第四章4将地面观测值归算至椭球面-精品文档

（一）垂线偏差改正
以测站A为中心作出 单位半径的辅助球,u 是垂线偏差，它在子 午圈和卯酉圈上的分 量分别以ξ ,η表示， M是地面观测目标m在 球面上的投影。垂线 偏差对水平方向的影 响是(R-R1)

u

" ( " s i n AA " c o s ) c o t Z ( " s i n AA " c o s ) t a n u m m 1 m m 1
s i n A 3s i n B 3s i n C 3 0 0 0 a b c



c B0
A0
b
C0
A c B a b
ε？
a
C
球面角超的计算
球面角超的定义：

2R
2
F 球面角超计算公式： 2 R
克莱劳方程的应用
r sin A C
对于同一条大地线上的各点因要保持同一个C值，而使点 上的大地线方位角与平行圈半径两者间的变动互为制约。 •当大地线穿越赤道时 Ca sin A 0 赤道是大地线 C=a •当大地线达极小平行圈时 子午圈是大地线 C=0
C r sin 90 r 0 0
由此可见，在R概略值6370km上下各40km的范围内，即使 测距边高出于投影面1000m，仍能保证边长归化高达百万 分之一精度。在我国任何地方、任何方位的椭球面的曲率 半径均在6370km±40km以内，都可以按圆球半径 R=6370km归算测距边长。
S dh dS h
若： S=2km, h=500m, 得： dh=4mm。
dS=1mm
可见，高差的准确求定对测距边的改平至为重要，尤其是 在短边和高差较大的情况下。
三、椭球面三角形的解算（补充）
• 椭球面上的三角形是由大地线组成，曲线上每点的曲率 半径不等。 • 经研究表明：半径约140km范围内的椭球面可当作球面 看待，其球面半径可选为三个曲面点的平均曲率半径。 • 也就是说，当三角形的边长小于200km（ 240km ）时， 就可把椭球面三角形当球面三角形来解算。两者对应的 边长相等，对应角之差小于0.001″ • 勒让德定理：对于较小的球面三角形，可用平面三角公 式来解算，只需使三个平面角等于相应的球面角减去三 分之一的球面角超，而边长保持不变。
H H a 2 常
(1)2
用椭球半径的近似值代入得：
h 2 2
0 . 1 0 8 9 " c o s B s i n 2 A H ( k m )
1 2
（三）截面差改正
将法截弧方向化为大地线方向 应加的改正叫截面差改正
2 2 2 e " Sc o sB s i n 2 A g 1 1 2 1 2 N 1 (2)
过去《使用测量计算用表集》计算
二、将地面观测的长度归算至椭球面
• 实测的电磁波测距边在经过仪器的加常数、乘常数改正、 大气改正、波道弯曲等改正后，所得出的是由仪器中心 至反光棱镜中心间的倾斜距离D，而并非对中的两标石 中心间距离。设依据测线两端点各自在参考椭球面上的 MN 大地高为H1，H2： R A 2 2 N cos A M sin A H H i H H 1 1 水 1 2 2 水 2
2 3 或 ： X a ( 1 eA ) (a r c B BB s i n c o s B C s i nc B o s B 5 7 9 DB s i nc o s B E s i n B c o s B F s i n B c o s) B
对于75国际椭球：
X 1 1 1 1 3 3 . 0 0 5 B 1 6 0 3 8 . 5 2 8 s i n 2 B 1 6 . 8 3 3 s i n 4 B 0 . 0 2 2 s i n 6 B
2 2 S D ( H H ) 2 2 1 sin 2 R 4 ( R H )( R H ) A A 2 A 1
R arc sin 经过简单变化，得： S 2 A
D R A
H H 1 2 1( 2 ) D H H ( 1 1 )( 1 2 ) R R A A
按反正弦函数展开级数：
将地进一步化简：
2 3 H 1 h D m SD D 2 , 2 D R 4 R A 2 A
1 H ( H H ) m 1 2 2
• 右端第二项是倾斜改正的主项，经此项改正，测线变为平距
• 第三项为测线高出椭球面引起的投影改正，经此项改正后， 测线变成弦线； • 第四项则是由弦长改化为弧长的改正项。
第四章 Ⅳ将地面观测值归算至椭球面
——将地面观测的水平方向归算至椭球面 ——将地面观测的长度归算至椭球面 ——椭球面三角形的解算 (补)
上一讲应掌握的内容
1、子午线弧长计算公式
a a a a 6 8 2 4 X a B s i n 2 B s i n 4 B s i n 6 B s i n 8 B 0 2 4 6 8
5 0 . 6 9 8 s i n B c o s B
3 X 1 1 1 1 3 3 . 0 0 5 B 3 2 0 0 9 . 8 5 8 s i n B c o s B 1 3 3 . 9 6 0 s i n B c o s B
对于400km以下的子午线弧长计算公式
2 e 2 X M B ( 1 c o s 2 B B , X M B ( 4 5 k m 以 下 ) 1 2 m m) 1 2 m 8
B
上一讲应掌握的内容
4、相对法截弧的概念与特点
5、大地线的的性质 6、大地线的微分方程
dB cosA dS M
dL sin A dS Nc os B
dA sin A tan BdS N
7、大地线的克莱劳方程及其含义
r si n A C
在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径 与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积 等于常数。式中常数C也叫大地线常数。
2 2 3 34 5 46 7 2 2 b L L i n B es i nB es i nB es i nB s 2 1 3 5 7 B 1
2 2 e 2 2 3 3 P a 1 e L L i n B s i n B s i n B s i n B 2 1 2 1 2 1 s 3 4 6 3 e 4 e 5 5 7 7 s i nB s i n B s i n B s i n B 7 2 2 1 1 5
N R A 2 2 1 e '2cos B cos A 1 1
2 2 2 ( R H ) ( R H ) D A 2 cos A 1 2 ( R H )( R H ) A 1 A 2
S 2 S cos cos 1 2 sin R 2 R A A
将地面观测的长度（电磁波测距）归算至椭球面 由以上两式得：
2 e 2 2 2 " S ( 2 ) c o s B s i n 2 A g 1 1 1 1 2
用椭球半径的近似值代入得：
g 2 1
" 0 . 0 0 0 0 0 2 8 c o s B s i n 2 A S ( k m )
2 1
该项改正很小，100公里约0.03″，只有 一等控制网才顾计此项改正。
上一讲应掌握的内容
2、平行圈弧长公式
平 行 圈 上 经 差 L L L 的 一 段 弧 长 : 2 1 l S r L N c o s BL N c o s B b l 12 B 1 b1 3、经纬格网的面积公式
2 2 P b L L ( 1 e s i n B ) c o s BB d 2 1 2 B 1 B 2
2 2 2 2 23
为什么？ 将上式两端对R取微分并舍去高次项，得：
2 H R d S m d S Dh 2d R d R ; R HS m 2 2
2 1 h S 由 : S D 得 : d h d S 2 D h
计算取值精度分析
R2 d S dR Hm S
若： dS/S=10-6, Hm=1km, R=6370km， 得： dR=40.6km。
（四）三差改正计算
• 控制测量作业规定：一等需算至0.001″，二等为0.01″， 三等和四等为0. 1″ （1）设 A=0°，ctgZ1=0.01 一般情况下： 当ξ=η=5″时， δu=0.05″ 一等加三差改正； 当ξ=η=10″时， δu=0.1″ 二等加垂线偏差改正 （2）设 A=45°， B=45° 和标高差改正； 当H=200m 时， δh=0.01″ 三等和四等一般不加 当H=1000m 时， δh=0.05″ 三差改正 （3）设 A=45°， 但当垂线偏差＞10″ B=45° 时或H＞2000m时， 当S=30km 时， δg=0.01″ 应考虑加垂线偏差改 正和标高差改正 当S=60km 时， δg=0.05″
H 2 H 1 2 ) 3 D D S D 2 H H 24 R A 1 2 ( 1 )( 1 ) RA RA 20km,改正8mm 1(
为了保证S的计算精度不低于10-6级，当D＜10km时，高差h= （H2-H1）的精度必须达0. 1m；当D＞10km时，其精度必达 1m 。大地高H本身可须达5m，而曲率半径RA达1km即可。
AA , BB , C C
0
3
0
3
0
3

球面三角形用平面三角公式解算
• 勒让德定理表明：可按平面三角形的解法解算此三角 形，所得到的边长即为球面边长，也即为椭球面边长。 例如：a为已知边，A0，B0，C0为已知角，求b，c。
直接用正弦定理解算。
•对于同一条大地线上两点，克莱劳方程可以写出
r s i nA N o sB 2 1 2c 2 r s i nA N o sB 1 2 1c 1
用以检查纬度和方位角计算的正确性。
§4.6 将地面观测值归算至椭球面 观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线， 而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂 线偏差。 归算的两条基本要求： ①以椭球面的法线为基准； ②将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应 元素。 一、将地面观测的水平方向归算至椭球面 将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改 正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三 项改正为 三差改正。
F为平面三角形面积：
a bsinC
AA , BB , C C 0 0 0 3 3 3


b c s i n Aa c s i n Ba b s i n C F 2 2 2

化算平面角需要球面角超，而球面角超的计算又需要平面 角，因此直接用球面角计算球面角超就带有误差。 当边长不大于90km时，这种误差小于0.0005″，直接用球 面角代替平面角计算球面角超ε
• 由倾斜距离D求两点在椭球上两点间的弦长：
d D H 2 H1 2 ) D H H (1 1 )(1 2 ) RA RA 1 (
工程控制网中将地面观测的长度归算至 椭球面弧长的计算
若以平均高程面作投影面，当范围不大，可以用球代替 椭球；球半径采用地球平均半径。计算公式为：
D h H m S D h 1 2 2 4 R R
三等和四等一般不加三差改正但当垂线偏差10时或h2000m时应考虑加垂线偏差改正和标高差改正四三差改正计算005当10时a45b45当h200m001当h1000ma45b45当s30km001当s60km005过去使用测量计算用表集计算二将地面观测的长度归算至椭球面实测的电磁波测距边在经过仪器的加常数乘常数改正大气改正波道弯曲等改正后所得出的是由仪器中心至反光棱镜中心间的倾斜距离d而并非对中的两标石中心间距离

(2) N
大地测量计算常令：
( 1 ) M
（二）标高差改正
标高差改正又称由照准点高度 而引起的改正。 如果照准点高出椭球面某一高 度，则照准面就不能通过照 准点的法线同椭球面的交点。 由此引起的方向偏差。
2 2 e " c o sB s i n 2 A h H 2 2 1 2 M 2