江苏省启东市建新中学2024届中考数学四模试卷含解析

江苏省启东市建新中学2024届中考数学四模试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知443y x x =-+-+，则y x 的值为() A ．43 B ．43- C ．34 D ．34
- 2．81的算术平方根是（ ）
A ．9
B ．±9
C ．±3
D ．3 3．函数y ＝
113x x +--自变量x 的取值范围是( ) A ．x ≥1 B ．x ≥1且x ≠3 C ．x ≠3 D ．1≤x ≤3
4．观察图中的“品”字形中个数之间的规律，根据观察到的规律得出a 的值为
A ．75
B ．89
C ．103
D ．139
5．一个数和它的倒数相等，则这个数是（ ）
A ．1
B ．0
C ．±1
D ．±1和0
6．关于的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ．
7．某校有35名同学参加眉山市的三苏文化知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决赛. 其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的（ ）.
A ．众数
B ．中位数
C ．平均数
D ．方差
8．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x+k=0的两个根，则k 的值是（ ）
A ．27
B ．36
C ．27或36
D ．18
9．抛物线y=ax 2﹣4ax+4a ﹣1与x 轴交于A ，B 两点，C （x 1，m ）和D （x 2，n ）也是抛物线上的点，且x 1＜2＜x 2，x 1+x 2＜4，则下列判断正确的是（ ）
A．m＜n B．m≤n C．m＞n D．m≥n
10．下列命题正确的是( )
A．内错角相等B．－1是无理数
C．1的立方根是±1 D．两角及一边对应相等的两个三角形全等
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：3a2-6a+3=________．
12．如图，矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为____________．
13．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=1DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=1．其中正确结论的是_____．
14．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴负半轴上，斜边AC上的中线BD的反向延长线交y轴正半轴于点E，双曲
线y=k
x
（x＜0）的图象经过点A，S△BEC=8，则k=_____．
15．如图,AD=DF=FB,DE∥FG∥BC,则SⅠ:SⅡ:SⅢ=________.
16．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为_____．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝AD ，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分∠BAD ，过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，连接OE ．
求证：四边形ABCD 是菱形；若AB ＝5，BD ＝2，求OE 的长．
18．（8分）先化简，再求值：
a b a -÷（a ﹣2
2ab b a
-），其中a=3tan30°+1，b=2cos45°． 19．（8分）如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，FC 交AD 于E ．求证：△AFE ≌△CDF ；若AB =4，BC =8，求图中阴影部分的面积．
20．（8分）先化简，再求值：22222+b a b a b a a ab b a b a -+÷--+-，其中，a 、b 满足2428a b a b -=-⎧⎨+=⎩
． 21．（8分）如图1，在矩形ABCD 中，AD=4，AB=23，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转α（0＜α＜90°）得到矩形AEFG ．延长CB 与EF 交于点H ．
（1）求证：BH=EH；
（2）如图2，当点G落在线段BC上时，求点B经过的路径长．
22．（10分）解下列不等式组：
6152(43) {2112
323
x x
x
x
++
-
≥-
＞①
②
23．（12分）计算：﹣22+2cos60°+（π﹣3.14）0+（﹣1）2018
24．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：（1）直线DC是⊙O的切线；
（2）AC2=2AD•AO．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、C
【解题分析】
由题意得，4−x⩾0，x−4⩾0，
解得x=4，则y=3，则y
x
=
3
4
，
故选：C.
2、D
【解题分析】
根据算术平方根的定义求解. 【题目详解】
81，
又∵（±1）2=9，
∴9的平方根是±1，
∴9的算术平方根是1．
即81的算术平方根是1．
故选:D．
【题目点拨】
考核知识点：算术平方根.理解定义是关键.
3、B
【解题分析】
由题意得,
x-1≥0且x-3≠0,
∴x≥1且x≠3.
故选B.
4、A
【解题分析】
观察可得，上边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，11，左边的数为21，22，23，…，所以b=26=64，又因上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，所以a=11+64=75，故选B．
5、C
【解题分析】
根据倒数的定义即可求解.
【题目详解】
的倒数等于它本身，故C符合题意.
故选：C.
【题目点拨】
主要考查倒数的概念及性质.倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数.
6、B
【解题分析】
试题分析：根据题意得△=32﹣4m＞0，
解得m＜．
故选B．
考点：根的判别式．
点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不
相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
7、B
【解题分析】
分析：由于比赛取前18名参加决赛，共有35名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
详解：35个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有18个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选B．
点睛：本题考查了统计量的选择，以及中位数意义，解题的关键是正确的求出这组数据的中位数
8、B
【解题分析】
试题分析：由于等腰三角形的一边长3为底或为腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：（3）当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出k的值，进而求出方程的另一个根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；（3）当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k的值，再求出方程的两个根进行判断即可．
试题解析：分两种情况：
（3）当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程，
得：33-33×3+k=0
解得:k=37
将k=37代入原方程，
得：x3-33x+37=0
解得x=3或9
3，3，9不能组成三角形，不符合题意舍去；
（3）当3为底时，则其他两边相等，即△=0，
此时：344-4k=0
解得：k=3
将k=3代入原方程，
得：x3-33x+3=0
解得：x=6
3，6，6能够组成三角形，符合题意．
故k的值为3．
故选B．
考点：3．等腰三角形的性质；3．一元二次方程的解．
9、C
【解题分析】
分析：将一般式配方成顶点式，得出对称轴方程2x =，根据抛物线2
441y ax ax a =-+-与x 轴交于,A B 两点，得出
()()244410a a a =--⨯->，
求得 0a >，
距离对称轴越远，函数的值越大，根据121224x x x x <<+<，，判断出它们与对称轴之间的关系即可判定. 详解：∵()2244121y ax ax a a x =-+-=--，
∴此抛物线对称轴为2x =，
∵抛物线2441y ax ax a =-+-与x 轴交于,A B 两点，
∴当24410ax ax a -+-=时，()()244410a a a =--⨯->，得0a >，
∵121224x x x x <<+<，，
∴1222x x ，->-
∴m n >，
故选C ．
点睛：考查二次函数的图象以及性质，开口向上，距离对称轴越远的点，对应的函数值越大，
10、D
【解题分析】解：A ．两直线平行，内错角相等，故A 错误；
B ．－1是有理数，故B 错误；
C ．1的立方根是1，故C 错误；
D ．两角及一边对应相等的两个三角形全等，正确．
故选D ．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、3(a －1)2
【解题分析】
先提公因式，再套用完全平方公式.
【题目详解】
解：3a 2-6a+3=3（a 2-2a+1）=3(a-1)2.
【题目点拨】
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
12、
【解题分析】
试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB=AO，
∴OA=AB=OB=3，
∴BD=2OB=6，
∴AD==．
【题目点拨】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
13、①②③
【解题分析】
根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于S△FGC=S△GCE-S△FEC，求得面积比较即可．
【题目详解】
①正确．
理由：
∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正确．
理由：
EF=DE=1
3
CD=2，设BG=FG=x，则CG=6-x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6-x）2+42=（x+2）2，解得x=1．
∴BG=1=6-1=GC；
③正确．
∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF；
④错误．
理由：
∵S△GCE=1
2
GC•CE=
1
2
×1×4=6
∵GF=1，EF=2，△GFC和△FCE等高，∴S△GFC：S△FCE=1：2，
∴S△GFC=3
5
×6=
18
5
≠1．
故④不正确．
∴正确的个数有1个: ①②③.
故答案为①②③
【题目点拨】
本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．
【解题分析】
∵BD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴BD=CD=AD，
∴∠DBC=∠ACB，
又∠DBC=∠OBE，∠BOE=∠ABC=90°，∴△ABC∽△EOB，
∴AB BC OE OB
=
∴AB•OB=BC•OE，
∵S△BEC=1
2
×BC•OE=8，
∴AB•OB=1，
∴k=xy=AB•OB=1．
15、1:3:5
【解题分析】
∵DE∥FG∥BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，
∵AD=DF=FB，
∴AD:AF:AB=1:2:3，
∴::
ADE AFG ABC
S S S=1:4:9，
∴SⅠ:SⅡ:SⅢ=1:3:5.
故答案为1:3:5.
点睛: 本题考查了平行线的性质及相似三角形的性质．相似三角形的面积比等于相似比的平方．
16
2
π
【解题分析】
由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O 的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG=OA•sin60°，再根据S阴影=S△OAB-S扇形OMN，进而可得出结论．
【题目详解】
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB 是等边三角形，OA=OB=AB=2，
设点G 为AB 与⊙O 的切点，连接OG ，则OG ⊥AB ，
∴sin602OG OA =⋅︒==
∴S
阴影=S △OAB -S 扇形OMN =260π1π 22
3602．⨯⨯⨯=
2π
【题目点拨】 考查不规则图形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键.
三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）见解析；（1）OE ＝1．
【解题分析】
（1）先判断出∠OAB=∠DCA ，进而判断出∠DAC=∠DAC ，得出CD=AD=AB ，即可得出结论；
（1）先判断出OE=OA=OC ，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA ，即可得出结论．
【题目详解】
解：（1）∵AB ∥CD ，
∴∠OAB ＝∠DCA ，
∵AC 为∠DAB 的平分线，
∴∠OAB ＝∠DAC ，
∴∠DCA ＝∠DAC ，
∴CD ＝AD ＝AB ，
∵AB ∥CD ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵AD ＝AB ，
∴▱ABCD 是菱形；
（1）∵四边形ABCD 是菱形，
∴OA ＝OC ，BD ⊥AC ，∵CE ⊥AB ，
∴OE ＝OA ＝OC ，
∵BD ＝1，
∴OB ＝12
BD ＝1，
在Rt△AOB中，AB＝5，OB＝1，
∴OA＝22
AB OB
-＝1，
∴OE＝OA＝1．
【题目点拨】
此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD=AD=AB是解本题的关键
18、
1
a b
-
，
3
3
【解题分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，利用-1的偶次幂为1及特殊角的三角函数值求出a的值，代入计算即可求出值．
解：原式=，
当，
原式=.
“点睛”此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
19、（1）证明见解析；（2）1．
【解题分析】
试题分析：（1）根据矩形的性质得到AB=CD，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质得到∠E=∠B，AB=AE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AF=CF，EF=DF，根据勾股定理得到DF=3，根据三角形的面积公式即可得到结论．试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90°，∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，∴∠E=∠B，AB=AE，∴AE=CD，∠E=∠D，在△AEF与△CDF中，∵∠E=∠D，∠AFE=∠CFD，AE=CD，∴△AEF≌△CDF；
（2）∵AB=4，BC=8，∴CE=AD=8，AE=CD=AB=4，∵△AEF≌△CDF，∴AF=CF，EF=DF，∴DF2+CD2=CF2，
即DF2+42=（8﹣DF）2，∴DF=3，∴EF=3，∴图中阴影部分的面积=S△ACE﹣S△AEF=1
2
×4×8﹣
1
2
×4×3=1．
点睛：本题考查了翻折变换﹣折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
20、3 5
【解题分析】
先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再解方程组求得a、b的值，继而代入计算可得．【题目详解】
原式=()
2
()
•
()
a b a b a b a
a b a b a b
+--
-
-++
，
=a b a
a b a b +
-
++
，
=
b
a b +
，
解方程组
24
28
a b
a b
--
⎧
⎨
+
⎩
＝
＝
得
2
3
a
b
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
所以原式=
33
=
2+35
．
【题目点拨】
本题主要考查分式的化简求值和解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．
21、（1）见解析；（2）B
π．
【解题分析】
(1)、连接AH，根据旋转图形的性质得出AB=AE，∠ABH=∠AEH=90°，根据AH为公共边得出Rt△ABH和Rt△AEH 全等，从而得出答案；(2)、根据题意得出∠EAB的度数，然后根据弧长的计算公式得出答案．
【题目详解】
(1)、证明：如图1中，连接AH，
由旋转可得AB=AE，∠ABH=∠AEH=90°，又∵AH=AH，∴Rt△ABH≌Rt△AEH，∴BH=EH．
(2)、解：由旋转可得AG=AD=4，AE=AB，∠EAG=∠BAC=90°，在Rt△ABG中，AG=4，
∴cos∠
BAG=
AB
AG
=，∴∠BAG=30°，∴∠EAB=60°，∴弧BE
，
即B
π．
【题目点拨】
本题主要考查的是旋转图形的性质以及扇形的弧长计算公式，属于中等难度的题型．明白旋转图形的性质是解决这个问题的关键．
22、﹣2≤x ＜92
． 【解题分析】
先分别求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【题目详解】
()6152432112323x x x x ⎧++⎪⎨-≥-⎪⎩
①②， 解不等式①得，x ＜92
， 解不等式②得，x≥﹣2， 则不等式组的解集是﹣2≤x ＜
92． 【题目点拨】
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
23、-1
【解题分析】
原式利用乘方的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂法则计算即可求出值．
【题目详解】
解：原式＝﹣4+1+1+1＝﹣1．
【题目点拨】
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24、（1）证明见解析.（2）证明见解析.
【解题分析】
分析：（1）连接OC，由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC，据此知OC∥AD，根据AD⊥DC即可得证；
（2）连接BC，证△DAC∽△CAB即可得．
详解：（1）如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
又∵AD⊥CD，
∴OC⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴AB=2AO，∠ACB=90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴AC AD
AB AC
，即AC2=A B•AD，
∵AB=2AO，
∴AC2=2AD•AO．
点睛：本题主要考查圆的切线，解题的关键是掌握切线的判定、圆周角定理及相似三角形的判定与性质．。