复变函数ch5

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第 5 章 留数及其应用
复变函数与积分变换
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5.1 留数的概念与计算 将例 4.13 与例 4.14 的结果转化为如下形 式 ∮ ∮
复变函数与积分变换
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例 5.4 计算积分
∮
|z |=1 z 2 +2az +1
2i
dz ，a > 1。
解：被积函数的奇点有 √ √ z1 = −a + a2 − 1，z2 = −a − a2 − 1， 因 a > 1，所以，|z2| > 1，又因 z1z2 = 1， 故 |z1| < 1，即在积分路径内部只有被积 √ 函数的一个奇点 z2 = −a − a2 − 1。
的一
级极点（φ(z ) 与 h(z ) 均在点 a 解析，且 φ(a) ̸= 0，h(a) = 0，h′(a) ̸= 0） ，则 Res(f, a) =
φ(a) h′ (a) ；
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53留数在计算某些定积分上的应用将围线c分成两条或m条首尾相接的曲线c1与c2而且设fz在由c的内部g及c构成的闭区域ggc上满足定理51的条件同时fz在g内也满足定理51的条件则由定理51有第5章留数及其应用复变函数与积分变换2368
. 第 5 章 留数及其应用 . 孤立奇点留数、留数定理、留数计算、 几种标准类型的定积分。
Res(f, 0) = 2。
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第 5 章 留数及其应用
复变函数与积分变换
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解 3：因点 z = 0 为 f (z ) 的一级极点， 所以， Res(f, 0) = lim zf (z ) = 2。 解 4：因点 z = 0 为 f (z ) 的一级极点， 所以， Res(f, 0) = (
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复变函数与积分变换
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例 5.2 设 f (z ) = (1 + z 2)e−z ，求 Res(f, ∞)． 解: 取圆周 C : |z | = 2， ∮ 1 Res(f, ∞) = 2πi C − (1 + z 2)e−z dz ∮ 2 −z = − 21 πi C (1 + z )e dz = 0。
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第 5 章 留数及其应用
复变函数与积分变换
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注意： （1）积分路径是 C − 而非 C ； （2）−c−1； （3）z = ∞ 处的留数可转化为在零点处 的留数来对待，变换后用下式计算 ( (1) 1 ) Res(f, ∞) = Res −f z ,0 。 z2
z |z |=1 e dz = 2πi = c−1 × 2πi。 1
2 |z |=2 sin z dz
= 4πi = c−1 × 2πi。
这又可写成 ∮ 1 1 z dz = c−1 ， e 2πi |z |=1 ∮ 1 2 2πi |z |=2 sin z dz = c−1 。
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第 5 章 留数及其应用
复变函数与积分变换
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一般地
1 2πi
∮
|z −a|=ρ f (z )dz
= c −1 。
其中，积分路径 C 为圆周：|z − a| = ρ， a ̸= ∞，被积函数 f (z ) 在点 a 不解析， 但在 0 < |z − a| ≤ ρ 上解析，c−1 为 f (z ) 在点 a 的罗朗级数中
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方法 4：若点 a 为函数 f (z ) =
φ(z ) h(z )
)3 2 z 16 1+ 1 1+ z4 )( ( z2 1 1 = z 1 − 2 z2 + · · · 1
第 5 章 留数及其应用
(
z 15 )2 (
) − 3 z24 + · · · ，
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5z −2 z (z −1) ，求 Res(f, 0)。 ∮ 1 z −2 = 2πi |z |= 1 z5 ( z −1) dz 2
解 2：因点 z = 0 为 f (z ) 的孤立奇点， 所以，在 0 < |z | < f (z ) =
5z −2 z 1 · 1− −z = 1 2 内有 ∞ ∑ 2 z n， z −3 n=0
( = 2πiRes
= 2πi lim (z −
z →z1
[
2i ,z z 2 +2az +1 1
ห้องสมุดไป่ตู้..
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例 5.3 试证：若 f (z ) = z 15(z 2 + 1)−2(z 4 + 2)−3，则 Res(f, ∞) = −1。 证 1：f (z ) 在 3 < |z | < +∞ 内的罗朗级 数为 f (z ) = z 15(z 2 + 1)−2(z 4 + 2)−3 =
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由级数乘法法则可得 C−1 = 1，故 Res(f, ∞) = −1。 证 2：由于 z = 0 为 (1) 1 f z = z (1+z 2)1 2 (1+z 4 )3 的一级极点。所 z2 以 ( (1) 1 ) Res f z z 2 , 0 = lim z z (1+z 2)1 2 (1+z 4 )3 = 1， 故 Res(f, ∞) = −1。
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（2）Res(f, a) 与积分路径 C 的半径 ρ 的 大小无关（只要使 C 满足定义的条件即 可） 。 定义 5.1 中关于点 a 要求其必须是孤立 奇点，由于留数是用围线积分定义的， 所以如果 a 点为解析点，也认为其留数 存在（为零） 。
5z −2 [z (z −1)]′ z →0
)
z =0
= 2。
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5.1.3 关于无穷远点的留数 定义 5.2 设 z = ∞ 为函数 f (z ) 的孤立 奇点，C 为圆周：|z | = ρ，若 f (z ) 在 R < |z | < +∞ 内解析（R < ρ） ，则称 ∮ 1 2πi C − f (z )dz = −c−1 = −b1 为函数 f (z ) 在点 z = ∞ 的留数 (或残数)，记作 Res(f, ∞) 或 Res(∞)，这里的 C − 表示 积分是沿围线 C 的负方向进行。
第 5 章 留数及其应用
z →0
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复变函数与积分变换
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5.2 留数定理 定理 5.1 设区域 G 是由围线 C 的内部构 成，若函数 f (z ) 在 G 内除含有限个奇点 a1, a2, . . . , an 外解析，且在 G = G + C 上除点 a1, a2, . . . , an 外连续，则 n ∮ ∑ Res(f, aj )。 C f (z )dz = 2πi
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5.1.2 关于留数的计算 由留数的定义，可以得到下列计算规则． 方法 1: 选取特殊的 ρ 进行计算； 方法 2：罗朗级数的系数； 方法 3：若点 a 为函数 f (z ) 的一级极点， 则 Res(f, a) = lim(z − a)f (z )；
j =1
定理 5.1 被称为留数基本定理．它揭示了 复变函数沿围线的积分与留数间的联系。
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其次， ∮
2i |z |=1 z 2 +2az +1 dz
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由定义： （1）Res(f, a) 只有当点 a 为函数 f (z ) 的 孤立奇点时才有意义． ( 1 ) 例如，Res sin z , 0 就无意义．因为，点 z = 0 不是孤立奇点。
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方法 5：若点 a 为函数 f (z ) 的 m 级极 点，则
1 d m Res(f, a) = lim (m− 1)! dz m−1 (z − a) f (z )。
m −1
以上 5 种方法，前两种适用于孤立奇点， 后三种仅适用于极点情形．
1 z −a
的系数。
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5.1.1 关于有限点的留数概念 定义 5.1 设 a ̸= ∞ 为函数 f (z ) 的孤立奇 点，C 为圆周：|z − a| = ρ，若 f (z ) 在 0 < |z − a| ≤ ρ 上解析，则称 ∮ 1 2πi |z −a|=ρ f (z )dz = c−1 为 f (z ) 在点 a 的 留数 (或残数)，记作 Res(f, a) 或 Res(a)。
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例 5.1 设 f (z ) =
解 1：Res(f, 0) ( 5z −2 ) = z −1 z =0 = 2。