2015届高三数学北师大版 总复习学案：学案65 二项式定理

A．13,14
B．14,15
C．12,13
D．11,12,13
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(2)已知12＋2xn，(ⅰ)若展开式中第 5 项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，
求展开式中二项式系数的最大项的系数； (ⅱ)若展开式前三项的二项式系数和等于 79，求展开式中系数最大的项．
(3)各二项式系数和：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝______，C0n＋C2n＋C4n＋…＋C偶n ＝________， Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＋C奇 n ＝________.
自我检测
1．(2011·福建)(1＋2x)5 的展开式中，x2 的系数等于( )
A．80
B．40
C．20
D．10
6．(2011·烟台期末)已知 n 为正偶数，且x2－21xn 的展开式中第 4 项的二项式系数最大，
则第 4 项的系数是__________．(用数字作答)
探究点一 二项展开式及通项公式的应用
例1
已知在 3
x－ 2
1 3
n x
的展开式中，第
6
项为常数项．
(1)求 n；(2)求含 x2 的项的系数；
令 6－3r＝0，得 r＝2.故 C62( a)2＝60，解得 a＝4. 6．－52
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例 1 解题导引 (1)通项 Tr＋1＝Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式的第 r＋1 项，而不是第 r 项；二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数是指 Crn，r＝0,1,2，…，n， 与 a，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分．
2．(2011·陕西)(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )
A．－20
B．－15
C．15
D．20
3．(x－ 2y)10 的展开式中 x6y4 项的系数是( )
A．840
B．－840
C．210
D．－210
4．(2010·四川)2－
1
3
6 x
的展开式中的第四项是______．
5．(2011·山东)若(x－ x2a)6 展开式的常数项为 60，则常数 a 的值为________．
学案 65 二项式定理
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导学目标： 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关 的简单问题．
自主梳理
1．二项式定理的有关概念 (1)二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn (n∈N*)，这个公式 叫做______________． ①二项展开式：右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式． ②项数：二项展开式中共有________项．
4．二项式系数的性质有：(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式 系数相等，即 C0n＝Cnn，C1n＝Cnn－1，Cn2＝Cnn－2，…，Crn＝Cnn－r.(2)如果二项式的幂指数是 偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系
数相等并且最大．
5．二项式定理的一个重要作用是近似计算，当 n 不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋
(2)求证：32n＋2－8n－9 能被 64 整除(n∈N*)．
10．(12 分)利用二项式定理证明对一切 n∈N*，都有 2≤1＋1nn<3.
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11．(14 分)(2011·泰安模拟)已知 x－x22n (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的
(1)对称性：与首末两端________的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项二项式系数________________取得最
大值；当 n 为奇数时，中间的两项二项式系数____________、________________________
相等，且同时取得最大值．
7．(2011·济南高三模拟)已知 a＝π(sin t＋cos t)dt，则x－a1x6 的展开式中的常数项为 0
________．
8.1＋x＋x1210 的展开式中的常数项是________．
三、解答题(共 38 分)
9．(12 分)(1)设(3x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4. ①求 a0＋a1＋a2＋a3＋a4； ②求 a0＋a2＋a4； ③求 a1＋a2＋a3＋a4；
－r·22rx·2rx－6x＝Cr6·(－1)6－r·23rx－6x，∴3rx－6x＝0 恒成立．∴r＝2，∴T3＝C26·(－1)4＝15.∴选
C.]
3．A
4．－16x 0
5．4
解析 (x－ x2a)6 展开式的通项为 Tr＋1＝Cr6x6－r(－1)r·( a)r·x－2r＝Cr6x6－3r(－1)r·( a)r.
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＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1 ＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2 ＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89－1)＋7，
显然上式括号内的数是正整数．
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故 S 被 9 除的余数为 7.
变式迁移 2 解 (1＋x)2n＝C02n＋C12nx＋C22nx2＋C32nx3＋…＋C22nnx2n. 令 x＝1 得 C02n＋C12n＋…＋C22nn－1＋C22nn＝22n； 再令 x＝－1 得 C02n－C12n＋C22n－…＋(－1)rCr2n＋…－C22nn－1＋C22nn＝0. 两式相加，再用 C02n＝1， 得 C22n＋C42n＋…＋C22nn＝222n－1＝22n－1－1.
nx.利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧．
(满分：75 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1．(2011·山东实验中学模拟)在
x＋
1
3
24 x
的展开式中，x
的幂指．4 项
C．5 项
D．6 项
2．(2011·重庆)(1＋3x)n(其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中 x5 与 x6 的系数相等，则 n 等于
(2) Cn 2
n1
Cn 2
n1
Cn 2
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④Cknan－kbk
1．B [(1＋2x)5 的第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr5(2x)r＝2rCr5xr，令 r＝2，得 x2 的系数为 22·C25＝
40.] 2．C [设展开式的常数项是第 r＋1 项，则 Tr＋1＝Cr6·(4x)r·(－2－x)6－r，即 Tr＋1＝Cr6·(－1)6
解
nr
(1)通项公式为 Tr＋1＝Crn x 3
－12r x
r 3
＝Crn－12r
n
x
2r 3
，
因为第 6 项为常数项，所以 r＝5 时，有n－32r＝0，
即 n＝10.
(2)令n－32r＝2，得 r＝12(n－6)＝12×(10－6)＝2，
∴所求的系数为 C210－122＝445.
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10－3 2r∈Z， (3)根据通项公式，由题意得 0≤r≤10，
r∈N.
令10－3 2r＝k (k∈Z)，则 10－2r＝3k， 即 r＝5－32k，∵r∈N，∴k 应为偶数． ∴k 可取 2,0，－2，即 r 可取 2,5,8. 所以第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为
C120－122x2，C510－125，C810－128x－2.
128，则展开式
中x13的系数是(
)
A．7
B．－7
C．21
D．－21
5．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8 的展开式中，含 x3 的项的系数是( )
A．74
B．121
C．－74
D．－121
二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)
6．(2011·湖北)(x－ 1 )18 的展开式中含 x15 的项的系数为__________．(结果用数值表示) 3x
变式迁移 1 6
解析 展开式的通项 Tr＋1＝Cr20·x20－r·( 4 3y)r
r
＝Cr20·x20－r·yr·34 .
由 0≤r≤20，4r∈Z 得 r＝0,4,8,12,16,20.
所以系数为有理数的项共有 6 项． 例 2 解题导引 (1)在有关组合数的求和问题中，经常用到形如 C0n＝Cnn＝Cnn＋＋11，Ckn＝ Cnn－k，kCkn＝nCkn－－11等式子的变形技巧； (2)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式．求余数问题
系数的比是 10∶1. (1)求展开式中各项系数的和；
3
(2)求展开式中含 x 2 的项；
(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
学案 65 二项式定理
自主梳理
1．(1)二项式定理 ②n＋1 ③Ckn 0,1,2，…，n
Cknan－kbk 2.(1)等距离 (3)2n 2n－1 2n－1
n
时，应明确被除式 f(x)、除式 g(x)[g(x)≠0]、商式 q(x)与余式的关系及余式的范围． (1)证明 方法一 设 S＝C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋(n－1)·Cnn－1＋nCnn，① ∴S＝nCnn＋(n－1)Cnn－1＋(n－2)Cnn－2＋…＋2C2n＋C1n ＝nC0n＋(n－1)C1n＋(n－2)C2n＋…＋2Cnn－2＋Cnn－1，② ①＋②得 2S＝n(C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn－1＋Cnn)＝n·2n. ∴S＝n·2n－1.原式得证．
1．二项式系数与项的系数是不同的，如(a＋bx)n (a，b∈R)的展开式中，第 r＋1 项的二 项式系数是 Crn，而第 r＋1 项的系数为 Crnan－rbr. 2．通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或 系数．在运用公式时要注意：Crnan－rbr 是第 r＋1 项，而不是第 r 项． 3．在(a＋b)n 的展开式中，令 a＝b＝1，得 C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n；令 a＝1，b＝－1，得 Cn0－Cn1＋Cn2－Cn3＋…＝0，∴C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋Cn3＋Cn5＋…＝2n－1，这种由一般到 特殊的方法是“赋值法”．
③二项式系数：在二项展开式中各项的系数________(k＝______________)叫做二项式 系数．
④通项：在二项展开式中的________________叫做二项展开式的通项，用 Tk＋1 表示， 即通项为展开式的第 k＋1 项：Tk＋1＝____________________.
2．二项式系数的性质
变式迁移 2 (2011·上海卢湾区质量调研)求 C22n＋C42n＋…＋C22kn＋…＋C22nn的值．
探究点三 求系数最大项
例 3 已知 f(x)＝(3 x2＋3x2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．
变式迁移 3 (1)在(x＋y)n 的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于( )
()
A．6
B．7
C．8
D．9
3．(2011·黄山期末)在2x－
1
3
n x
的展开式中，只有第
5
项的二项式系数最大，则展开式
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中常数项是( )
A．－7
B．7
C．－28
D．28
4．(2010·烟台高三一模)如果3x－
1
3
n x2
的展开式中二项式系数之和为
(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指
数恰好都是整数的项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要
求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式
中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致．
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(3)求展开式中所有的有理项．
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变式迁移 1 (2010·湖北)在(x＋4 3y)20 的展开式中，系数为有理数的项共有________项． 探究点二 二项式系数的性质及其应用 例 2 (1)求证：C1n＋2Cn2＋3C3n＋…＋nCnn＝n·2n－1； (2)求 S＝C127＋C227＋…＋C2277除以 9 的余数．
方法二 ∵nkCkn＝nk·k！nn！－k！
＝k－1n－！1n！－k！＝Ckn－－11，
∴kCkn＝nCkn－－11. ∴左边＝nC0n－1＋nC1n－1＋…＋nCnn－－11 ＝n(C0n－1＋C1n－1＋…＋Cnn－ －11)＝n·2n－1＝右边． (2)解 S＝C127＋C227＋…＋C2277＝227－1 ＝89－1＝(9－1)9－1