高中数学选修1-1优质课件5：3.3.3 函数的最大(小)值与导数

极值与最值的区别与联系 (1)极值与最值是不同的，极值只是相对一点 附近的局部性质，而最值是相对于整个定义域或 所研究问题的整体性质． (2)函数的最值通常在极值点或区间端点取得， 若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．
极值与最值的区别与联系 (3)求函数的最值一般需要先确定函数的极 值．因此函数极值的判断是关键，如果仅仅是求 最值，可将导数值为零的点或区间端点的函数值 直接求出并进行比较，也可以根据函数的单调性 求最值．
思路探索：先求f′(x)，再令f′(x)＝0得到相应的x的 值，通过列表，确定出极值点，求极值与端点值， 从而比较大小确定最值．
解：(1)f′(x)＝－4x3＋4x，
令 f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得
x＝－，x＝0，x＝1.
当 x 变化时，f′(x)及 f(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3， －1)
－1 (－1，0) 0 (0，1) 1 (1，2) 2
f′(x)
＋
0
－
0 ＋ 0－
f(x) －60
极大值4
极
极
小 值
大 值
－5
3
4
∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60； 当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.
(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2) ＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1，1]内恒大于0， ∴f′(x)在[－1，1]上为增函数． 故x＝－1时，f(x)最小值＝－12； x＝1时，f(x)最大值＝2. 即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
3.3.3 函数的最大（小）值与导数
预习导学
1．函数的最大值与最小值 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图 象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最 小值．函数的最值必在极值点或区间端点取得．
预习导学
2．一般地，求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最 大值与最小值的步骤如下
(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的 一个是最小值.
基础训练
函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最
大值、最小值分别是(
)
A．1，－1
B．1，－17
C．3，－17
D．9，－19
【答案】C
点评：该题要求准确理解函数最值的求法，掌握 求解函数最值的一般步骤，学会用表格直观显示解题 过程，特别要注意极值点不在定义域内的情形．
课堂讲练互动
例2：求下列各函数的最值： (1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3，2]； (2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]．
课堂讲练互动
典例精析
解： (2)f (x)＝－4x3＋4x， 令f (x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1,0,1. 当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：
x －3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0
f′(x)
＋
0
－
0
f(x) －60
↗
4
↘3
0
，
1 2
1 2
＋
↗
55
16
∴当x＝－3时，f(x)的最小值是－60； 当x＝－1时，f(x)的最大值是4.