2021年重庆中考数学复习几何最值问题专题训练一

F
D
2021 年重庆中考复习最值问题专题训练一
一、利用垂线段最短求最值
例 1、如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝8，D 是 BC 边上一动点，将 AD 绕点 A 逆时针旋转 45°得 AE ，连接 CE ，则线段 CE 长的最小值为
例 2、如图，△ABC 是等腰直用三角形，且 AC=BC=8，D 为射线 AB 上的一个动点，连接 CD
，
3
二、利用二次函数求最值
例 4、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝15，BC ＝9，点 P 是线段 AC 上的一个动点，连接 BP ，将线段 BP 绕点 P 逆时针旋转 90°得到线段 PD ，连接 AD ，则线段 AD 的最小值是
．
例 5、如图，边长为 8 的正方形 ABCD 中，动点 P 在 CD 边上，以 AP 为直角边向上作等腰 Rt △
APE ，边 PE 与 BC 交于点 F ，连接 BE.则线段 BE 在运动过程的最小值为 .
将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°至 CF ，E 为线段 AC 上的一点，sin ∠CBE= 5
过程中，EF 的最小值为
，则点 D 在运动
例 6、如图,在△ABC 中， AB = AC = 5, BC = 4
，D 为边 AB 上一动点(B 点除外),以 CD 为一
例3、如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=4，点D 是△ABC 内一个动点，且满足∠DA B=∠DBC ，当线段 CD 取最小值时，记∠BCD =α ，线段 AB 上一动点 E 绕点 D 顺时针旋转得到点 F ，且满足 ∠EDF =α ，则 AF 的最小值为_
.
A
E
边作正方形 CDEF ，连接 BE ，则 ∆BDE 面积的最大值为
.
三、利用三角形三边的关系求最值
例 7、如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，D 为线段 AC
上一动点，连接 BD ，过点 C 作 CH ⊥BD 于 H ，连接 AH ，则 AH 的
最小值为 ．
B
C
5
N 例8、如图，在四边形ABCD 中，AB ＝6，
BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD 的长的最大值为．
例9、如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝2AC，BC＝3，点E 是AB 上的点，将△ACE 沿CE 翻折，得到△A'CE，过点B 作BF∥AC 交∠BAC 的平分线于点F，连接A′F，则A′F 长度的最小值为 3 ．例12、如图，在矩形ABCD 中，AB=4，对角线AC、BD 交于点O，∠AOD =1200，E 为BD 上任意一点，F 为AE 中点，则FO+FB 的最小值为.
例13、如图，在矩形ABCD 中，AB=4,BC=9,M 为BC 上一点，连接MA，将线段MA 绕点M 顺时针旋转900得到线段MN，连接CN，DN，则CN+DN 的最小值为
A D
四、利用两点之间线段最短求最值
例10、如图，菱形ABCD 的边长为6，对角线AC＝6，点E，F 在AC 上，且EF＝2，则DE+BF 的最小值为．
五、利用将军饮马求最值
例11、如图，已知，在矩形ABCD 中，AD＝2，AB＝4，点E，F 是边CD 上的动点（点F 在点E 右侧），且EF＝1，则四边形ABFE 周长的最小值为．
B M C
六、利用胡不归求最值
例14、如图， A BCD 中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P 为边CD 上的一动点，则PB+PD 的最小值等于．
七、利用阿氏圆求最值
例15、如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，BC=4，AB=6，在线段
AB 上有一点M，且BM=2.在线段AC 上有一动点N，连接MN，BN.
将∆BMN 沿BN 翻折得到∆BM 'N .连接AM '、CM '. 则2CM '+
2
AM '
3
的最小值为.
2
2021 年重庆中考复习最值问题专题训练一答案
A
一、利用垂线段最短求最值
例 1、如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝8，D 是 BC 边上一动点，将 AD 绕 E
点 A 逆时针旋转 45°得 AE ，连接 CE ，则线段 CE 长的最小值为（
）
A ． 4
B ． 4
C ． 4 -1
D ． 8 - 4 B
解：如图，在 AB 上截取 AF ＝AC ＝2，∵旋转∴AD ＝AE
∵AC ＝BC ＝8，∠ACB ＝90°，∴AB ＝8 ，∠B ＝∠BAC ＝45°，∴BF ＝8 ﹣8
∵∠DAE ＝45°＝∠BAC ，∴∠DAF ＝∠CAE ，且 AD ＝AE ，AC ＝AF ，∴△ACE ≌△AFD （SAS ）
8 2 - 8
∴CE ＝DF ，当 DF ⊥BC 时，DF 值最小，即 CE 的值最小，∴DF 最小值为
= 8 - 4 2 例 2、如图，△ABC 是等腰直用三角形，且 AC=BC=8，D 为射线 AB 上的一个动点，连接 CD ， 3
二、利用二次函数求最值
例 4、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝15，BC ＝9，点 P 是线段 AC 上的一个动点，连
接 BP ，将线段 BP 绕点 P 逆时针旋转 90°得到线段 PD ，连接 AD ，则线段 AD 的最小值是 ．
解：如图，过点 D 作 DE ⊥AC 于 E ，
∵将线段 BP 绕点 P 逆时针旋转 90°得到线段 PD ，∴DP ＝BP ，∠DPB ＝90°，
∴∠DPE +∠BPC ＝90°，且∠BPC +∠PBC ＝90°，
将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°至 CF ，E 为线段 AC 上的一点，sin ∠CBE= 5
过程中，EF 的最小值为
，则点 D 在运动
∴∠DPE ＝∠PBC ，且 DP ＝BP ，∠DEP ＝∠C ＝90°，
∴△DE P ≌△PCB （AAS ），∴DE ＝CP ，EP ＝BC ＝9，∵AE +PC ＝AC ﹣EP ＝6，∴AE +DE ＝6，设 AE ＝x ，DE=6﹣x ，∵AD 2＝AE 2+DE 2，∴AD 2＝x 2+（6﹣x ）2=2（x ﹣3）2
+18， 当 x ＝3 时，AD 有最小值为 3
，
例 5、如图，边长为 8 的正方形 ABCD 中，动点 P 在 CD 边上，以 AP 为直角边向上作等腰 Rt △
APE ，边 PE 与 BC 交于点 F ，连接 BE.则线段 BE 在运动过程的最小值为 .
例3、如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=4，点D 是△ABC 内一个动点，且满足∠DA B=∠DBC ，当线段 CD 取最小值时，记∠BCD =α ，线段 AB 上一动点 E 绕点 D 顺时针旋转得到点 F ，且满足 ∠EDF =α ，则 AF 的最小值为_
.
2 2
2
F
D
C
EN 2+NB 2 (8 -x)2+x2 2(x - 4)2) + 32 例7、如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D 为线段AC 上一动点，连接BD，过点
M
C 作CH⊥B
D 于H，连接AH，则AH 的最小值为．
N
解：如图，过点 E 作EM⊥CD 于M，过点 E 作EN⊥CB 于N．
设CP ＝x ，则EN ＝MC=8 ﹣x ，NB ＝x ，∴BE ===，
图1 图2
解法一：如图1，取BC 中点G，连接HG，AG，∵CH⊥DB，点G 是BC 中点，∴HG＝CG＝BG
∴当x = 4 时，BE 的值最小，最小值为4．
例6、如图,在△ABC 中，AB =AC = 5, BC = 4 ，D 为边AB 上一动点(B 点除外),以CD 为一＝BC＝2，
在Rt△ACG 中，AG＝＝2 ，在△AHG 中，AH≥AG﹣HG，即当点H 在线段AG
边作正方形CDEF，连接BE，则∆BDE 面积的最大值为.
解：过点 C 作CG⊥BA 于点G，作EH⊥AB 于点H，作AM⊥BC 于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4 ，∴BM＝CM＝2 ，易证△AMB∽△CGB，∴，∴，∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG（AA S），∴EH＝DG＝8﹣x，∴S△BDE＝＝＝，
当x＝4 时，△BDE 面积的最大值为8．
三、利用三角形三边的关系求最值
上时，AH 最小值为2﹣2，
解法二：如图2，∵∠CHB＝90°，BC 是定值，∴H 点是在以BC 为直径的半圆上运动（不包括
B 点和
C 点），
连接HO，则HO＝BC＝2．当A、H、O 三点共线时，AH 最短，此时AH＝AO﹣HO＝2 ﹣2．例8、如图，在四边形ABCD 中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD 的长的最大值为．
解析：将AB 绕点 A 顺时针旋转60°得到线段AK，连接BK、DK．则AK＝AB＝BK＝6，∠KAB ＝60°，
5
∴∠DAC＝∠KAB，∴∠DAK＝∠CAB，
在△DAK 和△CAB 中，，∴△DAK≌△CAB（SAS）∴DK＝BC＝4，
∵DK+KB≥BD，DK＝4，KB＝AB＝6
∴当D、K、B 共线时，BD 的值最大，最大值为DK+KB＝10．
例9、如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝2AC，BC＝3，点E 是AB 上的点，将△ACE 沿CE 翻折，得到△A'CE，过点B 作BF∥AC 交∠BAC 的平分线于点F，连接A′F，则A′F 长度的最小值为 3 ．
解：如图，过点A 作AH∥BC 交FB 的延长线于H，连接AA'，过点 C 作CP⊥AF 于P，
∵∠ACB＝90°，AB＝2AC，
∴cos∠CAB＝，
∴∠CAB＝60°，
∴tan∠CAB＝＝，
∴AC＝，
∵BF∥AC，AH∥BC，
∴四边形ACBH 是平行四边形，
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBH 是矩形，
∴∠H＝90°，AH＝BC＝3，
∵AF 平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝30°，
∵BF∥AC，
∴∠BFA＝∠FAC＝30°，
∴AF＝2AH＝6，
∵CP⊥AF，∠CAF＝30°，
∴CP＝AC＝，AP＝CP＝，
在△AA'F 中，A'F≥AF﹣AA'，
∴当点A'在线段AF 上时，A'F 有最小值，
∵将△ACE 沿CE 翻折，得到△A'CE，
∴AC＝A'C，
又∵CP⊥AF，
∴AA'＝2AP＝3，
∴A'F 的最小值＝6﹣3＝3，
故答案为：3．
四、利用两点之间线段最短求最值
例10、如图，菱形ABCD 的边长为6，对角线AC＝6，点E，F 在AC 上，且EF＝2，则DE+BF 的最小值为．
E F N
解：如图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝2，连接BM 交AC 于F，
∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM 是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM，例12、如图，在矩形ABCD 中，AB=4,BC=9,M 为BC 上一点，连接MA，将线段MA 绕点M 顺时针旋转900得到线段MN，连接CN，DN，则CN+DN 的最小值为
A D
根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB 最短，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，AO＝O＝3，在Rt△ADO 中，OD＝＝3，∴BD＝6，∵DM∥AC，∴∠MDB＝∠BOC＝90
°，∴BM＝＝＝2 ．∴DE+BF 的最小值为2．
五、利用将军饮马求最值
例10、如图，已知，在矩形ABCD 中，AD＝2，AB＝4，点E，F 是边CD 上的动点（点F 在点E 右侧），且EF＝1，则四边形ABFE 周长的最小值为．
A M B
D C
B M C
六、利用胡不归求最值
例13、如图， A BCD 中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P 为边CD 上的一动点，则PB+PD 的最小值等于．
N
解：在AB 上截取AM＝EF，作点M 关于直线DC 的对称点N，连接BN 交CD 于F，此时四边形解：如图，过点P 作PE⊥AD，交AD 的延长线于点E，∵AB∥CD ∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin∠EDP＝∴EP＝PD∴PB+ PD＝PB+PE，∴当点B，点P，点E 三点共线
AEFB 的周长最小．四边形AEFB 的周长的最小值＝AB+EF+AE+BF ＝AB+EF+MF+BF ＝且BE⊥AD 时，PB+PE 有最小值，即最小值为BE，∵sin∠A＝＝∴BE＝3 AB+EF+NF+BF＝AB+EF+NB＝4+1+ ＝10，七、利用阿氏圆求最值
例11、如图，在矩形ABCD 中，AB=4，对角线AC、BD 交于点O，∠AOD =1200，E 为BD 上任意一点，F 为AE 中点，则FO+FB 的最小值为.例14、如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，BC=4，AB=6，在线段AB 上有一点M，且BM=2. 在线段AC 上有一动点N，连接MN，BN.将∆BMN 沿BN 翻折得到∆BM 'N .连接AM '、CM '. 则2CM '+
2
AM '的最小值为.
3
32+42
( 2
)2+ 42
3
2
解：在BM 上截取BQ= ，
3
BQ
=
BM '
=
2
, ∠QBM '=∠M 'BA ，∴∆BQM ' ∆∠BM 'A. BM '
∴
QM '
=
BA 3
BQ
=
1
, ∴QM '=
1
M 'A,
M 'A BM ' 3 3
∴2CM '+
2
AM '= 2(CM '+
1
AM ') = 2(CM '+QM ')
3 3
当Q、M '、C 三点共线时，CM '+QM '=QC 有最小值为：
QC= ==
2 37
.
3
∴ 2CM '+
2
AM '的最小值为
4 37
.
3 3
BQ2+BC 2。