cos cos ⎫︒-︒⎪⎝⎭︒
） =2020cos sin ︒︒×cos10°×（()2203020sin cos ︒-︒︒）
=2020cos sin ︒︒×（﹣2020sin cos ︒︒
） =﹣1
（2）∵（1+tan1°）（1+tan44°）=1+（tan1°+tan44°）+tan1°•tan44°
=1+tan （1°+44°）[1﹣tan1°•tan44°]+tan1°•tan44°=2．
同理可得（1+tan2°）（1+tan43°）
=（1+tan3°）（1+tan42°）
=（1+tan4°）（1+tan41°）= (2)
故()()()()()
000001tan11tan21tan3...1tan441tan45+++++=232
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等. 【题型】解答题
【结束】
18
19.平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1a b c ==-=
（1）求32a b c +-
（2）求满足a mb nc =+的实数,m n .
（3）若()()
//2a kc b a +-，求实数k .
20.已知等差数列{}n a 中，1a =1，33a =-.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n a 的前k 项和35k S =-，求k 的值.
21.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知92a =-，82S =.
(1)求首项1a 和公差d 的值；
(2)当n 为何值时，n S 最大，并求出n S 的最大值.
22.
在三角形ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，AD=10,AC =14,DC=6，求AB 的长.
23.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且，7cos 9
B =． （Ⅰ）求,a c 的值；
（Ⅱ）求()sin A B -的值．
参考答案
2.A
【解析】2.
直接根据AC AB BC =+,将坐标代入运算即可得出结果.
解:()()()1,23,44,6AC AB BC =+=+=.
故选:A
3.D
【解析】3.
根据三角形中位线性质和向量的加法法则进行判断即可
A.项 DE FC =且利用中位线性质有,DE FC 平行
故DE FC =
B.项 12DF BC =
，且,DF BC 平行 故12
DF BC = C.项 由向量加法运算有DE EF DF +=
D.项 DE EC CF DF ++=，不成立
故选：D
4.C
【解析】4.
向量垂直转化为数量积等于0，代值计算即可.
解：因为()1,2a =，()0,1b =，所以2(1,4)+=a b ，
若()
2a b c +⊥，则808k k -=⇒=
故选：C.
5.B
【解析】5.
由向量平行可得出a ，b ，c 的关系，进而可判断出三角形的形状.
//m n ，∴()()20a c a c b +--=，可化简为：222a b c =+，
所以ABC 的形状为直角三角形.
故选：B .
6.B
【解析】6.
列的通项公式为()
11n a n n =+，然后对各选项进行分析验算即可得解. 显然数列的通项公式为()11n a n n =+，当6n =时，()11116742
n n ==+⨯， 故142
为此数列中的项. 故选：B .
7.C
【解析】7.
根据已有的图形结合选项验证求解.
由图形可知：
当n =1时，有1个，排除BD,
当n =3时，有6个，排除A
故选：C
8.D
【解析】8.
先由等差数列的概念得到公差d ，再由等差数列的通项得到a 10即可.
等差数列{a n }中， a 2
=2,a 3=4，d =a 3−a 2=2，a 10=a 2+8d =18. 故答案为：D.
9.B
【解析】9.
试题由等差数列性质可知
48210+=+∴4821016a a a a +=+=
10.D
【解析】10.
利用正弦定理即可得到sinB ，进而得到结果.
由正弦定理得a sinA =b sinB ∴32=10sinB ∴sinB =√33，∵b <a ∴B <A ∴cosB =√63
11.D
【解析】11. 由正弦定理和题设条件，求得1sin 2
A =，进而求得角A 的值，得到答案. 在ABC 中，因为2sin b a
B =， 由正弦定理可得sin 2sin sin B A B =，
又由(0,)B π∈，则sin 0B >，所以1sin 2
A =， 又因为(0,)A π∈，所以30A =或150A =.
故选：D. 12.D 【解析】12.
由4,1AB AC ==，ABC S AB AC sinA ∆==,
sin A ∴=1cos 2A ∴=±, 故cos AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅
14122⎛⎫=⨯⨯±=± ⎪⎝⎭
,故选D. 13.B
【解析】13.
试题由图象知4DEA π
∠=，1tan 2
CEB ∠=，所以有1tan 1tan tan()tan()41tan 3
CEB CED DEA CEB CEB CEB π-∠∠=∠-∠=-∠==+∠，再根据同角
三角函数关系式，可求出sin 10
CED ∠=
，选B. 14.2
【解析】14.
利用向量加法的平行四边形法则直接求解即可.
由向量加法的平行四边形法则，得2AB AD AC AO +==，故2λ=.
故答案为：2
15.31
【解析】15.
由题意结合数列的递推公式，逐步运算即可得解.
因为11a =，121n n a a +=+,
所以21213a a =+=，32217a a =+=，432115a a =+=，542131a a =+=. 故答案为：31.
16.6-
【解析】16.
根据平面向量数量积定义,结合向量的运算律,化简即可求解.
由题意12,e e 为单位向量,且夹角为3
π 则121e e ==,且12121cos 32e e e e π⋅==⋅⋅, 所以()()
121212234b b e e e e ⋅=-⋅+ 22
1122328e e e e =-⋅- 132862
=-⨯-=- 故答案为: 6-
17.n n +2
【解析】17. 18.（1）()14,2-；（2）()2,1或()2,3-.
【解析】18.
（1）根据()1,0A -，()0,2B ，()3,1C -，先求得3AB AC +的坐标，然后根据3AB AC +与AE 垂直，由()30AB AC AE +⋅=求解.
（2）设点D 的坐标为(),x y ，得到()1,AD x y =+，然后根据5AB AD ⋅=，210AD =，由22240(1)10x y x y +-=⎧⎨++=⎩
求解. （1）因为()1,0A -，()0,2B ，()3,1C -，
所以()()1,2,2,1AB AC ==-，
所以()()()331,22,11,7AB AC +=+-=，
因为3AB AC +与AE 垂直，
所以()
()()31,7,2140AB AC AE m m +⋅=⋅=+=，
解得14m =-.
∴()14,2AE =-.
（2）设点D 的坐标为(),x y ，则()1,AD x y =+，
∴215AB AD x y ⋅=++=，()222110AD x y =++=， 由22240(1)10x y x y +-=⎧⎨++=⎩
， 解得21x y =⎧⎨=⎩或23x y =-⎧⎨=⎩
. ∴点D 的坐标为()2,1或()2,3-.
19.(1) ()0,6；(2) 5,9{ 8.9
m n ==；(3) 1613k =-.
【解析】19.试题分析：（1）由向量的线性运算法则即可算出；（2）根据向量相等即可求出m 、n 的值；
（3）若已知向量m =（a ，b ）、n =（c ，d ），则m n ⇔ad ﹣bc =0，计算出即可． 试题解析：
（1）()()()3233,21,224,1a b c +-=+--
()()()()9,61,28,20,6=+--=；
（2） a mb nc =+ ()()()()3,21,24,14,2.m n m n m n ∴=-+=-++
43,{ 2 2.m n m n -+=∴+=解之得5,9{ 8.9
m n == （3）()()//2,a kc b a +-又()()34,2,25,2.a kc k k b a +=++-=-
()()()16234520,13k k k ∴⨯+--⨯+=∴=-。

20.（1）32n a n =-；（2）7.
【解析】20.
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得123d +=-，从而可求出公差d ，进而可求得数列通项公式；
（2）利用等差数列的前n 项和公式列方程可求出k 的值
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1).n a a n d =+-
由121,3a a ==-，可得123d +=-
解得d =－2.
从而，1(1)(2)32n a n n =+-⨯-=-
（2）由（1）可知32n a n =-， 所以2[1(32)]2.2
n n n S n n +-==- 进而由35k S =-，可得2235k k -=-
即22350k k --=，解得7k =或5k =-，
又*N k ∈，故7k =为所求.
21.（1）12a =，12
d =-
；（2）4n =或5n =时，n S 有最大值5.
【解析】21.
(1)等差数列用通项公式及前n 项和公式列方程组即可求出；
(2) 等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，利用函数求最值． (1)依题意得：118287822a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩
， 解得12a =，12d =-.
(2) 2
(1)119812224216n n n S n n -⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭， 因为*n N ∈，所以4n =或5n =时，n S 有最大值5.
22.AB =
【解析】22.
在三角形ADC 中，AD =10,AC =14,DC =6, 由余弦定理得cos ∠ADC =2222AD DC AC AD DC
+-⋅=10036196121062+-=-⨯⨯, ∴∠ADC =120°, ∠ADB =60°
在三角形ABD 中，AD =10, ∠B =45°
, ∠ADB =60° 由正弦定理得sin sin AB AD ADB B =∠, ∴AB =sin sin AD ADB B
⋅∠
23.（Ⅰ）3a c ==（Ⅱ）
27
【解析】23. （Ⅰ）因为2227cos 29
a c
b B a
c +-==， 所以
()2227,29a c ac b ac +--= 分别代入得9,ac =解得 3.a c ==
（Ⅱ）由7cos 9B =得sin 9
B =，
因为,sin sin a
b
A B =所以sin 3
A =1cos ,3A =
所以()71sin sin cos cos sin 393927A B A B A B -=-=
-⨯=。