初二数学 全全等三角形截长补短(讲义及答案)及答案

初二数学全全等三角形截长补短(讲义及答案)及答案
一、全等三角形截长补短
1．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，请探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系是什么？
小明探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．先证明
△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由条件可得∠EAF＝∠GAF，证明△AEF≌△AGF，进而可得线段BE，EF，FD之间的数量关系是．
（2）拓展应用：
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠BAD．问（1）中的线段BE，EF，FD之间的数量关系是否还成立？若成立，∠EAF＝1
2
请给出证明；若不成立，请说明理由．
2．已知：线段AB及过点A的直线l，如果线段AC与线段AB关于直线l对称，连接BC交直线l于点D，以AC为边作等边△ACE，使得点E在AC的下方，作射线BE交直线l于点F，连接CF．
（1）根据题意将图1补全；
（2）如图1，如果∠BAD＝α（30°＜α＜60°）．
①∠BAE=_______，∠ABE=_______（用含有α代数式表示）；
②用等式表示线段FA，FE与FC的数量关系，并证明．
（3）如图2，如果60°＜α＜90°，直接写出线段FA，FE与FC的数量关系，不证明．3．问题提出，如图1所示，等边△ABC内接于⊙O，点P是AB上的任意一点，连结PA，
PB ，PC ．线段PA 、PB 、PC 满足怎样的数量关系?
（尝试解决）为了解决这个问题，小明给出这样种解题思路：发现存在条件CA=CB ，∠ACB=60°，从而将CP 绕点逆时针旋转60°交PB 延长线于点M ，从而证明
△PAC ≌△MBC ，请你完成余下思考，并直接写出答案：PA 、PB 、PC 的数量关系是 ； （自主探索）如图2所示，把原问题中的“等边△ABC”改成“正方形ABCD”，其余条件不变，
①PC 与PA ，PB 有怎样的数量关系?请说明理由：
②PC+PD 与PA ，PB 的数量关系是 ．（直接写出结果）
（灵活应用）把原问题中的“等边△ABC”改成“正五边形ABCDE”，其余条件不变，则PC+PD+PE 与PA+PB 的数量关系是 ．（直接写出结果）
4．在四边形ABDE 中，C 是BD 边的中点．
（1）如图（1），若AC 平分BAE ∠，90ACE ∠=︒，则线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）
（2）如图（2），AC 平分BAE ∠，EC 平分AED ∠，若120ACE ∠=︒，则线段AB 、BD 、DE 、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
5．如图所示，//AB DC AB AD BE ⊥，，平分ABC CE ∠，平分BCD ∠；
（1）求AB CD 、与BC 的数里关系，并说明你的理由．
（2）若把AB AD ⊥条件去掉，则（1）中AB CD 、与BC 的数里关系还成立吗?并说明你
的理由．
6．在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点E 在直线BC 上(,B C 除外)，分别经过点E 和点B 作AE 和AB 的垂线，两条垂线交于点F ，研究AE 和EF 的数量关系． （1）某数学兴趣小组在探究,AE EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E 是BC 的中点时，只需要取AC 边的中点G (如图1)，通过推理证明就可以得到AE 和EF 的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE 和EF 的数量关系；
（2）那么当点E 是直线BC 上(,B C 除外)(其它条件不变)，上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E 在线段BC 上”，“点E 在线段BC 的延长线”，“点E 在线段BC 的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；
（3）当点E 在线段CB 的延长线上时，若BE nBC =(01n <<)，请直接写出
:ABC AEF S S △△的值．
7．如图，ABC 是边长为2的等边三角形，BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以点D 为顶点作60MDN ∠=︒，点M 、N 分别在AB 、AC 上．
（1）如图①，当//MN BC 时，则AMN 的周长为______；
（2）如图②，求证：BM NC MN +=．
8．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D =90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12
∠BAD ．求证：EF =BE +FD ．
9．在平行四边形ABCD 中，DE 平分ADC ∠交BC 于点E ，连接AE ．点O 是DE 的中点，连接CO 并延长交AD 于点F ，在CF 上取点G ，连接AG ．
（1）若4tan 3
B =，5AB =，6B
C =，求ABE △的周长． （2）若60B EAG ∠=∠=︒，求证：AF CG =．
10．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．
（1）求出AFC ∠的度数；
（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连
接FG ．）
（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．
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一、全等三角形截长补短
1．（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；证明见解析．
【分析】
（1）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题；
（2）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题．
【详解】
（1）EF ＝BE +DF ，
理由如下：
在△ABE 和△ADG 中，
90DG BE B ADG AB AD ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ADG （SAS ），
∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，
∵∠EAF ＝12
∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，
∴∠EAF ＝∠GAF ，
在△AEF 和△GAF 中，
AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AEF ≌△AGF （SAS ），
∴EF ＝FG ，
∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，
∴EF ＝BE +DF ；
故答案为：EF ＝BE +DF ．
（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；
理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，
∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°，
∴∠B ＝∠ADG ，
在△ABE 和△ADG 中，
DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ADG （SAS ），
∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，
∵∠EAF ＝12
∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，
∴∠EAF ＝∠GAF ，
在△AEF 和△GAF 中，
AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AEF ≌△AGF （SAS ），
∴EF ＝FG ，
∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，
∴EF ＝BE +DF ．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．（1）作图见解析；（2）①260α-︒，120α︒-；②F A=FC +FE ，证明见解析；（3）AF=FC-EF ．
【分析】
（1）先根据轴对称的性质作出线段AC ，再分别以A 、C 为圆心，AC 长为半径画弧，两弧交于点E ，可得等边△ACE ，最后根据题意画出图形即可；
（2）①根据轴对称的性质可得∠BAC=2∠BAD=2α，根据等边三角形的性质可知∠EAC=60°，根据角的和差关系即可表示出∠BAE ；根据轴对称的性质和等边三角形的性质
可得AB=AE ，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可表示出∠ABE ；
②在FA 上截取FG=EF ，连接EG ，利用三角形内角和定理可得∠AFB=60°，即可证明△EFG 是等边三角形，根据角的和差故选可得∠AEG=∠CEF ，利用SAS 可证明△AEG ≌△CEF ，即可得出AG=CF ，根据线段的和差关系即可得结论；
（3）由60°＜α＜90°可知点E 在直线l 右侧，根据题意画出图形，在FA 上截取FG=EF ，根据轴对称的性质可得AF ⊥BC ，BF=CF ，根据（2）中结论可得∠FBC=∠FCB=30°，利用三角形外角性质可得∠GFE=60°，可证明三角形EFG 是等边三角形，利用SAS 可证明△AEF ≌△CEG ，可得FA=CG ，根据线段的和差关系即可得答案．
【详解】
（1）补全图形如下：
（2）①260α-︒，120.α︒-
①∵AB 、AC 关于直线l 对称，
∴∠BAD=∠CAD ，AB=AC ，
∵△ACE 是等边三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC=EC ，
∵∠BAD=α，
∴∠BAC=BAD+∠CAD=2∠BAD=2α，
∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=2α-60°．
∵AB=AC ，AC=AE ，
∴AB=AE ，
∴∠ABE=12
（180°-∠BAE ）=120°-α． 故答案为：2α-60°，120°-α
②数量关系是FA =FC +FE ，证明如下：
在FA 上截取FG=EF ，连接EG ，
由①得，∠ABE=120°-α，∠BAD=α，
∴∠AFB=180°-∠ABE-∠BAD=60°，
∴△EFG 为等边三角形，
∴EG=FE=FG，∠GEF=60°，
∵△AEC是等边三角形，
∴∠AEC=60°，AE=CE，
∴∠AEC=∠GEF=60°，
∴∠AEC-∠GEC=∠GEF-∠GEC，即∠AEG=∠CEF，
在△AEG和△CEF中，
EG EF
AEG CEF AE CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△AEG≌△CEF，
∴AG=FC
∴FA=AG+FG=FC+FE，
（3）AF=FC-EF．
∵60°＜α＜90°，
∴如图所示，点E在直线l右侧，
在FA上截取FG=EF，连接EG，
∵AB、AC关于直线l对称，点F在直线l上，∴AF⊥BC，BF=CF，
∴∠ABC=∠ACB=90°-α，
由（2）可知∠ABE=120°-α，
∴∠FBC=∠FCB=120°-α-（90°-α）=30°，
∴∠EFG=∠FBC+∠FCB=60°，
∴△EFG是等边三角形，
∴∠FEG=60°，
∵∠AEC=60°，
∴∠AEF+∠AEG=∠CEG+∠AEG=60°，
∴∠AEF=∠CEG，
在△AEF和△CEG中，
EF EG
AEF CEG AE CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△AEF≌△CEG，∴AF=CG，
∴AF=FC-EF．
【点睛】
本题考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，根据轴对称的性质正确得出对应边并熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
3．【尝试解决】PA+PB=PC ；【自主探索】①2PC PA PB =+；理由见解析；②(21)()PC PD PA PB +=++；【灵活应用】
(52)()PC PD PE PA PB ++=++．
【分析】
尝试解决：利用旋转性质证明△PAC ≌△MBC ，得到PA=BM ，得到PM 等于PB 与PA 的和，再证明△PCM 是等边三角形，得到PM 等于PC ，即可得到结果；
自主探索：①在PC 上截取QC=PA ，证出△CBQ 全等于△ABP ，得到△PBQ 是等腰直角三角形，PQ 等于PB 的2倍，即可得到结果；
②同①方法，即可得到PD 与PA 和PB 的关系，即可求出PC+PD 与PA 和PB 的关系； 灵活应用：类比（自主探索）中的方法证明PC 与PA 和PB 的关系，再用同样的方法证明PE 与PA 和PB 的关系，构造△CDM 全等于△CBP ，得到PD 与PC 的关系，进一步得到PD 与PA 和PB 的关系，最终求出PD+PE+PC 的和即可得到与PA 和PB 的关系．
【详解】
尝试解决：PA+PB=PC ；
证明：因为∠ACP+∠PCB=60°，∠MCB+∠PCB=60°，
∴∠ACP=∠MCB ，
又∵CP=CM ，AC=MC ，
∴△ACP ≌△BCM ，
所以PA=BM ，∠CBM=∠CAP ，
∵四边形APBC 内接于圆O ，
∴∠CAP+∠CBP=180°，
∴∠CBM+∠CBP=180° ，
∴P 、B 、M 三点共线，
∴△PCM 是等边三角形，
∴PM=PC ，
∴PC=PM=PB+BM=PB+PA ；
自主探索：①PC 与PA 、PB 的数量关系为2PC PA PB =+；理由：
截取CQ=PA ，，如图，∵四边形ABCD 是正方形，
∴BC=AB ，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
∵PA=CQ ，∠BCQ=BAP ，BC=AB
∴△BCQ ≌△BAP ，
∴∠CBQ=∠ABP ，BQ=BP ，
∵∠CBQ+∠ABQ=90°，
∴90ABP ABQ ∠+∠=︒，
∴△PBQ 是等腰直角三角形，
∴PQ=2PB ， ∴2PC CQ PQ PA PB =+=+；
②(21)()PC PD PA PB +=++
证明：在PD 上截取DH=PB ，
∵DH=PB ，∠ADH=∠ABP ，AD=AB
∴△ADH ≌△ABP
∴∠DAH=∠BAP ，AH=AP ，
∵∠DAH+∠HAP=90°，
∴∠BAP+∠HAP=90°，
∴△HAP 是等腰直角三角形，
∴PH=2PA ，
∴PD=DH+PH=PB+2PA ，
∴(21)()PC PD PA PB +=++．
灵活应用：(52)()PC PD PE PA PB ++=++．
证明：在PC 上截取FC=PA ，
∵五边形ABCDE 是正五边形，
∴BC=AB=CD=DE=AE ，∠ABC=∠EAB=108°， ∵PA=CF ，AB=BC ，∠FCB=∠BAP ，
∴△BAP ≌△BCF ，
∴BF=PB ，∠CBF=∠ABP ，
∵∠CBF+∠FBA=108°，
∴∠ABP+∠FBA=108°，
∴△FBP 是顶角为108°的等腰三角形，
∴PF=12
+PB ，
∴PB+PA ，
同理可证PA+PB ， 延长PD 至点M 使DM=PB ，
∵∠MDC+∠CDP=180°，∠CDP+∠PBC=180°，
∴∠CDM=∠CBP
又∵CD=BC ，
∴△CDM ≌△CBP
∴CM=CP ，∠MCD=∠BCP ，
又∵∠PCB+∠PCD=108°，
∴∠MCD+∠PCD=108°，
∴△MCP 是顶角108°的等腰三角形，
∴PM=12
+PC ，
∴PD=PM-DM=
12PC-PB ， ∴PC+PD+PE
PB+PA ）
+PA=((22PA PB +=(()2PA PB + 【点睛】
本题考查旋转性质、圆的有关性质、圆内接四边形、正五边形有关性质、三角形全等的相关性质和判定，综合性强，难度较大是一道好题，属中考压轴题型．
4．（1）AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋
12BD ，证明见解析． 【分析】
（1）在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ，由三角形全等的判定可证得△ACB ≌△ACF ，根据全等三角形的性质可得BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ，根据三角形全等的判定证得△CEF ≌△CED ，得到EF ＝ED ，再由线段的和差可以得出结论；
（2）在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ，根据全等三角形的判定证得△ACB ≌△ACF 和△ECD ≌△ECG ，由全等三角形的性质证得CF ＝CG ，进而证得△CFG 是等边三角形，就有FG ＝CG ＝
12
BD ，从而可证得结论． 【详解】
解：（1）如图（1），在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ．
∵AC 平分∠BAE ，
∴∠BAC ＝∠FAC ．
在△ACB 和△ACF 中，
AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．
∴BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ．
∵C 是BD 边的中点，
∴BC ＝CD ．
∴CF ＝CD ．
∵∠ACE ＝90°，
∴∠ACB ＋∠DCE ＝90°，∠ACF ＋∠ECF ＝90°．
∴∠ECF ＝∠ECD ．
在△CEF 和△CED 中，
CF CD ECF ECD CE CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△CEF ≌△CED （SAS ）．
∴EF ＝ED ．
∵AE ＝AF ＋EF ，
∴AE ＝AB ＋DE ．
故答案为：AE ＝AB ＋DE ；
（2）AE ＝AB ＋DE ＋12
BD ． 证明：如图（2），在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ．
∵C 是BD 边的中点，
∴CB ＝CD ＝12
BD ． ∵AC 平分∠BAE ，
∴∠BAC ＝∠FAC ．
在△ACB 和△ACF 中，
AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．
∴CF ＝CB ，∠BCA ＝∠FCA ．
同理可证：△ECD ≌△ECG
∴CD ＝CG ，∠DCE ＝∠GCE ．
∵CB ＝CD ，
∴CG ＝CF ．
∵∠ACE ＝120°，
∴∠BCA ＋∠DCE ＝180°−120°＝60°．
∴∠FCA ＋∠GCE ＝60°．
∴∠FCG ＝60°．
∴△FGC 是等边三角形．
∴FG ＝FC ＝12
BD ． ∵AE ＝AF ＋EG ＋FG ， ∴AE ＝AB ＋DE ＋
12BD ． 【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．
5．（1）AB CD BC +=，见解析；（2）成立，见解析
【分析】
（1）先写出数量关系，过E 作EF BC ⊥于F ，然后证明CDE CFE ∆≅∆和ABE FBE ≅∆∆，便可得结论了．
（2）成立, 在BC 上截取CF CD =证明CDE CFE ∆≅∆和ABE FBE ≅∆∆，便可得到结论．
【详解】
()1AB CD BC +=
理由是：过E 作EF BC ⊥于F
CE 为角平分线
DCE FCE ∴∠=∠
//AB DC AB AD ⊥，
90D ∴∠=
EF BC ⊥
D CF
E ∴∠=∠
CE CE =
()CDE CFE AAS ∆≅∆
CD CF ∴=
同理可证()ABE FBE AAS ∆≅∆
AB BF ∴=
CF BF AB +=
AB CD BC ∴+=
()2成立
理由：在BC 上截取CF CD =
CE 为角平分线
DCE FCE ∴∠=∠
CE CE =
()CDE CFE SAS ∆≅∆
CD CF ∴= D CFE ∠=∠
//AB DC
180D A ∴∠+∠=
又180CFE EFB ∠+=
A EF
B ∴∠=∠
又BE 是角平分线
ABE FBE ∴∠=∠
BE BE =
()BAE BFE AAS ∆≅∆
AB FB ∴=
∴ CF BF AB +=
AB CD BC ∴+=
6．（1）AE EF =；（2）仍然成立．证明见解析；（3）
()2:1:22ABC AEF S S n n =++△△．
【分析】
（1）连接GE ，根据等腰直角三角形的性质可得45CGE CEG ∠=∠=︒，
45CBA CAB ∠=∠=︒，然后利用ASA 即可证出AGE EBF △≌△，从而得出结论； （2）在AC 上截取CG CE =，连接GE ，根据等腰直角三角形的性质可得
45CGE CEG ∠=∠=︒，45CBA CAB ∠=∠=︒，然后利用ASA 即可证出
AGE EBF △≌△，从而得出结论；
（3）在AC 的延长线上截取CG CE =，连接GE ，AF ，利用ASA 证出
AGE EBF △≌△，可得AEF 为等腰直角三角形，设CA=CB=a ，则BE nBC na ==，利用勾股定理求出AE ，根据三角形的面积公式即可求出结论．
【详解】
解：（1）AE EF =，
连接GE
∵AC BC =，点E 是BC 的中点，点G 为AC 的中点
∴AG=CG=CE=EB ，
因为90ACB ∠=︒，
所以45CGE CEG ∠=∠=︒，45CBA CAB ∠=∠=︒．
所以135AGE EBF ∠=∠=︒．
因为AE EF ⊥，AB BF ⊥，
所以90AEF ABF ACB ∠=∠=∠=︒，
所以FEB AEF AEB EAC ACB ∠+∠=∠=∠+∠．
所以FEB EAC ∠=∠．
在AGE 与EBF △中，
,,
,AGE EBF AG BE GAE FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
所以()ASA AGE EBF △≌
△． 所以AE EF =
（2）仍然成立．
在AC 上截取CG CE =，连接GE ．
因为90ACB ∠=︒，
所以45CGE CEG ∠=∠=︒．
因为AE EF ⊥，AB BF ⊥，
所以90AEF ABF ACB ∠=∠=∠=︒，
所以FEB AEF AEB EAC ACB ∠+∠=∠=∠+∠．
所以FEB EAC ∠=∠．
因为CA CB =，
所以AG BE =，45CBA CAB ∠=∠=︒．
所以135AGE EBF ∠=∠=︒．
在AGE 与EBF △中，
,,
,AGE EBF AG BE GAE FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
所以()ASA AGE EBF △≌
△． 所以AE EF =．
（3）如下图所示，在AC 的延长线上截取CG CE =，连接GE ，AF
因为90ACB ∠=︒，
所以45CGE CEG ∠=∠=︒．
因为AE EF ⊥，AB BF ⊥，
所以90AEF ABF ACB ∠=∠=∠=︒，
所以FEB AEF AEB EAC ACB ∠-∠=∠=∠-∠．
所以FEB EAG ∠=∠．
因为CA CB =，
所以AG BE =，45CBA CAB ∠=∠=︒
∴∠EBF=180°－∠ABF －∠ABC=45°．
所以45AGE EBF ∠=∠=︒．
在AGE 与EBF △中，
,,
,AGE EBF AG BE GAE FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
所以()ASA AGE EBF △≌
△． 所以AE EF =．
∴AEF 为等腰直角三角形
设CA=CB=a ，则BE nBC na ==
∴CE=a ＋na 由勾股定理可得22CA CE +222222a na n a ++∴212ABC S a =，()2
22222222112222AEF S a na n a a na n a =++=++△ ∴()2:1:22ABC AEF S S n n =++△△．
【点睛】
此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握构造全等三角形的方法是解决此题的关键．
7．（1）4；（2）见解析
【分析】
（1）首先证明△BDM ≌△CDN ，进而得出△DMN 是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，NC=BM=12DM=12
MN ，即可解决问题； （2）延长AC 至点E ，使得CE BM =，连接DE ，首先证明BDM CDE △≌△，再证明MDN EDN △≌△，得出MN NE =，进而得出结果即可．
【详解】
解：（1）∵ABC 是等边三角形，//MN BC ，
60AMN ABC ∴∠=∠=︒，60ANM ACB ∠=∠=︒
∴AMN 是等边三角形，AM AN ∴=，则BM NC =，
∵BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，
30DBC DCB ∴∠=∠=︒，
90DBM DCN ∴∠=∠=︒，
在BDM 和CDN △中， ,,,BM CN MBD DCN BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()BDM CDN SAS ∴△≌△，
DM DN ∴=，BDM CDN ∠=∠，
∵60MDN ∠=︒，
∴DMN 是等边三角形，30BDM CDN ∠=∠=︒，
1122
NC BM DM MN ∴===，MN MB NC ∴=+， ∴AMN 的周长4AB AC =+=．
（2）如图，延长AC 至点E ，使得CE BM =，连接DE ，
∵ABC 是等边三角形，BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，
60ABC ACB ∴∠=∠=︒，30DBC DCB ∠=∠=︒，
90ABD ACD ∠∴∠==︒，
90DCE ∴∠=︒，
在BDM 和CDE △中，
,,,BD CD MBD ECD BM CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()BDM CDE SAS ∴△≌△，
MD ED ∴=，MDB EDC ∠=∠，
120120MDE MDB EDC ∴∠=︒-∠+∠=︒，
∵60MDN ∠=︒，
60NDE ∴∠=︒，
在MDN △和EDN △中，
,60,,MD ED MDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
()
∴△≌△．
MDN EDN SAS
∴=，
MN NE
=+=+，
又∵NE NC CE NC BM
∴+=．
BM NC MN
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定，等边三角形及等腰三角形的性质是解题的关键．
8．证明见解析．
【分析】
延长EB到G，使BG=DF，连接AG．先说明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG≌△AEF，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答．【详解】
延长EB到G，使BG=DF，连接AG．
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴AG=AF，∠1=∠2．
∠BAD．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=1
2
∴∠GAE=∠EAF．
又∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG=EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF=BE+FD
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 9．（1）256+；（2）见解析
【分析】
（1）构建直角三角形，得出AH 、BH ，然后利用角平分线的性质以及平行四边形的性质，进行等量互换，即可得解；
（2）首先在AB 上截取BQ BE =，然后判定DOF EOC ≌△△和AEQ GAF ≌△△，进行等量转换，即可得证.
【详解】
（1）过点A 作AH BC ⊥于点H ，如图所示：
4tan 3
B ∠=，5AB =， 4AH ∴=，3BH =
DE 平分ADC ∠，
12∠∠∴=，
AD BC ∵∥，
13∠∠∴=
23∴∠=∠，
5DC EC ∴==，
1BE ∴=，
2EH ∴=，
25AE ∴=
256ABE C ∴=+△；
（2）在AB 上截取BQ BE =，连接EQ ，如图所示：
CD CE =，CO DE ⊥，
OD DE ∴=①
AD BC ∵∥，
DFO ECO ∴∠=∠，ADE CED ∠=∠②③
由①②③得：DOF EOC ≌△△，
DF CE ∴=，
又AD BC =，
AD DF BC CE ∴-=-，即AF BE =
60EAG ∠=︒，
60BAE FAG ∴∠+∠=︒，
60DFC ∠=︒，
60FGA FAG ∴∠+∠=︒，CD=CF
BAE FGA ∴∠=∠④
又120FAG AQE ∠=∠=︒，EQ AF =⑤⑥
由④⑤⑥得：AEQ GAF ≌△△，
AQ FG ∴=，
又AB CF =，
AB AQ CF FG ∴-=-，
即BQ CG =，
AF CG ∴=．
【点睛】
此题主要考查利用三角函数值构建直角三角形以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握，即可解题.
10．（1）∠AFC ＝120°；（2）FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由见解析；（3）AC ＝AE+CD ．理由见解析．
【分析】
（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC ，∠ACF 即可解决问题;
（2）根据在图2的 AC 上截取CG=CD ，证得△CFG ≌△CFD (SAS),得出DF= GF ；再根据ASA 证明△AFG ≌△AFE ，得EF=FG ，故得出EF=FD ；
（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC 上截取AG=AE ，证得△EAF ≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA ；再根据ASA 证明△FDC ≌△FGC ，得CD=CG 即可解决问题．
【详解】
（1）解：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，
∴∠BAC ＝90°﹣60°＝30°，
∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，
∴∠FAC ＝15°，∠FCA ＝45°，
∴∠AFC ＝180°﹣（∠FAC+∠ACF ）＝120°
（2）解：FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．
理由：如图2，在AC 上截取CG ＝CD ，
∵CE 是∠BCA 的平分线，
∴∠DCF ＝∠GCF ，
在△CFG 和△CFD 中，
CG CD DCF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△CFG ≌△CFD （SAS ），
∴DF ＝GF ．∠CFD ＝∠CFG
由（1）∠AFC ＝120°得，
∴∠CFD ＝∠CFG ＝∠AFE ＝60°，
∴∠AFG ＝60°，
又∵∠AFE ＝∠CFD ＝60°，
∴∠AFE ＝∠AFG ，
在△AFG 和△AFE 中，
AFE AFG AF AF
EAF GAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AFG ≌△AFE （ASA ），
∴EF ＝GF ，
∴DF ＝EF ；
（3）结论：AC ＝AE+CD ．
理由：如图3，在AC 上截取AG ＝AE ，
同（2）可得，△EAF ≌△GAF （SAS ），
∴∠EFA ＝∠GFA ，AG ＝AE
∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°
∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-1
2(∠BAC+∠BCA)=180°-
1
2
×120°=120°，
∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，
∴∠CFG＝∠CFD＝60°，
同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），
∴CD＝CG，
∴AC＝AG+CG＝AE+CD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．。