2019年杭州市【下城区一模数学试卷】含答案

2019年杭州市【下城区⼀模数学试卷】含答案
2019年中考模拟测试（⼀）
考⽣须知：
1. 本试卷满分120分，考试时间100分钟。

2. 答题前，在答题纸上写姓名和准考证号。

3. 必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地⽅⽆效。

答题⽅式详见答题纸上的说明。

参考公式：
⼆次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）图像的顶点坐标公式：
--a b ac a b 44,22。

试题卷
⼀、选择题：本⼤题有10个⼩题，每⼩题3分，共30分。

在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。

1. （-3）2=（）
A. -6
B.6
C.-9
D.9
【解答】D
2. 因式分解：a 2-4=（）
A. （a -2）（a+2）
B.（2-a ）（2+a ）
B. （a -2）2 D.（a -2）（-a+2）
【解答】A
3. 在等腰三⾓形ABC 中，AB=4，BC=2，则△ABC 的周长为（）
A.8
B.10
C.8或10
D.6或8
【解答】B
4. 若实数k 满⾜3
A. 22
B.32
C.215
D.π-1
【解答】B
5. 下列计算正确的是（）
A.2（x -1）-（x -1）=x -3
B.a a a 2321=+ B. 1-=---y x x y x y D.11)1(+=?
÷+x y y x 【解答】C
6. 在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与B ，C 重合），连结AD 。

下列表述错误的是（）
A. 若AD 是BC 边的中线，则BC=2CD
B. 若AD 是BC 边的⾼线，则AD
C. 若AD 是∠BAC 的平分线，则△ABC 与△ACD 的⾯积相等
D. 若AD 是∠BAC 的平分线⼜是BC 边的中线，则AD 为BC 边的⾼线
【解答】C
7. ⼩明⽤100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本3元，每⽀钢笔5元，求⼩明最多能买⼏⽀钢笔。

设⼩明买了x ⽀钢笔，依题意可列不等式为（）
A.3x+5（30-x ）≤100
B.3（30-x ）+5x ≤100
C.5（30-x ）≤100+3x
D.5x ≤100-3（30+x ）
【解答】B
8. 如图，在△ABC 中，以边BC 为直径做半圆，交AB 于点D,交AC 于点E ，连结DE 。

若︵DE =2︵BD =2︵
CE ，则下列说法正确的是（）
A. AB=3AE
B.AB=2AE
C.3∠A=2∠C
D.5∠A=3∠C
【解答】C
9. 如图，直线l 1∥l 2∥l 3，△ABC 的三个顶点分别落在l 1，l 2，l 3上，AC 交l 2于点D ，设l 1与l 2的距离为h 1，l 2与l 3的距离为h 2。

若AB=BC ，h 1：h 2=1:2，则下列说法正确的是（）
A. S △ABD :S △ABC =2:3
B.S △ABD :S △ABC =1:2
B. sin ∠ABD:sin ∠DBC=2:3 D.sin ∠ABD:sin ∠DBC=1:2
【解答】D
10.⼰知⼆次函数y=-(x-k+2)(x+k)+m ，其中k ，m 为常数。

下列说法正确的是（）
A.若k ≠1,m ≠O ，则⼆次函数y 的最⼤值⼩于0
B.若kO ，则⼆次函数y 的最⼤值⼤于0
C.若k=1，m ≠O ，则⼆次函数y 的最⼤值⼩于0
D.若k>1，m
【解答】B
⼆、填空题：本⼤题有6个⼩题，每⼩题4分，共24分。

11.四张卡⽚上分别写着-2，1，0，-1，若从中随机抽出⼀张，则此卡⽚上的数为负数的概
率是。

【解答】
2
1
12.如图，过圆外⼀点P 作⊙O 的切线PC ，切点为B ，连结0P 交圆于点A 。

若AP=OA=1，则该切线长为。

【解答】3
13. 两组数据：3，a ，8，5与a ，6，b 的平均数都是6，若将这两组数据合并为⼀组，则这组新数据的中位数为。

【解答】6
14. 已知实数x 满⾜012≤+?-x x ，则x 的值为。

【解答】2（注：⼆次根式⾥⾯不能⼩于0，所以x=-1要舍去）
15. 如图, 在直⾓△ABC 中, ∠ACB=90°，AC=3，BC=4，且点D ，E 分别在BC ，AB 上，连结AD 和CE 交于点H 。

若CD BD =2,DH AH =1，则BE 的长为。

【解答】415
（注：延长CE ，过点A 做BC 的平⾏线交CE 延长线于点F ，利⽤△AHF ≌△DHC 得到AF=CD=34
，
再利⽤△AEF ∽△BEC 得到31BE AE ==BC AF ，BE=415）
16.已知实数x ，y ，a 满⾜x+3y+a=4，x-y-3a=0.若-1≤a ≤1，则2x+y 的取值范围是。

【解答】0≤2x+y ≤6（注:将x 和y 都⽤a 来表⽰）
三、解答题:本⼤题有7个⼩题，共66分。

解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本题满分6分）
某研究⼩组⽤随机抽样的⽅法,在本校初三年级开展了“你最喜欢的电视节⽬”调查，并将得到的数据整理成了以下统计图（不完整）。

(1)此次研究⼩组共调查了多少名学⽣?
(2)若该学校初三年级共有300名学⽣，请你估计其中最喜欢“体育节⽬”的有多少.
【解答】解：（1）5010%5=÷（⼈）
（2）15650
26300=?（⼈）
18.（本题满分8分）
在平⾯直⾓坐标系中，⼀次函数y=kx+b 的图象过点(1,2)，且b=k+4.
(1)当x=3时,求y 的值.
(2)若点A （a-1，2a+6）在⼀次函数图象上，试求a 的值.
【解答】解：（1）∵⼀次函数y ＝kx ＋b 的图象过点（1，2），且b ＝k ＋4
∴k=-1，b=3
∴⼀次函数的表达式为y=-x+3
∴当x ＝3时，y=-3+3=0.
（2）∵点A （a -1，2a ＋6）在⼀次函数图象上
∴2a+6=-(a-1)+3
∴a=32
-
19.（本题满分8分）
如图，在△ABC 中，D 为AB 上的⼀点，过点D 作DE ∥AC ，DF ∥BC ，分别交BC ，AC 于点E ，F.
(1)求证: △ADF∽△DBE.
(2)若BE：CE=2：3,求AF：DE的值。

【解答】解：（1）∵DE∥AC，DF∥BC
∴∠A=∠EDB,∠ADF=∠B
∴△ADF∽△DBE(“AA”)
（2）∵DE∥AC，DF∥BC
∴四边形DECF是平⾏四边形
∴CE=DF
∵BE:CE＝2:3
∴BE:DF=2:3
∵△ADF∽△DBE
∴DE:AF=2:3
∴AF:DE=3:2
20.（本题满分10分）
如图，某农家拟⽤已有的长为8m的墙或墙的⼀部分为⼀边，其它三边⽤篱笆围成⼀个⾯积为12m2的矩形园⼦.设园⼦中平⾏于墙⾯的篱笆长为ym（其中y≥4），另两边的篱笆长分别
为xm.
(1)求y 关于x 的函数表达式，并求x 的取值范围.
(2)若仅⽤现有的11m 长的篱笆，且恰好⽤完，请你帮助设计围制⽅案.
解：（1）∵矩形园⼦的⾯积为xy=12 ∴x
y 12= ∵4≤y ≤8 ∴8124≤≤
x ∴32
3≤≤x ∴函数表达式为x y 12=
，x 的取值范围为323≤≤x （2）由题意可得：==+12
112xy y x 解⽅程得：x=4（舍去），23=
x ∴==8
23y x
21.（本题满分10分）
在△ABC ，BD ⊥AC 于点D ，P 为BD 上的点，∠ACP=45°，AP=BC.
(1)求证:AD=BD.
(2)若∠CPA=120°，BC=2，求PB 的长
.
【解答】解：（1）∵BD ⊥AC 于点D
∴∠ADB=90°
∵∠ACP ＝45°
∴CD=PD
∴==BC
AP DC DP
∴Rt △ADP ≌Rt △BDC （“HL ”）
∴AD ＝BD
（2）过点P 作PE ⊥AB 交AB 于点E
∵AP ＝BC ，BC ＝2
∴AP=2
∵BD ⊥AC ，AD ＝BD
∴∠DAB=∠PBA=45°
∵∠CPA ＝120°，∠ACP ＝45°
∴∠CAP=15°
∴∠PAB=30°
∴PE=1
∴PB=2
22.（本题满分12分）
在平⾯直⾓坐标系中, ⼆次函数图象的表达式为y=ax 2+(a+1)x ，其中a ≠0.
(1)若此函数图象过点（1，-3），求这个⼆次函数的表达式.
(2)若（x 1，y 1）,（x 2，y 2）为此⼆次函数图象上两个不同点.
①若x 1+x 2=2，则y 1=y 2，试求a 的值.
②当x 1>x 2≥-2时,对任意x 1，x 2都有y 1>y 2，试求a 的取值范围.
【解答】解：（1）将点（1，-3）代⼊到表达式x a ax y )1(2
++=，
得到：-3=a+(a+1)
所以，a=-2 （2）①由题意可得，对称轴为a a x x
211221+-==+
解得：3
1-=a ②由题意可得：x ≥-2时，函数为增函数，
∴a>0，且221-≤+-
a a ∴3
10≤
在菱形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 上点，且CE=CF ，连结AE ，AF ，EF.记△CEF 的⾯积为m,△AEF 的⾯积为n.
(1)求证: △ABE ≌△ADF.
(2)若AE ⊥BC ，CF ：AE=2：3，求sinD.
(3)设BE ：EC=a ，m=3-a ，试说明当a 取何值时，n 的值最⼤，并求出n 的最⼤值.
【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形
∴∠B=∠D ，AB=AD=BC=CD
∵CE ＝CF
∴BE=DF
∴??
=∠=∠=DF BE D B AD AB
∴△ABE ≌△ADF(“SAS ”)
（2）∵CE ＝CF
∴CE:AE=2:3
设CE=2x ，则AE=3x ，AB=BC=BE+CE=BE+2x ，
∵AE ⊥BC
∴AB 2=BE 2+AE 2
∴(BE+2x)2=BE 2+9x
2 ∴BE=
x 45
∴x x x AB 4
13245=+=
∴13
124133sin sin ====x x AB AE B D
（3）连结AC 交EF 于点Q ，连结BD 交AC 于点G ，∵CE=CF ，∴EF ∥BD ，∵AC ⊥BD ，∴AC ⊥EF ，∴AQ
m CQ n =，⼜∵
a EC BE =，∴a EC
BE CQ GQ ==，∴GQ=aCQ ，CG=（a+1）CQ ，
⼜∵AG=CG ，∴AG=（a+1）CQ ，
∴AQ=AG+GQ=（a+1）CQ+aCQ=（2a+1）CQ ，∴1
21)12(AQ m +=+==a CQ a CQ CQ n ，⼜∵m=3-a ，
∴n=(3-a)(2a+1)=-2a 2+5a+3=8
49)45(22+--a , ∴当a=
45时，n 的最⼤值为8
49.。