高考数学一轮复习 第七章 不等式 课时跟踪检测37 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题

课时跟踪检测(三十七)
[高考基础题型得分练]
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值X 围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)
C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 答案：B
解析：根据题意知，(－9＋2－a )(12＋12－a )＜0， 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.
2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，x ＋3y ≥4，
3x ＋y ≤4
所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋4
3
分为面积相等的两部
分，则k ＝( )
A.7
3 B ．37 C.43 D ．34
答案：A
解析： 不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，43， 因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋4
3能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所
以AB 的中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43， 所以k ＝7
3
.
3．[2017·某某某某模拟]不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤－x ＋2，y ≤x －1，
y ≥0
所表示的平面区域的面积为
( )
A ．1
B ．12 C.1
3 D ．14
答案：D
解析：作出不等式组对应的区域为△BCD ， 由题意知，x B ＝1，x C ＝2.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－x ＋2，y ＝x －1，
得y D ＝1
2
，
所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝1
4
.
4．[2017·某某某某质量监测]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤－x ＋1，y ≤x ＋1，
y ≥0，
则3x ＋5y 的取
值X 围是( )
A ．[－5,3]
B ．[3,5]
C ．[－3,3]
D ．[－3,5]
答案：D
解析：作出如图所示的可行域及l 0：3x ＋5y ＝0，平行移动l 0到l 1过点A (0,1)时，3x ＋5y 有最大值5；平行移动l 0至l 2过点B (－1,0)时，3x ＋5y 有最小值－3，故选D.
5．[2017·某某株洲模拟]已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x ＋y ≤3，
y ≥a x －3，
若z ＝2x
＋y 的最小值为1，则a ＝( )
A.1
2 B ．1
3 C ．1 D ．2
答案：A
解析：如图所示，目标函数z ＝2x ＋y 在点(1，－2a )处取得最小值，则2×1－2a ＝1，解得a ＝12
.
6．[2017·某某某某诊断]已知不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤1，x －y ≥－1，
y ≥0
所表示的平面区域为D ，若直
线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点，则k 的取值X 围为( )
A ．[－3,3]
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－13，13
答案：C
解析：依据线性约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，
注意到y ＝kx －3过定点(0，－3)．
∴斜率的两个端点值为－3,3，两斜率之间存在斜率不存在的情况，∴k 的取值X 围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)，故选C.
7．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
2x －y ≤0，
x －3y ＋5≥0，
x ≥0，
y ≥0，
则z ＝8－x
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12y 的最小值为( )
A ．1
B ．
3
24
C.1
16
D ．132
答案：D
解析：根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，
而z ＝8－x
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12y ＝2
－3x －y ，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可． 由图知，当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x －y
最小，
最小值为1
32
.
8．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥x ，
x ＋y ≤4
上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω
的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
答案：D
解析：作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，
则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积的最大值为S ＝π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫422
＝4π.
9．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x ＋y －4≤0，
x －3y ＋4≤0，
则目标函数z ＝3x －y 的最大值为
________．
答案：4
解析：根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，
∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，
当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值， 即z max ＝3×2－2＝4.
10．[2017·某某某某模拟]若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≥0，y ≤kx ＋3，
0≤x ≤3
表示的平面区域为一个锐角
三角形及其内部，则实数k 的取值X 围是________．
答案：(0,1)
解析：直线y ＝kx ＋3恒过定点(0,3)．
作出可行域知，要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线y ＝kx ＋3的斜率在0与1之间，即k ∈(0,1)．
11．[2017·某某东营模拟]x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥1，x －y ≥－1，
2x －y ≤2，
若目标函数 z ＝ax ＋3y
仅在点(1,0)处取得最小值，则 a 的取值X 围为________．
答案：(－6,3)
解析：作出可行域，如图阴影部分所示．
当a ＝0时，显然符合题意；
当a ＞0时，要使y ＝－a 3x ＋z 3仅在点(1,0)处取得最小值，需满足－a
3＞－1，得0＜a ＜3；
当a ＜0时，要使 z 仅在点(1,0)处取得最小值，需满足－a
3＜2，得－6＜a ＜0.综上知，
－6＜a ＜3.
12．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2a －b ≥5，a －b ≤2，
a <7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.
答案：13
解析：画出线性目标函数所表示的区域，如图中阴影部分所示，
作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N 可知， 当a ＝6，b ＝7时，招聘的教师最多，此时x ＝a ＋b ＝13.
[冲刺名校能力提升练]
1．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，
2x ＋y －14≤0
所表示的平面区域为M ，则使函数y ＝
a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值X 围是( )
A ．[1,3]
B ．[2，10 ]
C ．[2,9]
D ．[10，9]
答案：C
解析：区域M 如图中阴影部分所示，
其中点A (1,9)，点B (3,8)．
由图可知，要使函数y ＝a x
(a >0，a ≠0)的图象过区域M ，需a >1.
由函数y ＝a x
的图象特征知，当图象经过区域的边界点A (1,9)时，a 取得最大值，此时a ＝9;
当图象经过区域的边界点B (3,8)时，a 取得最小值，此时a 3
＝8，即a ＝2.综上知，2≤a ≤9 .
2．[2017·某某庄河高中高三检测]已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋3≥0，x ＋y －1≥0，
x ≤1，
若
直线y ＝k (x －1)将可行域分成面积相等的两部分，则目标函数z ＝kx －y 的最大值为( )
A ．－3
B ．3
C ．－1
D ．1
答案：D
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
直线y ＝k (x －1)恒过定点(1,0)，要使其平分可行域的面积，只需过线段AB 的中点(0,3)即可，所以k ＝－3，则目标函数z ＝kx －y ＝－3x －y ，平移直线－3x －y ＝0，由图知当目标函数z ＝－3x －y 经过点A (－1,2)时取得最大值，即z max ＝－3×(－1)－2＝1，故选D.
3．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥－1，x －y ≥2，
3x ＋y ≤14，
若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无
穷多个，则实数a 的取值集合是( )
A ．{－3,0}
B ．{3，－1}
C ．{0,1}
D ．{－3,0,1}
答案：B
解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，
∴a ＝－1或a ＝3.
4．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥x ，y ≤mx ，
x ＋y ≤1
下，目标函数z ＝x ＋5y 的最大值为4，则m ＝
________.
答案：3
解析：画出约束条件的可行域，如图中阴影部分所示，
由z ＝x ＋5y ，得y ＝－15x ＋z
5.
故目标函数在P 点处取得最大值， 由⎩⎪⎨
⎪
⎧
y ＝mx ，x ＋y ＝1，
得P ⎝
⎛⎭
⎪
⎫1m ＋1，m m ＋1，
代入目标函数得4＝
1m ＋1＋5m m ＋1
，解得m ＝3. 5．[2017·某某质检]若变量x ，y 满足⎩⎪⎨
⎪
⎧
|x |＋|y |≤1，xy ≥0，
则2x ＋y 的取值X 围为________．
答案：[－2,2]
解析： 作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1,0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，
所以2x ＋y 的取值X 围为[－2,2]．
6．[2017·某某某某第二次质量预测]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ≥0，x －y ≥0，
0≤x ≤a ，
设b ＝x －2y ，
若b 的最小值为－2，则b 的最大值为________．
答案：10
解析：画出可行域，如图中阴影部分所示．
由b ＝x －2y ，得y ＝12x －b 2
. 易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.
在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.
7．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，
x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z }，(x 0，y 0)是z ＝x
＋y 在D 上取得最大值或最小值的点，则T 中的点共确定________条不同的直线．
答案：6
解析：画出平面区域D ，如图中阴影部分所示．
作出z ＝x ＋y 的基本直线l 0：x ＋y ＝0.经平移可知目标函数z ＝x ＋y 在点A (0,1)处取得最小值，在线段BC 处取得最大值．
而集合T 表示z ＝x ＋y 取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段BC 上共有5个整点，分别为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T 中的点共确定6条不同的直线．
8．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大？最大利润是多少？
解：(1)依题意，每天生产的伞兵个数为100－x －y ，
所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.
(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋7y ＋4100－x －y ≤600，100－x －y ≥0，
x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，
整理得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，
x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .
目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300. 作出可行域，如图中阴影部分所示．
初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝50，y ＝50.
最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．
所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550.。