七下第十一章《一元一次不等式》尖子生提优训练(三)(有答案)

七下第十一章《一元一次不等式》尖子生提优训练（三） 班级：___________姓名：___________ 得分：___________
一、选择题 1. 若不等式组{
4a −x >0x +a −5>0
无解，则a 的取值范围是( ) A. a >1 B. a <1 C. a ≥1 D. a ≤1
2. 已知关于x 的不等式组{2a +3x >0
3a −2x ≥0
恰有3个整数解，则a 的取值范围是( )
A. 23≤a ≤2
3
B. 43≤a ≤3
2
C. 43<a ≤3
2
D. 43≤a <3
2
3. 已知不等式组{x −a >0
x −a <1
的解集中每一个x 的值均不在3≤x <4的范围内，则a 的
取值范围是( ) A. a ≥4或a ≤2
B. a ≥4或a <2
C. a >4或a ≤2
D. a >4或a <2
4. 关于x 的不等式(2a −b)x >a −2b 的解集为x <5
3，则关于x 的不等式ax +b <0的
解集为( )
A. x >7
B. x <−7
C. x <7
D. x >−7
5. 已知方程组{x +y =1−a
x −y =3a +5
的解x 为正数，y 为非负数，给出下列结论：①−3<a ≤
1；②当a =−5
3时，x =y ；③当a =−2时，方程组的解也是方程x +y =5+a 的解；④若x ≤1，则2≤y <4，其中正确的是 ( )
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ②③④ 6. 已知关于x 的不等式
4x+a 3
>1的解都是不等式
2x+13
>0的解，则a 的范围是( )
A. a =5
B. a ≥5
C. a ≤5
D. a <5
7. 若关于x 的方程1
2x +1
4a =1
2+1
2a 的解为非负整数，且关于x 的不等式组
{−1
2(x −a)>0x −1≥
2x+13
无解，则所有满足条件的a 的值之和是( ) A. 7
B. 6
C. 4
D. 0
二、填空题
8. 关于x 的不等式组{2x −3a <7a
6b −3x <5a 的解集是5<x <22，则a =______，
b =______． 9. 方程组{ax +2y =2,2x +3y =0的解是{x =3,
y =b,则关于x 的不等式bx +2a ≥0的非负整数解是
_________．
10. 将一箱苹果分给若干位小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，若
每位小朋友分8个苹果，则有一位小朋友分到了苹果但不足8个，则苹果有______个。

11. 关于x 的不等式3x −2m <x −m 的正整数解为1、2、3，则m 取值范围是_____． 12. 关于x ，y 的二元一次方程组{x +3y =2+a 3x +y =−4a
的解满足x +y >2，则a 的范围为
______．
13.定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，
[−π]=−4．
(1)如果[a]=−2，那么a的取值范围是____________．
(2)如果[x+1
]=3，满足条件的所有正整数x有____________．
2
≤14.对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>，即当n为非负整数时，若n−1
2 x<n+1
，则<x>=n，如<0.46>=0，<3.67>=4。

给出下列关于<x>的结
2
论：①<1.493>=1；
②<2x>=2；
x−1⟩=4，则实数x的取值范围是9≤x<11；
③若⟨1
2
④当x≥0，m为非负整数时，有⟨m+2013x⟩=m+⟨2013x⟩；
⑤⟨x+y⟩=⟨x⟩+⟨y⟩。

其中，正确的结论有________________(填写所有正确的序号)．
15.对一个数x按如下程序进行运算，并规定，程序运行从“输入一个数x”到“结果
是否大于65？”为一次运算，若运算进行了2次后就停止，则可输入的整数x的个数是个.
16.阅读下列材料：
解答“已知x−y=2，且x>1，y<0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：解：∵x−y=2，∴x=y+2
又∵x>1，∵y+2>1，∴y>−1
又∵y<0，∴−1<y<0…①
同理得：1<x<2…②
由①+②−1+1<x+y<0+2
∴x+y的取值范围是0<x+y<2
请按照述方法，完成下列问题：
已知y>3，x<−2，若x−y=a成立，则x+y的取值范围是____
三、解答题
17. 若不等式组{
x +a ≥0
1−2x >x −2
①有解；②无解，请分别探讨a 的取值范围．
18. 已知关于x ，y 的方程组{
2x +y =1+m
x +2y =3−m
(1)当m =4时，求方程组的解;
(2)若方程组的解满足−3<y −x ≤4，求满足该条件的m 的整数值。

19. 星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：
(1)一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱⋅
(2)为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的5
6，问橱具店有哪几种进货方案⋅并说明理由；
(3)在(2)的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多⋅
20. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式x 2−4>0
解：∵x 2−4=(x +2)(x −2)，∴x 2−4>0可化为(x +2)(x −2)>0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得或
解不等式组①，得x >2，解不等式组②，得x <−2， ∴(x +2)(x −2)>0的解集为x >2或x <−2， 即一元二次不等式x 2−4>0的解集为x >2或x <−2．
(1)一元二次不等式x 2−16>0的解集为_____________________________； (2)分式不等式x−1
x−3>0的解集为__________________________________； (3)解一元二次不等式2x 2−3x <0．
21. 已知不等式组：{
x >−1
x <1
x <1−k
(1)当k =1
2 时，其解集为______________；当k =3时，其解集为______________；当k =−2时，其解集为______________．
(2)由(1)可知不等式组的解集随k 值的变化而变化，当k 为任意实数时，写出不等式组的解集．
22. 求不等式(2x −1)(x +3)>0的解集．
解：根据“同号两数相乘，积为正”，可得①{2x −1>0,
x +3>0
或
②{2x −1<0,
x +3<0.
解①得x >12；解②得x <−3.所以不等式的解集为x >12或x <
−3．
请你仿照上述方法解决下列问题： (1)求不等式(2x −3)(x +1)<0的解集； (2)求不等式1
3
x−1
x+2
≥0的解集．
23. 对x ，y 定义一种新运算T ，规定：T (x ，y )=
(其中a 、b 均为非零常数)，
这里等式右边是通常的四则运算，例如：T (0,1)==b ．
(1)已知T (1,−1)=−2，T (4,2)=1． ①求a ，b 的值；
②若关于m 的不等式组恰好有3个整数解，求实数p 的取
值范围．
(2)若T (x ，y )=T (y ，x )对任意实数x 、y 都成立(这里T (x ，y )和T (y ，x )均有意义)，问a 、b 应满足怎样的关系式？
24. 对x,y 定义一种新运算F ，规定：F(x,y)=(mx +ny)(3x −y)(其中m,n 均为非零
常数).例如：F(1,1)=2m +2n,F(−1,0)=3m ．(1)已知F(1,−1)=−8,F(1,2)=13．
①求m,n 的值；
②关于a 的不等式组{
F(a,3a +1)>−95
F(5a,2−3a)≥340
，求a 的取值范围； (2)当x 2≠y 2时，F(x,y)=F(y,x)对任意有理数x,y 都成立，请直接．．写出m,n 满足的关系式．
答案和解析
1. D
2. B
解：由于不等式组有解，则−2a 3
<x ≤
3a 2
，必定有整数解0，
∵|3a
2|>|−
2a 3
|，
∴三个整数解不可能是−2，−1，0．
若三个整数解为−1，0，1，则不等式组无解； 若三个整数解为0，1，2，则{2⩽3
2
a <3
−1≤−2
3a <0； 解得4
3≤a ≤3
2．
3. A
解：{
x −a >0①
x −a <1②，
由①得，x >a ， 由②得，x <1+a ，
∵每一个x 的值均不在3≤x <4的范围内， ∴x <3或x ≥4， 即1+a ≤3或a ≥4， 解得a ≥4或a ≤2． 4. A
解：由关于x 的不等式(2a −b)x >a −2b 解得 x <
a−2b
2a−b
或x >a−2b
2a−b ， ∵x <5
3，
∴2a −b <0，即2a <b ， ∴a−2b
2a−b =5
3 ，
3a −6b =10a −5b ， ∴−7a =b ，
∵2a <b ，即2a <−7a ， ∴a <0，
∴由ax +b <0，可得x >−b
a ， 即x >7．
5. D
解：{x +y =1−a①x −y =3a +5②，
①+②得，x =3+a ， ①−②得，y =−2a −2，
①由题意得，3+a >0，a >−3， −2a −2≥0，a ≤−1，
∴−3<a ≤−1，①不正确；
②3+a =−2a −2，a =−5
3，②正确；
③a =−2时，x +y =1−a =3，5+a =3，③正确； ④x ≤1时，−3<a ≤−2，则4>−2a −2≥2，④正确．
6. C
解：由4x+a 3
>1得，x >
3−a 4
，
由
2x+13
>0得，x >−1
2，
∵关于x 的不等式4x+a 3
>1的解都是不等式
2x+13
>0的解，
∴
3−a 4
≥−1
2
，
解得a ≤5．
即a 的取值范围是：a ≤5． 7. C
解：1
2x +1
4a =1
2+1
2a ， 解得：x =1
2a +1
由题意得，1
2a +1⩾0 解得，a ⩾−2
解不等式组{−1
2(x −a )>0
x −1⩾
2x+1
3
得：4≤x <a ， ∵不等式组无解， ∴a ≤4， 则−2⩽a ⩽4
∵1
2x +1
4a =1
2+1
2a 的解为非负整数， a =−2，x =1
2a +1=0，符合题意； a =−1，x =12a +1=0.5，不符合题意； a =0，x =12a +1=1，符合题意； a =1，x =12a +1=1.5，不符合题意； a =2，x =12a +1=2，符合题意； a =3，x =12a +1=2.5，不符合题意； a =4，x =12a +1=3，符合题意；
∴所有满足条件的整数a 的值之和为：−2+0+2+4=4
8. 225；37
6
解：{2x −3a <7a ⋯①
6b −3x <5a ⋯②，
解①得x <5a ， 解②得x >
6b−5a 3
，
∵不等式组的解集为5<x <22，
∴有{5a =22
6b−5a 3=5，
解得{a =22
5
b =376．
9. 0，1，2
解：把{x =3
y =b 代入方程组{ax +2y =22x +3y =0， 得{3a +2b =26+3b =0， 解得{a =2b =−2
，
∴不等式为−2x +4≥0， 解得x ≤2，
所以不等式的非负整数解为0，1，2．
10. 37或42
解：设有 x 人，则苹果有(5x +12)个，由题意得 {5x +12−8(x −1)<85x +12−8(x −1)>0， 解得4<x <
203
，
∵ x 为正整数，
∴ x =5或6.
当 x =5时，5x +12=37；
当 x =6时，5x +12=42，
答：小朋友有5人，这一箱苹果有37个或小朋友有6人，这一箱苹果有42个．
11. 6<m ≤8
解：3x −2m <x −m 2x <m x <m
2
∵不等式的正整数解为1、2、3， ∴3<
m 2≤4
解得：6<m ≤8，
12. a <−2
解：{
x +3y =2+a ①3x +y =−4a ②
， ①+②得：4x +4y =2−3a ， ∴x +y =2−3a 4，
∵x +y >2，
∴2−3a 4>2，
2−3a >8，
−3a >6，
a <−2．
13. (1)−2≤a <−1；
(2)5，6
解：(1)∵[a]=−2，
∴−2≤a <−1，
故答案为：−2≤a <−1．
(2)∵[
x+12]=3， ∴3≤x+12
<4， 解得：5≤x <7，
∴正整数有5，6，
14. ①③④
解：①<1.493>=1，正确；
②<2x >=2<x >，例如当x =0.3时，<2x >=1，2<x >=0，故②错误； ③若<12x −1>=4，则4−12≤12x −1<4+12，解得：9≤x <11，故③正确； ④m 为整数，不影响“四舍五入”，故<m +2013x >=m+<2013x >，故④正确；
⑤<x +y >≠<x >+<y >，
例如x =0.3，y =0.4时，<x +y >=1，<x >+<y >=0，故⑤错误；综上可得①③④正确．
15. 16
解：根据题意得：第一次：2x −1，
第二次：2(2x −1)−1=4x −3，
根据题意得：{2x −1≤654x −3>65
，
解得：17<x ≤33．
则x 的整数值是：18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33，共有16个．
16. 6+a <x +y <−4−a
∵x −y =a ，
∴x =y +a ，
又∵x <−2，
∴y +a <−2，
∴y <−a −2，
又∵y >3，
∴3<y <−a −2…①，
同理得：a +3<x <−2…②，
由①+②得：3+a +3<y +x <−a −2+(−2)，
∴x +y 的取值范围是6+a <x +y <−a −4．
17. 解：{x +a ≥0 (1)
1−2x >x −2...(2),
解(1)得：x ≥−a ，
解(2)得：x <1．
①不等式组有解，则−a <1，解得a >−1；
②不等式组无解，则−a ≥1，解得：a ≤−1．
18. 解：(1)将m =4代入原方程组，得
{2x +y =12x +2y =−1
， 解得{x =113y =−
73；
(2){2x +y =1+m①x +2y =3−m②
， 由②−①，得
y −x =2−2m ，
∵ −3<y −x ≤4，
∴−3<2−2m ≤4，
−5<−2m ≤2，
∴52>m ≥−1，
即−1≤m <52 ，
∴满足该条件的m 的整数值有：−1，0，1，2．
19. 解：(1)设橱具店购进电饭煲x 台，电压锅y 台，
依题意得{x +y =30 200x +160y =5600
， 解得{x =20y =10
， 所以，20×(250−200)+10×(200−160)=1400(元)．
答：橱具店在该买卖中赚了1400元；
(2)设购买电饭煲a 台，则购买电压锅(50−a)台，
依题意得{200a +160(50−a)≤9000a ≥56 (50−a)
， 解得22811≤a ≤25．
又∵a 为正整数，∴a 可取23，24，25．
故有三种方案：①防购买电饭煲23台，则购买电压锅27台；
②购买电饭煲24台，则购买电压锅26台；
③购买电饭煲25台，则购买电压锅25台．
(3)设橱具店赚钱数额为W 元，
当a =23时，W =23×(250−200)+27×(200−160)=2230；
当a =24时，W =24×(250−200)+26×(200−160)=2240；
当a =25时，W =25×(250−200)+25×(200−160)=2250；
综上所述，当a =25时，W 最大，此时购进电饭煲、电压锅各25台．
20. 解：(1)x >4或x <−4；
(2)x >3或x <1；
(3)∵2x 2−3x =x(2x −3)
∴2x 2−3x <0可化为
x(2x −3)<0
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，
得{x >02x −3<0或{x <02x −3>0
, 解不等式组①得0<x <32，
解不等式组②，无解，
∴不等式2x 2−3x <0的解集为0<x <32．
解：(1)∵x 2−16=(x +4)(x −4)
∴x 2−16>0可化为
(x +4)(x −4)>0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得{x +4>0x −4>0或{x +4<0x −4<0
, 得x >4或x <−4，
∴(x +4)(x −4)>0的解集为x >4或x <−4，
即一元二次不等式x 2−16>0的解集为x >4或x <−4．
故答案为x >4或x <−4；
(2)∵x−1x−3>0，
∴{x −1>0x −3>0或{x −1<0x −3<0, 解得：x >3或x <1．
故答案为x >3或x <1；
21. (1)−1<x <12;空集；−1<x <1
(2)解：若k 为任意实数，
①当1−k ≤−1即k ≥2时，原不等式组可化为{x >−1
x <1x <−1
，故原不等式组的解集为空集；
②当1−k ≥1即k ≤0时，
原不等式组可化为{x >−1x <1x <1
，故原不等式组的解集为−1<x <1；
③当−1≤1−k ≤1即0≤k ≤2时，原不等式组可化为{x >−1
x <1x <1−k
，故原不等式组的解集为−1<x <1−k ．
综上可得不等式组的解集为−1<x <1或−1<x <1−k 或空集．
解：(1)当k =12时，原不等式组可化为{x >−1x <1x <12
，故不等式组的解集是−1<x <12； 当k =3时，原不等式组可化为{x >−1
x <1x <−2
，故不等式组空集；
当k =−2时，原不等式组可化为{x >−1
x <1x <3
，故不等式组的解集是−1<x <1．
故答案为−1<x <1；空集；−1<x <1．
22. 解：(1)根据“异号两数相乘，积为负”可得①{2x −3>0x +3<0或②{2x −3<0x +3>0
，
解①得不等式组无解；解②得，−1<x <32；
故不等式组的解集为−1<x <32．
(2)根据“同号两数相乘，积为正”可得①{13x −1≥0x +2>0，②{13x −1≤0x +2<0
， 解①得，x ≥3，解②得，x <−2，
故不等式组的解集为：x ≥3或x <−2．
23. 解：(1)①根据题意得：
{ a −b =−2① 2a +b =5②
， ①+②得：3a =3，即a =1，
把a =1代入①得：b =3；
②根据题意得：
{2m+3(5−4m) 4m+5−4m ≤4①m+3(3−2m) 2m+3−2m >p②
， 由①得：m ≥−12，
由②得：m <9−3p 5，
∴不等式组的解集为−12 ≤m < 9−3p 5，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴m =0，1，2，
∴2< 9−3p 5≤3，
解得：−2≤p <−13；
(2)由T(x,y)=T(y,x)，得ax+by 2x+y =
ay+bx 2y+x ，
整理得：(x 2−y 2)(2b −a)=0
∵T(x,y)=T(y,x)对任意实数x ，y 都成立，
∴2b −a =0，即a =2b ．
24. 解：(1)①根据题意得：F(1,−1)=(m −n)(3×1+1)=−8， 即m −n =−2；
F(1,2)=(m +2n)(3×1−2)=13，
即m +2n =13，
解得：m =3，n =5；
②根据题意得：F(x,y)=(3x +5y)(3x −y)，
F(a,3a +1)=(3a +15a +5)(3a −3a −1)=−18a −5， F(5a,2−3a)=(15a +10−15a)(15a −2+3a)=180a −20． 由{−18a −5>−95①180a −20≥340②
， 解不等式①得：a <5，
解不等式②得：a ≥2，
故原不等式组的解为2≤a <5；
(2)由F(x,y)=F(y,x)，得(mx +ny)(3x −y)=(my +nx)(3y −x)， 整理得：(x 2−y 2)(3m +n)=0，
∵当x 2≠y 2时，F(x,y)=F(y,x)对任意有理数x ，y 都成立， ∴3m +n =0，
即n =−3m ．。