湖南省衡阳县三中2020学年高二数学上学期期中试题 理

湖南省衡阳县三中 2020 学年高二数学上学期期中试题 理
时量 120 分钟，满分 150 分．
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1.已知集合 A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3 或 x＞5}，则 A∩B＝( )
A．{x|2＜x＜5}
B．{x|x＜4 或 x＞5}
C．{x|2＜x＜3}
D．{x|x＜2 或 x＞5}
2.与－π6 角终边相同的角是(
)
π A. 6
π B. 3
11π C. 6
4π D. 3
3.等差数列{an}中，S10=120，那么 a1+a10 的值是（ ）
A．12
B．24
C．36
D．48
4．如图，三棱锥 V­ABC 的底面为正三角形，侧面 VAC 与底面垂直且 VA＝VC，已知其主视图的
面积为23，则其左视图的面积为(
)
A.
3 2
B.
3 3
C.
3 4
D.
3 6
5.已知向量 a＝(1， 3 )，b＝(cos θ，sinθ)，若 a∥b，则 tanθ＝( )
A.
3 3
B. 3
C．－
3 3
D．－ 3
6.若 a 0 b ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. 1 1 ab
B. a b
C. a2 b2
D. a3 b3
7.若对任意的实数 k，直线 y－2＝k(x＋1)恒经过定点 M，则 M 的
标是( )
A. (1，2) B. (1，－2) C. (－1，2) D. (－1，－2)
8.定义域为 R 的四个函数 y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x 中，奇函数的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1


3 9. 在由正数组成的等比数列{an}中，若 a3a4a5= π ，则 sin(log3a1+log3a2+....+log3a7)的值为
（）
A. 1
B. 3
C.1
D.- 3
2
2
2
10. 若函数 f(x)＝sin xcos x，x∈R，则函数 f(x)的最小值为( )
A. －14
B. －12
C.
－
3 2
D. －1
11.在区间[0 ,2]上随机地取一个数 X，则事件:“2x2-3x ≤ 0”发生的概率为（ ）
2
3
1
1
A.
B.
C.
D.
3
4
3
4
12、已知圆 C1 : x 22 y 32 1,圆 C2 : x 32 y 42 9 , M , N 分别是圆 C1, C2
上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM PN 的最小值为 （ ）
A． 5 2 4
B． 17 1 C． 6 2 2
D． 17
二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，合计 20 分）
13.函数 y sin(2x ) 的最小正周期为
；
4
30 14.在△ABC 中，若 a = 2,b = 2 3, A= 0 , 则角 B 等于______
.
15. f(x)为奇函数，当 x<0 时，f(x)＝log2(1－x)，则 f(3)＝________．
16. 已知数列{an} 的通项公式为 an 3n ，记数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若 n N * ，使得
(Sn
3)k 2
3n
6
成立，则实数
k
的取值范围是
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤）
17.已知集合 A x | x2 2x 3 0 ， B x | (x m 1)(x m 1) 0 ．
（1）当 m 0时，求 A B ；
（2）若 A B ，求实数 m 的取值范围．


18.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 是 BC 的中点． (1)求证：A1B∥平面 ADC1； (2)若 AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2，求几何体 ABD－A1B1C1 的体积．
19 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a＝2，c＝5，cos B＝35. (1)求 b 的值； (2)求 sin C 的值．
20.已知等比数列an 是递增数列，其前 n 项和为 Sn ，且 S3 13, a2 3 ． （I）求数列an 的通项公式； （II）设 bn 1 log3 an ，求数列anbn的前 n 项和 Tn .
21.已知函数 f (x) = 2 3 sin(x+π ) cos(x+π )+sin 2x+a 的最大值为1．
4
4
（Ⅰ）求常数 a 的值；


（Ⅱ）求函数 f(x)的单调递增区间；
22.在平面直角坐标系 xoy 中，设圆 x2+y2-4x=0 的圆心为 Q. （1）求过点 p(0,-4)且与圆 Q 相切的直线的方程； （2）若过点 p(0,-4)且斜率为 K 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A，B，以 OA、OB 为邻边做 平行四边形 OABC，问是否存在常数 K，使得平行四边形 OABC 为矩形？请说明理由.
高二理科数学答案 一．选择题：
1---12. CCB BBD CCB BAA 二．填空题：
13.π 14.600 或 1200 15. -2 16. [ 2 ,+∞]
27
三．解答题： 17 解：当 m=0 时，B={x¦(x+1)(x-1)≥0}={x¦x≥1 或 x≤-1} A={x¦X2-2X-3˂0}={x¦-1˂X˂3}
A B ={x¦1≤X˂3} 18.(1)证明：连接 A1C，与 AC1 交于点 O， 连接 DO，由直三棱柱性质可知，侧棱垂直 于底面，侧面为矩形，所以 O 为 AC1 中点， 则 A1B∥OD. 又因为 OD⊂ 平面 ADC1，A1B⊄平面 ADC1， 所以 A1B∥平面 ADC1.
(2) 解：由于是直棱柱，所以侧棱长就是几何体的高， 又 AB⊥AC，所以底面为直角三角形， 所以 VABCA1B1C1＝sh＝12×1×1×2＝1， VC1ACD＝13sh＝13×12×12×1×1×2＝16，


所以 VABDA1B1C1＝VABCA1B1C1－VC1ACD＝1－16＝56.
19.解：(1)∵b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋25－2×2×5×35＝17， ∴b＝ 17. (2)∵cos B＝35， ∴sin B＝45，
b
c
17 5
由正弦定理sin B＝sin C，得 4 ＝sin C，
5
∴sin C＝4 1717.
20.解：（1）设an 的公比为 q ，
a1 a1q a1q2 13
由已知得
a1q 3
解得
aq1
1或 3
a1 q

9 1 3
又因为数列an 为递增数列
所以 a1 1， q 3
∴ an 3n1 (n N *) .………………………………6 分
（2） bn n, anbn n 3n1
Tn 1 2 3 3 32 n 3n1
3Tn 3 2 32 3 33 n 3n
-2Tn
1 3 32
3n1 - n 3n
（1 - n）3n 2
1 2
Tn
(2n
1)3n 4
1 4
.………………………………12
分


21. 解:1)f(x)=2 3 sin(x+π )cos(x+π )+sin2x+a
4
4
= 3 sin(2x+π )+sin2x+a 2
=2sin(2x+π )+a 4
由 f(x)max=2+a=1 有 a=-1
2）当 2K π -π ≤ 2x+π ≤2K π +π (K∈Z)时，
2
4
2
Kπ
3π
-≤
x
≤
Kπ
π
+
(K∈Z)
8
8
所以 f(x)的单调增区间为[
Kπ
- 3π ,K π
π
+
].(K∈Z)
8
8
22.解：（1）由题意知，圆心 坐标为
，半径为 2，设切线方程为：
，
所以，由
解得
所以，所求的切线方程为
，
（2）假设存在满足条件的实数 ，则设
，
，
联立
得
，
（或由（1）知 ）
且
，
且
，
，
，


又
要使 所以
矩形，则
存在常数 ，使得
为矩形







。