常微分方程------------变量分离法

Image 或 者 解 出 显 函 数 形 式 的 解 ： yCx2
例：
dy 1 y2
No dx
1 x2
解：假设y 1,变量分离得：
Image
dy
dx

1 y2
1 x2
(注意：这里y= 1也是满足原方程的特解！ )
No 两 边 积 分 得 ：dy dx
1y2
No 两 边 积 分 得 ： y2 dy 1x2dxC
Image 原 方 程 通 解 为 arctany1x3C 3
例：
No
dy x dx y
Image 解 ： 变 量 分 离 得 ： y d y x d x
No
两 边 积 分 得 ： y22 2 x2
C 2
原 方 程 通 解 为 x2y2C （ C为 任 意 常 数 ）
No
Image
一、变量分离方程
No
Image
先看例子：
No Image No x
dy yexy dx dy ex yey dx
标 准 形 式 ：d yf(x )g (y )........(2 .1 ) d x

（这里
数。） f
(x), g(y)
即 ： G (y ) F (x ) C 为 方 程 通 解 。 （ 隐 式 解 ） （ 它 存 在 隐 函 数 y = y ( x , C ) 为 方 程 显 式 解 。 C 为 任 意 常 数 。 ）
例：
No
dyx2 y2 1
dx
Image解 ： 变 量 分 离 得 ： y2 dy 1x2dx
例：dy 2x4y3 dx x2y1
例：dy x y1 dx x y3
第二章 一阶微分方程的初等解法
No
dy f (x, y)
Image
dx
1 变量分离法
2 常数变易法
3 恰当方程与积分因子法 4 一阶隐式方程与参数法
云南师范大学数学学院 黄炯
No §2.1 变量分离方程与变量变换 Image No 一、变量分离方程
二、可化为变量分离方程的类型
Image
x

g( x ). y
Image y y
No Image No Image
No Image No Image
No Image No Image
No Image No Image
（II）形如
dy dx
faa21xxbb12yycc12

的方程，
其中 a1,a2,b1,b2,c1,c2 均为实常数.
1x2
Image 原 方 程 通 解 为 arcsinyarcsinxC
（ y1是 不 包 含 在 通 解 中 的 特 解 。 ）
例： d y P (x )y ,(其 中 P (x )是 x 的 连 续 函 数 。 ） d x
No解：假设y 0,变量分离得： dy P(x)dx y
Image(注意：这里y=0也是满足原方程的特解！ ) 两 边 积 分 得 ： l nyP (x )d x C
No由 对 数 函 数 定 义 有 ：yeP(x)dxC1, Image即 ： yeC1eP(x)dx,令 eC1 C， 得 原 方 程 通 解 为
y C e P (x )d x(y 0 是 通 解 中 C = 0 时 的 特 解 。 ）
x
y
即本质上f (x, y)可以写成一个关于变元 y 或 x 的函数。
xy
Image例如：f (x, y)
xy y2 x2 2xy

y ( y)2 xx 12 y

g( y ), x
x
No 或者：f (x, y)
xy y2 x2 2xy

x 1 y ( x )2 2
分别是x,y的连续函
注意：方程右端是只含x的函数和只含y的 函数的乘积。
求解：令 g(y) 0 可将（2.1)改写为
dy f(x)dx,...（ .. 变 量 分 离 ） g(y)
两 边 积 分 得 ： gd(yy)f(x)dxC
若1 , g(y)
f(x)的原函数为G(y)和F(x)
二、可化为变量分离方程 的类型
（I）齐次方程
（II）形如
dy dx
faa21xxbb12yycc12
的方程，
其中 a1,a2,b1,b2,c1,c2均为实常数
No Image （I）齐次方程 No Image
No命题：设f (x, y)为0次齐次函数，则f (x, y) f (1, y)或者f (x, y) f ( x ,1),
注意：在上面各例中，求通解时所做的变量分离过程中 会产生“失解”，即假设做分母的项不为零时丢掉的解。 如y=1,y=0等假设g(y)0时丢掉的常数解。 因此如果存在y0使g(y0) 0,则y y0也是方程的解，此解 可能包含在通解中（取C为特殊值如0时得到），也可能 不包含（无法确定C值时），要加以特别说明！