岚县第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

岚县第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设=（1，2），=（1，1），=+k ，若，则实数k 的值等于（
）
A ．﹣
B ．﹣
C ．
D ．
2． 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；
丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（ ）
A ．2日和5日
B ．5日和6日
C ．6日和11日
D ．2日和11日
3． 已知f （x ）=x 3﹣3x+m ，在区间[0，2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＞2
B ．m ＞4
C ．m ＞6
D ．m ＞8
4． 下列四个命题中的真命题是（
）A ．经过定点的直线都可以用方程表示
()000,P x y ()00y y k x x -=-B ．经过任意两个不同点、的直线都可以用方程()111,P x y ()222,P x y ()()()()121121y y x x x x y y --=--表示
C ．不经过原点的直线都可以用方程
表示1x y
a b
+=D ．经过定点的直线都可以用方程表示
()0,A b y kx b =+5． 满足下列条件的函数中，为偶函数的是（ ）
)(x f )(x f A.
B.
C. D.()||x
f e x =2()x x
f e e =2
(ln )ln f x x =1(ln )f x x x
=+
【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力.6． 有下列说法：
①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．②相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越小，说明模型的拟合效果越好．
③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中正确命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7． 设m 是实数，若函数f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x ）的性质叙述正确的是（ ）
A ．只有减区间没有增区间
B ．是f （x ）的增区间
C ．m=±1
D ．最小值为﹣3
8． 已知函数，其中，为自然对数的底数．当时，
函数()e sin x
f x x =x ∈R e 2.71828= [0,]2
x π
∈()y f x =的图象不在直线的下方，则实数的取值范围（
）
y kx =k A ． B ． C ． D ．(,1)-∞(,1]-∞2
(,e )π
-∞2
(,e ]
π
-∞【命题意图】本题考查函数图象与性质、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，以及构造思想、分类讨论思想的应用．9． 已知点A （1，1），B （3，3），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）
A ．y=﹣x+4
B ．y=x
C ．y=x+4
D ．y=﹣x
10．如图F 1、F 2是椭圆C 1： +y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共
点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（
）
A. B. C. D. 4π5π2π+【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算能力．
12．已知等差数列{a n }中，a n =4n ﹣3，则首项a 1和公差d 的值分别为（ ）
A ．1，3
B ．﹣3，4
C ．1，4
D ．1，2
二、填空题
13．已知过双曲线的右焦点的直线交双曲线于两点，连结，若
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>2F ,A B 11,AF BF ，且，则双曲线的离心率为（ ）
1||||AB BF =190ABF ∠=︒
A ．
B
C ．
D 5-6-
【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．14．设满足条件，若有最小值，则的取值范围为
．
,x y ,
1,
x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩z ax y =-a 15．设f （x ）是（x 2+）6展开式的中间项，若f （x ）≤mx 在区间[
，
]上恒成立，则实数m 的取值范
围是 ．　
16．幂函数在区间上是增函数，则
．
1
22
2)33)(+-+-=
m m x m m x f （()+∞,0=m 17．设A={x|x ≤1或x ≥3}，B={x|a ≤x ≤a+1}，A ∩B=B ，则a 的取值范围是 ．
18．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的X 的值为2，则输出的结果是 ．
三、解答题
19．如图，已知几何体的底面ABCD 为正方形，AC∩BD=N，PD⊥平面ABCD，
PD=AD=2EC，EC∥PD．
（Ⅰ）求异面直线BD与AE所成角：
（Ⅱ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅲ）判断平面PAD与平面PAE是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由．
20．某单位组织职工开展构建绿色家园活动，在今年3月份参加义务植树活动的职工中，随机抽取M名职工为样本，得到这些职工植树的株数，根据此数据作出了频数与频率统计表和频率分布直方图如图：
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）单位决定对参加植树的职工进行表彰，对植树株数在[25，30）区间的职工发放价值800元的奖品，对植树株数在[20，25）区间的职工发放价值600元的奖品，对植树株数在[15，20）区间的职工发放价值400元的奖品，对植树株数在[10，15）区间的职工发放价值200元的奖品，在所取样本中，任意取出2人，并设X为此二人所获得奖品价值之差的绝对值，求X的分布列与数学期望E（X）．
分组频数频率
[10，15）50.25
[15，20）12n
[20，25）m p
[25，30）10.05
合计
M 1
21．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；
（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？　
22． 定圆动圆过点且与圆相切,记圆心的轨迹为22
:(16,M x y +=N 0)F M N .E （Ⅰ）求轨迹的方程；
E （Ⅱ）设点在上运动，与关于原点对称，且,当的面积最小时，求直线,,A B C E A B AC BC =ABC ∆AB 的方程.
23．（1）已知f（x）的定义域为[﹣2，1]，求函数f（3x﹣1）的定义域；（2）已知f（2x+5）的定义域为[﹣1，4]，求函数f（x）的定义域．
24．已知函数f（x）=x2﹣ax+（a﹣1）lnx（a＞1）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a=2，数列{a n}满足a n+1=f（a n）．
（1）若首项a1=10，证明数列{a n}为递增数列；
（2）若首项为正整数，且数列{a n}为递增数列，求首项a1的最小值．　
岚县第四中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：∵=（1，2），=（1，1），
∴=+k=（1+k，2+k）
∵，∴=0，
∴1+k+2+k=0，解得k=﹣
故选：A
【点评】本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题．
2．【答案】C
【解析】解：由题意，1至12的和为78，
因为三人各自值班的日期之和相等，
所以三人各自值班的日期之和为26，
根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，
据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，
故选：C．
【点评】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
3．【答案】C
【解析】解：由f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去）
∵函数的定义域为[0，2]
∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0，
∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，
则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m
由题意知，f（1）=m﹣2＞0 ①；
f（1）+f（1）＞f（2），即﹣4+2m＞2+m②
由①②得到m＞6为所求．
故选C
【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值
4．【答案】B
【解析】
考点：直线方程的形式.
【方法点晴】本题主要考查了直线方程的表示形式，对于直线的点斜式方程只能表示斜率存在的直线；直线的斜截式方程只能表示斜率存在的直线；直线的饿两点式方程不能表示和坐标轴平行的直线；直线的截距式方程不能表示与坐标轴平行和过原点的直线，此类问题的解答中熟记各种直线方程的局限性是解答的关键.111] 5．【答案】D.
【解析】
6．【答案】C
【解析】解：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，正确．
②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好，因此②不正确．
③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确．
综上可知：其中正确命题的是①③．
故选：C．
【点评】本题考查了“残差”的意义、相关指数的意义，考查了理解能力和推理能力，属于中档题．
7．【答案】B
【解析】解：若f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，
则f （0）=|m|﹣1=0，则m=1或m=﹣1，
当m=1时，f （x ）=|x ﹣1|﹣|x ﹣1|=0，此时为偶函数，不满足条件，当m=﹣1时，f （x ）=|x+1|﹣|x ﹣1|，此时为奇函数，满足条件，作出函数f （x ）的图象如图：则函数在上为增函数，最小值为﹣2，故正确的是B ，故选：B
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，根据条件求出m 的值是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解．　
8． 【答案】B
【解析】由题意设，且在时恒成立，而
()()e sin x
g x f x kx x kx =-=-()0g x ≥[0,]2
x π∈．令，则，所以在上递
'()e (sin cos )x g x x x k =+-()e (sin cos )x h x x x =+'()2e cos 0x h x x =≥()h x [0,]2
π
增，所以．当时，，在上递增，，符合题意；当
21()h x e π
≤≤1k ≤'()0g x ≥()g x [0,
]2
π
()(0)0g x g ≥=时，，在上递减，，与题意不合；当时，为一
2
e k π≥'()0g x ≤()g x [0,]2
π
()(0)0g x g ≤=21e k π
<<()g x '个递增函数，而，，由零点存在性定理，必存在一个零点，使得
'(0)10g k =-<2'(e 02
g k π
π
=->0x ，当时，，从而在上单调递减，从而，与题
0'()0g x =0[0,)x x ∈'()0g x ≤()g x 0[0,)x x ∈()(0)0g x g ≤=意不合，综上所述：的取值范围为，故选B ．
k (,1]-∞
9． 【答案】A
【解析】解：∵点A （1，1），B （3，3），
∴AB的中点C（2，2），
k AB==1，
∴线段AB的垂直平分线的斜率k=﹣1，
∴线段AB的垂直平分线的方程为：
y﹣2=﹣（x﹣2），整理，得：y=﹣x+4．
故选：A．
10．【答案】D
【解析】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，
∴2a=4，b=1，c=；
∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①
又四边形AF1BF2为矩形，
∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②
由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，
则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，
∴双曲线C2的离心率e===．
故选D．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．　
11．【答案】B
12．【答案】C
【解析】解：∵等差数列{a n}中，a n=4n﹣3，
∴a1=4×1﹣3=1，a2=4×2﹣3=5．
∴公差d=a2﹣a1=5﹣1=4．
∴首项a1和公差d的值分别为1，4．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其首项a 1和公差d 的求法，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】B
【解析
】
14．【答案】[1,)
+∞【解析】解析：不等式表示的平面区域如图所示，由得，当,1,
x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩z ax y =-y ax z =-01a ≤<时，平移直线可知，既没有最大值，也没有最小值；当时，平移直线可知，在点A 处取得最小1l z 1a ≥2l z 值；当时，平移直线可知，既没有最大值，也没有最小值；当时，平移直线可知，
10a -<<3l z 1a ≤-4l 在点A 处取得最大值，综上所述，．
1a ≥15．【答案】　[5，+∞
）　．　
【解析】二项式定理．
【专题】概率与统计；二项式定理．
【分析】由题意可得 f （x ）=x 3，再由条件可得m ≥x 2 在区间[
，]上恒成立，求得x 2在区间[，
]上的最大值，可得m 的范围．
【解答】解：由题意可得 f （x ）=
x 6=x 3．由f （x ）≤mx 在区间[，]上恒成立，可得m ≥x 2 在区间[，]上恒成立，由于x 2在区间[，]上的最大值为 5，故m ≥5，
即m 的范围为[5，+∞），
故答案为：[5，+∞）．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，函数的恒成立问题，属于中档题．
16．【答案】【解析】
【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点：（1）若幂函数是偶函数，则必为偶数．当是分数时，一般将其先化为根式，再判断；（2）若幂函
()y x R αα=∈αα数在上单调递增，则，若在上单调递减，则；（3）在比较幂值()y x R αα=∈()0,+∞α0>()0,+∞0α<的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 1
17．【答案】　a ≤0或a ≥3　．
【解析】解：∵A={x|x ≤1或x ≥3}，B={x|a ≤x ≤a+1}，且A ∩B=B ，
∴B ⊆A ，
则有a+1≤1或a ≥3，
解得：a ≤0或a ≥3，
故答案为：a ≤0或a ≥3．
18．【答案】　﹣3　．
【解析】解：分析如图执行框图，
可知：该程序的作用是计算分段函数f （x ）=
的函数值．
当x=2时，f （x ）=1﹣2×2=﹣3
故答案为：﹣3
【点评】本题主要考查了选择结构、流程图等基础知识，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）PD⊥平面ABCD，EC∥PD，
∴EC⊥平面ABCD，
又BD⊂平面ABCD，
∴EC⊥BD，
∵底面ABCD为正方形，AC∩BD=N，
∴AC⊥BD，
又∵AC∩EC=C，AC，EC⊂平面AEC，
∴BD⊥平面AEC，
∴BD⊥AE，
∴异面直线BD与AE所成角的为90°．
（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，
∴BC∥AD，
∵BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
∵EC∥PD，EC⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴EC∥平面PAD，
∵EC∩BC=C，EC⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，∴
∴平面BCE∥平面PAD，
∵BE⊂平面BCE，
∴BE∥平面PAD．
（Ⅲ）假设平面PAD与平面PAE垂直，作PA中点F，连结DF，
∵PD⊥平面ABCD，AD CD⊂平面ABCD，
∴PD⊥CD，PD⊥AD，
∵PD=AD，F是PA的中点，
∴DF⊥PA，
∴∠PDF=45°，
∵平面PAD⊥平面PAE，平面PAD∩平面PAE=PA，DF⊂平面PAD，
∴DF⊥平面PAE，
∴DF⊥PE，
∵PD⊥CD，且正方形ABCD中，AD⊥CD，PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD．
又DF⊂平面PAD，
∴DF⊥CD，
∵PD=2EC，EC∥PD，
∴PE与CD相交，
∴DF⊥平面PDCE，
∴DF⊥PD，
这与∠PDF=45°矛盾，
∴假设不成立即平面PAD与平面PAE不垂直．
【点评】本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用．考查了学生推理能力和空间思维能力．　
20．【答案】
【解析】解：（1）由题可知，，，
又5+12+m+1=M，解得M=20，n=0.6，m=2，p=0.1，
则[15，20）组的频率与组距之比a为0.12．…
（2）所取出两所获品价值之差的绝对值可能为0元、200元、400元、600元，则
，
P（x=200）=，
P（x=400）=，
P（x=600）=…
所以X的分布列为：
X020*******
P
EX==…
【点评】本题考查的是频率分布直方图和离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题，高考常考题型．　
21．【答案】
【解析】解：（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C 103=120，
奖金的可能取值是0，30，60，240，
∴一等奖的概率P （ξ=240）=
，P （ξ=60）=
P （ξ=30）=
，P （ξ=0）=1﹣
∴变量的分布列是ξξ
03060240
P
∴E ξ=
=20（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率是1﹣
四次抽奖是相互独立的
∴中奖次数η～B （4，
）
∴D η=4×
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查二项分布的方差公式，解本题的关键是看清题目中所给的变量的特点，看出符合的规律，选择应用的公式．
　22．【答案】
【解析】（Ⅰ）在圆内，圆内切于圆F 22:(16M x y +=∴N .M
23．【答案】
【解析】解：（1）∵函数y=f（x）的定义域为[﹣2，1]，
由﹣2≤3x﹣1≤1得：x∈[﹣，]，
故函数y=f（3x﹣1）的定义域为[﹣，]；’
（2）∵函数f（2x+5）的定义域为[﹣1，4]，
∴x∈[﹣1，4]，
∴2x+5∈[3，13]，
故函数f（x）的定义域为：[3，13]．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵，
∴（x＞0），
当a=2时，则在（0，+∞）上恒成立，
当1＜a＜2时，若x∈（a﹣1，1），则f′（x）＜0，若x∈（0，a﹣1）或x∈（1，+∞），则f′（x）＞0，当a＞2时，若x∈（1，a﹣1），则f′（x）＜0，若x∈（0，1）或x∈（a﹣1，+∞），则f′（x）＞0，
综上所述：当1＜a＜2时，函数f（x）在区间（a﹣1，1）上单调递减，
在区间（0，a﹣1）和（1，+∞）上单调递增；
当a=2时，函数（0，+∞）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞2时，函数f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（0，1）和（a﹣1，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）若a=2，则，由（Ⅰ）知函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
（1）因为a1=10，所以a2=f（a1）=f（10）=30+ln10，可知a2＞a1＞0，
假设0＜a k＜a k+1（k≥1），因为函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
∴f（a k+1）＞f（a k），即得a k+2＞a k+1＞0，
由数学归纳法原理知，a n+1＞a n对于一切正整数n都成立，
∴数列{a n}为递增数列．
（2）由（1）知：当且仅当0＜a1＜a2，数列{a n}为递增数列，
∴f（a1）＞a1，即（a1为正整数），
设（x≥1），则，
∴函数g（x）在区间上递增，
由于，g（6）=ln6＞0，又a1为正整数，
∴首项a1的最小值为6．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，同时考查函数的零点存在定理和数学归纳法的运用，考查运算能力，属于中档题．
选做题：本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分7分．如果多做，则按所做的前两题计分．【选修4-2：矩阵与变换】。