大学物理II第10章静电场 作业题

10.1 四个点电荷到坐标原点的距离均为d ，如题10.1图所示，求点O 的电场强度的大小和方向 。

题图10.1
解：由图所示x 轴上两点电荷在O 点产生场强为
i d q i d q i d q i E i E E q q
2
020*********
y 轴上两点电荷在点O 产生场强为
j d
q j d q j d q j E j E E q q
2
020*********
所以，点O 处总场强为
j d q i d q E E E O
2
020214343
大小为2
02
221423d
q E E E O
,方向与x 轴正向成0
45 角。

10.4 正方形的边长为a ，四个顶点都放有电荷，求如题10.4图所示的4种情况下，其中心处的电场强度。

q q
q q (a ) (b ) (c ) (d )
题图10.4
解：在四种情况下，均以中心O 为坐标原点，水平向右为x 轴正方向，竖直向上为y 轴正方向建立坐标系，则有
（a ）根据对称性，四个顶点处的电荷在中心处产生的场强两两相互抵消。

所以
0 a E
(b ) 根据对称性，电荷在中心处产生的场强在x 轴上抵消，只有y 轴上的分量，所以
j a
q j a a q j E E qy b
2
0220245cos )2/()2/(44
4 (c ) 根据对称性，对角线上的电荷在中心处的场强可以相互抵消，所以
0 c E
(d ) 根据对称性，电荷在中心处产生的场强在y 轴上抵消，只有x 轴上的分量，所以
i a
q i a a q i E E qx d
2
0220245sin )2/()2/(44
4 10.
5 一半径为R 的半圆细环上均匀地分布电荷+Q ，求环心处的电场强度。

题图10.5
解：以环心O 为原心，取如图所示的坐标轴。

在环上取一线元dl ，其所带电
量为R
Qdl
dq ，它在环心O 处的电场强度E d 在y 轴上的分量为
sin 1
41
2
0R R Qdl dE y
由于环对y 轴对称，电场强度在x 轴上的分量为零。

因此，半圆环上的电荷在环心O 处总的电场强度为
j
R Q
j R
QRd j dE E y 2
020302sin 41
10.6 长为15.0cm的直导线AB，其上均匀分布着线密度 =5.0 10—9C m-1的正电荷，如题图10.6所示。

求（1）在导线的延长线上与导线B端相距为5cm的点P的场强；
解：(1) 取点P为坐标原点，x轴向右为正，如题10.6(a)所示。

设带电直导线上一小段电荷dx
dq
至点P距离为x，它在点P产生的场强为
2
4
1
x
dx
dE
P
（沿x轴正向）
由于各小段导线在点P产生的场强方向相同，于是
1
2
05
.0
2.0
2
m
V
10
75
.6
)
2.0
1
05
.0
1
(
4
4
x
dx
dE
E
方向水平向右。

10.8 如题图10.8（a）所示，电荷线密度为
1
的无限长均匀带电直线，其
旁垂直放置电荷线密度为
2
的有限长均匀带电直线AB，两者位于同一平面内，求AB所受的静电力。

解：如图10.8所示，建立坐标系，取线元dx，其带电量为dx
dq
2
，受
力为
dx x
Edq dF 201
2
方向沿x 轴正向。

直线AB 受力大小为
a
b
a x dx dF F b
a
B
A
ln 22021021 方向沿x 轴正向（水平向右）。

10.9 有一非均匀电场，其场强为i kx E E
)(0 ，求通过如题图10.9所示
的边长为0.53 m 的立方体的电场强度通量。

（式中k 为一常量）
x z
题图10.9
解：由于E
只有x 方向的分量kx E E x 0，故电场线只穿过垂直于x 轴，且位于x 1=0和x 2=0.53m 处的两个立方体面S 1和S 2。

考虑到这两个面的外法线方向相反，故有
k
S k E S E dS
E dS E S d E S x S x S
e 15.0)53.0(20102
21
1
10.10设匀强电场的电场强度E
与半径为R 的半球面的轴平行，求通过此半球面的电场强度通量。

题图 10.10
解：作半径为R 的大圆平面'S 与半球面S 一起构成闭合曲面，由于闭合曲面内无电荷，由高斯定理，有
00
'
q S d E eS eS S
e
所以，通过半球面S 的电场强度通量为
E R R E eS eS 22cos '
10.11 两个带有等量异号的无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1和R 2 （R 1 < R 2）,单位长度上的带电量为 ，求离轴线为r 处的电场强度：（1）r < R 1；(2) R 1 < r < R 2 ；(3)r > R 2 。

题图 10.11
解：(1) 作高为l 的同轴圆柱面（如题图10.11）为高斯面。

由于两带电圆柱面的电场为柱对称，所以，通过此高斯面的电场强度通量为
3
2
1
321 S S S S
e S
d E S d E S d E S
d E
＝
其中第一、第三项积分分别为通过圆柱面上、下底面的电场强度通量。

由于E
垂
直于轴线，故E
在底平面内，第一、第三项的积分均为零。

第二项积分为
1212
2
r E EdS S d E r S S
根据高斯定理0/ q e ，有
0211 r E r
所以 11 01R r E r
(2) 同理221R r R 时，有
S d E 即 0
222 r E r 所以 2
022r E r
(3) 23R r 时，有
S d E 所以 03 r E
由上述结果可知，两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面所形成的电场只存在于两柱面之间。

10.13 两个均匀带电的金属同心球面，半径分别为0.10 m 和0.30 m ,小球面带电1.0 10—8 C,大球面带电1.5 10—8 C 。

求离球心为（1）0.05 m ；（2）0.20 m ；（3）0.50 m 处的电场强度。

解：由于电荷在球面上对称分布，所以两球面电荷的电场也具有球对称性，场强方向沿径向向外。

(1)以球心O 为中心，05.0 A r m 为半径作一同心球面，并以此为高斯面，其内部电量为零，面上各点的场强大小均相同。

由高斯定理有
0042
A A A S e E r E S d E A
(2)同理以20.0 B r m 为半径作高斯面，面内包含小带电球面上的所有电荷
81100.1 Q C 。

由高斯定理有
1
32
8
9
2010
1
2m V 1025.2)20.0(10
0.110944
B
B B B S e r
Q E Q
r E S d E B
(3)同理，可以得到点C 处的电场强度大小为
1
22
8
9
2
021m V 109)50.0(10
)5.10.1(1094
C C r Q Q E
10.14 如题图10.14所示，一个内、外半径分别为R 1和R 2的均匀带电球壳，总电荷为Q 1 ，球壳外同心罩一个半径为3R 的均匀带电球面，球面带电荷为Q 2 。

求（1）r < R 1（2）R 1 < r < R 2（3）R 2 < r < R 3 (4)r > 3R 的电场强度。

题图 10.14
解：由于电荷分布呈球对称性，所以电场分布也具有球对称性。

在上述各区域分别取半径为r 的同心球面为高斯面，则高斯面上各点的电场强度大小相等，方向沿径矢方向。

由高斯定理，有
24 q
r E
所以
2313
203
13123
132********)(40
,0r R R R r Q E R R R r Q q R r R E q R r ，故为该高斯面内电荷 故，即该高斯面内无电荷 2
0214213201313244r Q Q E Q Q R r r Q E Q R r R
，故该高斯面内电荷为 ，故该高斯面内电荷为
电场强度的方向均沿径矢方向。

10.16 两平行无限大均匀带电平面上的面电荷密度分别为+ 和-2 ，求图示中3个区域的场强。

+ —2
根据场强迭加原理，可得上图中各个区域中的场强分别为：
方向为水平向左
方向为水平向右 方向为水平向右0
120210122232
E E E E E E E E E 10.17 如题图10.17所示，AB 两点相距2l ， 是以B 为圆心，l 为半径
的半圆。

A 点有正电荷q ，B 点有负电荷q 。

求（1）把单位正电荷从O 点沿移到D 点时电场力对它做的功？（2）把单位负电荷从D 点沿AB 的延长线移到无穷远时电场力对它做的功？
题图10.17
解：(1) 0 O V , l q
l q l
q V D 0006434
l
q V V A D O 06)(1
(2) 设无穷远处电势为零，则
l
q V V V D D 061
10.19 一均匀带电半圆环，半径为R ，带电量为Q ，求环心处的电势。

解：在带电圆环上取一电荷元dq ，根据点电荷的电势公式，其在环心处的电势为
R
dq dU 04
然后对整个带电体积分，可得环心处的总电势为
R
Q dq R dU U Q
00441
10.20 电量q 均匀分布在长为l 2的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为
a 的点P 的电势（设无穷远处为电势零点）。

题解图 10.20
解：设坐标原点位于杆中心点O ，x 轴沿杆的方向，如图所示。

细杆的电荷线密度l q 2
，在x 处取电荷元l
qdx
dx dq 2 ，它在点P 产生的电势为
x a
l l qdx
x a l dq dU P
0084
整个杆上电荷对点P 产生的电势为
a l l q
x a l l
q x a l dx
l q
U l
l l
l P 21ln 8ln 8)
(8000 ＝
　＝ 10.22 如题图10.22所示，两个同心球面，半径分别为R 1和R 2，内球面带电-q ，外球面带电+Q ，求距球心（1）r < R 1 (2)R 1 < r < 2R (3)r > 2R 处一点的电势。

题图 10.22
解: 利用场强和电势的积分关系计算。

在小球面内、两球面间和大球面外分别以点O 为球心做高斯面，应用高斯定理可求得
2
0322
0221114 4 0 r q Q E R r r
q
E R r R E R r
选无穷远处电势为零，由于不同区域电场强度的数值不同，于是有
1
02
020********* 440 )1(221
121
32
R q R Q dr r
q Q dr r q l
d E l d E l d E l d E U R r R R R R r
R R R R r
＝
＝ 区域在
r
q R Q dr
r q Q dr r q
l
d E l d E l d E U R r R R R r
R r
R r
02
020
203222144 44 )2(2222
＝ ＝ 区域在
r
q
Q dr r q
Q l d E U R r r r 02
3324 4 )3(
＝
＝ 区域
在
10.23 一半径为R 的长棒，其内部的电荷分布是均匀的，电荷的体密度为 。

求（1）棒表面的电场强度；（2）棒轴线上的一点与棒表面之间的电势差。

解：(1) 在长棒内部任取高度为 ，半径为r ，且与棒同轴的圆柱面作为高斯面。

根据高斯定理可求得棒中任意点的场强，有
2
22
r r E r S d E r S
所以 0
2 r E r 棒表面处（即r = R ）的场强为 0
2 R
E R
(2)根据电势差的定义，取圆柱的径线为积分路径，则棒轴线上一点与棒表面之间的电势差为
2
0004
2 R dr r Edr r d E U R
R R
题图 10.23
10.24 两个很长的同轴圆柱面（m 10.0m ,
100.3221 R R ），带有等量异号的电荷，两者的电势差为450 V 。

求（1）圆柱面单位长度上的带电量是多少？（2）两圆柱面之间的电场强度？
题图 10.24
解：（1）两同轴圆柱面可看作无限长的，故两圆柱面间的场强可利用高斯定理求得，有 r
E 02。

根据场强与电势差的积分关系，有
1
2
00ln 222
1
R R dr r
r d E U R R B
A
AB
＝
则圆柱面单位长度上带电量为
181
2
0m C 1008.2ln 2
R R U AB
（2）两柱面间的电场强度大小为
1200m V 1
1074.32412
r
r r E 方向：沿径向由A 指向B 。