秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用学案新人教A版

2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2 椭圆2.2.2 第2课时椭圆的标准方程及性质的应用学案新人教A版选修2-1
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第2课时椭圆的标准方程及性质的应用
学习目标：1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用,会判断直线与椭圆的位置关系．(重点）2。

能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．（难点）
［自主预习·探新知]
1．点与椭圆的位置关系
点P（x0，y0)与椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b〉0）的位置关系：
点P在椭圆上⇔错误!＋错误!＝1；
点P在椭圆内部⇔错误!＋错误!<1;
点P在椭圆外部⇔错误!＋错误!〉1.
2．直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b〉0）的位置关系：
联立错误!消去y得一个关于x的一元二次方程．
思考:（1
(2）直线y＝kx＋1与椭圆错误!＋错误!＝1有怎样的位置关系?
[提示］(1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．
（2）直线y＝kx＋1恒过定点(0,1），点（0，1)在椭圆错误!＋错误!＝1的内部，因此直线与椭圆相交．
[基础自测］
1．思考辨析
（1）若点P（x0，y0）在椭圆错误!＋错误!＝1的内部，则有错误!＋错误!〈1。

（)
(2）直线y＝x与椭圆错误!＋错误!＝1（a>b〉0)不一定相交．（）
（3)过点（3，0)的直线有且仅有一条与椭圆错误!＋错误!＝1相切．（)
［答案］（1）√(2）×（3)√
2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋错误!＝1的位置关系是( )
A．相离B．相切
C．相交D．无法确定
C［联立错误!消去y，得3x2＋2x－1＝0，
Δ＝22＋12＝16＞0，
∴直线与椭圆相交．]
3．若点A(a,1）在椭圆错误!＋错误!＝1的内部，则a的取值范围是________。

【导学号：46342078】（－错误!，错误!）[∵点A在椭圆内部,
∴错误!＋错误!＜1,∴a2＜2，∴－错误!＜a＜错误!.]
［合作探究·攻重难］
直线与椭圆的位置关系
错误!
［思路探究]错误!―→错误!―→错误!―→错误!
[解] 联立方程组错误!
将①代入②得：错误!＋（x＋m)2＝1，
整理得：5x2＋8mx＋4m2－4＝0. ③
Δ＝（8m)2－4×5（4m2－4）＝16(5－m2)．
当Δ＞0，即－错误!＜m＜错误!时，方程③有两个不同的实数根,代入①可得两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交;
当Δ＝0，即m＝±错误!时，方程③有两个相等的实数根,代入①得一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；
当Δ＜0，即m＜－5或m＞5时，方程③无实根，此时直线与椭圆相离．
［规律方法］代数法判断直线与椭圆的位置关系
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ〉0⇔直线与椭圆相交;
Δ＝0⇔直线与椭圆相切;
Δ<0⇔直线与椭圆相离．
提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．
[跟踪训练］
1．(1)若直线y＝kx＋2与椭圆错误!＋错误!＝1相切,则斜率k的值是（）
A．错误! B．－错误!C．±错误!D．±错误!
C[由错误!得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0
由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2）＝0
解得k＝±错误!。

]
(2）直线y＝kx－k＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝1总有公共点，则m的取值范围是________．
错误![直线y＝k（x－1）＋1恒过定点P（1,1），直线与椭圆总有公共点等价于点P（1,1)在椭圆内或在椭圆上．所以错误!＋错误!≤1，即m≥错误!，又0〈m<5,
故m∈错误!。

］
弦长及中点弦问题
错误!错误!
(1）求此弦所在的直线方程．
(2)求此弦长.
【导学号：46342079】［思路探究]（1）法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解．法二：点差法
(2）设弦的两端点分别为A(x1，y1），B(x2，y2），利用弦长公式求解．
［解］(1)法一：设所求直线方程为y－1＝k（x－2)．代入椭圆方程并整理,得
（4k2＋1）x2－8（2k2－k）x＋4（2k－1)2－16＝0.
又设直线与椭圆的交点为A（x1，y1)，B（x2，y2），
则x1，x2是方程的两个根，
于是x1＋x2＝错误!。

又M为AB的中点，∴错误!＝错误!＝2，
解之得k＝－错误!。

故所求直线的方程为x＋2y－4＝0。

法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1),B（x2，y2)．
又M(2，1）为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2。

又A,B两点在椭圆上，
则x错误!＋4y错误!＝16,x错误!＋4y错误!＝16.
两式相减得（x错误!－x错误!）＋4(y错误!－y错误!)＝0。

于是（x1＋x2)(x1－x2)＋4（y1＋y2)（y1－y2)＝0。

∴y
1
－y2
x
1
－x2
＝－错误!＝－错误!，
即k AB＝－错误!。

又直线AB过点M(2,1），
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0。

(2）设弦的两端点分别为A（x1,y1)，B（x2，y2)由错误!得x2－4x＝0，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝0，
∴|AB|＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝2错误!.
2．（1)已知点P(4,2）是直线l被椭圆错误!＋错误!＝1所截得的线段的中点,则直线l的方程为________．
x＋2y－8＝0[由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4）,
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.
将直线方程代入椭圆方程有
（4k2＋1)x2－8k（4k－2）x＋4（4k－2)2－36＝0。

设直线l与椭圆的交点为(x1，y1）,(x2，y
2
），
所以x1＋x2＝错误!＝8，所以k＝－错误!.所以直线l的方程为y－2＝－错误!(x－4)，即x ＋2y－8＝0.］
(2)已知点P（4，2）是直线l：x＋2y－8＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点,则该椭圆的离心率为________．
错误!［设椭圆方程为错误!＋错误!＝1（a〉b〉0),
直线x＋2y－8＝0与椭圆交于A,B两点，且A(x1,y1)，B（x2，y2)，则
错误!
①－②得错误!＋错误!＝0，
即y
1
－y2
x
1
－x2
＝－错误!.
因为k AB＝－错误!，AB中点为（x0，y0),x0＝4，y0＝2，
所以－错误!＝－2错误!，即a2＝4b2.
所以该椭圆的离心率为e＝错误!＝错误!。

］
（3）已知动点P与平面上两定点A(－错误!，0），B(错误!,0)连线的斜率的积为定值－错误!。

①试求动点P的轨迹方程C；
②设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M，N两点,当｜MN|＝错误!时，求直线l的方程．
[解］①设动点P的坐标是（x，y)，由题意得,k PA·k PB＝－错误!。

∴错误!·错误!＝－错误!，
化简整理得错误!＋y2＝1。

故P点的轨迹方程C是错误!＋y2＝1(x≠±错误!）．
②设直线l与曲线C的交点M（x1，y1)，N(x2，y2)，
由错误!得（1＋2k2）x2＋4kx＝0。

∴x1＋x2＝错误!,x1·x2＝0。

|MN|＝1＋k2·（x1＋x22－4x1·x2)＝错误!，
整理得k4＋k2－2＝0，
解得k2＝1或k2＝－2(舍）．
∴k＝±1，经检验符合题意．
∴直线l的方程是y＝±x＋1，即x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
与椭圆有关的综合问题
[
1．直线y＝kx＋1表示过点(0，1）且斜率存在的直线，即不包含直线x＝0，那么直线x ＝ky＋1表示什么样的直线?
提示：直线x＝ky＋1，表示过点（1，0)且斜率不为0的直线，即不包含直线y＝0.
2．如果以线段AB为直径的圆过点O，那么可以得到哪些等价的条件？
提示：(1）设AB的中点为P，则｜OP｜＝1
2
｜AB|，
（2)错误!·错误!＝0。

如图2。

2.7，已知椭圆E：错误!＋错误!＝1(a>b〉0）过点（0，错误!）,且离心率e ＝错误!。

图2­ 2.7
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线l:x＝my－1(m∈R）交椭圆E于A,B两点,判断点G错误!与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由．
［思路探究](1）由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a2＝b2＋c2即可求出a,b，c 的值，从而可得椭圆E的方程．
（2)法一：判断点与圆的位置关系,只需把点G与圆心的距离d与圆的半径r进行比较，若d〉r,则点G在圆外；若d＝r，则点G在圆上；若d〈r，则点G在圆内．法二：只需判断错误!·错误!的符号，若错误!·错误!＝0，则点G在圆上；若错误!·错误!>0，则点G在圆外;若错误!·错误!〈0,则点G在圆内．
[解] (1）由已知得，
错误!解得错误!
所以椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1。

（2)法一:设点A（x1，y1)，B(x2，y2)，
AB的中点为H(x
，y0)．
由错误!得(m2＋2）y2－2my－3＝0，
所以y1＋y2＝错误!，y1y2＝－错误!，
从而y0＝错误!.
所以|GH|2＝错误!错误!＋y错误!＝错误!错误!＋y错误!＝（m2＋1)y错误!＋错误!my0＋错误!。

错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝(1＋m2)(y错误!－y1y2），
故|GH|2－错误!＝错误!my0＋（1＋m2）y1y2＋错误!＝错误!－错误!＋错误!＝错误!〉0，
所以|GH|>错误!.
故点G错误!在以线段AB为直径的圆外．
法二：设点A（x1，y1），B（x2，y2)，则错误!＝错误!,错误!＝错误!。

由错误!得（m2＋2）y2－2my－3＝0，
所以y1＋y2＝错误!，y1y2＝－错误!，
从而错误!·错误!＝错误!错误!＋y1y2＝错误!错误!＋y1y2＝(m2＋1）y1y2＋错误!m(y1＋y2)＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!〉0，
所以cos〈错误!，错误!>>0。

又错误!，错误!不共线，所以∠AGB为锐角．故点G错误!在以线段AB为直径的圆外．
3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－3，0）和F2（错误!,0),且椭圆过点错误!.
（1)求椭圆方程；
（2)过点错误!作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由.
【导学号：46342080】
［解］(1)由题意设椭圆方程x2
a2
＋错误!＝1(a〉b>0），
由c＝错误!，a2＝b2＋c2，代入方程错误!＋错误!＝1，又∵椭圆过点错误!，
得
1
b2＋3
＋错误!＝1,
解得b2＝1，∴a2＝4.
椭圆的方程为错误!＋y2＝1。

(2）设直线MN的方程为x＝ky－错误!,联立直线MN和曲线C的方程可得错误!得(k2＋4）y2－错误!ky－错误!＝0，
设M(x1，y1)，N（x2，y2），A(－2,0），
y 1y
2
＝－错误!，y1＋y2＝错误!，
则错误!·错误!＝（x1＋2,y1）·（x2＋2，y2)
＝(k2＋1）y1y2＋4
5
k(y
1
＋y2）＋错误!＝0，
即可得∠MAN＝π
2。

[当堂达标·固双基]
1．已知点（2，3）在椭圆错误!＋错误!＝1上，则下列说法正确的是（)
【导学号:46342081】A．点(－2,3）在椭圆外
B．点(3,2）在椭圆上
C．点(－2，－3)在椭圆内
D．点(2，－3)在椭圆上
D［由椭圆的对称性知,点（2，－3)在椭圆上，故选D.］
2．已知直线l:x＋y－3＝0,椭圆错误!＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( ）A．相交B．相切
C．相离D．相切或相交
C[由错误!得5x2－24x＋32＝0,
Δ＝（－24）2－4×5×32＝－64<0，
因此直线与椭圆相离．]
3．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝1
2
x＋1截得的弦长为________．
错误!［由错误!
消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2),
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6。

∴弦长|MN|＝错误!｜x1－x2｜
＝错误!＝错误!＝错误!。

］
4．已知P（1,1）为椭圆错误!＋错误!＝1内一定点,经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________．
x＋2y－3＝0 [易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k,弦的端点坐标为(x
1
，y1)、（x2，y2)，
则错误!＋错误!＝1①，错误!＋错误!＝1②，
①－②得错误!＋错误!＝0，
∵x1＋x2＝2,y1＋y2＝2,
2018年秋高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用学案 新
人教A 版选修2-1
11 / 1111 ∴错误!＋y 1－y 2＝0，
∴k ＝错误!＝－错误!.
∴此弦所在的直线方程为y －1＝－错误!(x －1)，
即x ＋2y －3＝0.]
5．焦点分别为(0,5错误!）和（0，－5错误!）的椭圆截直线y ＝3x －2所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程.
【导学号：46342082】 ［解] 设y 2
a 2＋错误!＝1（a >
b >0）．
依题意,有a 2－b 2＝(52)2＝50。

① 由错误!
消去y 并整理，得
（a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0.
因为错误!＝错误!，
所以错误!＝错误!.
所以a 2＝3b 2。

② 由①②，得a 2＝75，b 2＝25.
经检验,此时Δ>0.
所以椭圆方程为错误!＋错误!＝1.。