椭圆的参数方程2

有一内接矩形ABCD，
y
D
求矩形ABCD的最大面积
B2
A
A1
F1
C
O B1
B
F2
A2 X
x2 y 2 例4 在椭圆 1 上, 到直线 l : 3x 2 y 16 0 4 7
最短距离是
8 13 13
.
x 2 cos ( 是 练习：已知椭圆的参数方程为 y sin
椭圆的参数方程
.
复习
圆的参数方程
1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:
x r cos (为参数） y r sin
2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:
x a r cos (为参数） y b r sin
讲授新课 椭圆的参数方程：
(D)
2b
b 4
2
课堂小结： 椭圆的参数方程
椭圆的标准方程： x 2 y 2 2 1 2 a b 椭圆的参数方程：
x y 2 1 2 b a
2 2
x a cos y b sin
x b cos y a sin
在椭圆的参数方程中，常数a、 b分别是椭圆 的长半轴长和短半 轴长. a>b
x2 例３ 点P在椭圆 y 2 1 上运动，直线x+2y4
2=0交椭圆于点A、B，问P处于何处时，P到直线
的距离最大？
y
A P B O x
例3
已知椭圆 ，点P(x,y)是椭圆 上一点， ⑴求x2＋y2的最大值与最小值； ⑵求3x＋5y的范围；⑶若四边形ABCD内接于 椭圆，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4， 求四边形ABCD的最大面积。 ⑴方法一（参数法） 方法二（消元法）要注意元的范围22 ⑵参数法，化归法（转化为直线与椭圆有交 点，从而消元所得的一元二次方程的Δ≥0 ⑶ 关键：求出B、D到直线AC的最大距离.

——离心角
一般地： 0,2

双曲线的参数方程
x2 y2 - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为： 2 a b
a
y

A B' o B
•M
A' x
x a sec (为参数) y b tan
3 通常规定 [o, 2 )且 ， 。 2 2
b
说明：
⑴ 这里参数
叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
x2 y 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 2 1与三角恒等式 2 a b 2 2
的实质是三角代换.
sec 1 tan 相比较而得到，所以双曲线的参数方程
抛物线的参数方程
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x y 椭圆的标准方程： 2 2 1 a b
2 2
联系： cos sin 1
2 2
不妨有：
x a cos y sin b
x a cos y b sin
椭圆的参数方程
参数 的意义
A B
例、 如图,以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半
(C)
x2 y 2 练2: 设椭圆 2 2 1 和x的正半轴的交点为A， a b 和y的正半轴的交点为B，P为第一象限内椭圆上的点，
则四边形OAPB面积的最大值为（ C ） y (A)
5 3 ; 3
7 (D) 2
2ab
2 ab 2
(B) 2ab
B b o a
P
A x
(C)
(D) 1 ab 2
径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过A 作AN⊥Ox,垂足为N，过点B作BM ⊥ AN，垂足为M， 求当半径OA绕O旋转时点M的轨迹的参数方程。
解：设M（x,y), 是以Ox为始边，OA为终边的正角， 取 为参数，则
x ON OA cos , y NM OB sin ,
椭圆的参数方程
x a cos （ 为参数 ） 0,2 y b sin
练习
x 2 3 cos P是椭圆 （ 为参数）上一点， y 2 sin
OP的倾斜角为 4 ，则点P的坐标为（ (B) ） (A)
(A) ( 6 , 2 ) (C) (2 3, 3) (B) ( 3, 3 ) (D) (4,3)
设 P (2 cos , cos )
0 2
d
2 cos 2 sin 2 5
y A P B O
2 2 sin 1 4 5
x
x2 y2 变式：椭圆 2 2 1(a b 0)的长轴右端点 a b A(a,0)，原点为O，若此椭圆第一象限 部分上存在一点M,使∠OMA＝90，试 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 求椭圆离心率的取值范围.
参数) ，则此椭圆的长轴长为（4 ），短轴长 为（ 2 ）,焦点坐标是（ 3,0 ）,准线方程是 （ x 4 3 ），离心率是（
3


3 2
）。
练1：(05福建高考)
设 a, b R, a 2b 6 , 则 a b 的最小值为（ B ）
2 2
(A) 2
2;
(B) 3;
x a cos , 也就是 ： y b sin .

这就是所求的点的轨迹的参数方程。 x2 y 2 消参有： 2 2 1 为椭圆 a b
2.参数 的意义
y
——离心角 R
一般地：
A
B M
0,2
思考：

o
x
xoM
对吗？
y
M(x，y)
x=2pt , (t为参数，t R) y 2pt.
2

o H x
1 其中参数t= ( 0),当 =0时，t=0. tan 几何意义为：
抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
x 即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t= . y
练习： 1、已知点P(x,y)满足 求x+y的最值。 2、已知点P(x,y)满足 ， ，
求x2+y2的最值。
引伸 ：点P在椭圆
2 2
3 1 在圆 x y 2 4 上运动，求PQ的最大值
y
x y 2 1 上运动，点Q 4
2
Q A P O
1 PQ PA AQ PA 2
所以只要求 PA 的最大值
x
应用：课课练P100第9题 x2 y2 椭圆 2 2 1(a b 0)的长轴二端点为A'、A a b 若椭圆上存在一点M，使∠A'MA＝120，试求 椭圆离心率的取值范围.

例题与练习
例1、把下列参数方程化为普通方程
x 3cos , （1） y 5sin .
x 8cos , （2） y 6sin .
例2 把下列普通方程化为参数方程
x y （3） 1 4 9
2
2
（4） x
2
y
2
16
1
例3
x2 y2 已知椭圆 100 64 1
x2 y2 1 25 16
例2 在椭圆x2＋8y2＝8上到直线l：x－y＋4
8 1 , ＝0距离最短的点的坐标是______，最短距离 3 3
2 是___。 2
方法一（参数法） 方法二（化归法）将点线距离转化为线线
距离，先求与直线l平行，且与椭圆相切的 直线l/，则直线l与l/的距离即为所求的最短 （大）距离，切点即为所求的点。 注意：一定要结合图形确定最大或最短距 离。
思考：（05重庆9）
x y 2 1 (b 0) 上运动， 若动点 P(x,y) 在曲线 4 b 则 x2+2y 的最大值为（ A ）
b2 (A) 4, b (0,4) 4 2b; b 4,)
(C)
2 2
b2 4, b (0,2) (B) 4 2b; b 2,)