衡水中学2018届高三年级八模考试理科数学(含解析)(2018.01)
河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)
2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合2{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}AB =，则B =（ ）A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}1．答案：C解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入240x x m -+=，得3m =，所以2430x x -+=，即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．22．答案：D解析：设ii,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21a b b =-⎧⎨=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．答案：D 解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否→输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值是（ ）A ． 5B ．3C．5D．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，d ===5．已知ABC △的三个内角,,A B C 依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB ==，则ABC S =△（ ）A ．3B．C．D ．65．答案：C解析：因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+，又因为180A B C ++=︒，所以60B =︒， 在ABD △中，由余弦定理可得2222cos60AD AB BD AB BD =+-⋅⋅︒，即2230BD BD --=，所以(3)(1)0BD BD -+=，所以3BD =，故26BC BD ==，1sin 602ABC S AB BC =⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（ ）A ．3B．C．D6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则1,2,3BC AC CD BD AB AD ======所以最长的棱为3ABCD7．已知数列{}n a满足110,()n a a n N *+==∈，则20a =（ ）A ．0B．CD7．答案：B解析：解法1：123410,02a a a a a -======-，周期3T =，所以202a a == 解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =，11tan tan3tan 1tan tan 3n n n a πααπα++-===+tan 3n πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，13n n απ-=-，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．110,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．答案：B 解析：当,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332,32232k k Z k πππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+⎪⎩≥≤， 解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212k -<≤，又因为k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．17,224πωϕ==B ．211,312πωϕ==-C ．111,324πωϕ==-D ．2,312πωϕ==9．答案：D解析：根据题意1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21T k Z k π=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122x k k Z ππωϕϕπ+=+=+∈212k πϕπ∴=+，又因为ϕπ<，所以12πϕ=10．已知函数31()xxf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．答案：C解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以122a ≤≤11．已知函数32()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B．,2⎛-∞- ⎝⎭ C ．(0,)+∞ D ．(,1)-∞-11．答案：B解析：2()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-，所以003ax =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当23ax =-时，()f x 取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须341027a +<，解得2a <-12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ）A ．1B ．2±C ．12或3 D ．1或2 12．答案：D解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，[2,4]2x∈，()2x f x cf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1()(2)f x f x c=，所以在区间[1,2]上，当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，(3,1)A ，(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，所以111332c c --=，解得1c =或2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ． 13．答案：85解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685,255λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=⎪⎩AMx14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为 ． 14．答案：(0,)e 解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t =-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于 ()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于 ．15．答案：1009-解析：由题意可得2212222221212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0n S>，所以222n S +=，所以)n N *=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得312S =，所以数列2=为首1=1n =+，即22(1)n S n =+，故21(1)(2)n S n n -==++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，所以2016201620151009a S S =-=-16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,42()11, 1.4xx x f x x π⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤， 若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 16．答案：01a <≤或54a =解析：由25[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5f x =或()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65154<<，所以该方程有4个根；因（2）求cos 2sin 22B --⎪⎝⎭的取值范围．17．解：（1cos (2)cos C b A =-及正弦定理可得：cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，0πB <<，sin 0B ∴≠，cos A ∴=0πA <<，所以6πA = （2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πCB BC B A B ⎛⎫--=+-=-+-⎪⎝⎭3sin coscos sinsin 1sin 116626πππB B B B B B ⎛⎫=-+-=-=-- ⎪⎝⎭由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，116πB ⎛⎤⎛⎫--∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， 故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围是1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：若2(,)XN μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=18．解：因为语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P X =>=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3321123101061066333316161616327151(0),(1),(2),(3),14565628C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============所以的分布列为()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AACC 沿1CC 折起，如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①②ACBA 1C 1B 1ACBA 1C 1B 1（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥．又因为1AOB O O =，所以1CC ⊥平面1AOB ，又因为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）AC BA 1C 1B1O（2）由已知得1OA OB AB ===2221OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以11,,OB OCOA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得11(0,1,0),3)C B A A -．设平面1CAB 的法向量111(,,)m x y z =，1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，1111130AB m x AC m y ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,3,1)m =-．设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)ABAA =-=，由122123020AB n x AA n y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21x =，得221,0z y ==， 所以平面11AA B 的法向量(1,0,1)n =，于是cos ,5m n m n m n⋅===⨯⋅．因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为 20．（本小题满分12分）已知曲线2()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-． （1）求实数,a b 的值；（2）若2()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值．20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1(1)2f a f a b ==⎧⎨'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）（2）由22ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1x x k x ++≤恒成立，令2ln ()(0)1x xg x x x +=>+，则22(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++， 显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==， 所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）．（1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；（3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范围．21．解：（1）当1a =时，211()ln 22f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分）（2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212a f a a⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31ln 42b -<≤．…………（6分）（3）2222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==+++， 因为12a <<，所以221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫==++- ⎪⎝⎭．问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+- ⎪⎝⎭恒成立，设211()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<< ⎪⎝⎭，则212(41)2()12211ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即18m -≤．当18m -≤时，设2()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m=--<，又20m ->，开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)内单调递增，()(1)0h a h >=，即211ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭．于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立．综上可知，18m -≤…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为1,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．22．解：（1）将4c o s ρθ=化为24cos ρρθ=，由222,c o s ρρθx y x =+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y-+=．由1,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t 解得10x+=， 所以直线l10x +=……………………（5分）（2）把1,212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)4x y -+=，整理得250t -+=，设其两根为12,t t ，则 12125tt t t +==，所以12PQ t t =-==10分）方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线l 的距离32d =， 所以PQ ==………………（10分）方法3，将1x =-代入22(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：1212524y y y y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．（1）解不等式()5g x <；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等号，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。
【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三上学期八模考试数学(理)试题(解析版)
2017-2018学年度高三级第一学期八模考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项是符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. ，其中）A. B.【答案】B【解析】,B.视频2. ）A. 31B. 12C. 13D. 52【答案】C【解析】由等差数列的前n项和公式和等差数列的性质有：即：.本题选择C选项.3. 某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题：甲：我不会证明乙：丙会证明丙：丁会证明丁：我不会证明根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】A【解析】若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意；以此类推。
易得出答案：A.4. 在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（）A. （1）（2）B. （1）（3）C. （2）（4）D. （2）（3）【答案】D【解析】散点图（1）中，所有的散点都在曲线上，所以（1）具有函数关系；散点图（2）中，所有的散点都分布在一条直线的附近，所以（2）具有相关关系；散点图（3）中，所有的散点都分布在一条曲线的附近，所以（3）具有相关关系，散点图（4）中，所有的散点杂乱无章，没有分布在一条曲线的附近，所以（4）没有相关关系．故选D．5. ）C. D.【答案】C【解析】∵故选C6. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）【答案】D【解析】由三视图还原该几何体如图故选：D点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7. ）A. -14B. -9C. 9D. 14【答案】D的中点，，故选D学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...8. ，时，）。
2018年高考数学模拟试卷(衡水中学理科)
2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018?衡中模拟）已知集合A={x|x 2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．?B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]2．（5分）（2018?衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8B．0.4C．0.3D．0.23．（5分）（2018?衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1B．﹣1C．D．4．（5分）（2018?衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x5．（5分）（2018?衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2C．D．16．（5分）（2018?衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2B．3C．4D．57．（5分）（2018?衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．8．（5分）（2018?衡中模拟）已知（x﹣3）0+a1（x+1）+a2（x+1）10=a10=a 2+⋯+a1010（x+1），2+⋯+a10则a8=（）A．45B．180C．﹣180D．720积为（）A BC的三视图，其表面锥S﹣9．（5分）（2018?衡中模拟）如图为三棱A．16B．8+6C．16D．16+610．（5分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），为P F+PM的最大值为17，则椭圆的离心率部点M（﹣1，3）满足P为椭圆上一动点，椭圆内（）A．B．C．D．11．（5分）（2018?衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣k x恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0B．k≤0或k≥1C．k≤0或k≥eD．k≤0或k≥2n+p，数列{bn}的通项公式12．（5分）（2018?衡中模拟）已知数列{an}的通项公式为an=﹣n﹣4*为b n=2，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）第2卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）||=2||=2，|﹣|=，则在上13．（5分）（2018?衡中模拟）若平面向量、满足的投影为．a1=a2=1，an+2=，14．（5分）（2018?衡中模拟）若数列{an}满足S2n=．则数列{a n}前2n项和a=0把区域分成面2）y+4﹣15．（5分）（2018?衡中模拟）若直线ax+（a﹣积相等的两部分，则的最大值为．2 16．（5分）（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x（a＜﹣1）对．x2|，则a的取值范围为f（x2）|≥4|x1﹣任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣.）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤c=1，17．（12分）（2018?衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足且cosBsinC+（a﹣s inB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；2+b2（2）求a的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．A BCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，P﹣18．（12分）（2018?衡中模拟）如图，在四棱锥∠ABC=90°，PA=AB=BC=，2AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段C D上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．19．（12分）（2018?衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区时转动两个域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同无效，重新开下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动转盘待指针停域为y，x、y∈{1，2，3}，域为x，转盘（B）指针所对的区始），记转盘（A）指针所对的区设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．20．（12分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线1，）．过椭圆E内一点P（1，）的与椭圆相交于M、N两点，且线段M N的中点为（﹣两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；．（Ⅱ）当λ变化时，kAB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由2 21．（12分）（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e 处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018?衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC?BC=2AD?CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018?衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），C的极坐标方程在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线为ρ=C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（1）求曲线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．（2）若直线4-5：不等式选讲][选修3|．l|+|x﹣24．（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣（I）解不等式f（x）≤6；x∈R恒成立，求实数a的取值范围．（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018?衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A ∩B=（）A ．?B ．（0，1）C ．[0，1）D ．[0，1]【解答】解：A={x|x 2 ＜1}={x|﹣1＜x ＜1}，B={y|y=|x|≥0}， 则A ∩B=[0，1）， 故选：C ．2．（5分）（2018?衡中模拟）设随机变量ξ～N （3，σ2），若P （ξ＞4）=0.2，则P （3＜ξ≤4）=（）A ．0.8B ．0.4C ．0.3D ．0.2【解答】解：∵随机变量X 服从正态分布N （3，σ 2 ），∴μ=3，得对称轴是x=3． ∵P （ξ＞4）=0.2∴P （3＜ξ≤4）=0.5﹣0.2=0.3． 故选：C3．（5分）（2018?衡中模拟）已知复数z=（i 为虚数单位），则 3=（）A ．1B ．﹣1C ．D ． 【解答】解：复数z=， 可得=﹣=cos+isin ． 则 3=cos4π+isin4π=1． 故选：A ．4．（5分）（2018?衡中模拟）过双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点F 作两渐近线的垂线，垂足分别为P 、Q ，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（） A ．y=±xB ．y=±xC ．y=±xD ．y=±x 【解答】解：如图若∠PFQ=π， 则由对称性得∠QFO=， 则∠QOx=，即OQ的斜率k==tan=，则双曲线渐近线的方程为y=±x，故选：B5．（5分）（2018?衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2C．D．1【解答】解：∵2πr1=，∴r1=，同理，∴r1+r2+r3=1，故选：D．6．（5分）（2018?衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，第二次循环，sinπ＞sin，即0＞1不成立，a=0，T=1，k=3，k＜6成立，第三次循环，sin＞sinπ，即﹣1＞0不成立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，第四次循环，sin2π＞sin，即0＞﹣1成立，a=1，T=1+1=2，k=5，k＜6成立，第五次循环，sin＞sin2π，即1＞0成立，a=1，T=2+1=3，k=6，k＜6不成立，输出T=3，故选：B7．（5分）（2018?衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，a3=7，a5=11，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，∴，∴b8=（1﹣+﹣+⋯+﹣）=（1﹣）=故选B．8．（5分）（2018?衡中模拟）已知（x﹣3）0+a1（x+1）+a2（x+1）10=a10=a 2+⋯+a1010（x+1），2+⋯+a10则a8=（）A．45B．180C．﹣180D．720【解答】解：（x﹣3）10=[（x+1）﹣4]10，∴，故选：D．9．（5分）（2018?衡中模拟）如图为三棱锥S﹣A BC的三视图，其表面积为（）A．16B．8+6C．16D．16+6【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，4，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．word完美格式∴表面积为4×=16．故选：C．10．（5分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P F+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为部点M（﹣1，3）满足P为椭圆上一动点，椭圆内（）A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为Q，由F（﹣3，0），可得Q（3，0），由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，即|PF|=2a﹣|PQ|，则|PM|+|PF|=2a+（|PM|﹣|PQ|）≤2a+|MQ|，当P，M，Q共线时，取得等号，即最大值2a+|MQ|，由|MQ|==5，可得2a+5=17，所以a=6，则e===，故选：A．11．（5分）（2018?衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣k x恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0B．k≤0或k≥1C．k≤0或k≥eD．k≤0或k≥【解答】解：由y=f（x）﹣k x=0得f（x）=kx，作出函数f（x）和y=kx的图象如图，由图象知当k≤0时，函数f（x）和y=kx恒有一个交点，当x≥0时，函数f（x）=ln（x+1）的导数f′（x）=，则f′（0）=1，xx0=1，当x＜0时，函数f（x）=e﹣1的导数f′（x）=e，则f′（0）=e即当k=1时，y=x是函数f（x）的切线，则当0＜k＜1时，函数f（x）和y=kx有3个交点，不满足条件．当k≥1时，函数f（x）和y=kx有1个交点，满足条件．k≤0或k≥1，围为综上k的取值范故选：B．2n+p，数列{bn}的通项公式12．（5分）（2018?衡中模拟）已知数列{an}的通项公式为a n=﹣n﹣4*围为b n=2，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N，n≠6），则p的取值范（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）n﹣42【解答】解：∵an﹣b n=﹣2n+p﹣，∴a n﹣b n随着n变大而变小，又∵a n=﹣2n+p随着n变大而变小，n﹣4bn=2随着n变大而变大，∴，（1）当（2）当，综上p∈（14，20），故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）|=，则在上13．（5分）（2018?衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣的投影为﹣1．【解答】解：根据条件，=word完美格式=7；∴；∴在上的投影为．故答案为：﹣1．14．（5分）（2018?衡中模拟）若数列{an}满足a1=a2=1，an+2=，则数列{a n}前2n项和S2n=2﹣1．n+n2【解答】解：∵数列{an}满足a1=a2=1，an+2=，∴n=2k﹣1时，a2k+1﹣a2k﹣1=2，为等差数列；n=2k时，a2k+2=2a2k，为等比数列．∴．n2故答案为：2+n﹣1．15．（5分）（2018?衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为2．【解答】解：由ax+（a﹣2）y+4﹣a=0得a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，则得，即直线恒过C（﹣1，2），若将区域分成面积相等的两部分，则直线过AB的中点D，由得，即A（1，6），∵B（3，0），∴中点D（2，3），代入a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，得4a﹣2=0，则，则的几何意义是区域内的点到点（﹣2，0）的斜率，由图象过AC的斜率最大，此时最大值为2．故答案为：2．216．（5分）（2018?衡中模拟）已知函数f （x ）=（a+1）lnx+x （a ＜﹣1）对 任意的x 1、x 2＞0，恒有|f （x 1）﹣f （x 2）|≥4|x 1﹣x 2|，则a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]． 【解答】解：由f ′（x ）=+x ，得f ′（1）=3a+1，所以f （x ）=（a+1）lnx+ax 2，（a ＜﹣1）在（0，+∞）单调递减，不妨设0＜x1＜x2， 则f （x 1）﹣f （x 2）≥4x 2﹣4x 1，即f （x 1）+4x 1≥f （x 2）+4x 2， 令F （x ）=f （x ）+4x ，F ′（x ）=f ′（x ）+4=+2ax+4， 等价于F （x ）在（0，+∞）上单调递减， 故F'（x ）≤0恒成立，即+2ax+4≤0， 所以恒成立， 得a ≤﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018?衡中模拟）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足c =1， 且cosBsinC+（a ﹣sinB ）cos （A+B ）=0 （1）求C 的大小；（2）求a 的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的值．2+b 2 【解答】解：（1）cosBsinC+（a ﹣sinB ）cos （A+B ）=0 可得：cosBsinC ﹣（a ﹣sinB ）cosC=0 即：sinA ﹣acosC=0． 由正弦定理可知：， ∴，c=1，word完美格式∴asinC﹣acosC=0，sinC﹣cosC=0，可得sin（C﹣）=0，C是三角形内角，∴C=．（2）由余弦定理可知：c﹣2abcosC，2=a2+b2得1=a﹣ab2+b2又，∴，即：．当时，a2+b取到最大值为2+．2+b218．（12分）（2018?衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=，2AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．【解答】证明：（1）取PC的中点E，则连接DE，∵ME是△PBC的中位线，∴ME，又AD，∴MEAD，∴四边形AMED是平行四边形，∴AM∥DE．∵PA=AB，M是PB的中点，∴AM⊥PB，∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵AM?平面PAB，∴BC⊥AM，又PB?平面PBC，BC?平面PBC，PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC，∵AM∥DE，∴DE⊥平面PBC，又DE?平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．（2）以A为原点，以AD，AB，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），B（0，2，0），M（0，1，1），P（0，0，2），C（2，2，0），D（1，0，0）．∴=（1，2，0），=（0，1，1），=（1，0，0），∴=λ=（λ，2λ，0），=（λ+1，2λ，0），1）．==（λ+1，2λ﹣1，﹣∵AD⊥平面PAB，∴为平面PAB的一个法向量，∴cos＜＞=====设MN与平面PAB所成的角为θ，则sinθ=．∴当即时，sinθ取得最大值，∴MN与平面PAB所成的角最大时．19．（12分）（2018?衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区两个域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动，重新开转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效域为y，x、y∈{1，2，3}，始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（1）记A指针指向1，2，3区域的事件为A1，A2，A3，转盘1，2，3区域的事件为B1，B2，B3，同理转盘B指针指向∴P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（B1）=，P（B2）=，P（B3）=，P=P（A1）P（1﹣P（B1））=×（1﹣）==．⋯（5分）（2）由已知得ξ的可能取值为2，3，4，5，6，P（ξ=2）=P（A1）P（B1）===，P（ξ=3）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）==，P（ξ=4）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）==，P（ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=+=，P（ξ=6）=P（A3）P（B3）==，∴ξ的分布列为：ξ23456PEξ==．⋯（12分）20．（12分）（2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段1，）．过椭圆E内一点P（1，）的M N的中点为（﹣两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，kAB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．，【解答】解：（Ⅰ）设M（m1，n1）、N（m2，n2），则两式相减，故a⋯（2分）2=3b2A P平行于x轴时，设|AC|=2d，当直线∵，，则，解得，故点A（或C）的坐标为．代入椭圆方程，得⋯4分22a=3，b=1，所以方程为⋯（6分）（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）由于，可得A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），⋯①同理可得⋯②⋯（8分）由①②得：⋯③得，程将点A、B的坐标代入椭圆方两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，于是3（y1+y2）k AB=﹣（x1+x2）⋯④同理可得：3（y3+y4）k CD=﹣（x3+x4），⋯（10分）于是3（y3+y4）k AB=﹣（x3+x4）（∵AB∥CD，∴k AB=k CD）所以3λ（y3+y4）kAB=﹣λ（x3+x4）⋯⑤由④⑤两式相加得到：3[y1+y2+λ（y3+y4）]k AB=﹣[（x1+x2）+λ（x3+x4）]把③代入上式得3（1+λ）k AB=﹣2（1+λ），解得：，当λ变化时，k AB为定值，．⋯（12分）2 21．（12分）（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e 处的切线x﹣2y+e=0平行．与直线（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；．（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围【解答】解：（Ⅰ）由，得，解得m=2，，函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），故，则而，又函数g（x）在（1，+∞）上是减函数，∴在（1，+∞）上恒成立，∴当x∈（1，+∞）时，的最大值．而，即右边的最大值为，∴，故实数a的最小值；（Ⅱ）由题可得，且定义域为（0，1）∪（1，+∞），word完美格式要使函数F（x）无零点，即在（0，1）∪（1，+∞）内无解，亦即在（0，1）∪（1，+∞）内无解．构造函数，则，（1）当k≤0时，h'（x）＜0在（0，1）∪（1，+∞）内恒成立，∴函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内也单调递减．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）时，h（x）＞0，即函数h（x）在（0，1）内无零点，同理，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即函数h（x）在（1，+∞）内无零点，故k≤0满足条件；（2）当k＞0时，．①若0＜k＜2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．又h（1）=0，∴h（x）在（0，1）内无零点；又，而，故在内有一个零点，∴0＜k＜2不满足条件；②若k=2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h（x）＞0恒成立，故无零点．∴k=2满足条件；③若k＞2，则函数h（x）在内单调递减，在内单调递增，在（1，+∞）内也单调递增．又h（1）=0，∴在及（1，+∞）内均无零点．﹣kk=2e k22=?（k），k﹣k）﹣2+2e﹣易知，又h（e）=k×（﹣k26＞则?'（k）=2（e﹣k）＞0，则?（k）在k＞2为增函数，∴?（k）＞?（2）=2e﹣0．故函数h（x）在内有一零点，k＞2不满足．综上：k≤0或k=2．4-1：几何证明选讲][选修22．（10分）（2018?衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．word完美格式..（Ⅰ）求证：DE ∥AB ；（Ⅱ）求证：AC?BC=2AD?CD ．【解答】证明：（Ⅰ）连接B D ，因为D 为的中点，所以BD=DC ．因为E 为BC 的中点，所以DE ⊥BC ．因为AC 为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB ∥DE ．⋯（5分）（Ⅱ）因为D 为的中点，所以∠BAD=∠DAC ，又∠BAD=∠DCB ，则∠DAC=∠DCB ．又因为AD ⊥DC ，DE ⊥CE ，所以△DAC ∽△ECD ．所以=，AD?CD=AC?CE ，2AD?CD=AC?2CE ，因此2AD?CD=AC?BC ．⋯（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018?衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为（t 为参数），在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．【解答】解：（1）由曲线C 的极坐标方程为ρ=得ρ2sin 2 θ=2ρcos θ． 2∴由曲线C 的直角坐标方程是：y=2x ．由直线l 的参数方程为（t 为参数），得t=3+y 代入x=1+t 中消去t 得：x ﹣y ﹣4=0，所以直线l 的普通方程为：x ﹣y ﹣4=0⋯（5分）（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程y 2=2x ，得t 2=2x ，得t 2 ﹣8t+7=0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，word完美格式..所以|AB|===，y﹣4=0的距离d=，因为原点到直线x﹣所以△AOB的面积是|AB|d==12．⋯（10分）[选修4-5：不等式选讲]3|．l|+|x﹣24．（2018?衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣（I）解不等式f（x）≤6；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．l|+|x﹣3|=的图象如图所示，【解答】解：函数f（x）=|x﹣（I）不等式f（x）≤6，即①或②，或③．解①求得x∈?，解②求得3＜x≤5，解③求得﹣1≤x≤3．1，5]．综上可得，原不等式的解集为[﹣（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，则函数f（x）的图象不能在y=ax﹣1的图象的下方．如图所示：由于图中两题射线的斜率分别为﹣2，2，点B（3，2），∴3a﹣1≤2，且a≥﹣2，求得﹣2≤a≤1．欢迎您的光临，Word文档下载后可修改编辑双击可删除页眉页脚谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。
2018高考数学模拟试卷(衡水中学理科)
2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018•衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．∅B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]2．（5分）（2018•衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.23．（5分）（2018•衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．4．（5分）（2018•衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）（2018•衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．16．（5分）（2018•衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5分）（2018•衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．8．（5分）（2018•衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．7209．（5分）（2018•衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A．16 B．8+6C．16D．16+610．（5分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）（2018•衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥12．（5分）（2018•衡中模拟）已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣4，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）第2卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．（5分）（2018•衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，则在上的投影为．14．（5分）（2018•衡中模拟）若数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则数列{a n}前2n项和S2n=．15．（5分）（2018•衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为．16．（5分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018•衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．18．（12分）（2018•衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD ∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．19．（12分）（2018•衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．20．（12分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1，）．过椭圆E内一点P（1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，k AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．21．（12分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018•衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018•衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|．（I）解不等式f（x）≤6；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018•衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．∅B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]【解答】解：A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={y|y=|x|≥0}，则A∩B=[0，1），故选：C．2．（5分）（2018•衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.2【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴μ=3，得对称轴是x=3．∵P（ξ＞4）=0.2∴P（3＜ξ≤4）=0.5﹣0.2=0.3．故选：C3．（5分）（2018•衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：复数z=，可得=﹣=cos+isin．则3=cos4π+isin4π=1．故选：A．4．（5分）（2018•衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：如图若∠PFQ=π，则由对称性得∠QFO=，则∠QOx=，即OQ的斜率k==tan=，则双曲线渐近线的方程为y=±x，故选：B5．（5分）（2018•衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．1【解答】解：∵2πr1=，∴r1=，同理，∴r1+r2+r3=1，故选：D．6．（5分）（2018•衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，第二次循环，sinπ＞sin，即0＞1不成立，a=0，T=1，k=3，k＜6成立，第三次循环，sin＞sinπ，即﹣1＞0不成立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，第四次循环，sin2π＞sin，即0＞﹣1成立，a=1，T=1+1=2，k=5，k＜6成立，第五次循环，sin＞sin2π，即1＞0成立，a=1，T=2+1=3，k=6，k＜6不成立，输出T=3，故选：B7．（5分）（2018•衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，a3=7，a5=11，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，∴，∴b8=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=故选B．8．（5分）（2018•衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．720【解答】解：（x﹣3）10=[（x+1）﹣4]10，∴，故选：D．9．（5分）（2018•衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A．16 B．8+6C．16D．16+6【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，4，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．三棱锥的三条边长分别为，∴表面积为4×=16．故选：C．10．（5分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为Q，由F（﹣3，0），可得Q（3，0），由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，即|PF|=2a﹣|PQ|，则|PM|+|PF|=2a+（|PM|﹣|PQ|）≤2a+|MQ|，当P，M，Q共线时，取得等号，即最大值2a+|MQ|，由|MQ|==5，可得2a+5=17，所以a=6，则e===，故选：A．11．（5分）（2018•衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥【解答】解：由y=f（x）﹣kx=0得f（x）=kx，作出函数f（x）和y=kx的图象如图，由图象知当k≤0时，函数f（x）和y=kx恒有一个交点，当x≥0时，函数f（x）=ln（x+1）的导数f′（x）=，则f′（0）=1，当x＜0时，函数f（x）=e x﹣1的导数f′（x）=e x，则f′（0）=e0=1，即当k=1时，y=x是函数f（x）的切线，则当0＜k＜1时，函数f（x）和y=kx有3个交点，不满足条件．当k≥1时，函数f（x）和y=kx有1个交点，满足条件．综上k的取值范围为k≤0或k≥1，故选：B．12．（5分）（2018•衡中模拟）已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣4，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）【解答】解：∵a n﹣b n=﹣2n+p﹣2n﹣4，∴a n﹣b n随着n变大而变小，又∵a n=﹣2n+p随着n变大而变小，b n=2n﹣4随着n变大而变大，∴，（1）当（2）当，综上p∈（14，20），故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．（5分）（2018•衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，则在上的投影为﹣1．【解答】解：根据条件，==7；∴；∴在上的投影为．故答案为：﹣1．14．（5分）（2018•衡中模拟）若数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则数列{a n}前2n项和S2n=2n+n2﹣1．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，∴n=2k﹣1时，a2k+1﹣a2k﹣1=2，为等差数列；n=2k时，a2k+2=2a2k，为等比数列．∴．故答案为：2n+n2﹣1．15．（5分）（2018•衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为2．【解答】解：由ax+（a﹣2）y+4﹣a=0得a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，则得，即直线恒过C（﹣1，2），若将区域分成面积相等的两部分，则直线过AB的中点D，由得，即A（1，6），∵B（3，0），∴中点D（2，3），代入a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，得4a﹣2=0，则，则的几何意义是区域内的点到点（﹣2，0）的斜率，由图象过AC的斜率最大，此时最大值为2．故答案为：2．16．（5分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为（﹣∞，﹣2] ．【解答】解：由f′（x）=+x，得f′（1）=3a+1，所以f（x）=（a+1）lnx+ax2，（a＜﹣1）在（0，+∞）单调递减，不妨设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）≥4x2﹣4x1，即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，令F（x）=f（x）+4x，F′（x）=f′（x）+4=+2ax+4，等价于F（x）在（0，+∞）上单调递减，故F'（x）≤0恒成立，即+2ax+4≤0，所以恒成立，得a≤﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018•衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．【解答】解：（1）cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0可得：cosBsinC﹣（a﹣sinB）cosC=0即：sinA﹣acosC=0．由正弦定理可知：，∴，c=1，∴asinC﹣acosC=0，sinC﹣cosC=0，可得sin（C﹣）=0，C是三角形内角，∴C=．（2）由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC，得1=a2+b2﹣ab又，∴，即：．当时，a2+b2取到最大值为2+．18．（12分）（2018•衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD ∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．【解答】证明：（1）取PC的中点E，则连接DE，∵ME是△PBC的中位线，∴ME，又AD，∴ME AD，∴四边形AMED是平行四边形，∴AM∥DE．∵PA=AB，M是PB的中点，∴AM⊥PB，∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵AM⊂平面PAB，∴BC⊥AM，又PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC，∵AM∥DE，∴DE⊥平面PBC，又DE⊂平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．（2）以A为原点，以AD，AB，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），B（0，2，0），M（0，1，1），P（0，0，2），C（2，2，0），D（1，0，0）．∴=（1，2，0），=（0，1，1），=（1，0，0），∴=λ=（λ，2λ，0），=（λ+1，2λ，0），==（λ+1，2λ﹣1，﹣1）．∵AD⊥平面PAB，∴为平面PAB的一个法向量，∴cos＜＞=====设MN与平面PAB所成的角为θ，则sinθ=．∴当即时，sinθ取得最大值，∴MN与平面PAB所成的角最大时．19．（12分）（2018•衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（1）记转盘A指针指向1，2，3区域的事件为A1，A2，A3，同理转盘B指针指向1，2，3区域的事件为B1，B2，B3，∴P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（B1）=，P（B2）=，P（B3）=，P=P（A1）P（1﹣P（B1））=×（1﹣）==．…（5分）（2）由已知得ξ的可能取值为2，3，4，5，6，P（ξ=2）=P（A1）P（B1）===，P（ξ=3）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）==，P（ξ=4）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）==，P（ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=+=，P（ξ=6）=P（A3）P（B3）==，∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4 5 6PEξ==．…（12分）20．（12分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1，）．过椭圆E内一点P（1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，k AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设M（m1，n1）、N（m2，n2），则，两式相减，故a2=3b2…（2分）当直线AP平行于x轴时，设|AC|=2d，∵，，则，解得，故点A（或C）的坐标为．代入椭圆方程，得…4分a2=3，b2=1，所以方程为…（6分）（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）由于，可得A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），…①同理可得…②…（8分）由①②得：…③将点A、B的坐标代入椭圆方程得，两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，于是3（y1+y2）k AB=﹣（x1+x2）…④同理可得：3（y3+y4）k CD=﹣（x3+x4），…（10分）于是3（y3+y4）k AB=﹣（x3+x4）（∵AB∥CD，∴k AB=k CD）所以3λ（y3+y4）k AB=﹣λ（x3+x4）…⑤由④⑤两式相加得到：3[y1+y2+λ（y3+y4）]k AB=﹣[（x1+x2）+λ（x3+x4）]把③代入上式得3（1+λ）k AB=﹣2（1+λ），解得：，当λ变化时，k AB为定值，．…（12分）21．（12分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，得，解得m=2，故，则，函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），而，又函数g（x）在（1，+∞）上是减函数，∴在（1，+∞）上恒成立，∴当x∈（1，+∞）时，的最大值．而，即右边的最大值为，∴，故实数a的最小值；（Ⅱ）由题可得，且定义域为（0，1）∪（1，+∞），要使函数F（x）无零点，即在（0，1）∪（1，+∞）内无解，亦即在（0，1）∪（1，+∞）内无解．构造函数，则，（1）当k≤0时，h'（x）＜0在（0，1）∪（1，+∞）内恒成立，∴函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内也单调递减．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）时，h（x）＞0，即函数h（x）在（0，1）内无零点，同理，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即函数h（x）在（1，+∞）内无零点，故k≤0满足条件；（2）当k＞0时，．①若0＜k＜2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．又h（1）=0，∴h（x）在（0，1）内无零点；又，而，故在内有一个零点，∴0＜k＜2不满足条件；②若k=2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h（x）＞0恒成立，故无零点．∴k=2满足条件；③若k＞2，则函数h（x）在内单调递减，在内单调递增，在（1，+∞）内也单调递增．又h（1）=0，∴在及（1，+∞）内均无零点．易知，又h（e﹣k）=k×（﹣k）﹣2+2e k=2e k﹣k2﹣2=ϕ（k），则ϕ'（k）=2（e k﹣k）＞0，则ϕ（k）在k＞2为增函数，∴ϕ（k）＞ϕ（2）=2e2﹣6＞0．故函数h（x）在内有一零点，k＞2不满足．综上：k≤0或k=2．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018•衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（5分）（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，因此2AD•CD=AC•BC．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018•衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ=得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴由曲线C的直角坐标方程是：y2=2x．由直线l的参数方程为（t为参数），得t=3+y代入x=1+t中消去t得：x﹣y﹣4=0，所以直线l的普通方程为：x﹣y﹣4=0…（5分）（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2x，得t2﹣8t+7=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|AB|===，. . . .. . ..s . .. 因为原点到直线x ﹣y ﹣4=0的距离d=， 所以△AOB 的面积是|AB |d==12．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．（2018•衡中模拟）已知函数f （x ）=|x ﹣l |+|x ﹣3|．（I ）解不等式f （x ）≤6；（Ⅱ）若不等式f （x ）≥ax ﹣1对任意x ∈R恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：函数f （x ）=|x ﹣l |+|x ﹣3|= 的图象如图所示，（I ）不等式f （x ）≤6，即①或②，或③． 解①求得x ∈∅，解②求得3＜x ≤5，解③求得﹣1≤x ≤3．综上可得，原不等式的解集为[﹣1，5]．（Ⅱ）若不等式f （x ）≥ax ﹣1对任意x ∈R 恒成立，则函数f （x ）的图象不能在y=ax ﹣1的图象的下方．如图所示：由于图中两题射线的斜率分别为﹣2，2，点B （3，2），∴3a ﹣1≤2，且 a ≥﹣2，求得﹣2≤a ≤1．。
2018年衡水金卷普通高等学校招生全国统一考试模拟数学(理)(一)试题(解析版)
2018年衡水金卷普通高等学校招生全国统一考试模拟数学（理）（一）试题一、单选题1．已知集合{}20A x x =-， 1|12xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则（ ）A. {}|02A B x x ⋂=<≤B. {}|0A B x x ⋂=<C. {}|2A B x x ⋃=<D. A B R ⋃= 【答案】D【解析】由题意得集合{}20{|2}A x x x x =-=<， {}1{|1}02xB x x x =<=（），则{|02}A B x x ⋂=<<， A B R ⋃=，故选D.2．已知i 为虚数单位， a 为实数，复数z 满足3z i a ai +=+，若复数z 是纯虚数，则（ ）A. 3a =B. 0a =C. 0a ≠D. 0a < 【答案】B【解析】由3z i a ai +=+，得()3z a a i =+-，又∵复数z 是纯虚数，∴0{ 30a a =-≠，解得0a =，故选B.3．我国数学家邹元治利用下图证明了勾股定理，该图中用勾和股分别表示直角三角形的两条直角边，用弦来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】设直角三角形的长直角边为，短直角边为，由题意，∵大方形的边长为，小方形的边长为，则大正方形的面积为49，小正方形的面积为25，∴满足题意的概率值为：，故选B.4．已知等差数列()n a 的前n 项和为n S ，且96S π=，则5tan a =（ ）A.B. C. D. 【答案】C【解析】由等差数列的性质可得： ()19959692a a S a π+===，∴523a π=，则52tan tan3a π== C. 5．已知函数，则下列结论正确的是（ ）A. 在区间内单调递增B. 在区间内单调递减C. 是偶函数D. 是奇函数，且在区间内单调递增【答案】D【解析】当时，函数在区间内单调递增，当时，函数在区间上单调递减，在内单调递增，故，均错误，，均成立，故是奇函数，故错误，故选.6．()()412x x +-的展开式中x 项的系数为（ ） A. -16 B. 16 C. 48 D. -48 【答案】A【解析】∵()42x -展开式的通项公式为()4142rr rr T C x -+=⋅-，∴()()412x x +-的展开式中x 项的系数为13442216C -⋅+=-，故选A.7．如图是某个集合体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）A.4π+ B. 24π+ C. 22π+ D. 24π+【答案】B【解析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体，其直观图如下所示： 其表面积)211212222S ππ=⨯⋅+，故选B.8．若1,01a c b ><<<，则下列不等式不正确的是（ ） A. 20182018log log a b > B. log log b c a a <C. ()()cba c a a c a ->- D. ()()cbc b a c b a ->-【答案】C【解析】根据对数函数的单调性可得20182018log log a b >正确， log log b c a a <正确，∵1a >， 01c b <<<，∴c ba a <， 0a c ->，∴()()cb ac a a c a -<-，故C 不正确，∵0c b -<，∴()()cbc b a c b a ->-正确，故选C.9．执行如图所示的程序框图，若输出的n 值为11，则判断框中的条件可以是（ ）A. 1022?S <B. 2018?S <C. 4095?S <D. 4095?S > 【答案】C【解析】第1次执行循环体， 3S =，应不满足输出的条件，n=2， 第2次执行循环体，S=7，应不满足输出的条件，n=3， 第3次执行循环体，S=15，应不满足输出的条件，n=4， 第4次执行循环体，S=31，应不满足输出的条件，n=5， 第5次执行循环体，S=63，应不满足输出的条件，n=6， 第6次执行循环体，S=127，应不满足输出的条件，n=7，第7次执行循环体，S=255，应不满足输出的条件，n=8， 第8次执行循环体，S=511，应不满足输出的条件，n=9， 第9次执行循环体，S=1023，应不满足输出的条件，n=10， 第10次执行循环体，S=2047，应不满足输出的条件，n=11 第11次执行循环体，S=4095，应满足输出的条件， 故判断框中的条件可以是S ＜4095？， 故选：C点睛：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题；由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 10．已知函数()()2sin 02f x x πϖφφφ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度后，所得图象与函数()y g x =的图象重合，则（ ）A. ()2sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()2sin2g x x =D. ()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>， 2πϕ≤）的部分图象，可得332244312T πππω=⋅=+，∴2ω=，根据201212ππωϕϕ⎛⎫⋅-+=⋅-+= ⎪⎝⎭（），∴6πϕ=，故2sin 26f x x π=+（）（），将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度后，所得图象与函数()y g x =的图象重合，故()2sin 22sin 2663g x x x πππ=++=+（）（），故选A.点睛：题主要考查利用()sin y A x ωφ=+的图象特征，由函数()sin y A x ωφ=+的部分图象求解析式，理解解析式中,,A ωφ的意义是正确解题的关键，属于中档题． A 为振幅，有其控制最大、最小值，ω控制周期，即2T πω=，通常通过图象我们可得2T和4T, φ称为初象，通常解出A ， ω之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作斜率为1的直线l 交抛物线C 于,P Q 两点，则11PF QF+的值为（ ） A.12 B. 78C. 1D. 2 【答案】C【解析】抛物线C ： 24y x =的焦点为10F （，），过点F 作斜率为1的直线l ： 1y x =-，可得24{1y x y x ==-，消去y 可得： 2610x x -+=，可得6P Q x x +=， 1P Q x x =，1P PF x =+， 1Q QF x =+， 16118Q P P Q PF QF x x x x =+++=++=，则11621161PF QF PF QF QF FP +++===++，故选C. 12．已知数列{}n a 中， ()*112,1,n n n a n a a a n N +=-=+∈，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A. (][),22,-∞-⋃+∞ B. (][),21,-∞-⋃+∞ C. (][),12,-∞-⋃+∞ D. []2,2-【答案】A【解析】根据题意，数列{}n a 中， ()11n n n n a a a +-=+，即()111n n na n a +-+=，则有()1111111n n a a n n n n n n +-==-+++，则有1111221111112n n n n n n a a a a a aa a a n n n nn n ++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-⎪ ⎪ ⎪++---⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）111111111233112121n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+-+=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，21211n a t at n +<+-+，即213211t at n -<+-+，∵对于任意的[]22a ∈-，， *n N ∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，∴2213t at +-≥，化为： 2240t at +-≥，设()224f a t at =+-， []22a ∈-，，可得20f ≥（）且()20f -≥，即有2220{ 20t t t t +-≥--≥，即12{21t t t t ≥≤-≥≤-或或，可得2t ≥或2t ≤-，则实数t 的取值范围是][22-∞-⋃+∞（，，），故选A.点睛：本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是对()11n n n n a a a +-=+的变形，即运用裂项相消求和可得()1111111n n a a n n n n n n +-==-+++，再由不等式恒成立问题可得2240t at +-≥，设()224f a t at =+-， []22a ∈-，，运用一次函函数的性质，可得t 的不等式，解不等式即可得到所求t 的范围.二、填空题13．已知向量()()1,,3,1a b λ==，若向量2a b -与()1,2c =共线，则向量a 在向量c 放向上的投影为__________． 【答案】0【解析】向量()1,a λ=， 31b =（，），向量2121a b λ-=--（，），∵向量2a b -与12c =（，）共线，∴212λ-=-，即12λ=-，∴向量112a =-（，），∴向量a 在向量c 方向上的投影为21112cos ,01a ca a c c⨯-⨯⋅⋅===+，故答案为0.14．若实数,x y 满足4,{2, 1,x y x y x +=≤≥则31z x y =-+的最大值是__________．【答案】13-【解析】实数x ， y 满足4,{2, 1,x y x y x +=≤≥，对应的可行域如图：线段AB ， 31z x y =-+化为： 1133z y x -=+，如果z 最大，则直线1133z y x -=+在y 轴上的截距13z -最小，作直线l ： 13y x =，平移直线13y x =至B 点时，31z x y =-+取得最大值，联立4{2x y x y +==，解得84,33B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以31z x y =-+的最大值是：84131333-⨯+=-，故答案为13-. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．过双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的下焦点1F 作y 轴的垂线，交双曲线于,A B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过其上焦点2F ,则双曲线的离心率为__________．【答案】1【解析】过双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的下焦点1F 作y 轴的垂线，交双曲线于A ， B 两点，则22b AB a =，以AB 为直径的圆恰好过其上焦点2F ，可得：22b c a =，∴2220c a ac --=，可得2210e e --=，解得1e = 1e =为116．一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为__________．【答案】【解析】设该项长方体底面边长为x 米，由题意知其高是：248624xx -=-，（ 03x <<），则长方体的体积()()262V x x x =-，（ 03x <<），()()2'12662V x x x x x =-=-，由()'0V x =，得2x =，且当02x <<时，()0V x '>， ()V x 单调递增；当23x <<时， ()0V x '<， ()V x 单调递减，∴体积函数()V x 在2x =处取得唯一的极大值，即为最大值，此时长方体的高为622x -=，∴其外接球的直径2R =R ，∴其外接球的体积343R V π==，故答案为.点睛：本题主要考查了正方体和球的组合体问题，解决该题的关键是准确寻找直径与正方体的关系是解题的关键，常见的形式有：1、当正方体的各个顶点均在球面上时，正方体的体对角线为球的直径；2、当球与正方体的各条棱相切时，球的直径即为面的对角线；3、当球与正方体的的各面相切时，正方体的棱长即为球的直径.三、解答题17．如图，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2co s c o s c o s a A b C c B =+.(1)求角A 的大小；(2)若点D 在边AC 上，且BD 是ABC ∠的平分线， 2,4AB BC ==，求AD 的长.【答案】(1) 3A π=；(2) AD =. 【解析】试题分析：（1）利用正弦定理将边化角，根据三角恒等变换即可得出1cos 2A =，从而得出A 的大小；（2）利用余弦定理求出AC ，根据BD 是ABC ∠的平分线，可得AD ABDC BC=，故而可求得结果. 试题解析：(1)在ABC ∆中，∵2cos cos cos a A b C c B =+,∴由正弦定理得()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C C B B C A =+=+=， ∵sin 0A ≠，∴1cos 2A =，∵()0A π∈，，∴3A π=. (2)在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，即21642AC AC =+-,解得1AC =,或1AC =∵BD 是ABC ∠的平分线， 2,4AB BC ==，∴12AD AB DC BC ==,∴13AD AC ==. 18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1CC ⊥底面ABC ,且122,CC AC BC AC BC ==⊥, D 是棱AB 的中点，点M 在侧棱1CC 上运动.(1)当M 是棱1CC 的中点时，求证： //CD 平面1MAB ；(2)当直线AM 与平面ABC 所成的角的正切值为32时，求二面角11A MB C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) 14-. 【解析】试题分析：（1）取线段1AB 的中点E ，连结,DE EM ．可得四边形CDEM 是平行四边形， CD EM ，即可证明CD 平面1MAB ；（2）以C 为原点， CA ， CB ， 1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法二面角11A MB C --的余弦值.试题解析：(1)取线段1AB 的中点E ，连结,DE EM . ∵1,AD DB AE EB ==,∴1//DE BB ，且112DE BB =. 又M 为1CC 的中点，∴1//CM BB ,且112CM BB =. ∴//CM DE ,且CM DE =.∴四边形CDEM 是平行四边形. ∴//CD EM .又EM ⊂平面1,AB M CD ⊄平面1AB M ,∴//CD 平面1MAB .(2)∵1,,CA CB CC 两两垂直，∴以C 为原点， 1,,CA CB CC 所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz ，如图,∵三棱柱111ABC A B C -中， 1CC ⊥平面ABC ， ∴MAC ∠即为直线AM 与平面ABC 所成的角. 设1AC =，则由3tan 2MAC ∠=，得32CM =.∴()()()()130,0,0,1,0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,2C A B B M ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴()131,0,,1,1,22AM AB ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, 设平面1AMB 的一个法向量为(),,n x y z =，则130,{ 220,AM n x z AB n x y z ⋅=-+=⋅=-++= 令2z =，得3,1x y ==-，即()3,1,2n =-.又平面11BCC B 的一个法向量为()1,0,0CA =,∴cos ,14CA n CA n CA n⋅==, 又二面角11A MB C --的平面角为钝角，∴二面角11A MB C --的余弦值为14-. 19．第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示. (1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数；(2)从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人. ①记X 表示选取4人的成绩的平均数,求()87P X ≥；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数,求ξ的分布列和数学期望.【答案】(1)答案见解析；(2)①.235；②.答案见解析. 【解析】试题分析：（1）众数为76，中位数为76，抽取的12人中， 70分以下的有4人，不低于70分的有8人，从而求出从该校学生中任选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率，由此能求出该校这次测试成绩在70分以上的人数；（2）①由题意知70分以上的有72， 76， 76， 76， 82， 88， 93， 94，当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类：一类是： 82， 88， 93， 94，共1种；另一类是： 76， 88， 93， 94，共3种．由此能求出()87P X ≥；②由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E ξ（）． 试题解析：(1)众数为76，中位数为76.抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为82123=，故该校这次测试成绩在70分以上的约有2300020003⨯=（人） (2)①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94. 当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类. 一类是82，88，93，94，共1种；另一类是76，88，93，94，共3种.所以 4842(87035p X C ≥==. ②由题意可得， ξ的可能取值为0，1，2，3，4()0444481070C C P C ξ===, ()13444816817035C C P C ξ====,()224448361827035C C P C ξ====,()31444816837035C C P C ξ====, ()4044481470C C P C ξ===. ξ的分别列为()1818810123427035353570E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 20．已知椭圆 ()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,离心率为13，点P 在椭圆C 上，且12PF F ∆的面积的最大值为(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线():20l y kx k =+≠与椭圆C 交于不同的两点,M N ，若在x 轴上存在点G ，使得GM GN =，求点G 的横坐标的取值范围.【答案】(1) 22198x y +=；(2)0,1212⎡⎫⎛-⋃⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦. 【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出椭圆方程；（2）联立方程组，利用根与系数的关系求出MN 的中点E 的坐标，根据GE MN ⊥得出G 点横坐标m 的表达式，利用基本不等式得出m 的取值范围.试题解析：(1)由已知得22213,1{2 2,c a c b c a b =⨯⨯==-，解得2229,8,1a b c ===，∴椭圆C 的方程为22198x y +=. (2)设()()1122,,,M x y N x y ， MN 的中点为()00,E x y ，点(),0G m ，使得GM GN =,则GE MN ⊥. 由222,{ 1,98y kx x y =++=得()228936360k xkx ++-=，由0∆>，得k R ∈.∴1223698kx x k +=-+，∴000221816,29898k x y kx k k -==+=++. ∵,GE MN ⊥∴1GE k k =-，即221601981898k k k k -+=--+， ∴2228989k m k k k--==++. 当0k >时，89k k +≥89k k =，即k =取等号），∴0m ≤<； 当0k >时，89k k +≤-（当且仅当89k k =，即3k =-时，取等号），∴012m <≤，∴点G的横坐标的取值范围为⎡⎫⎛⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦.21．设函数()()2ln ,,xf x e a x a a R e =--+∈为自然对数的底数.(1)若0a >,且函数()f x 在区间[)0,+∞内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若203a <<，试判断函数()f x 的零点个数. 【答案】(1) [)1+∞，；(2)函数()f x 没有零点.【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，问题转化为x a e x -≥-在[0+∞，）恒成立，记()xg x ex -=-，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（2）求出()1'xf x e x a=-+，记()()'h x f x =，根据函数的单调性得到()f x '在区间(),a -+∞递增，从而求出()f x 的最小值大于0，判断出函数无零点即可.试题解析：(1)∵函数()f x 在区间[)0+∞，内单调递增，∴()1'0x f x e x a=-≥+在区间[)0+∞，内恒成立. 即xa ex -≥-在区间[)0+∞，内恒成立.记()xg x ex -=-，则()'10x g x e -=--<恒成立，∴()g x 在区间[)0+∞，内单调递减,∴()()01g x g ≤=，∴1a ≥，即实数a 的取值范围为[)1+∞，. (2)∵203a <<， ()1'xf x e x a=-+， 记()()'h x f x =，则()()21'0x h x e x a =+>+，知()'f x 在区间(),a -+∞内单调递增. 又∵()1'010f a =-<， ()1'10f e a a=->+， ∴()'f x 在区间(),a -+∞内存在唯一的零点0x ， 即()0001'0xf x e x a=-=+， 于是001x ex a=+， ()00ln x x a =-+. 当0a x x -<<时， ()()'0,f x f x <单调递减； 当0x x >时， ()()'0,f x f x >单调递增.∴()()()000min 2ln xf x f x e a x a ==--+0000112323a x x a a a x a x a=-+=++-≥-++， 当且仅当01x a +=时，取等号. 由203a <<，得230a ->， ∴()()0min 0f x f x =>，即函数()f x 没有零点.22．已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为221164y x +=，以O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 33πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (1)求直线l 的直角坐标方程和椭圆C 的参数方程；(2)设(),M x y 为椭圆C上任意一点，求1y +-的最大值. 【答案】(1)直线l 的直角坐标方程为60y +-=，椭圆C 的参数方程为2,{(4x cos y sin φφφ==为参数）；(2)9. 【解析】试题分析：（1）根据题意，由参数方程的定义可得椭圆的参数方程，对直线l 的极坐标方程利用两角和的正弦展开，将x cos ρθ=， y sin ρθ=代入可得直线l 的普通方程；（2）根据题意，设2cos 4sin Mθθ（，），进而分析可得14sin 18sin 13y πθθθ+-=+-=+-（），由三角函数的性质分析可得答案.试题解析：(1)由sin 33πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得1sin cos 32ρθθ=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入，得直线l60y +-=. 椭圆C 的参数方程为2,{(4x cos y sin φφφ==为参数）.(2)因为点M 在椭圆C 上，所以设()2cos ,4sin M φφ，则14sin 18sin 193y πφφφ⎛⎫+-=+-=+-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当sin 13πφ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，取等号，所以max 19y +-=. 23．已知函数()2f x x =-.(1)求不等式()()24f x f x ++≤的解集；(2)若()()()2g x f x f x =-+的最大值为m ，对任意不想等的正实数,a b ，证明：()()af b bf a m a b +≥-.【答案】(1) {}|13x x -≤≤；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）原不等式即为24x x -+≤，分当2x ≥时，当02x <<时，当0x ≤时去绝对值，解不等式，最后求并集即可；（2）运用绝对值不等式的性质可得2m =，再由绝对值不等式的性质，化简变形即可得证.试题解析：(1)不等式()()24f x f x ++≤，即24x x -+≤， 此不等式等价于0,{24,x x x ≤--≤或02,{24,x x x <≤-+≤或2,{2 4.x x x >-+≤解得10x -≤≤，或02x <≤，或23x <≤.所以不等式()()24f x f x ++≤的解集为{}|13x x -≤≤. (2) ()()()22f x f x f x x x =-+=--， 因为()222x x x x --≤--=，当且仅当0x ≤时，取等号，所以()2g x ≤，即2m =， 因为,a b 为正实数， 所以()()()()2af +=，当且仅当()()220b a --≤时，取等号.即()()()||af b bf a m a b +≥-.点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2018届河北省衡水中学高三考前适应性考试数学(理)试卷及解析
2018届河北省衡水中学高三考前适应性考试数学（理）试卷★祝考试顺利★第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，集合，且，若集合，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出实数a的取值范围．【详解】集合A={x||x|≤3}={x|﹣3≤x≤3}，B={x|y=lg（a﹣x），且x∈N}={x|x＜a，x∈N}，若集合A∩B={0，1，2}，则实数a的取值范围是2＜a≤3．故选：C．2. 已知是虚数单位，复数是的共轭复数，复数，则下面说法正确的是（）A.在复平面内对应的点落在第四象限B.C. 的虚部为1D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则可得复数=2i﹣2，再根据复数的几何意义、虚部的定义、模的运算性质即可得出．【详解】复数=+3i﹣1=﹣i﹣1+3i﹣1=2i﹣2，则z在复平面内对应的点（﹣2，2）落在第二象限，=﹣2﹣2i，===﹣1+i其虚部为1，=．因此只有C正确．故选：C．3. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用双曲线方程求出实轴与虚轴长，列出方程求解即可．【详解】双曲线﹣=1（m＞0）的虚轴长是实轴长的2倍，可得=，解得m=2，则双曲线的标准方程是：﹣=1．故选：D．4. 据统计一次性饮酒4.8两诱发脑血管病的概率为0.04，一次性饮酒7.2两诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员一次性饮酒4.8两未诱发脑血管病，则他还能继续饮酒2.4两不诱发脑血管病的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别计算出该公司职员在一次性饮酒4.8两和7.2两时未诱发脑血管病，将事件“某公司职员一次性饮酒4.8两未诱发脑血管病，则他还能继续饮酒2.4两不诱发脑血管病”表示为：该公司职员在一次性饮酒 4.8两未诱发脑血管病的前提下，一次性饮酒7.2两也不诱发脑血管病，然后利用条件概率公式计算出该事件。
数学---河北省衡水中学2018届高三(上)八模试卷(理)(解析版)
河北省衡水中学2018届高三（上）八模数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项是符合题意）1．（5分）若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．（5分）已知等差数列的前n项和为S n，且S6=39，则=（）A．31 B．12 C．13 D．523．（5分）某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．甲：我不会证明．乙：丙会证明．丙：丁会证明．丁：我不会证明．根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．（5分）在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（2）（3）5．（5分）已知抛物线y=x2的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合，则m=（）A．B．C．D．6．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．7．（5分）已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，，，，则等于（）A．﹣14 B．﹣9 C．9 D．148．（5分）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的图象经过点P（1，3），Q（2，5），当n ∈N*时，a n=，记数列{a n}的前n项和为S n，当S n=时，n的值为（）A．7 B．6 C．5 D．49．（5分）若如图程序框图在输入a=1时运行的结果为p，点p为抛物线y2=﹣2px上的一个动点，设点p到此抛物线的准线的距离为d1，到直线x+y﹣4=0的距离为d2，则d1+d2的最小值是（）A．B．C．2 D．10．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，点N是平面A1B1C1D1上的点，且满足，当长方体ABCD﹣A 1B1C1D1的体积最大时，线段MN的最小值是（）A．B．8C．D．12．（5分）已知实数a＞0，函数，若关于x的方程有三个不等的实根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分共20分）13．（5分）d x=．14．（5分）设变量x，y满足不等式组，则z=的取值范围是．15．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为．16．（5分）用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数；例如：9的因数有1，3，9，g（9）=9，10的因数有1，2，5，10，g（10）=5，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g（22015﹣1）=．三、解答题（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g（x）的图象．（1）求函数y=g（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C满足2sin2=g（C+）+1，且其外接圆的半径R=2，求△ABC的面积的最大值．18．（12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD 组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（1）证明：平面P AD⊥平面ABFE；（2）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．19．（12分）某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[0，2]，（2，4]，…，（14，16]分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．（i）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水用量都超过12吨的概率；（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；（Ⅱ）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费y（元）与月份x的散点图，其拟合的线性回归方程是．若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的下顶点为P，如图所示，点M为直线x=2上的一个动点，过椭圆C的右焦点F的直线l垂直于OM，且与C交于A，B两点，与OM交于点N，四边形AMBO和△ONP的面积分别为S1，S2．求S1S2的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣（x+a）ln（x+a）+x，a∈R．（1）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=0处的切线方程；（2）若函数f（x）在定义域上为单调增函数．①求a最大整数值；②证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l过M（2，0），倾斜角为α（α≠0）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线l与曲线C交于A、B两点，且|MA|=2|MB|，求直线l的斜率k．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（Ⅰ）若不等式f（x+）≤2m+1（m＞0）的解集为[﹣2，2]，求实数m的值；（Ⅱ）若不等式f（x）≤2y++|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，求实数a的最小值．【参考答案】一、选择题1．B【解析】复数z满足2z+=3﹣2i，设z=a+b i，可得：2a+2b i+a﹣b i=3﹣2i．解得a=1，b=﹣2．z=1﹣2i．故选：B．2．C【解析】由等差数列的性质及其S6=39，可得=3（a3+a4）=39，则=13．故选：C．3．A【解析】四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．丙：丁会证明．丁：我不会证明．所以丙与丁中一定有一个是正确的；若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意；以此类推．易得出答案：A．故选：A．4．D【解析】散点图（1）中，所有的散点都在曲线上，所以（1）具有函数关系；散点图（2）中，所有的散点都分布在一条直线的附近，所以（2）具有相关关系；散点图（3）中，所有的散点都分布在一条曲线的附近，所以（3）具有相关关系，散点图（4）中，所有的散点杂乱无章，没有分布在一条曲线的附近，所以（4）没有相关关系．故选D．5．C【解析】∵抛物线y=x2的焦点为（0，），∴m﹣2=，∴m=+2=，故选：C．6．D【解析】由三视图可知该几何体为侧放的四棱锥，棱锥的底面为矩形ABCD，底面与一个侧面PBC垂直，PB=PC=2，AB=2．S ABCD=2×2=4，S△PBC=S△PCD=S△PBA=，△P AD中AP=PD=AD=2，∴S△P AD==2，则该几何体的表面积为：4+6+2．故选：D．7．D【解析】如图，分别以边AC，AB所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：；；∴=；∴=，，；∴．故选：D．8．D【解析】∵函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的图象经过点P（1，3），Q（2，5），∴，解得a=2，b=1，∴f（x）=2x+1，∴f（n）=2n+1，∴a n===﹣，∴S n=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=，即2n+1=32，解得n=4，故选：D．9．B【解析】根据程序运行过程知，输入a=1时，输出的k=2，则p=k=2；∴抛物线方程为y2=﹣4x；点p到此抛物线的准线的距离为d1，到直线x+y﹣4=0的距离为d2，过焦点F作直线x+y﹣4=0的垂线，此时d1+d2最小，∵F（﹣1，0），则d1+d2==．故选：B．10．B【解析】根据题意，大圆的直径为y=3sin x的周期，且T==12，面积为S=π•=36π，一个小圆的面积为S′=π•12=π，在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P===．故选：B．11．C【解析】由题意，当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，长方体ABCD﹣A1B1C1D1为棱长为4的正方体．N的轨迹是平面A1B1C1D1中，以C1为圆心，为半径的圆的，设M在平面A1B1C1D1中的射影为O，则O为A1B1的中点，ON的最小值为，∴线段MN的最小值是=，故选C．12．B【解析】当x＜0时，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且x→﹣∞时，f（x）→，当x≥0时，f′（x）=e x﹣1+ax﹣a﹣1，∴f′（x）是增函数，且f′（1）=0，∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f（1）=0，当x→+∞时，f（x）→+∞，作出f（x）的大致函数图象如图所示：由图象可知f（x）≥0，∴f（﹣f（x））∈（，]，∴＜e﹣a+≤+，解得a≥1．令﹣f（x）=t，则t≤0，且f（t）=e﹣a+，由图象可知：f（t）=e﹣a+有三解，不妨设从小到大依次为t1，t2，t3，则t1=1﹣a，t3＞1＞t2＞0不符合题意，舍去．∴﹣f（x）=1﹣a，即f（x）=a﹣1．∴f（x）=a﹣1有三解，∴，解得2．故选B．二、填空题13．+【解析】d x表示如图所示的阴影部分的面积，∵OB=1，OA=2，∴∠AOB=，∴S扇形AOC﹣S△AOB=π×22﹣×1×=﹣，S半圆=π×22=2π，∴S阴影=S半圆﹣（S扇形AOC﹣S△AOB）=2π﹣+=+，故答案为：+．14．【解析】变量x，y满足不等式组，表示的可行域如图：，可得A（1，3），，可得B（，）．z=的几何意义是可行域内的点到直线x﹣y﹣4=0的距离，由图形可知：A到直线的距离最大，B到直线的距离最小．最大值为：=3，最小值为：=．故答案为：．15．【解析】在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：a|PF1|=c|PF2|设点（x0，y0）由焦点半径公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0则a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解得：由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则，整理得e2+2e﹣1＞0，解得：或，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：，故答案为：．16．【解析】根据g（n）的定义易知当n为偶数时，g（n）=g（n），且若n为奇数则g（n）=n，令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2n﹣1）则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2n+1﹣1）=1+3+…+（2n+1﹣1）+g（2）+g（4）+…+g（2n+1﹣2）=+g（1）+g（2）+…+g（2n﹣1）=4n+f（n）即f（n+1）﹣f（n）=4n分别取n为1，2，…，n并累加得f（n+1）﹣f（1）=4+42+…+4n=（4n﹣1）又f（1）=g（1）=1，所以f（n+1）=+1所以f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2n﹣1）=（4n﹣1﹣1）+1令n=2015得g（1）+g（2）+g（3）+…+g（22015﹣1）=．故答案为：三、解答题17．解：（1）由图知=4（+），解得ω=2，∵f（）=sin（2×+φ）=1，∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，即φ=2kπ+，k∈Z，由于|φ|＜，因此φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣），即函数y=g（x）的解析式为g（x）=sin（2x﹣），（2）∵2sin2=g（C+）+1，∴1﹣cos（A+B）=1+sin（2C+），∵cos（A+B）=﹣cos C，sin（2C+）=cos2C，cos C=cos2C，即cos C=2cos2C﹣1，所以cos C=﹣或1（舍），可得：C=，由正弦定理得，解得c=2，由余弦定理得cos C=﹣=，∴a2+b2=12﹣ab≥2ab，ab≤4，（当且仅当a=b等号成立），∴S△ABC=ab sin C=ab≤，∴△ABC的面积最大值为．18．（Ⅰ）证明：直三棱柱ADE﹣BCF中，AB⊥平面ADE，所以：AB⊥AD，又AD⊥AF，所以：AD⊥平面ABFE，AD⊂平面P AD，所以：平面P AD⊥平面ABFE（Ⅱ）∵AD⊥平面ABFE，∴建立以A为坐标原点，AB，AE，AD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：设正四棱锥P﹣ABCD的高为h，AE=AD=2，则A（0，0，0），F（2，2，0），C（2，0，2），=（2，2，0），=（2，0，2），=（1，﹣h，1），=（x，y，z）是平面AFC的法向量，则，令x=1，则y=z=﹣1，即=（1，﹣1，﹣1），设=（x，y，z）是平面ACP的法向量，则，令x=1，则y=﹣1，z=﹣1﹣h，即=（1，﹣1，﹣1﹣h），∵二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．∴cos＜，＞===．得h=1或h=﹣（舍）则正四棱锥P﹣ABCD的高h=1．19．解：（Ⅰ）（i）由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为，因此这5户居民恰好3户居民的月用水用量都这超过12吨的概率为．（ii）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下：所以全市居民用水价格的期望E（X）=4×0.9+4.2×0.06+4.6×0.04≈4.04吨．（Ⅱ）设李某2016年1～6月份的月用水费y（元）与月份x的对应点为（x i，y i）（i=1，2，3，4，5，6），它们的平均值分别为，，则，又点在直线上，所以，因此y1+y2+…+y6=240，所以7月份的水费为294.6﹣240=54.6元．设居民月用水量为t吨，相应的水费为f（t）元，则f（t）=，t=13，f（t）=6.6×13﹣31.2=54.6，∴李某7月份的用水吨数约为13吨．20．解：（1）∵在椭圆C上，∴，又∵椭圆四个顶点组成的四边形的面积为，∴，解得a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为．（2）由（1）可知F（1，0），设M（2，t），A（x1，y1），B（x2，y2），则当t≠0时，，所以，直线AB的方程为，即2x+ty﹣2=0（t≠0），由得（8+t2）x2﹣16x+8﹣2t2=0，则△=（﹣16）2﹣4（8+t2）（8﹣2t2）=8（t4+4t2）＞0，，，又，∴，由，得，∴，∴，当t=0时，直线，∴当t=0时，．21．解：（1）当a=1时，f（x）=e x﹣（x+1）ln（x+1）+x，∴f（0）=1，又f'（x）=e x﹣ln（x+1），∴f'（0）=1，则所求切线方程为y﹣1=x，即x﹣y+1=0．（2）由题意知f（x）=e x﹣（x+a）ln（x+a）+x，f′（x）=e x﹣ln（x+a），若函数f（x）在定义域上为单调增函数，则f'（x）≥0恒成立．①先证明e x≥x+1．设g（x）=e x﹣x﹣1，则g'（x）=e x﹣1，则函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）=0，即e x≥x+1．同理可证ln x≤x﹣1，∴ln（x+2）≤x+1，∴e x≥x+1≥ln（x+2）．当a≤2时，f'（x）＞0恒成立．当a≥3时，f'（0）=1﹣ln a＜0，即f'（x）=e x﹣ln（x+a）≥0不恒成立．综上所述，a的最大整数值为2．②证明：由①知，e x≥ln（x+2），令，∴，∴．由此可知，当t=1时，e0＞ln2．当t=2时，，当t=3时，，…，当t=n时，．累加得．又，∴．22．解：（Ⅰ）直线的参数方程为（t为参数），由ρsin2θ=4cosθ得ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x（Ⅱ）把x=2+t cosα，y=t sinα代入y2=4x，得（sin2α）t2﹣（4cosα）t﹣8=0．设A、B两点对应的参数分别为t1与t2，则，易知t1与t2异号，又∵|MA|=2|MB|，∴t1=﹣2t2．消去t1与t2，∴可得：tanα=±2，即k=±2．23．解：（Ⅰ）由题意，知不等式|2x|≤2m+1（m＞0）解集为[﹣2，2]．由|2x|≤2m+1，得﹣m﹣，所以，由m+=2，解得m=．（Ⅱ）不等式f（x）≤2y++|2x+3|等价于|2x﹣1|﹣|2x+3|≤2y+，由题意知（|2x﹣1|﹣|2x+3|）max≤2y+，因为|2x﹣1|﹣|2x+3|≤|（2x﹣1）﹣（2x+3）|=4，所以2y+≥4，即a≥2y（4﹣2y）对任意的y∈R都成立，则a≥[2y（4﹣2y）]max，而=4，当且仅当2y=4﹣2y，即y=1时等号成立，故a≥4，所以实数a的最小值为4．。
2018高考数学模拟试卷(衡水中学理科)
2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）．（ 分）（ •衡中模拟）已知集合 ＜ ， ，则 （ ）．∅ ．（ ， ）． ， ） ． ，．（ 分）（ •衡中模拟）设随机变量 ～ （ ， ），若 （ ＞ ） ，则 （ ＜ ≤ ） （ ）．．． ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知复数 （ 为虚数单位），则（ ）．．﹣ ．．．（ 分）（ •衡中模拟）过双曲线﹣ （ ＞ ， ＞ ）的一个焦点 作两渐近线的垂线，垂足分别为 、 ，若∠ ，则双曲线的渐近线方程为（ ）． ±． ±． ± ． ±．（ 分）（ •衡中模拟）将半径为 的圆分割成面积之比为 ： ： 的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为 ， ， ，那么 的值为（ ）．．．．．（ 分）（ •衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（ ）． ． ． ．．（ 分）（ •衡中模拟）等差数列 中， ， ，若，则数列 的前 项和为（）． ． ． ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知（ ﹣ ） （ ） （ ）（ ） ，则（）． ． ．﹣ ．．（ 分）（ •衡中模拟）如图为三棱锥 ﹣ 的三视图，其表面积为（）． ． ． ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知椭圆 ： （ ＞ ＞ ）的左焦点 （﹣ ， ）， 为椭圆上一动点，椭圆内部点 （﹣ ， ）满足 的最大值为 ，则椭圆的离心率为（）． ． ． ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知 （ ） ，若函数 （ ）﹣ 恒有一个零点，则 的取值范围为（）． ≤ ． ≤ 或 ≥ ． ≤ 或 ≥ ． ≤ 或 ≥．（ 分）（ •衡中模拟）已知数列 的通项公式为 ﹣ ，数 的通项公式为 ﹣ ，设 ，若在数列 中 ＜ （列∈ ， ≠ ），则 的取值范围（）．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ）第 卷二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分．把答案填在题中的横线上．）．（ 分）（ •衡中模拟）若平面向量、满足 ， ﹣ ，则在上的投影为．．（ 分）（ •衡中模拟）若数列 满足 ，，则数列 前 项和 ．．（ 分）（ •衡中模拟）若直线 （ ﹣ ） ﹣ 把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为 ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知函数 （ ） （ ）（ ＜﹣ ）对任意的 、 ＞ ，恒有 （ ）﹣ （ ） ≥ ﹣ ，则 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共 小题，共 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）．（ 分）（ •衡中模拟）在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 ，且 （ ﹣ ） （ ）（ ）求 的大小；（ ）求 的最大值，并求取得最大值时角 ， 的值．．（ 分）（ •衡中模拟）如图，在四棱锥 ﹣ 中，侧棱 ⊥底面 ， ∥ ，∠ ， ， ， 是棱 中点．（ ）求证：平面 ⊥平面 ； （ ）设点 是线段 上一动点，且，当直线 与平面 所成的角最大时，求 的值．．（ 分）（ •衡中模拟）如图是两个独立的转盘（ ）、（ ），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为 、 、 ．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（ ）指针所对的区域为 ，转盘（ ）指针所对的区域为 ， 、 ∈ ， ， ，设 的值为 ．（ ）求 ＜ 且 ＞ 的概率；（ ）求随机变量 的分布列与数学期望．．（ 分）（ •衡中模拟）已知椭圆 ： （ ＞ ＞ ），倾斜角为 的直线与椭圆相交于 、 两点，且线段 的中点为（﹣ ，）．过椭圆 内一点 （ ，）的两条直线分别与椭圆交于点 、 和 、 ，且满足 ， ，其中 为实数．当直线 平行于 轴时，对应的 ．（ ）求椭圆 的方程；（ ）当 变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．．（ 分）（ •衡中模拟）已知函数 （ ） ，曲线 （ ）在点 处的切线与直线 ﹣ 平行．（ ）若函数 （ ） （ ）﹣ 在（ ， ）上是减函数，求实数 的最小值；（ ）若函数 （ ） （ ）﹣无零点，求 的取值范围．选修 ：几何证明选讲．（ 分）（ •衡中模拟）如图所示， 为⊙ 的直径， 为的中点， 为 的中点．（ ）求证： ∥ ；（ ）求证： ．选修 ：坐标系与参数方程．（ •衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数），在以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为（ ）求曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；（ ）若直线 与曲线 相交于 ， 两点，求△ 的面积．选修 ：不等式选讲．（ •衡中模拟）已知函数 （ ） ﹣ ﹣ ．（ ）解不等式 （ ）≤ ；（ ）若不等式 （ ）≥ ﹣ 对任意 ∈ 恒成立，求实数 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）．（ 分）（ •衡中模拟）已知集合 ＜ ， ，则 （）．∅ ．（ ， ） ． ， ） ． ，【解答】解： ＜ ﹣ ＜ ＜ ， ≥ ，则 ， ），故选： ．．（ 分）（ •衡中模拟）设随机变量 ～ （ ， ），若 （ ＞ ） ，则 （ ＜ ≤ ） （）． ． ． ．【解答】解：∵随机变量 服从正态分布 （ ， ），∴ ，得对称轴是 ．∵ （ ＞ ）∴ （ ＜ ≤ ） ﹣ ．故选：．（ 分）（ •衡中模拟）已知复数 （ 为虚数单位），则 （） ． ．﹣ ． ．【解答】解：复数 ，可得 ﹣ ．则．故选： ．．（ 分）（ •衡中模拟）过双曲线﹣（ ＞ ， ＞ ）的一个焦点 作两渐近线的垂线，垂足分别为 、 ，若∠ ，则双曲线的渐近线方程为（ ）． ±． ±． ± ． ±【解答】解：如图若∠ ， 则由对称性得∠ ，则∠，即 的斜率， 则双曲线渐近线的方程为 ± ，故选：．（ 分）（ •衡中模拟）将半径为 的圆分割成面积之比为 ： ： 的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为 ， ， ，那么 的值为（ ），∴ ，同理，【解答】解：∵，∴故选： ．．（ 分）（ •衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）． ． ． ．【解答】解：第一次循环， ＞ ，即 ＞ 成立， ， ， ， ＜ 成立，第二次循环， ＞ ，即 ＞ 不成立， ， ， ， ＜ 成立，第三次循环， ＞ ，即﹣ ＞ 不成立， ， ， ， ＜ 成立，第四次循环， ＞ ，即 ＞﹣ 成立， ， ， ， ＜ 成立，第五次循环， ＞ ，即 ＞ 成立， ， ， ， ＜ 不成立，输出 ，故选：．（ 分）（ •衡中模拟）等差数列 中， ， ，若，则数列 的前 项和为（）【解答】解：设等差数列的公差为 ， ， ，∴，解得， ，∴（ ﹣ ） ，∴，∴（ ﹣ ﹣ ﹣） （ ﹣）故选 ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知（ ﹣ ） （ ） （ ）（ ） ，则（）． ． ．﹣ ．【解答】解：（ ﹣ ） （ ）﹣ ，∴，故选： ．．（ 分）（ •衡中模拟）如图为三棱锥 ﹣ 的三视图，其表面积为（）． ． ． ．【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为 ， ， 的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．三棱锥的三条边长分别为，∴表面积为 × ．故选： ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知椭圆 ： （ ＞ ＞ ）的左焦点 （﹣ ， ）， 为椭圆上一动点，椭圆内部点 （﹣ ， ）满足 的最大值为 ，则椭圆的离心率为（）． ． ． ．【解答】解：设右焦点为 ，由 （﹣ ， ），可得 （ ， ），由椭圆的定义可得 ，即 ﹣ ，则 （ ﹣ ）≤ ，当 ， ， 共线时，取得等号，即最大值 ，由 ，可得 ，所以 ，则 ，故选： ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知 （ ） ，若函数 （ ）﹣ 恒有一个零点，则 的取值范围为（）． ≤ ． ≤ 或 ≥ ． ≤ 或 ≥ ． ≤ 或 ≥【解答】解：由 （ ）﹣ 得 （ ） ，作出函数 （ ）和 的图象如图，由图象知当 ≤ 时，函数 （ ）和 恒有一个交点，当 ≥ 时，函数 （ ） （ ）的导数 （ ） ，则 （ ） ，当 ＜ 时，函数 （ ） ﹣ 的导数 （ ） ，则 （ ） ，即当 时， 是函数 （ ）的切线，则当 ＜ ＜ 时，函数 （ ）和 有 个交点，不满足条件．当 ≥ 时，函数 （ ）和 有 个交点，满足条件．综上 的取值范围为 ≤ 或 ≥ ，故选： ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知数列 的通项公式为 ﹣ ，数 的通项公式为 ﹣ ，设 ，若在数列 中 ＜ （列∈ ， ≠ ），则 的取值范围（）．（ ， ） ．（ ， ） ．（ ， ）．（ ， ） 【解答】解：∵ ﹣ ﹣ ﹣﹣ ， ∴ ﹣ 随着 变大而变小，又∵ ﹣ 随着 变大而变小，﹣ 随着 变大而变大， ∴，（ ）当（ ）当，综上 ∈（ ， ），故选 ．二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分．把答案填在题中的横线上．） ．（ 分）（ •衡中模拟）若平面向量、满足 ， ﹣ ，则在上的投影为 ﹣ ．【解答】解：根据条件，；∴； ∴在上的投影为．故答案为：﹣ ．．（ 分）（ •衡中模拟）若数列 满足 ，，则数列 前 项和 ﹣． 【解答】解：∵数列 满足 ， ， ∴ ﹣ 时， ﹣ ﹣ ，为等差数列；时， ，为等比数列．∴．故答案为： ﹣ ．．（ 分）（ •衡中模拟）若直线 （ ﹣ ） ﹣ 把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为 ．【解答】解：由 （ ﹣ ） ﹣ 得 （ ﹣ ） ﹣ ， 则得，即直线恒过 （﹣ ， ），若将区域分成面积相等的两部分，则直线过 的中点 ，由得，即 （ ， ），∵ （ ， ），∴中点 （ ， ），代入 （ ﹣ ） ﹣ ，得 ﹣ ，则，则的几何意义是区域内的点到点（﹣ ， ）的斜率，由图象过 的斜率最大，此时最大值为 ．故答案为： ．．（ 分）（ •衡中模拟）已知函数 （ ） （ ） （ ＜﹣ ）对任意的 、 ＞ ，恒有 （ ）﹣ （ ） ≥ ﹣ ，则 的取值范围为 （﹣ ，﹣ ．【解答】解：由 （ ） ，得 （ ） ，所以 （ ） （ ） ，（ ＜﹣ ）在（ ， ）单调递减，不妨设 ＜ ＜ ， 则 （ ）﹣ （ ）≥ ﹣ ，即 （ ） ≥ （ ） ，令 （ ） （ ） ， （ ） （ ），等价于 （ ）在（ ， ）上单调递减，故 （ ）≤ 恒成立，即≤ ， 所以恒成立， 得 ≤﹣ ．故答案为：（﹣ ，﹣ ．三、解答题（本大题共 小题，共 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）．（ 分）（ •衡中模拟）在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足 ，且 （ ﹣ ） （ ）（ ）求 的大小；（ ）求 的最大值，并求取得最大值时角 ， 的值．【解答】解：（ ） （ ﹣ ） （ ）可得： ﹣（ ﹣ ）即： ﹣ ．由正弦定理可知：，∴， ，∴ ﹣ ，﹣ ，可得 （ ﹣） ， 是三角形内角，∴ ．（ ）由余弦定理可知： ﹣ ，得 ﹣又，∴，即：．当时， 取到最大值为 ．．（ 分）（ •衡中模拟）如图，在四棱锥 ﹣ 中，侧棱 ⊥底面 ， ∥ ，∠ ， ， ， 是棱 中点．（ ）求证：平面 ⊥平面 ；（ ）设点 是线段 上一动点，且 ，当直线 与平面 所成的角最大时，求 的值．【解答】证明：（ ）取 的中点 ，则连接 ，∵ 是△ 的中位线，∴ ，又 ，∴ ，∴四边形 是平行四边形，∴ ∥ ．∵ ， 是 的中点，∴ ⊥ ，∵ ⊥平面 ， ⊂平面 ，∴ ⊥ ，又 ⊥ ， ，∴ ⊥平面 ，∵ ⊂平面 ，∴ ⊥ ，又 ⊂平面 ， ⊂平面 ， ，∴ ⊥平面 ，∵ ∥ ，∴ ⊥平面 ，又 ⊂平面 ，∴平面 ⊥平面 ．（ ）以 为原点，以 ， ， 为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则 （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ）．∴ （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ），∴ （ ， ， ）， （ ， ， ），（ ， ﹣ ，﹣ ）．∵ ⊥平面 ，∴为平面 的一个法向量，∴ ＜＞设 与平面 所成的角为 ，则 ．∴当 即时， 取得最大值，∴ 与平面 所成的角最大时．．（ 分）（ •衡中模拟）如图是两个独立的转盘（ ）、（ ），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为 、 、 ．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（ ）指针所对的区域为 ，转盘（ ）指针所对的区域为 ， 、 ∈ ， ， ，设 的值为 ．（ ）求 ＜ 且 ＞ 的概率；（ ）求随机变量 的分布列与数学期望．【解答】解：（ ）记转盘 指针指向 ， ， 区域的事件为 ， ， ，同理转盘 指针指向 ， ， 区域的事件为 ， ， ，∴ （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ） ，（ ） （ ﹣ （ ）） ×（ ﹣） ． （ 分）（ ）由已知得 的可能取值为 ， ， ， ， ， （ ） （ ） （ ） ，（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ，（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ， （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）， （ ） （ ） （ ），∴ 的分布列为：． （ 分） ．（ 分）（ •衡中模拟）已知椭圆 ： （ ＞ ＞ ），倾斜角为 的直线与椭圆相交于 、 两点，且线段 的中点为（﹣ ，）．过椭圆 内一点 （ ，）的两条直线分别与椭圆交于点 、 和 、 ，且满足， ，其中 为实数．当直线 平行于 轴时，对应的 ．（ ）求椭圆 的方程；（ ）当 变化时， 是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（ ）设 （ ， ）、 （ ， ），则，两式相减，故 （ 分）当直线 平行于 轴时，设 ，∵，，则，解得， 故点 （或 ）的坐标为． 代入椭圆方程，得 分， ，所以方程为 （ 分）（ ）设 （ ， ）、 （ ， ）、 （ ， ）、 （ ， ）由于，可得 （ ， ）、 （ ， ）、 （ ， ）、 （ ， ），同理可得 （ 分）由 得：将点 、 的坐标代入椭圆方程得，两式相减得（ ）（ ﹣ ） （ ）（ ﹣ ） ，于是 （ ） ﹣（ ）同理可得： （ ） ﹣（ ）， （ 分）于是 （ ） ﹣（ ）（∵ ∥ ，∴ ）所以 （ ） ﹣ （ ）由 两式相加得到： （ ） ﹣ （ ）（ ）把 代入上式得 （ ） ﹣ （ ），解得：，当 变化时， 为定值，． （ 分）．（ 分）（ •衡中模拟）已知函数 （ ） ，曲线 （ ）在点 处的切线与直线 ﹣ 平行．（ ）若函数 （ ） （ ）﹣ 在（ ， ）上是减函数，求实数 的最小值；（ ）若函数 （ ） （ ）﹣无零点，求 的取值范围．【解答】解：（ ） 由，得，解得 ，故，则，函数 （ ）的定义域为（ ， ） （ ， ），而，又函数 （ ）在（ ， ）上是减函数，∴在（ ， ）上恒成立，∴当 ∈（ ， ）时，的最大值．而，即右边的最大值为，∴，故实数 的最小值；（ ） 由题可得，且定义域为（ ， ） （ ， ），要使函数 （ ）无零点，即在（ ， ） （ ， ）内无解，亦即在（ ， ） （ ， ）内无解．构造函数，则，（ ）当 ≤ 时， （ ）＜ 在（ ， ） （ ， ）内恒成立，∴函数 （ ）在（ ， ）内单调递减，在（ ， ）内也单调递减．又 （ ） ，∴当 ∈（ ， ）时， （ ）＞ ，即函数 （ ）在（ ， ）内无零点，同理，当 ∈（ ， ）时， （ ）＜ ，即函数 （ ）在（ ， ）内无零点，故 ≤ 满足条件；（ ）当 ＞ 时，．若 ＜ ＜ ，则函数 （ ）在（ ， ）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．又 （ ） ，∴ （ ）在（ ， ）内无零点；又，而，故在内有一个零点，∴ ＜ ＜ 不满足条件；若 ，则函数 （ ）在（ ， ）内单调递减，在（ ， ）内单调递增．又 （ ） ，∴当 ∈（ ， ） （ ， ）时， （ ）＞ 恒成立，故无零点．∴ 满足条件；若 ＞ ，则函数 （ ）在内单调递减，在内单调递增，在（ ， ）内也单调递增．又 （ ） ，∴在及（ ， ）内均无零点．易知，又 （ ﹣ ） ×（﹣ ）﹣ ﹣ ﹣ （ ），则 （ ） （ ﹣ ）＞ ，则 （ ）在 ＞ 为增函数，∴ （ ）＞ （ ） ﹣ ＞ ．故函数 （ ）在内有一零点， ＞ 不满足．综上： ≤ 或 ．选修 ：几何证明选讲．（ 分）（ •衡中模拟）如图所示， 为⊙ 的直径， 为的中点， 为 的中点．（ ）求证： ∥ ；（ ）求证： ．【解答】证明：（ ）连接 ，因为 为的中点，所以 ．因为 为 的中点，所以 ⊥ ．因为 为圆的直径，所以∠ ，所以 ∥ ． （ 分）（ ）因为 为的中点，所以∠ ∠ ，又∠ ∠ ，则∠ ∠ ．又因为 ⊥ ， ⊥ ，所以△ ∽△ ．所以 ， ， ，因此 ． （ 分）选修 ：坐标系与参数方程．（ •衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数），在以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为（ ）求曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；（ ）若直线 与曲线 相交于 ， 两点，求△ 的面积．【解答】解：（ ）由曲线 的极坐标方程为得 ．∴由曲线 的直角坐标方程是： ． 由直线 的参数方程为（ 为参数），得 代入 中消去 得： ﹣ ﹣ ，所以直线 的普通方程为： ﹣ ﹣ （ 分）（ ）将直线 的参数方程代入曲线 的普通方程 ，得 ﹣ ，设 ， 两点对应的参数分别为 ， ，所以 ， 因为原点到直线 ﹣ ﹣ 的距离 ，所以△ 的面积是． （ 分）选修 ：不等式选讲 ．（ •衡中模拟）已知函数 （ ） ﹣ ﹣ ．（ ）解不等式 （ ）≤ ；（ ）若不等式 （ ）≥ ﹣ 对任意 ∈ 恒成立，求实数 的取值范围．【解答】解：函数 （ ） ﹣ ﹣ 的图象如图所示，（ ）不等式 （ ）≤ ，即 或 ，或 ．解 求得 ∈∅，解 求得 ＜ ≤ ，解 求得﹣ ≤ ≤ ．综上可得，原不等式的解集为 ﹣ ， ．（ ）若不等式 （ ）≥ ﹣ 对任意 ∈ 恒成立，则函数 （ ）的图象不能在 ﹣ 的图象的下方．如图所示：由于图中两题射线的斜率分别为﹣ ， ，点 （ ， ），∴ ﹣ ≤ ，且 ≥﹣ ，求得﹣ ≤ ≤ ．。
河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)最新修正版
2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合2{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}A B =，则B =（ ）A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}1．答案：C解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入240x x m -+=，得3m =，所以2430x x -+=， 即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．22．答案：D 解析：设ii,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21a b b =-⎧⎨=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．答案：D解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否→输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值是（ ） A ． 5 B ．3CD．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，5d ===5．已知ABC △的三个内角,,A B C 依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB ==，则ABC S =△（ ）A ．3 B．C．D ．65．答案：C解析：因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+，又因为180A B C ++=︒，所以60B =︒， 在ABD △中，由余弦定理可得2222cos60AD AB BD AB BD =+-⋅⋅︒，即2230BD BD --=，所以(3)(1)0BD BD -+=，所以3BD =，故26BC BD ==，1sin 602ABC S AB BC =⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（ ） A ．3 B．C．D6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则1,2,3BC AC CD BD AB AD ======所以最长的棱为3ABCD7．已知数列{}n a满足110,()n a a n N *+==∈，则20a =（ ）A ．0 B．CD7．答案：B解析：解法1：123410,02a a a a a -======-，周期3T =，所以202a a == 解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =，11tan tan3tan 1tan tan 3n n n a πααπα++-===+tan 3n πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，13n n απ-=-，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．110,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．答案：B 解析：当,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332,32232k k Z k πππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+⎪⎩≥≤， 解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212k -<≤，又因为k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．17,224πωϕ==B ．211,312πωϕ==-C ．111,324πωϕ==-D ．2,312πωϕ==9．答案：D 解析：根据题意1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21T k Z k π=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122x k k Z ππωϕϕπ+=+=+∈212k πϕπ∴=+，又因为ϕπ<，所以12πϕ=10．已知函数31()xxf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．答案：C解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以122a ≤≤11．已知函数32()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞ B．,⎛-∞ ⎝⎭ C ．(0,)+∞ D ．(,1)-∞-11．答案：B解析：2()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-，所以003ax =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当23ax =-时，()f x 取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须341027a +<，解得2a <-12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ） A ．1 B ．2±C ．12或3 D ．1或212．答案：D解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，[2,4]2x ∈，()2x f x cf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1()(2)f x f x c=，所以在区间[1,2]上，当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，(3,1)A ，(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，所以111332c c --=，解得1c =或2 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ．13．答案：85解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685,255λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=⎪⎩AMx14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为 ．14．答案：(0,)e解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t=-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于 ．15．答案：1009-解析：由题意可得2212222221212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0n S>，所以222n S +所以)n N *=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得312S =，所以数列2=为首1=1n =+，即22(1)n S n =+，故21(1)(2)n S n n -==++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，所以2016201620151009a S S =-=-16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,42()11, 1.4xx x f x x π⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤， 若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ． 16．答案：01a <≤或54a =解析：由25[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5f x =或()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65154<<，所以该方程有4个根；因2（1）求角A 的大小； （2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围．17．解：（1cos (2)cos C b A =-及正弦定理可得：cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，0πB <<，sin 0B ∴≠，cos A ∴=0πA <<，所以6πA =（2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πC B B C B A B ⎛⎫--=+-=-+-⎪⎝⎭3sin coscos sinsin 1sin cos 1166226πππB B B B B B ⎛⎫=-+-=--=-- ⎪⎝⎭ 由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，116πB ⎛⎤⎛⎫--∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围是1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：若2(,)XN μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=18．解：因为语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P X =>=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3321123101061066333316161616327151(0),(1),(2),(3),14565628C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①②ACBA 1C 1B 1ACBA 1C 1B 1（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥．又因为1AOB O O =，所以1CC ⊥平面1AOB ，又因为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）AC BA 1C 1B 1O（2）由已知得1OA OB AB ===2221OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以11,,OB OC OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得11(0,1,0),C B A A -．设平面1CAB 的法向量111(,,)m x y z =，1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，11111300AB m xAC m y ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=--=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,m =．设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)AB AA =-=，由122123020AB n x AA n y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21x =，得221,0z y ==， 所以平面11AA B 的法向量(1,0,1)n =， 于是cos ,55m n m n m n⋅===⨯⋅．因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为5-20．（本小题满分12分）已知曲线2()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-． （1）求实数,a b 的值；（2）若2()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值． 20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1(1)2f a f a b ==⎧⎨'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）（2）由22ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1x x k x ++≤恒成立，令 2ln ()(0)1x x g x x x +=>+，则22(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++， 显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==，所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）． （1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围； （3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范围．21．解：（1）当1a =时，211()ln 22f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分） （2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212a f a a ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31ln 42b -<≤．…………（6分） （3）2222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==+++， 因为12a <<，所以221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫==++- ⎪⎝⎭． 问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+-⎪⎝⎭恒成立， 设211()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<< ⎪⎝⎭， 则212(41)2()12211ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即18m -≤． 当18m -≤时，设2()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m=--<，又20m ->，开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)内单调递增，()(1)0h a h >=，即211ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭． 于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立． 综上可知，18m -≤…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为1,212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．22．解：（1）将4c o s ρθ=化为24cos ρρθ=，由222,c os ρρθx y x =+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=．由1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t解得10x +=， 所以直线l的普通方程为10x +=……………………（5分）（2）把1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)4x y -+=，整理得250t -+=，设其两根为12,t t ，则12125t t t t +==，所以12PQ t t =-==………………（10分） 方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线l 的距离32d =，所以PQ ==………………（10分）方法3，将1x =-代入22(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：12125,24y y y y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．（1）解不等式()5g x <；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等号，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。
【衡水金卷】河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一理科数学试题(解析版)
2018届高三毕业班模拟演练理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合）B. C. D.【答案】A故选A.点睛: (1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关A∩B＝∅，A⊆B 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.2. ）B. 2C. -2D. 0【答案】B解得x=2,故选B.3. ，则）B. -8C. 8D. 16【答案】C【解析】由题意可得,故选C.4. 如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据.若从这12个月份中任意选3个月的数据进行分析，则这3个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于40万的概率为（）C.【答案】D【解析】由图知,7月,8月,11月的利润不低于40万元,故选D.5. 我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），下底宽2丈，长3丈；上底宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（）A. 13.25立方丈B. 26.5立方丈C. 53立方丈D. 106立方丈【答案】B【解析】分析：根据题意，把有关数据代入公式，即可求出刍童的体积.立方长,\故选：B点睛：本题解题的关键是理解题意，利用题目提供的各个数据代入公式即可.6. ）【答案】D,故,故选D.7. 某几何体的正视图与侧视图如图所示，则它的俯视图不可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若几何体为两个圆锥体的组合体,则俯视图为A;若几何体为四棱锥与圆锥的组合体,则俯视图为B;若几何体为两个四棱锥的组合体,则俯视图为D;不可能为C,故选C............................8. 若运行如图所示的程序框图，输出的127）A. 8B. 3C. 2D. 1【答案】B点睛: 本题考查程序框图的应用,属于中档题.算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9. 已知点，的最大值为（）A. 2B. 4C.【答案】C,当且仅当x=y时取等号,为,故选C.10. 已知函数分图象如图所示，则的值为（）【答案】A则,由图知则,得,解得的值为,故选A.11. 若函数满足：①的图象是中心对称图形；②若图象上的点到其对称中心的距离）A.【答案】A【解析】1个单位,再向上平移m个单位得到,故函数f(x)的图象关于点A(-1,m)对称,如图所示,由图可知,,点A到函数f(x)图象上的点(-4,m-27)或(2,m+27)的距离最大,故应选A.12.的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于为坐标原点）的面积为）D.【答案】A【解析】由题易知四边形PAOB为平行四边形,且不妨设双曲线C设点P(m,n),则直线PB的方程为y-n=b(x-m),且点P到OB解得又,又,,双曲线C的方程为即,又所以点P的横坐标m的取值范围故选A.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ．14. 已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线与直线所围成的封闭图形的面积为__________．【解析】抛物线图形面积15. 已知实数满足不等式组__________．【解析】令t=2x,则作出可行域如图所示,经计算得的几何意义是点P(t,y)到原点O的距离d的平方,由图可知,当点P与点C重合时,d取最大值;d的最小值为点O到直线AB:t-y-1=0的距离,所以点睛: 应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.16. 互为余角，__________．【解析】设的中点，由正弦定理得或,当A=B时,AC=BC,在△ACD中,综上可得三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知数列.（1）求数列（2【答案】(1)【解析】试题分析:(1)的前项和等于展开式中含,,求出数列的通项公式;(2)由(1)根据裂项相消法得出结果.试题解析:（1.（2）由（1，故.18. 在矩形中，，上靠近点的一个三等分点，点是线段.如图，将折起至，使得平面平面.（1（2）是否存在若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析【解析】试题分析: (1) 当,根据面面垂直的性质定理证得进而证得结论;(2)坐标系.写出各点坐标,求出平面的法向量,根据线面角的公式求出结果.试题解析:（1.，∴..又平面平面.平面（2）以为原点，的方向为的中点，∴ 易证得平面，，∴，∴，设平面的一个法向量为，则.与平面所成的角为，解得或（舍去）∴存在实数，使得19. 春节过后，某市教育局从全市高中生中抽去了100人，调查了他们的压岁钱收入情况，按照金额（单位：百元）分成了以下几组：统计结果如下表所示：（1）求样本平均数（2（3）某文化公司赞助了市教育局的这次社会调查活动，并针对该市的高中生制定了赠送“读书卡”的活动，赠送方式为：.已知每次赠送的读书卡张数及对应的概率如下表所示：学期望.【答案】(1)68.5(2)0.8185（3【解析】试题分析:(1)根据表中数据以及平均数公式代入计算即可;(2) 由（1,根据概率的计算公式计算即可1,2,3,4,分别求出概率写出分布列,并求出期望即可.试题解析:（1（2）由（1）得，.（3）易知.的所有可能取值为1,2,3,4.；.∴的分布列为20. 已知椭圆的上顶点为点.（1）试求椭圆（2）过点作与交于求出该定值；若不是，试说明理由.【答案】【解析】试题分析:(1)将坐标代入求出点E,代入椭圆方程,结合焦点坐标可得椭圆方程;(2) ，,设出直线AB的方程,与椭圆方程联立,消去y得到关于x的一元二次方程并写出韦达定理,根据三点共线得出M,N的坐标,.试题解析:（1）椭圆，可得，，，解得，，即椭圆的标准方程为（2，，由题意可设直线的方程为，根据三点共线，可得同理可得的坐标分别为.∴与之积为定值，且该定值是点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21. 已知函数（1）若函数恰有一个零点，求实数（2）设关于，求证：.【答案】见解析【解析】试题分析:(1)求出函数的定义域和导函数,对参数m进行讨论得出函数的单调性,根据零点存在性定理判断零点的个数,求出m的取值范围;(2) 的两个相异将零点代入写出方程,并对两式相加和相减,再利用分析法以及变量集中构造新函数,并利用导数求最值的方法证得命题成立.试题解析:（1①当时，，，即函数在区间有唯一零点；②当时，，得.又易知函数在区间恰有一个零点.，函数时，且极大值为.恰有一个零点，则的取值范围为（2）记函数，，的两个相异零点为，，两式相减得两式相加得，∴要证，，，则上式转化为，在区间上单调递增，，即.点睛:本题考查函数的应用,利用导数解决函数的零点以及函数的单调性,最值和不等式的证明等问题. 本题也考查了零点存在性定理的应用,[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有那么函数[a,b]内有零点,即存在这个c实数根.但是反之不一定成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程.为极点，的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程是（1）若直线有公共点，试求实数（2平行的直线.【答案】【解析】试题分析:(1)根据极坐标与普通方程的互化公式求出直线的直角坐标方程,消参得出圆的普通方程,即可求出范围;(2)将直线的参数方程代入曲线方程,根据t 的几何意义求值即可.试题解析:（1，故直线的直角坐标方程为所以圆的普通方程为有公共点，则圆心（2的倾斜角为，且过点，①，②联立①②，得，两点对应的参数分别为23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2，使得.【答案】【解析】分析：(1)讨论x的取值范围，把不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后取并集；（2.详解：（1或或.即不等式的解集为（2）由（1解得即实数的取值范围为.点睛：|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．(1)零点分区间法的一般步骤①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．(2)利用绝对值的几何意义由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)或|x－a|－|x－b|≥c(c＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．。
河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)
2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合2{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}A B =，则B =（ ）A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}1．答案：C解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入240x x m -+=，得3m =，所以2430x x -+=， 即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．22．答案：D 解析：设ii,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21a b b =-⎧⎨=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．答案：D解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否→输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值是（ ） A ． 5 B ．3CD．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，5d ===5．已知ABC △的三个内角,,A B C 依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB ==，则ABC S =△（ ）A ．3 B．C．D ．65．答案：C解析：因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+，又因为180A B C ++=︒，所以60B =︒， 在ABD △中，由余弦定理可得2222cos60AD AB BD AB BD =+-⋅⋅︒，即2230BD BD --=，所以(3)(1)0BD BD -+=，所以3BD =，故26BC BD ==，1sin 602ABC S AB BC =⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（ ） A ．3 B．C．D6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则1,2,3BC AC CD BD AB AD ======所以最长的棱为3ABCD7．已知数列{}n a满足110,()n a a n N *+==∈，则20a =（ ）A ．0 B．CD7．答案：B解析：解法1：123410,02a a a a a -======-，周期3T =，所以202a a == 解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =，11tan tan3tan 1tan tan 3n n n a πααπα++-===+tan 3n πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，13n n απ-=-，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．110,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．答案：B 解析：当,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332,32232k k Z k πππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+⎪⎩≥≤， 解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212k -<≤，又因为k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．17,224πωϕ==B ．211,312πωϕ==-C ．111,324πωϕ==-D ．2,312πωϕ==9．答案：D 解析：根据题意1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21T k Z k π=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122x k k Z ππωϕϕπ+=+=+∈212k πϕπ∴=+，又因为ϕπ<，所以12πϕ=10．已知函数31()xxf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．答案：C解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以122a ≤≤11．已知函数32()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞ B．,⎛-∞ ⎝⎭ C ．(0,)+∞ D ．(,1)-∞-11．答案：B解析：2()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-，所以003ax =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当23ax =-时，()f x 取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须341027a +<，解得2a <-12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ） A ．1 B ．2±C ．12或3 D ．1或212．答案：D解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，[2,4]2x ∈，()2x f x cf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1()(2)f x f x c=，所以在区间[1,2]上，当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，(3,1)A ，(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，所以111332c c --=，解得1c =或2 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ．13．答案：85解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685,255λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=⎪⎩AMx14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为 ．14．答案：(0,)e解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t=-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于 ．15．答案：1009-解析：由题意可得2212222221212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0n S>，所以222n S +所以)n N *=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得312S =，所以数列2=为首1=1n =+，即22(1)n S n =+，故21(1)(2)n S n n -==++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，所以2016201620151009a S S =-=-16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,42()11, 1.4xx x f x x π⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤， 若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ． 16．答案：01a <≤或54a =解析：由25[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5f x =或()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65154<<，所以该方程有4个根；因2（1）求角A 的大小； （2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围．17．解：（1cos (2)cos C b A =-及正弦定理可得：cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，0πB <<，sin 0B ∴≠，cos A ∴=0πA <<，所以6πA =（2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πC B B C B A B ⎛⎫--=+-=-+-⎪⎝⎭3sin coscos sinsin 1sin cos 1166226πππB B B B B B ⎛⎫=-+-=--=-- ⎪⎝⎭ 由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，116πB ⎛⎤⎛⎫--∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围是1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：若2(,)XN μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=18．解：因为语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P X =>=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3321123101061066333316161616327151(0),(1),(2),(3),14565628C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①②ACBA 1C 1B 1ACBA 1C 1B 1（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥．又因为1AOB O O =，所以1CC ⊥平面1AOB ，又因为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）AC BA 1C 1B 1O（2）由已知得1OA OB AB ===2221OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以11,,OB OC OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得11(0,1,0),C B A A -．设平面1CAB 的法向量111(,,)m x y z =，1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，11111300AB m x ACm y ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,m =．设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)AB AA =-=，由122123020AB n x AA n y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21x =，得221,0z y ==， 所以平面11AA B的法向量(1,0,1)n =， 于是cos ,55m n m n m n⋅===⨯⋅．因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为5-20．（本小题满分12分）已知曲线2()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-． （1）求实数,a b 的值；（2）若2()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值． 20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1(1)2f a f a b ==⎧⎨'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）（2）由22ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1x x k x ++≤恒成立，令 2ln ()(0)1x x g x x x +=>+，则22(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++， 显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==，所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）． （1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围； （3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范围．21．解：（1）当1a =时，211()ln 22f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分） （2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212a f a a ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31ln 42b -<≤．…………（6分） （3）2222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==+++， 因为12a <<，所以221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫==++- ⎪⎝⎭． 问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+-⎪⎝⎭恒成立， 设211()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<< ⎪⎝⎭， 则212(41)2()12211ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即18m -≤． 当18m -≤时，设2()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m=--<，又20m ->，开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)内单调递增，()(1)0h a h >=，即211ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭． 于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立． 综上可知，18m -≤…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为1,212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．22．解：（1）将4c o s ρθ=化为24cos ρρθ=，由222,c os ρρθx y x =+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=．由1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t解得10x +=， 所以直线l的普通方程为10x +=……………………（5分）（2）把1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)4x y -+=，整理得250t -+=，设其两根为12,t t ，则12125t t t t +==，所以12PQ t t =-==10分） 方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线l 的距离32d =，所以PQ ==………………（10分）方法3，将1x =-代入22(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：12125,24y y y y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．（1）解不等式()5g x <；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。
河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)
2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合2{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}A B =，则B =（ ）A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}1．答案：C解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入240x x m -+=，得3m =，所以2430x x -+=， 即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．22．答案：D 解析：设ii,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21a b b =-⎧⎨=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．答案：D解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否→输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值是（ ） A ． 5 B ．3CD．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，5d ===5．已知ABC △的三个内角,,A B C 依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB ==，则ABC S =△（ ）A ．3 B．C．D ．65．答案：C解析：因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+，又因为180A B C ++=︒，所以60B =︒， 在ABD △中，由余弦定理可得2222cos60AD AB BD AB BD =+-⋅⋅︒，即2230BD BD --=，所以(3)(1)0BD BD -+=，所以3BD =，故26BC BD ==，1sin 602ABC S AB BC =⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（ ） A ．3 B．C．D6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则1,2,3BC AC CD BD AB AD ======所以最长的棱为3ABCD7．已知数列{}n a满足110,()n a a n N *+==∈，则20a =（ ）A ．0 B．CD7．答案：B解析：解法1：123410,02a a a a a -======-，周期3T =，所以202a a == 解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =，11tan tan3tan 1tan tan 3n n n a πααπα++-===+tan 3n πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，13n n απ-=-，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．110,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．答案：B 解析：当,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332,32232k k Z k πππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+⎪⎩≥≤， 解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212k -<≤，又因为k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．17,224πωϕ==B ．211,312πωϕ==-C ．111,324πωϕ==-D ．2,312πωϕ==9．答案：D 解析：根据题意1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21T k Z k π=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122x k k Z ππωϕϕπ+=+=+∈212k πϕπ∴=+，又因为ϕπ<，所以12πϕ=10．已知函数31()xxf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．答案：C解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以122a ≤≤11．已知函数32()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞ B．,⎛-∞ ⎝⎭ C ．(0,)+∞ D ．(,1)-∞-11．答案：B解析：2()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-，所以003ax =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当23ax =-时，()f x 取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须341027a +<，解得2a <-12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ） A ．1 B ．2±C ．12或3 D ．1或212．答案：D解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，[2,4]2x ∈，()2x f x cf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1()(2)f x f x c=，所以在区间[1,2]上，当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，(3,1)A ，(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，所以111332c c --=，解得1c =或2 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ．13．答案：85解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685,255λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=⎪⎩AMx14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为 ．14．答案：(0,)e解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t=-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于 ．15．答案：1009-解析：由题意可得2212222221212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0n S>，所以222n S +所以)n N *=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得312S =，所以数列2=为首1=1n =+，即22(1)n S n =+，故21(1)(2)n S n n -==++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，所以2016201620151009a S S =-=-16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,42()11, 1.4xx x f x x π⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤， 若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ． 16．答案：01a <≤或54a =解析：由25[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5f x =或()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65154<<，所以该方程有4个根；因2（1）求角A 的大小； （2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围．17．解：（1cos (2)cos C b A =-及正弦定理可得：cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，0πB <<，sin 0B ∴≠，cos A ∴=0πA <<，所以6πA =（2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πC B B C B A B ⎛⎫--=+-=-+-⎪⎝⎭3sin coscos sinsin 1sin cos 1166226πππB B B B B B ⎛⎫=-+-=--=-- ⎪⎝⎭ 由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，116πB ⎛⎤⎛⎫--∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围是1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：若2(,)XN μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=18．解：因为语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P X =>=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3321123101061066333316161616327151(0),(1),(2),(3),14565628C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①②ACBA 1C 1B 1ACBA 1C 1B 1（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥．又因为1AOB O O =，所以1CC ⊥平面1AOB ，又因为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）AC BA 1C 1B 1O（2）由已知得1OA OB AB ===2221OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以11,,OB OC OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得11(0,1,0),C B A A -．设平面1CAB 的法向量111(,,)m x y z =，1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，11111300AB m xAC m y ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=--=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,m =．设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)AB AA =-=，由122123020AB n x AA n y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21x =，得221,0z y ==， 所以平面11AA B 的法向量(1,0,1)n =， 于是cos ,55m n m n m n⋅===⨯⋅．因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为5-20．（本小题满分12分）已知曲线2()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-． （1）求实数,a b 的值；（2）若2()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值． 20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1(1)2f a f a b ==⎧⎨'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）（2）由22ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1x x k x ++≤恒成立，令 2ln ()(0)1x x g x x x +=>+，则22(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++， 显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==，所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）． （1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围； （3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范围．21．解：（1）当1a =时，211()ln 22f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分） （2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212a f a a ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31ln 42b -<≤．…………（6分） （3）2222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==+++， 因为12a <<，所以221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫==++- ⎪⎝⎭． 问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+-⎪⎝⎭恒成立， 设211()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<< ⎪⎝⎭， 则212(41)2()12211ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即18m -≤． 当18m -≤时，设2()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m=--<，又20m ->，开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)内单调递增，()(1)0h a h >=，即211ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭． 于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立． 综上可知，18m -≤…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为1,212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．22．解：（1）将4c o s ρθ=化为24cos ρρθ=，由222,c os ρρθx y x =+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=．由1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t解得10x +=， 所以直线l的普通方程为10x +=……………………（5分）（2）把1,212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)4x y -+=，整理得250t -+=，设其两根为12,t t ，则12125t t t t +==，所以12PQ t t =-==………………（10分） 方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线l 的距离32d =，所以PQ ==………………（10分）方法3，将1x =-代入22(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：12125,24y y y y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．（1）解不等式()5g x <；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等号，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。
河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)
2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合2{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}AB =，则B =（ ）A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}1．答案：C解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入240x x m -+=，得3m =，所以2430x x -+=，即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．22．答案：D解析：设ii,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21a b b =-⎧⎨=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．答案：D解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否 →输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值是（ ）A ． 5B ．3C．5D．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，d===5．已知ABC△的三个内角,,A B C依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB==，则ABCS=△（）A．3 B．C．D．65．答案：C解析：因为,,A B C成等差数列，所以2B A C=+，又因为180A B C++=︒，所以60B=︒，在ABD△中，由余弦定理可得2222cos60AD AB BD AB BD=+-⋅⋅︒，即2230BD BD--=，所以(3)(1)0BD BD-+=，所以3BD=，故26BC BD==，1sin602ABCS AB BC=⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（）A．3 B．C．D6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则1,2,3BC AC CD BD AB AD======所以最长的棱为3ABCD7．已知数列{}na满足110,()na a n N*+==∈，则20a=（）A．0 B．CD7．答案：B解析：解法1：123410,02a a a a a-======-，周期3T=，所以202a a==解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =，11tan tan3tan 1tan tan 3n n n a πααπα++-===+tan 3n πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，13n n απ-=-，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．110,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．答案：B解析：当,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332,32232k k Z k πππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+⎪⎩≥≤， 解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212k -<≤，又因为k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．17,224πωϕ==B ．211,312πωϕ==-C ．111,324πωϕ==-D ．2,312πωϕ==9．答案：D解析：根据题意1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21T k Z k π=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122x k k Z ππωϕϕπ+=+=+∈ 212k πϕπ∴=+，又因为ϕπ<，所以12πϕ=10．已知函数31()xxf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．答案：C解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以122a ≤≤11．已知函数32()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞ B．,2⎛-∞- ⎝⎭ C ．(0,)+∞ D ．(,1)-∞- 11．答案：B解析：2()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-，所以003ax =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当23ax =-时，()f x 取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须341027a +<，解得2a <-12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ）A ．1B ．2±C ．12或3 D ．1或2 12．答案：D解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，[2,4]2x∈，()2x f x cf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1()(2)f x f x c=，所以在区间[1,2]上，当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，(3,1)A ，(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，所以111332c c --=，解得1c =或2 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ．13．答案：85解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685,255λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=⎪⎩AMx14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为 ． 14．答案：(0,)e 解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t =-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于 ()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于 ． 15．答案：1009-解析：由题意可得2212222221212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0nS >，所以222n S +=，所以)n N *=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得312S =，所以数列2=为首1=1n =+，即22(1)n S n =+，故21(1)(2)n S n n -==++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，所以2016201620151009a S S =-=-16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,42()11, 1.4xx x f x x π⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤， 若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 16．答案：01a <≤或54a =解析：由25[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5f x =或()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65154<<，所以该方程有4个根；因22⎪⎝⎭17．解：（1cos (2)cos C b A =-及正弦定理可得：cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，0πB <<，sin 0B ∴≠，cos A ∴=0πA <<，所以6πA = （2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πCB BC B A B ⎛⎫--=+-=-+-⎪⎝⎭3sin coscos sinsin 1sin cos 1166226πππB B B B B B ⎛⎫=-+-=--=-- ⎪⎝⎭由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，21162πB ⎛⎤⎛⎫--∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， 故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围是1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：若2(,)XN μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=18．解：因为语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P X =>=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3321123101061066333316161616327151(0),(1),(2),(3),14565628C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①②ACBA 1C 1B 1ACBA 1C 1B 1（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥．又因为1AO B O O =，所以1CC ⊥平面1AOB ，又因为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）AC BA 1C 1B1O（2）由已知得1OA OB AB ===2221OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以11,,OB OCOA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得11(0,1,0),3)C B A A -．设平面1CAB 的法向量111(,,)m x y z =，1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，1111130AB m x AC m y ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,3,1)m =-．设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)AB AA=-=，由122123020AB n x AA n y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21x =，得221,0z y ==， 所以平面11AA B 的法向量(1,0,1)n =，于是cos ,5m n m n m n⋅===⨯⋅．因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为5-20．（本小题满分12分）已知曲线2()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-． （1）求实数,a b 的值；（2）若2()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值．20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1(1)2f a f a b ==⎧⎨'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）（2）由22ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1x x k x ++≤恒成立，令2ln ()(0)1x xg x x x +=>+，则22(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++， 显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==， 所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）．（1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；（3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范围．21．解：（1）当1a =时，211()ln 22f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分）（2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212a f a a⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31ln 42b -<≤．…………（6分）（3）2222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==+++， 因为12a <<，所以221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫==++- ⎪⎝⎭．问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+- ⎪⎝⎭恒成立，设211()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<< ⎪⎝⎭，则212(41)2()12211ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即18m -≤．当18m -≤时，设2()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m=--<，又20m ->，开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)内单调递增，()(1)0h a h >=，即211ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭．于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立．综上可知，18m -≤…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为1,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．22．解：（1）将4c o s ρθ=化为24cos ρρθ=，由222,c o s ρρθx y x =+=，得224x y x +=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y-+=．由1,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t 解得10x+=， 所以直线l10x +=……………………（5分）（2）把1,12x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)4x y -+=，整理得250t -+=，设其两根为12,t t ，则 12125t t t t +==，所以12PQ t t =-==10分）方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线l 的距离32d =，所以PQ ==………………（10分）方法3，将1x =-代入22(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：121254y yy y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．（1）解不等式()5g x <；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等号，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。
(完整word)2018高考数学模拟试卷(衡水中学理科)
2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018•衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．∅B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]2．（5分）（2018•衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.23．（5分）（2018•衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．4．（5分）（2018•衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）（2018•衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．16．（5分）（2018•衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5分）（2018•衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．8．（5分）（2018•衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．7209．（5分）（2018•衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A．16 B．8+6C．16D．16+610．（5分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）（2018•衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥12．（5分）（2018•衡中模拟）已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣4，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）第2卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．（5分）（2018•衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，则在上的投影为．14．（5分）（2018•衡中模拟）若数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则数列{a n}前2n项和S2n=．15．（5分）（2018•衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为．16．（5分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018•衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．18．（12分）（2018•衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD ∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．19．（12分）（2018•衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．20．（12分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1，）．过椭圆E内一点P（1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，k AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．21．（12分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018•衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018•衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|．（I）解不等式f（x）≤6；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018•衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．∅B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]【解答】解：A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={y|y=|x|≥0}，则A∩B=[0，1），故选：C．2．（5分）（2018•衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.2【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴μ=3，得对称轴是x=3．∵P（ξ＞4）=0.2∴P（3＜ξ≤4）=0.5﹣0.2=0.3．故选：C3．（5分）（2018•衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：复数z=，可得=﹣=cos+isin．则3=cos4π+isin4π=1．故选：A．4．（5分）（2018•衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：如图若∠PFQ=π，则由对称性得∠QFO=，则∠QOx=，即OQ的斜率k==tan=，则双曲线渐近线的方程为y=±x，故选：B5．（5分）（2018•衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．1【解答】解：∵2πr1=，∴r1=，同理，∴r1+r2+r3=1，故选：D．6．（5分）（2018•衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，第二次循环，sinπ＞sin，即0＞1不成立，a=0，T=1，k=3，k＜6成立，第三次循环，sin＞sinπ，即﹣1＞0不成立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，第四次循环，sin2π＞sin，即0＞﹣1成立，a=1，T=1+1=2，k=5，k＜6成立，第五次循环，sin＞sin2π，即1＞0成立，a=1，T=2+1=3，k=6，k＜6不成立，输出T=3，故选：B7．（5分）（2018•衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，a3=7，a5=11，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，∴，∴b8=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=故选B．8．（5分）（2018•衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．720【解答】解：（x﹣3）10=[（x+1）﹣4]10，∴，故选：D．9．（5分）（2018•衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A．16 B．8+6C．16D．16+6【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，4，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．三棱锥的三条边长分别为，∴表面积为4×=16．故选：C．10．（5分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为Q，由F（﹣3，0），可得Q（3，0），由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，即|PF|=2a﹣|PQ|，则|PM|+|PF|=2a+（|PM|﹣|PQ|）≤2a+|MQ|，当P，M，Q共线时，取得等号，即最大值2a+|MQ|，由|MQ|==5，可得2a+5=17，所以a=6，则e===，故选：A．11．（5分）（2018•衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥【解答】解：由y=f（x）﹣kx=0得f（x）=kx，作出函数f（x）和y=kx的图象如图，由图象知当k≤0时，函数f（x）和y=kx恒有一个交点，当x≥0时，函数f（x）=ln（x+1）的导数f′（x）=，则f′（0）=1，当x＜0时，函数f（x）=e x﹣1的导数f′（x）=e x，则f′（0）=e0=1，即当k=1时，y=x是函数f（x）的切线，则当0＜k＜1时，函数f（x）和y=kx有3个交点，不满足条件．当k≥1时，函数f（x）和y=kx有1个交点，满足条件．综上k的取值范围为k≤0或k≥1，故选：B．12．（5分）（2018•衡中模拟）已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣4，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）【解答】解：∵a n﹣b n=﹣2n+p﹣2n﹣4，∴a n﹣b n随着n变大而变小，又∵a n=﹣2n+p随着n变大而变小，b n=2n﹣4随着n变大而变大，∴，（1）当（2）当，综上p∈（14，20），故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．（5分）（2018•衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，则在上的投影为﹣1．【解答】解：根据条件，==7；∴；∴在上的投影为．故答案为：﹣1．14．（5分）（2018•衡中模拟）若数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则数列{a n}前2n项和S2n=2n+n2﹣1．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，∴n=2k﹣1时，a2k+1﹣a2k﹣1=2，为等差数列；n=2k时，a2k+2=2a2k，为等比数列．∴．故答案为：2n+n2﹣1．15．（5分）（2018•衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为2．【解答】解：由ax+（a﹣2）y+4﹣a=0得a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，则得，即直线恒过C（﹣1，2），若将区域分成面积相等的两部分，则直线过AB的中点D，由得，即A（1，6），∵B（3，0），∴中点D（2，3），代入a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，得4a﹣2=0，则，则的几何意义是区域内的点到点（﹣2，0）的斜率，由图象过AC的斜率最大，此时最大值为2．故答案为：2．16．（5分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为（﹣∞，﹣2] ．【解答】解：由f′（x）=+x，得f′（1）=3a+1，所以f（x）=（a+1）lnx+ax2，（a＜﹣1）在（0，+∞）单调递减，不妨设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）≥4x2﹣4x1，即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，令F（x）=f（x）+4x，F′（x）=f′（x）+4=+2ax+4，等价于F（x）在（0，+∞）上单调递减，故F'（x）≤0恒成立，即+2ax+4≤0，所以恒成立，得a≤﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018•衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．【解答】解：（1）cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0可得：cosBsinC﹣（a﹣sinB）cosC=0即：sinA﹣acosC=0．由正弦定理可知：，∴，c=1，∴asinC﹣acosC=0，sinC﹣cosC=0，可得sin（C﹣）=0，C是三角形内角，∴C=．（2）由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC，得1=a2+b2﹣ab又，∴，即：．当时，a2+b2取到最大值为2+．18．（12分）（2018•衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD ∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．【解答】证明：（1）取PC的中点E，则连接DE，∵ME是△PBC的中位线，∴ME，又AD，∴ME AD，∴四边形AMED是平行四边形，∴AM∥DE．∵PA=AB，M是PB的中点，∴AM⊥PB，∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵AM⊂平面PAB，∴BC⊥AM，又PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC，∵AM∥DE，∴DE⊥平面PBC，又DE⊂平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．（2）以A为原点，以AD，AB，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），B（0，2，0），M（0，1，1），P（0，0，2），C（2，2，0），D（1，0，0）．∴=（1，2，0），=（0，1，1），=（1，0，0），∴=λ=（λ，2λ，0），=（λ+1，2λ，0），==（λ+1，2λ﹣1，﹣1）．∵AD⊥平面PAB，∴为平面PAB的一个法向量，∴cos＜＞=====设MN与平面PAB所成的角为θ，则sinθ=．∴当即时，sinθ取得最大值，∴MN与平面PAB所成的角最大时．19．（12分）（2018•衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（1）记转盘A指针指向1，2，3区域的事件为A1，A2，A3，同理转盘B指针指向1，2，3区域的事件为B1，B2，B3，∴P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（B1）=，P（B2）=，P（B3）=，P=P（A1）P（1﹣P（B1））=×（1﹣）==．…（5分）（2）由已知得ξ的可能取值为2，3，4，5，6，P（ξ=2）=P（A1）P（B1）===，P（ξ=3）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）==，P（ξ=4）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）==，P（ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=+=，P（ξ=6）=P（A3）P（B3）==，∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4 5 6PEξ==．…（12分）20．（12分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1，）．过椭圆E内一点P（1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，k AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设M（m1，n1）、N（m2，n2），则，两式相减，故a2=3b2…（2分）当直线AP平行于x轴时，设|AC|=2d，∵，，则，解得，故点A（或C）的坐标为．代入椭圆方程，得…4分a2=3，b2=1，所以方程为…（6分）（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）由于，可得A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），…①同理可得…②…（8分）由①②得：…③将点A、B的坐标代入椭圆方程得，两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，于是3（y1+y2）k AB=﹣（x1+x2）…④同理可得：3（y3+y4）k CD=﹣（x3+x4），…（10分）于是3（y3+y4）k AB=﹣（x3+x4）（∵AB∥CD，∴k AB=k CD）所以3λ（y3+y4）k AB=﹣λ（x3+x4）…⑤由④⑤两式相加得到：3[y1+y2+λ（y3+y4）]k AB=﹣[（x1+x2）+λ（x3+x4）]把③代入上式得3（1+λ）k AB=﹣2（1+λ），解得：，当λ变化时，k AB为定值，．…（12分）21．（12分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，得，解得m=2，故，则，函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），而，又函数g（x）在（1，+∞）上是减函数，∴在（1，+∞）上恒成立，∴当x∈（1，+∞）时，的最大值．而，即右边的最大值为，∴，故实数a的最小值；（Ⅱ）由题可得，且定义域为（0，1）∪（1，+∞），要使函数F（x）无零点，即在（0，1）∪（1，+∞）内无解，亦即在（0，1）∪（1，+∞）内无解．构造函数，则，（1）当k≤0时，h'（x）＜0在（0，1）∪（1，+∞）内恒成立，∴函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内也单调递减．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）时，h（x）＞0，即函数h（x）在（0，1）内无零点，同理，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即函数h（x）在（1，+∞）内无零点，故k≤0满足条件；（2）当k＞0时，．①若0＜k＜2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．又h（1）=0，∴h（x）在（0，1）内无零点；又，而，故在内有一个零点，∴0＜k＜2不满足条件；②若k=2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h（x）＞0恒成立，故无零点．∴k=2满足条件；③若k＞2，则函数h（x）在内单调递减，在内单调递增，在（1，+∞）内也单调递增．又h（1）=0，∴在及（1，+∞）内均无零点．易知，又h（e﹣k）=k×（﹣k）﹣2+2e k=2e k﹣k2﹣2=ϕ（k），则ϕ'（k）=2（e k﹣k）＞0，则ϕ（k）在k＞2为增函数，∴ϕ（k）＞ϕ（2）=2e2﹣6＞0．故函数h（x）在内有一零点，k＞2不满足．综上：k≤0或k=2．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018•衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（5分）（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，因此2AD•CD=AC•BC．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018•衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ=得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴由曲线C的直角坐标方程是：y2=2x．由直线l的参数方程为（t为参数），得t=3+y代入x=1+t中消去t得：x﹣y﹣4=0，所以直线l的普通方程为：x﹣y﹣4=0…（5分）（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2x，得t2﹣8t+7=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|AB|===，因为原点到直线x﹣y﹣4=0的距离d=，所以△AOB 的面积是|AB|d==12．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|．（I）解不等式f（x）≤6；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|=的图象如图所示，（I）不等式f（x）≤6，即①或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得3＜x≤5，解③求得﹣1≤x≤3．综上可得，原不等式的解集为[﹣1，5]．（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，则函数f（x）的图象不能在y=ax﹣1的图象的下方．如图所示：由于图中两题射线的斜率分别为﹣2，2，点B（3，2），∴3a﹣1≤2，且a≥﹣2，求得﹣2≤a≤1．第21页（共21页）。
河北省衡水市衡水中学2018届高三年级第一次月考理科数学(解析版)
2017~2018学年度上学期高三年级一调考试数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．设集合2{1,2,4},{|40}A B x x x m ==-+=．若{1}A B =，则B =（ ）A ．{1,3}-B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}1．答案：C解析：由题意可知1B ∈，将1x =代入240x x m -+=，得3m =，所以2430x x -+=，即(1)(3)0x x --=，解得1x =或3x =，所以{1,3}B = 2．已知i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．22．答案：D解析：设ii,12i a b b R -=∈+，则i i(12i)2i a b b b -=+=-+，所以21a b b =-⎧⎨=-⎩，故2a = 3．执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23．答案：D解析：1,100,0t M S ===→是100,10,2S M t →==-=→是90,1,3S M t →===→否→输出9091S =<，结束，所以正整数N 的最小值为2．4．已知点(2,0)A -，点(,)M x y 为平面区域220,240,33x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤0上的一个动点，则AM 的最小值是（ ） A ． 5 B ．3CD．4．答案：C解析：作可行域如图所示，则AM 的最小值为点A 到直线220x y +-=的距离，d===5．已知ABC△的三个内角,,A B C依次成等差数列，BC边上的中线2AD AB==，则ABCS=△（）A．3 B．C．D．65．答案：C解析：因为,,A B C成等差数列，所以2B A C=+，又因为180A B C++=︒，所以60B=︒，在ABD△中，由余弦定理可得2222cos60AD AB BD AB BD=+-⋅⋅︒，即2230BD BD--=，所以(3)(1)0BD BD-+=，所以3BD=，故26BC BD==，1sin602ABCS AB BC=⨯⨯︒=△6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（）A．3 B．C．D6．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，则1,2,3BC AC CD BD AB AD======所以最长的棱为3ABCD7．已知数列{}n a满足110,()na a n N*+==∈，则20a=（）A．0 B．CD．27．答案：B解析：解法1：123410,0a a a a a======，周期3T=，所以202a a==解法2：设tan n n a α=，则1tan 0a =，11tan tan3tan 1tan tan 3n n n a πααπα++-===+tan 3n πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以13n n παα+=-，所以数列{}n α是一个首项为0，公差为3π-的等差数列，13n n απ-=-，所以2020201919,tan tan tan tan 3333a ππαπαπ⎛⎫⎛⎫=-==-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知0ω>，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．110,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．答案：B解析：当,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,33323x πππππωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据题意可得3,2,2,332322k k k Z ππππππωωππ⎛⎫⎛⎫--⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2332,32232k k Z k πππωππππωπ⎧-+⎪⎪∈⎨⎪-+⎪⎩≥≤， 解得：125121123k k ω++≤≤，所以1251211023k k ++<≤，所以571212k -<≤，又因为k Z ∈，所以0k =，所以511,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦9．设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><．若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A ．17,224πωϕ==B ．211,312πωϕ==-C ．111,324πωϕ==-D ．2,312πωϕ==9．答案：D解析：根据题意1153(21),8844k T k Z πππ+-==∈，所以3,21T k Z k π=∈+，又因为2T π>，所以220,3,3k T T ππω====，当58x π=时，52,,122x k k Z ππωϕϕπ+=+=+∈212k πϕπ∴=+，又因为ϕπ<，所以12πϕ=10．已知函数31()xxf x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a 满足()()20.5log log 2(1)f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10．答案：C解析：函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，0.52log log a a =-，所以()22log 2(1)f a f ≤，所以()2log (1)f a f ≤，所以21log 1a -≤≤，所以122a ≤≤11．已知函数32()1f x x ax =++的图像的对称中心的横坐标为00(0)x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B．,⎛-∞ ⎝⎭C ．(0,)+∞D ．(,1)-∞-11．答案：B解析：2()32f x x ax '=+，()f x '的对称轴为3a x =-，所以003ax =->，所以0a <，令 ()0f x '=，得1220,03a x x ==->，所以当0x =时，()f x 取得极大值1，当23ax =-时，()f x 取得极小值34127a +，要想使()f x 有三个零点，则必须341027a +<，解得2a <-12．定义在[1,)+∞内的函数()f x 满足：①当24x ≤≤时，()13f x x =--；②(2)()f x c f x =（c 为正常数）．若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ）A ．1B ．2±C ．12或3 D ．1或2 12．答案：D解析：在区间[2,4]上，当3x =时，()f x 取得极大值1，极大值点为(3,1)A ，当[4,8]x ∈时，[2,4]2x∈，()2x f x cf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以在区间[4,8]上，当32x =，即6x =时，()f x 取得极大值c ，极大值点为(6,)B c ，当[1,2]x ∈时，2[2,4]x ∈，所以1()(2)f x f x c=，所以在区间[1,2]上，当23x =，即32x =时，()f x 取得极大值1c ，所以极大值点为31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，(3,1)A ，(6,)B c ，31,2C c ⎛⎫⎪⎝⎭三点共线，所以111332c c --=，解得1c =或2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+= ． 13．答案：85解析：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(2,2)AC =，(2,1),(1,2)AM BN ==-，因为AC AM BN λμ=+，所以(2,2)(2,2)λμλμ-+=，所以2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得685,255λλμμ⎧=⎪⎪∴+=⎨⎪=⎪⎩AMx14．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)4f =，且()f x 的导函数()3f x '<，则不等式(ln )3ln 1f x x >+的解集为 ． 14．答案：(0,)e 解析：设ln t x =，则()31f t t >+，即()31f t t ->，设()()3g t f t t =-，则(1)(1)31g f =-=，且()()30g t f t ''=-<，所以函数()g t 是一个单调递减函数，不等式()31f t t ->等价于 ()(1)g t g >，所以1t <，即ln 1x <，解得(0,)x e ∈15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，126,4,0n S S S ==>，且22122,,n n n S S S -+成等比数列，212221,,n n n S S S -++成等差数列，则2016a 等于 ． 15．答案：1009-解析：由题意可得2212222221212n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩，因为0nS >，所以222n S +所以)n N *=∈，故数列为等差数列，又由126,4S S ==，2124S S S =⋅，可得49S =；4132S S S =+，可得312S =，所以数列2=为首1=1n =+，即22(1)n S n =+，故21(1)(2)n S n n -==++，故2201620151009,10091010S S ==⨯，所以2016201620151009a S S =-=-16．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,01,42()11, 1.4xx x f x x π⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤， 若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 16．答案：01a <≤或54a =解析：由25[()](56)()60f x a f x a -++=可得[5()6][()]0f x f x a -⋅-=，所以6()5f x =或()f x a =，画出()y f x =的图像，当6()5f x =时，因为65154<<，所以该方程有4个根；因为关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，所以22⎝⎭17．解：（1cos (2)cos C b A =-及正弦定理可得：cos (2sin )cos 2sin cos cos A C B C A B A C A ==，故2sin cos cos sin cos ))B A A C C A A C B =+=+=，0πB <<，sin 0B ∴≠，cos 2A ∴=，又因为0πA <<，所以6πA = （2）25cos 2sin sin cos 1sin cos()122πC B B C BA B ⎛⎫--=+-=-+-⎪⎝⎭3sin coscos sinsin 1sin 116626πππB B B B B B⎛⎫=-+-=-=-- ⎪⎝⎭由6πA =，可得50,6πB ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππB ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而1sin ,162πB ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，116πB ⎛⎤⎛⎫--∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， 故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围是1⎛⎤ ⎥ ⎝⎦18．（本小题满分12分）高三某班12月月考语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135分，则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：若2(,)XN μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=18．解：因为语文成绩服从正态分布2(100,17.5)N ，所以语文成绩特别优秀的概率为11(135)(10.96)0.022p P X =>=-⨯=，数学成绩特别优秀的概率为230.0016200.0244p =⨯⨯= 所以语文成绩特别优秀的同学有5000.0210⨯=（人），数学特别优秀的同学有5000.02412⨯=（人）……………………（5分）（2）因为语文、数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3321123101061066333316161616327151(0),(1),(2),(3),14565628C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………（12分）19．（本小题满分12分）如图①，在平行四边形11ABB A 中，11160,4,2,,ABB AB AA C C ∠=︒==分别为11,AB A B 的中点，现把平行四边形11AAC C 沿1CC 折起，如图②所示，连接1111,,B C B A B A ①②ACBA 1C 1B 1ACBA 1C 1B 1（1）求证：11AB CC ⊥；（2）若1AB 11C AB A --的余弦值．19．（1）证明：由已知可得，四边形1111,ACC A BCC B 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒，取1CC 的中点O ，连接11,,AO B O AC ，则1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，同理可得11B O CC ⊥．又因为1AO B O O =，所以1CC ⊥平面1AOB ，又因为1AB ⊂平面1AOB ，所以11AB CC ⊥．…………………………（5分）AC BA 1C 1B1O（2）由已知得1OA OB AB ===2221OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，分别以11,,OB OC OA的方向为x 轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，得11(0,1,0),3)C B A A -．设平面1CAB 的法向量111(,,)m x y z =，1(3,0,3),(0,1,AB AC =-=-，1111130AB m x AC m y ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令11x =，得 111,z y ==1CAB 的法向量(1,3,1)m =-．设平面11AA B 的法向量222(,,)n x y z =，11(3,0,3),(0,2,0)AB AA=-=，由122123020AB n x AA n y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令21x =，得221,0z y ==， 所以平面11AA B 的法向量(1,0,1)n =，于是cos ,5m n m n m n⋅===⨯⋅．因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为5-20．（本小题满分12分）已知曲线2()ln f x ax bx x =+在点(1,(1))f 处的切线方程是21y x =-． （1）求实数,a b 的值；（2）若2()(1)f x kx k x +-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的最大值．20．解：（1）()2ln f x a bx x bx '=++，由(1)1(1)2f a f a b ==⎧⎨'=+=⎩，可得1a b ==……（4分）（2）由22ln (1)x x x kx k x ++-≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即2ln 1x x k x ++≤恒成立，令2ln ()(0)1x xg x x x +=>+，则22(ln 1)(1)2ln ln 1()(1)(1)x x x x x x g x x x ++--+-'==++， 显然ln 1y x x =+-单调递增，且有唯一零点1x =，所以()g x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增，所以min ()(1)1g x g ==， 所以1k ≤，故k 的最大值为1………………………………（12分）21．（本小题满分12分）已知函数211()ln 22f x ax x ax ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >）．（1）当1a =时，求函数()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）当()y f x =在12x =处取得极值时，若关于x 的方程()0f x b -=在[0,2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；（3）若对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立，求实数m 的取值范围．21．解：（1）当1a =时，211()ln 22f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，所以13()21,(1)12f x x f x ''=+-=+，又(1)0f =，即切点为(1,0)，所以切线方程为3(1)2y x =-，即3230x y --=．……（3分）（2）()21a f x x a ax '=+-+，依题意，1101212a f a a⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭+，即220a a --=，因为 0a >，所以2a =，此时2(21)()12x x f x x -'=+，所以()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1135(0)ln ,,(2)ln 2242f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以31ln 42b -<≤．…………（6分）（3）2222(2)2(2)()2111x ax a a ax a x f x x a ax ax ax⎡⎤--+-⎣⎦'=+-==+++， 因为12a <<，所以221(2)(1)0222a a a a a --+-=<，即22122a a -<，所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以max 11()(1)ln 122f x f a a ⎛⎫==++- ⎪⎝⎭．问题等价于对任意的(1,2)a ∈，不等式211ln 1(23)22a a m a a ⎛⎫++->+- ⎪⎝⎭恒成立，设211()ln 1(23)(12)22h a a a m a a a ⎛⎫=++--+-<< ⎪⎝⎭，则212(41)2()12211ma m a m h a ma m a a --+-'=---=++，又(1)0h =，所以()h a 在1a =右侧需先单调递增，所以(1)0h '≥，即18m -≤．当18m -≤时，设2()2(41)2g a ma m a m =--+-，其对称轴为1114a m=--<，又20m ->，开口向上，且(1)810g m =--≥，所以在(1,2)内，()0g a >，即()0h a '>，所以()h a 在(1,2)内单调递增，()(1)0h a h >=，即211ln 1(23)(12)22a a m a a a ⎛⎫++->+-<< ⎪⎝⎭．于是，对任意的(1,2)a ∈，总存在01,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式20()(23)f x m a a >+-成立．综上可知，18m -≤…………………………（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程x 轴的非负半轴重合，直线l 的参数方程为1,212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点，求PQ 的值．22．解：（1）将4c o s ρθ=化为24cos ρρθ=，由222,c os ρρθx y x =+=，得224x y x +=，所以曲线C22(2)4x y -+=．由1,212x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去t解得10x +=， 所以直线l 的普通方程为10x +=……………………（5分）（2）把1,12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(2)4x y -+=，整理得250t -+=，设其两根为12,t t ，则12125t t tt +==，所以12PQ t t =-==10分）方法2，圆C 的圆心为(2,0)C ，半径2r =，圆心C 到直线l的距离32d =，所以PQ ==………………（10分）方法3，将1x=-代入22(2)4x y -+=，化简得：2450y -+=，由韦达定理得：12125,24y y y y +==，PQ === 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+．（1）解不等式()5g x <；（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．23．解：（1）由125x -+<，得5125x -<-+<，所以13x -<，即313x -<-<，解得： 24x -<<，所以原不等式的解集为{|24}x x -<<（2）因为对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，又()223(2)(23)3f x x a x x a x a =-++--+=+≥，当且仅当(2)(23)0x a x -+≤时取等号，()122g x x =-+≥，所以32a +≥， 解得：1a -≥或5a -≤，所以实数a 的取值范围是(,5][1,)-∞--+∞。