高中数学 课时分层作业6 椭圆的标准方程 苏教版选修11

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课时分层作业(六) 椭圆的标准方程
(建议用时:45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1.圆x 225+y 2
16
=1上一点M 到一个焦点的距离为4,则M 到另一个焦点的距离为________.
【导学号:95902082】
【解析】 设椭圆x 225+y 2
16=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,不妨令MF 1=4,
由MF 1+MF 2=2a =10,得MF 2=10-MF 1=10-4=6. 【答案】 6
2.若a =6,b =35,则椭圆的标准方程是________.
【解析】 椭圆的焦点在x 轴上时,方程为x 236+y 235=1,在y 轴上时,方程为y 236+x 2
35=
1.
【答案】
x 236+y 235=1或y 236+x 2
35
=1
3.已知椭圆的两焦点为F 1(-2,0),F 2(2,0),P 为椭圆上的一点,且F 1F 2是PF 1与PF 2
的等差中项.该椭圆的方程是________.
【导学号:95902083】
【解析】 ∵PF 1+PF 2=2F 1F 2=2×4=8,∴2a =8,∴a =4, ∴b 2
=a 2
-c 2
=16-4=12,∴椭圆方程是x 216+y 2
12=1.
【答案】
x 216+y 2
12
=1 4.过(-3,2)点且与x 29+y 2
4
=1有相同焦点的椭圆方程为________.
【解析】 与x 29+y 24=1有相同焦点的椭圆可设为x 29-k +y 2
4-k =1且k <4,将(-3,2)代
入得:k =-6.
【答案】
x 215+y 2
10
=1 5.把椭圆x 216+y 2
9=1的每个点的横坐标缩短到原来的14,纵坐标缩短到原来的1
3,则所得
曲线方程为________.
【导学号:95902084】
【解析】 原方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 42
+⎝ ⎛⎭⎪⎫
y 32
=1,所得曲线为x 2
+y 2
=1.
【答案】 x 2
+y 2
=1
6.椭圆4x 2
+9y 2=1的焦点坐标是________.
【解析】 椭圆化为标准形式为x 214+y 2
19=1,∴a 2=14,b 2=19,∴c 2=a 2-b 2
=14-19=536,
且焦点在x 轴上,故为⎝ ⎛⎭
⎪⎫±56,0. 【答案】 ⎝ ⎛

⎪⎫±
56,0 7.方程x 22m -y 2
m -1
=1表示焦点在x 轴上的椭圆,则m 的取值范围是________.
【解析】 将方程化为x 2
2m +y
2
1-m
=1,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
2m >0,1-m >0,
2m >1-m ,
解之得1
3
<m <1.
【答案】 1
3
<m <1
8.椭圆x 225+y 2
9=1的焦点为F 1,F 2,P 为椭圆上的一点,已知PF 1→·PF 2→
=0,则△F 1PF 2的
面积为________.
【导学号:95902085】
【解析】 ∵PF 1→·PF 2→=0,∴PF 1⊥PF 2.∴PF 21+PF 22=F 1F 2
2且PF 1+PF 2=2a .又a =5,b =3,∴c =4,
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
PF 2
1+PF 2
2=64 ①PF 1+PF 2=10 ②
②2
-①,得2PF 1·PF 2=102
-64,∴PF 1·PF 2=18, ∴△F 1PF 2的面积为9. 【答案】 9 二、解答题
9.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在x 轴上,且经过点(2,0)和点(0,1);
(2)焦点在y 轴上,与y 轴的一个交点为P (0,-10),P 到它较近的一个焦点的距离等于2.
【解】 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上,所以可设它的标准方程为x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0),
∵椭圆经过点(2,0)和(0,1),∴⎩⎪⎨⎪⎧
2
2
a 2
+0
b
2
=1,0a 2
+1
b 2
=1,
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
=4,
b 2
=1,
故所求椭圆的标准方程为x 2
4
+y 2
=1.
(2)∵椭圆的焦点在y 轴上,所以可设它的标准方程为y 2a 2+x 2
b
2=1(a >b >0),∵P (0,-10)
在椭圆上,∴a =10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2,
∴-c -(-10)=2,故c =8,∴b 2
=a 2
-c 2
=36. ∴所求椭圆的标准方程是
y 2100+x 2
36
=1. 10.已知椭圆8x 2
81+y
2
36=1上一点M 的纵坐标为2.
(1)求M 的横坐标;
(2)求过M 且与x 29+y 2
4
=1共焦点的椭圆的方程.
【导学号:95902086】
【解】 (1)把M 的纵坐标代入8x 2
81+y 2
36=1,得8x 2
81+436=1,即x 2
=9.
∴x =±3.即M 的横坐标为3或-3.
(2)对于椭圆x 29+y 2
4=1,焦点在x 轴上且c 2
=9-4=5,故设所求椭圆的方程为x 2a 2+y 2
a 2
-5
=1,把M 点坐标代入得9a 2+4
a 2-5
=1,
解得a 2
=15.故所求椭圆的方程为x 215+y 2
10
=1.
[能力提升练]
1.在平面直角坐标xOy 中,已知△ABC 的顶点A (-4,0)和C (4,0),顶点B 在椭圆
x 2
25

y 2
9=1上,则sin A +sin C
sin B
的值为__________. 【解析】 由椭圆的标准方程可知,椭圆的焦点在x 轴上,且半焦距c =a 2
-b 2
=25-9
=4,2a =10,所以A (-4,0)和C (4,0)是椭圆的左、右焦点.因为点B 在椭圆上,所以|BA |+|BC |=2a =10,
所以sin A +sin C sin B =|BC |+|BA ||AC |=108=5
4
.
【答案】 5
4
2.已知椭圆的两个焦点是F 1,F 2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长F 1P 到Q ,使得PQ =PF 2,那么动点Q 的轨迹是________.
【导学号:95902087】
【解析】 如图所示,因为P 是椭圆上的一个动点,所以由椭圆的定义可知:PF 1+PF 2=2a 为常数.又因为PQ =PF 2,所以PF 1+
PQ =2a ,即QF 1=2a 为常数.即动点Q 到定点F 1的距离为定值,所
以动点Q 的轨迹是以F 1为圆心,以2a 为半径的圆.故Q 的轨迹为圆.
【答案】 圆
3.若F 1,F 2是椭圆x 29+y 2
7=1的两个焦点,A 为椭圆上一点,且∠F 1AF 2=45°,则△AF 1F 2
的面积为________.
【解析】 如图所示, F 1F 2=22,AF 1+AF 2=6,由AF 1+AF 2=6,
得AF 2
1+AF 2
2+2AF 1·AF 2=36.又在△AF 1F 2中,
AF 21+AF 22-F 1F 2
2=2AF 1·AF 2cos 45°,
所以36-2AF 1·AF 2-8=2AF 1·AF 2, 所以AF 1·AF 2=
28
2+2=14(2-2),
所以S △AF 1F 2=12AF 1·AF 2 sin 45°=12×14(2-2)×2
2=7(2-1).
【答案】 7(2-1)
4.已知点P (6,8)是椭圆x 2a 2+y 2b
2=1(a >b >0)上的一点,F 1,F 2为椭圆的两焦点,若PF 1→·PF 2

=0.试求
(1)椭圆的方程. (2)求sin∠PF 1F 2的值.
【导学号:95902088】
【解】 (1)因为PF 1→·PF 2→
=0,所以-(c +6)(c -6)+64=0,所以c =10, 所以F 1(-10,0),F 2(10,0),所以2a =PF 1+PF 2=6+10
2
+82

6-10
2
+82

125,
所以a =65,b 2
=80.所以椭圆方程为x 2180+y 2
80
=1.
(2)因为PF 1⊥PF 2,所以S △PF 1F 2=12PF 1·PF 2=1
2
F 1F 2·y P =80,
所以PF 1·PF 2=160,又PF 1+PF 2=125,所以PF 2=45,所以sin∠PF 1F 2=PF 2F 1F 2=4520
=5
5
.。

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