材料力学第三章 较新2222

d G dx
§3.4 圆轴扭转时的应力
3. 静力学关系：
dA
T A dA
2 d A G dA dx

O
d G A 2dA dx
令
I p A dA
2
d T GI p dx
d T dx GI p
d G 代入物理关系式 dx
第2章小结
1.轴力的计算和轴力图的绘制
2.典型的塑性材料和脆性材料的主要力学性能 及相关指标 3.横截面上的应力计算，拉压强度条件及计算 4.拉（压）杆的变形计算，桁架节点位移
5.拉压超静定的基本概念及超静定问题的求解方法 6.剪切变形的特点,剪切实用计算,挤压实用计算
目录
第三章
扭 转
第三章 扭 转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
左端正向
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
2.扭矩及扭矩图
（1）扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记“T”。 （2） 截面法求扭矩
m
x
0
m m
T m 0 T m
（3）扭矩的符号规定：
m
T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正， 反之为负。
§3.4 圆轴扭转时的应力
圆轴扭转时的强度计算
1.强度条件：
对于等截面圆轴：
max [ ]
Tmax [ ] Wt
Tmax max [ ] Wt
T Wt max [ ]
3 实： D 16 3 Wt D 4 空： （ 1 ） 16
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
2.扭矩和扭矩图 用截面法研究横 截面上的内力
T = Me
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
研究扭矩
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
右端正向
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应 力状态称为纯剪切应力状态。
§3.3 纯剪切
3.剪切胡克定律：
剪切胡克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时 （τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G
的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。
§3.4 圆轴扭转时的应力
(2)强度校核 由式(4-10)与(4-14)，得AB与BC段的扭转切应力分别为
max,1
16T1 d 4 D13 1 1 D 1 =8.88 107 Pa=80.8MPa 16(150N m) 0.018m 4 3 (0.024m) 1 0.024m
I p A 2dA
单位：mm4，m4。
§3.4 圆轴扭转时的应力
③确定最大剪应力：
由
T Ip
知：当
R d , max
2
d T 2 max Ip
T Ip
T d (令 W I p ) 2 d Wt 2
几何量，单位：mm3或m3。
2.纯剪切与切应力互等定理：
´
a

b
m
z
0

dy
´cLeabharlann d t dx t dxdy t dxdy 故
上式称为剪应力互等定理。
z
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对
出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向 或共同背离该交线。
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目 的
①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。
T

x
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输
思考
• 铝质钥匙可能在开锁时被扭断。你能否预 测图示钥匙扭断时的破坏截面在什么部位？为 什么在这个部位？
教学目标
• 1、掌握圆轴扭转变形的强度条件公式的
应用。 • 2、掌握圆轴扭转变形的刚度条件公式的 应用。
§3.4 圆轴扭转时的应力
[例2]功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力 []=30M Pa, 试校核其强度。
T3 M 4 0 , T2 M 4 6.37kN m
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
③绘制扭矩图
T max 9.56 kN m
M2 M3 M1
BC段为危险截面。
M4
n
A T
– 4.78
B
C

D
6.37
x
– 9.56
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3.3 纯剪切
m m 解：①求扭矩及扭矩图 A T B D3 =135 m D2=75 C D1=70
TBC
P m 9549 n
150 9549 (N m) 15.4 60 1.55(kN m)
x
②计算并校核剪应力强度
③此轴满足强度要求。
T 1.55 103 max 23MPa [ ] 3 Wt 0.07 16
1.外力偶矩
直接计算
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
按输入功率和转速计算
功 力偶矩 角位移 每分钟 的转数
2n W M M M P t 60 t
功率 角速度
时间
60103 P( KW ) P M 9549 ( N m) 2n(r / min) n
([] 称为许用剪应力。)
强度计算三方面：
① 校核强度：
② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：
Tmax Wt[ ]
思考
对于承载扭矩的圆轴来说，是实心圆轴比 较好还是空心圆轴比较好？为什么？
§3.4 圆轴扭转时的应力
2.圆轴合理截面与减缓应力集中
实心圆截面轴的扭转切应力分布如图a所示，当截面边缘的最大切 应力到达许用切应力时，圆心附近各点处的切应力仍很小，而且，由 于它们所构成的微剪力 离圆心近，力臂小，这些材料承担的扭矩也小。 所以，为了合理利用材料，宜将材料放置在远离圆心的部位，即作成 空心的(图b)。显然，平均半径Ro愈大、壁厚 愈小，即比值 愈大，切应 力分布愈均匀，材料的利用率愈高。因此，一些大型轴或对于减轻重 量有较高要求的轴(例如航空、航天结构中的轴)，通常均作成空心的。 但也应注意到，如果比值 过大，管在受扭时将产生皱褶现象(即局部失 稳)(图c)，从而降低其抗扭能力。
§3.3 纯剪切
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。
对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：
E G 2(1 )
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出 来。
§3.4 圆轴扭转时的应力
圆轴扭转横截面上的应力
①变形几何方面 等直圆杆横截面应力
②物理关系方面
③静力学方面
§3.4 圆轴扭转时的应力
等直圆杆扭转实验观察：
1. 横截面变形后仍为平面；
2. 轴向无伸缩；
3. 纵向线变形后仍为平行。
§3.4 圆轴扭转时的应力
平面假设
§3.4 圆轴扭转时的应力
取微端变形
§3.4 圆轴扭转时的应力
1. 变形几何关系：
G1G d tg dx dx
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 扭转的概念和实例 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 纯剪切 圆轴扭转时的应力 圆轴扭转时的变形
§3.7 非圆截面杆扭转的概念
§3.1 扭转的概念和实例
汽车方向盘
§3.1 扭转的概念和实例
汽车传动轴
§3.1 扭转的概念和实例
攻丝
§3.1 扭转的概念和实例
出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。 解：①计算外力偶矩
M2
M3
M1
M4
P 500 1 M 1 9.55 9.55 n 300 15.9(kN m)
n A B C D
P2 150 M 2 M 3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300 P4 200 M 4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
1.薄壁圆筒的扭转切应力
薄壁圆筒：壁厚 1. 实验：
t
1 r 10 0
（r0：为平均半径）
1）实验前：
①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 M。
§3.3 纯剪切
2）实验后：
①圆周线不变；
②纵向线变成斜直线。
3）结论：
①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相 对转动。 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
d dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。 Me Me

p q
p q
d dx
—— 扭转角沿长度方向变化率。
x
§3.4 圆轴扭转时的应力
2. 物理关系： 胡克定律：
G
d d 代入上式得： G G G dx dx
max,2
16T2
d 4 3 D2 1 2 D 2 =8.67 107 Pa=86.7MPa

16(100N m) 4 0.018m 3 (0.022m) 1 0.022m
对称扳手拧紧镙帽
§3.1 扭转的概念和实例
其它实例 扭水龙头 扭转钥匙开门 酒瓶软木塞的开瓶器 自行车的脚蹬工作 机器轴的转动
§3.1 扭转的概念和实例
扭转受力特点 及变形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直 于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截面绕轴线产 生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面 大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。
§3.1 扭转的概念和实例
M

M
扭转的特征
构件特征：等圆截面直杆——圆轴。
受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。
变形特征：纵向线倾斜一个角度 ，称为剪切角(或 称剪应变)；两个横截面之间绕杆轴线发生相对转动 ，称为扭转角。
§3.1 扭转的概念和实例
画线变形
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
§3.3 纯剪切
薄壁圆筒剪应力 大小：
A dA r0 T r0 AdA r0 2 r0 t T T T 2 r02 t 2 A0 t


A0：平均半径所作圆的面积。
§3.3 纯剪切
T 得： I p
§3.4 圆轴扭转时的应力
T Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
§3.4 圆轴扭转时的应力
[例3]图a所示阶梯形空心圆截面轴，在横截面A，B与C处承受扭力偶作 用，试校核轴的强度。已知MA=150 N· m，MB=50 N· m，MC=100 N· m，许 用切应力 90 MPa。
解：(1)问题分析：轴的扭矩图如图所示，AB与BC段的扭矩分别为 T 1=150 N· m T2=100 N· m AB段的扭矩最大，显然应该校核；BC段的扭矩虽然较小，该段轴的 横截面尺寸也较小，所以也应该校核。
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
②求扭矩（扭矩按正方向设）
M2 1
M3 2
M1 3 M4
M
C
0 , T1 M 2 0
A 1 B 2 C n 3 D
T1 M 2 4.78kN m
T2 M 2 M 3 0 ,
T2 M 2 M 3 (4.78 4.78) 9.56kN m
max
T Wt
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量），
对于实心圆截面： 对于空心圆截面：
Wt I p R D3 16 0.2D3 Wt I p R D3(1 4) 16 0.2D3(1- 4)
§3.4 圆轴扭转时的应力
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）