充分条件和必要条件教案

充分条件和必要条件
【教学目标】
知识与技能：通过这节课的教学，要求学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在论证中正确地运用.
过程与方法：充要条件是重要的数学概念．它主要讨论命题的条件和结论的关系．通过对充分条件、必要条件和充要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．
情感态度与价值观：通过问题情境的引入渗透爱国主义教育。

通过主动探究、合作学习、相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

【教学重点】充分条件、必要条件和充要条件的概念．
【教学难点】充分条件、必要条件和充要条件三个概念在论证中的正确运用.
【教学方法】自主、合作、探究
【教学过程】
创设情境激发求知
（多媒体展示）
情境一
当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”. 你想一想这个时候你的妈妈还会补充说你是她的孩子吗？
情境二
播放音乐《没有共产党就没有新中国》，让学生说出其歌名.
学生活动探究新知
判断下列命题是真命题还是假命题
（1）若，则；（2）若，则；
（3）两个全等三角形的面积相等；（4）对角线互相垂直的四边形是菱形.
（上述三个问题的设计意图为：①复习巩固上节课知识；②顺其自然，引入本节课的内容。

）
生：（1）、（3）是真命题，（2）、（4）是假命题．
（对于命题“若则”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假呢？看能不能推出，如果能推出，则原命题是真命题，否则就是假命题．对于命题“若则”，如果由经过推理能推出，也就是说，如果成立，那么一定成立．换句话说，只要有条件就能充分地保证结论的成立，这时我们称条件是成立的充分条件，记作．）
模型构建数学理论
1.充分条件与必要条件定义（板书）
p ，那么就说，p 是q 的充分条件(sufficient 一般地，如果已知q
condition)，q 是p 的必要条件(necessary condition)．
师：请用充分条件与必要来叙述上述（1）的条件与结论之间的关系．（学生口答）
生：“”是“”成立的充分不必要条件，“”是“”成立的必要不充分条件.
运用理论解决问题
例1 ．指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：
(1) p：x=y；q：x2=y2.
（2）p ：三角形ABC 的三条边相等；q ：三角形ABC 的三个角相等．
解: (1) x=y 是x 2=y 2的充分不必要条件， x 2=y 2是x=y 的必要不充分条件.(2) p 是q 的充分条件且是必要条件，q 是p 的充分条件且是必要条件.
(设计意图:①对所学理论直接应用;②引入充要条件的概念.) 模型构建 数学理论 2．充要条件定义（板书） 一般地，如果 是 的充分条件，
又是 的必要条件，则
称
是 的充分必要条件，简称充要条件( sufficient and necessary
condition)记作
.
师：请大家总结出判断充分、必要条件的一个算法. 模型构建 数学理论
3．用算法表示判断充分、必要条件的基本步骤(板书) Step1:认清条件和结论；
Step2:考察q p ⇒和p q ⇒的真假； Step3:下结论. 运用理论 解决问题
例2.用“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充分也不必要”填写下表
B A是B的什么条件 B是的什么条件是有理数是实数
、是奇数是偶数
是4的倍数是6的倍数
①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；
②一定能推出，而不一定推出，所以
是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；
③、是奇数，那么一定是偶数；是偶数，、
不一定都是奇数（可能都为偶数），所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；
④表示或，所以是成立的必要非充分条件；
⑤由交集的定义可知且是成立的充要条件；
⑥由知且，所以是的充分非必要条件；
⑦由知或，所以
是，成立的必要非充分条件；
⑧易知“是4的倍数”是“是6的倍数”的既非充分又非必要条件；
(设计意图：通过对上述几个简单问题的交流、思辩，在争论中得到了正确答案，并加深了对充分条件、必要条件的认识．)
例3.请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空：
(1) “|x-2|<3”是“0<x<5”的＿＿＿＿＿＿条件；
(2)“x2≤0”是“x≥0”的条件;
（3）“m是4的倍数”是“m是6倍数” 的条件.
分析：(1)应首先对|x-2|<3进行化简,然后再进行判断,还可以从集合的角度加以理解;(必要不充分条件)
(2)可以直接判断,更好的方法是考察它的逆否命题;(充分不必要条件)
(3)很容易直接判断.(既不充分也不必要条件)
(设计意图：①对所学理论进一步应用;②通过解决本题让学生总结出判断充分、必要条件的一般方法和策略.)
模型构建数学理论
4. 判别充分、必要条件方法和策略(板书)
（1）先简化命题;
（2）集合法;
（3）可将命题转化为等价的逆否命题后再判断;
(4) 否定一个命题只要举出一个反例即可.
运用理论巩固练习
基础训练（感受、理解）
课本（苏教版选修1-1）第8页练习l、2.
（基础训练是所学知识的直接、简单应用，意在使学生理解充分条件、必要条件和充要条件的概念，由学生口答完成.）
能力训练（思考、运用）
1.用今天所学的知识解决刚开始提出的三个情境问题;
解析：①“这是我妈妈”和“我是妈妈的孩子”互为充要条件，所以不需要补充说了；
②共产党是新中国成立必须具备的条件；
2．直线,a b 和平面,αβ，//a b 的一个充分条件是（ ）
A.//,//a b αα
B.//,//,//a b αβαβ
C. ,,//a b αβαβ⊥⊥
D. ,,a b αβαβ⊥⊥⊥ 3．在ABC ∆中，:p A B >，:sin sin q A B >，B A m cos cos :<，
B A n tan tan :>
问:p 是q 的什么条件？p 是m 的什么条件？p 是n 的什么条件？ 分析：第2题是立体几何中常见的题目的变形问法，是对立体几何中有关定理和性质的变相考查，稍加分析可知，本题应选C.第3题是对正弦定理、三角函数的单调性的考查.当然本题的第3个问也可以用
举反例的方法加以判别.这两道题与前面所学的知识有效地进行了联系和沟通.）（师生互动，共同完成）
解：1、C ；2、p 是q 的充要条件，p 是m 的充要条件，p 是n 的既不充分也不必要条件.
（能力训练是知识的变形应用和逆向思维训练，深化概念，发展思维，使学生能比较深刻地理解充分条件、必要条件和充要条件的本质.）
创新提高（探究、拓展）
1．是否存在实数m ，使得20x m +<是2
230x x -->的充分条件？ 2．是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的必要条件？ （1）是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的充分条件？
（2）是否存在实数m ，使得20x m +<是2
230x x -->的必要条件？
解：欲使得20x m +<是2
230x x -->的充分条件，则只要
{|}{|12m x x x x <-⊆<-或3}x >，则只要12
m
-≤-即2m ≥，故存
在实数2m ≥时，使20x m +<是2
230x x -->的充分条件．
（2）欲使20x m +<是2
230x x -->的必要条件，则只要
{|}{|12m
x x x x <-⊇<-或3}x >，则这是不可能的，故不存在实数
m 时，使20x m +<是2230x x -->的必要条件．
（创新提高题有一定的难度，供部分有余力的学生做，作为选做题） 提炼小结 反思提高（教师启发学生完成，必要时给予补充）
（1）充分条件、必要条件、充要条件的概念. （2）判断充分、必要条件的一个算法： ①认清条件和结论；
②考察q p ⇒和p q ⇒的真假； ③下结论.
（3）判别方法和策略： ① 先简化命题； ② 集合法；
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断; ④否定一个命题只要举出一个反例即可. 布置作业
合情推理
【教学目标】
掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。

感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

【教学重点】归纳推理及方法的总结。

【教学难点】归纳推理的含义及其具体应用。

【教学方法】自主、合作、探究
【教学过程】
一.问题情境
(1)原理初探
①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”
②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？
③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？
从而引入两则小典故：（图片展示-阿基米德的灵感）
A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？
B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？
正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。

④思考：整个过程对你有什么启发？
⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

(2)皇冠明珠
追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠—“歌德巴赫猜想”。

思考：其他偶数是否也有类似的规律？
③讨论：组织学生进行交流、探讨。

④检验：2和4可以吗？为什么不行？
⑤归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。

3.数学建构
●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 注:归纳推理的特点;
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

●归纳推理的一般步骤：（由学生完成）
4.师生活动
例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.
结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

例2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……
结论：凸n 边形的内角和是（n —2）×1800。

例3
,333232,232232,131232++<++<++< 探究：上述结论都成立吗？
强调：归纳推理的结果不一定成立！ —— “ 一切皆有可能！”
5.提高巩固
{}数列的通项公式。

试归纳出这个且的第一项：已知数列
例,......),2,1(1,1411=+==+n a a a a a n
n n n
①探索：先让学生独立进行思考。

②活动：“千里走单骑” — 鼓励学生说出自己的解题思路。

③活动：“圆桌会议” — 鼓励其他同学给予评价，对在哪里？错在哪里？还有没有更好的方法？
【设计意图】：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做
(,,)a b m <b b+m 由此我们猜想：均为正实数。

a a+m
的能力。

【一点心得】：在“千里走单骑”和“圆桌会议”的探究活动中，教师一定要以“鼓励和表扬”为主，面带微笑，消除学生的恐惧感，提高学生的自信心．
⑵能力培养（例2拓展）
?,2
1,32,1,2:44321=====n a a a a a 求拓展例 ①思考：怎么求n a ？组织学生进行探究，寻找规律。

②归纳：由学生讨论，归纳技巧，得到技巧②和③。

技巧②:有整数和分数时,往往将整数化为分数.
技巧③:当分子分母都在变化时,往往统一分子 (或分母),再寻找另一部分的变化规律.
6.课堂小结
(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。

通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

(2)归纳推理的一般步骤：
通过观察个别情况发现某些相同的性质从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）
证明
7.布置作业
类比推理
【教学目标】
通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。

类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

【教学重点】了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理
【教学难点】用类比进行推理，做出猜想。

【教学方法】自主、合作、探究
【教学过程】
一．问题情境
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事
却使他发明了锯子.
他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.
我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？
二．数学活动
我们再看几个类似的推理实例。

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质：猜想不等式的性质：
(1) a=b⇒a+c=b+c; (1) a＞b⇒a+c＞b+c;
(2) a=b⇒ ac=bc; (2) a＞b⇒ ac＞bc;
(3) a=b⇒a2=b2;等等。

(3) a＞b⇒a2＞b2;等等。

问：这样猜想出的结论是否一定正确？
例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积
☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的一般步骤：
⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜
想；
⑶ 检验猜想。

即
例3.在平面上,设h a ,h b ,h c 是三角形ABC 三条边上的高.P 为三角形内任
一点,P 到相应三边的距离分别为p a ,p b ,p c ,我们可以得到结论:
试通过类比,写出在空间中的类似结论.
巩固提高
1．(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去
②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下
加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题
的一个特例,推广的命题为-----------------------------
2．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜
想．
猜想新结论
1=++c
c b b a a h p h p h p
直角三角形
3个面两两垂直的四面体 ∠C ＝90°
3个边的长度a ，b ，c 2条直角边a ，b 和1条斜边c ∠PDF ＝∠PDE ＝∠EDF ＝90° 4个面的面积S 1，S 2，S 3和S
3个“直角面” S 1，S 2，S 3和1个“斜面”
S
3．（2004北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的
后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫
做该数列的公和。

已知数列{}a n 是等和数列，且a 12 ，公和为5，那么a 18的值为
___________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________________
课堂小结
1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。

类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

2．类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或者一致性。

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）
演绎推理
【教学目标】
1. 了解演绎推理的含义。

2. 能正确地运用演绎推理进行简单的推理。

3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

【教学重点】正确地运用演绎推理进行简单的推理【教学难点】了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

【教学方法】自主、合作、探究
【教学过程】
一．复习:合情推理
归纳推理从特殊到一般
类比推理从特殊到特殊
从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。

类比――提出猜想
二．问题情境。

观察与思考
1所有的金属都能导电
铜是金属,
所以，铜能够导电
2.一切奇数都不能被2整除,
(2100+1)是奇数，
所以，(2100+1)不能被2整除.
3.三角函数都是周期函数,
tan 是三角函数,
所以，tan α是周期函数。

提出问题：像这样的推理是合情推理吗？
二．学生活动：
1.所有的金属都能导电←————大前提
铜是金属, ←-----小前提
所以，铜能够导电←――结论
2.一切奇数都不能被2整除←————大前提
(2100+1)是奇数，←――小前提
所以，(2100+1)不能被2整除. ←―――结论
3.三角函数都是周期函数, ←——大前提
tan α是三角函数, ←――小前提
所以，tan α是周期函数。

←――结论
三，建构数学
演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
１．演绎推理是由一般到特殊的推理；
２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括
⑴大前提---已知的一般原理；
⑵小前提---所研究的特殊情况；
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
三段论的基本格式
M—P（M是P）（大前提）
S—M（S是M）（小前提）
S—P（S是P）（结论）
3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:
若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元
素也都具有性质P.
四，数学运用
+
=x
x
y
12+
恢复成完全三段论。

例1
的图象是一条抛物线”
、把“函数
解：二次函数的图象是一条抛物线（大前提）
（小前提）是二次函数函数12++=x x y 例2.已知lg2=m,计算lg0.8
解 （1） lgan=nlga(a>0)---------大前提
lg8=lg23————小前提
lg8=3lg2————结论
lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)——大前提
lg0.8=lg(8/10)——－小前提
lg0.8=lg(8/10)——结论
例3.如图;在锐角三角形ABC 中,AD ⊥BC, BE ⊥AC,
D,E 是垂足,求证AB 的中点M 到D,E 的距离相等
解： (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,——大前提 在△ABC 中,AD ⊥BC,即∠ADB=90°——-小前提
所以△ABD 是直角三角形——结论
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提 因为 DM 是直角三角形斜边上的中线,——小前提
结论）的图象是一条抛物线（所以，函数12++=x x y
所以 DM= 2
1 AB ——结论 同理 EM= AB
所以 DM=EM.
练习：第35页 练习第 1，2，3，4，题
五 回顾小结：
演绎推理具有如下特点:课本第33页 。

演绎推理错误的主要原因是
1．大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的条件。

六 布置作业：
【教学目标】
【教学重点】
【教学难点】
【教学方法】自主、合作、探究【教学过程】
【教学目标】
【教学重点】
【教学难点】
【教学方法】自主、合作、探究【教学过程】
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教学设计说明
1. 本节课通过问题情境,不仅引入本节课的内容,而且渗透了对学生的爱国主义教育,让数学的课堂不仅仅注重知识的传授,还关注学生德育的提高.
2．本节内容多、容量大，采用多媒体教学，有效地利用时间，提高了效率.
3. 本节课采用以典型例题、习题引路，归纳总结，明确要点的方式。

教学上采用提问、设问等方式，尽量多给学生创设一个思维空间，适时地引导分析、点拨，达到本课的教学目标.
4.本节课在强化基础知识、基本运算的基础上，注重各部分知识的联系与沟通；注重知识应用；注重数学思想方法的渗透和对学生思维能力的培养.。