广东高二高中数学月考试卷带答案解析

广东高二高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是( )
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．不能确定
2.不等式的解集是
A．B．
C．D．
3.已知命题，命题：，，则
A．命题是真命题B．命题是真命题
C．命题是假命题D．命题是假命题
4.若则下列不等式:①;②;③;④中正确的是
A．①②B．②③C．①④D．③④
5.下列说法中，正确的是( )
A．命题“若，则”的逆命题是真命题
B．已知，则“”是“”的必要不充分条件
C．“,则全为”的逆否命题是“若全不为, 则”
D．命题的否定形式为
6.若不等式的解集为，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
7.已知条件，条件，则是的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
8.等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为A．B．C．D．
9.已知数列共有项,定义的所有项和为,第二项及以后所有项和为,第三项及以后所有项和为
,,,第项及以后所有项和为,若是首项为2,公比为的等比数列的前项和,则当时, A．B．C．D．
10.已知数列为等差数列，若且它的前项和有最大值，则使成立的的最大值为A．B．C．D．
11.设表示不超过实数的最大整数，如，，则在坐标平面内满足方程的点
所构成的图形的面积为
A．B．C．D．
二、填空题
1.不等式的解集为
2.设变量满足约束条件，则的取值范围是
3.已知命题：“在等差数列中，若则为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为
4.已知，且，则的取值范围是
三、解答题
1.在中，角的对边分别为，已知
（1）求的值；
（2）若，，求的面积．
2.等比数列的各项均为正数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
3.如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
（1）求cos∠CAD的值；
（2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
4.已知关于的不等式，其中．
（1）当变化时，试求不等式的解集A；
（2）对于不等式的解集A，若满足（其中Z为整数集）。

试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最小的的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．
5.某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.
（1）该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)？
（2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出;
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.
问哪一种方案较为合算，请说明理由.
6.设数列，，已知，，，（）．
（Ⅰ）设,求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：对任意，为定值；
（Ⅲ）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围．
广东高二高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是( )
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．不能确定
【答案】B
【解析】设最大角为，则，所以为钝角，即为钝角三角形．故选B．
【考点】余弦定理，三角形形状的判断．
2.不等式的解集是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】．故选B．
【考点】解一元二次不等式．
3.已知命题，命题：，，则
A．命题是真命题B．命题是真命题
C．命题是假命题D．命题是假命题
【答案】A
【解析】∵，所以命题是真命题，又，所以命题
是假命题，因此只有命题是真命题，故选A．
【考点】复合命题的真假判断．
4.若则下列不等式:①;②;③;④中正确的是
A．①②B．②③C．①④D．③④
【答案】C
【解析】，则，①正确；②错误；③错误；，，但，等号取不到，④正确．故选C．
【考点】不等式的性质．
【名师点睛】判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：
(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；
(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；
(3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．
5.下列说法中，正确的是( )
A．命题“若，则”的逆命题是真命题
B．已知，则“”是“”的必要不充分条件
C．“,则全为”的逆否命题是“若全不为, 则”
D．命题的否定形式为
【答案】B
【解析】命题“若，则”的逆命题是“若，则”，当时，不成立，此命题为假，A错；若，则或，因此“”是“”的必要不充分条件，B正确．故选B．（“,则全为”的逆否命题是“若不全为, 则”，命题的否定
形式为，C，D均错）．
【考点】命题的真假判断．
6.若不等式的解集为，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】可化为，当时，不等式为4＞0，恒成立，当时，不等式的解集为R，则，解得；综上有．故选B．
【考点】解一元二次不等式，不等式恒成立．
7.已知条件，条件，则是的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】，，，所以是的充分非必要条件．故选A．
【考点】充分必要条件．
8.等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，首项是，则，因为，所以，
，故选A．
【考点】等差数列与等比数列的综合运用．
9.已知数列
共有项,定义的所有项和为
,第二项及以后所有项和为,第三项及以后所有项和为
,,,第项及以后所有项和为,若
是首项为2,公比为
的等比数列的前项和,则当
时,
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】由题意
，则
，
时，
＝
．故选C ．
【考点】新定义问题．
10.已知数列为等差数列，若
且它的前项和有最大值，则使
成立的的最大值为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】等差数列的前项和有最大值，则公差
，，若
，则
，与已知矛
盾，故
，则由
得，
，所以
，
，因此使
的最大值为19．故选B ．
【考点】等差数列的前项和，等差数列的性质．
【名师点睛】1．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n(a 1＋a 2n )＝…＝n(a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .
2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法
(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法： ①a 1>0，d<0时，满足的项数m 使得S n 取得最大值为S m ； ②当a 1<0，d>0时，满足的项数m 使得S n 取得最小值为S m .
11.设
表示不超过实数的最大整数，如，
，则在坐标平面内满足方程
的点
所构成的图形的面积为 A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】圆
上有12个整点，分别是
，当
时，有
，这个区间是一个边长为1的正方形，面积为1，对其他点都类似结果，因此所求面积和为12×1＝
12．故选A ．
【考点】新定义问题．二元一次不等式组表示的平面区域．
【名师点睛】解决新定义问题的关键是理解新定义的含义，本题中要抓住的就是中是整数，因此第一步我们只要考虑圆上的整点，第二步要考虑的实质，即
（
）表示的
一个平面区域，是满足
的点
形成的单位正方形区域．由此可求得正确结论．
二、填空题
1.不等式的解集为
【答案】
【解析】
．
【考点】解分式不等式． 2.设变量
满足约束条件
，则
的取值范围是
【答案】
【解析】作出约束条件表示的可行域，如图
内部（含边界），
表示点
与可行域内点
连线的斜率，，，所以．
【考点】简单线性规划的非线性应用．
3.已知命题：“在等差数列中，若则为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊
不清，可推得括号内的数为 【答案】18 【解析】
，
，比较
得
，
．
【考点】等差数列的性质．
【名师点睛】1.等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.
2.应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项数之间的关系,但要注意性质运用的条件,如若m+n=p+q,则
a m +a n =a p +a q (m,n,p,q ∈N *),需要当序号之和相等、项数相同时才成立,再比如只有当等差数列{a n }的前n 项和S n 中的n 为奇数时,才有S n =na 中成立.
3．等差数列的性质很多，但用得最多的性质是：若m+n=p+q,则a m +a n =a p +a q (m,n,p,q ∈N *),由此可得n 为奇数时,S n =na 中．
4.已知，且，则的取值范围是 【答案】[－1,20] 【解析】∵
，
，
，∴
，又
，∴
，
，∴
．
【考点】不等式的性质．
【名师点睛】在本题中要注意关系式及中分别是一个整体，不能分裂开来理解，如果把割裂开来，分别求得，则可求得的错误结果．
三、解答题
1.在中，角的对边分别为，已知
（1）求的值；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）2；（2）．
【解析】（1）已知条件是边角关系，且左边是角的余弦，要求的是，因此可用正弦定理“化边为角”，即
，只要交叉相乘，再由两角和与差的正弦公式可得，而在三角形中此式即为，结论有了；（2）由（1）可得，结合余弦定理可求得，由面积公式可得．
试题解析：（1）由正弦定理得
整理得
又∴，即
（2）由余弦定理可知①
由（1）可知，即②
再由③，由①②③联立求得
又∴
【考点】正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦公式，三角形的面积．
2.等比数列的各项均为正数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）此题是等比数列问题，采用基本量法，即用首项和公比表示出已知条件，并求出，然后写出通项公式即可；（2）由（1）得，从而，因此数列的前项和采用
裂项相消法去求得，即把每一项变为两项的差，在求和时前后项可以相互抵消，从而化简求得和．
试题解析：（1）设等比数列的公比为，由题意知，
∴解得故
（2）
∴
故数列的前项和为
【考点】等比数列的通项公式，裂项相消法．
3.如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
（1）求cos∠CAD的值；
（2）若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
【答案】（1）；（2）3．
【解析】（1）在中已知三边长，求一个角的余弦，用余弦定理求得；（2）在中，已知，边，要求的长，因此还要求得，这可由两角差的正弦公式求得，即由
得到，再利用正弦定理可得．
试题解析：（1）在△ADC中，由余弦定理，得
cos∠CAD＝＝＝
（2）设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.
因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，
所以sin∠CAD＝＝＝，
sin∠BAD＝＝＝.
于是sin＝sin (∠BAD－∠CAD) ＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD
＝×－×＝.
在△ABC中，由正弦定理，得＝.
故BC＝＝＝3.
【考点】正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦公式．
【名师点睛】1．正弦定理解决的问题：
①已知两角和任一边,求另一角和其他两条边.
②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两个角．
2．余弦定理解决的问题：
①已知三边,求各角;
②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.
3．①正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的,在解题时要学会灵活运用.
②运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.
4.已知关于的不等式，其中．
（1）当变化时，试求不等式的解集A；
（2）对于不等式的解集A，若满足（其中Z为整数集）。

试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最小的的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．
【答案】（1）当时，不等式的解集为：，当时，不等式的解集为：，
当时，不等式的解集为：；（2），．
【解析】（1）解含参数的不等式，首先对最高次项系数进行分类讨论，分，和三类，当或
时，这是一元二次不等式，接着要研究两根的大小（如有根），从而写出不等式的解集；（2）在（1）的基
础上可知只有在时才可能存在符合题意的值，而当时，，因此要求的最大值，这
由基本不等式可得．
试题解析：（1）当变化时，可对的取值分类讨论：
①当时，不等式为：，解得：，即
当时，不等式可化为：
②当时，不等式为：，且，
解得：，即
③当时，，不等式为：，
解得：，即
④当且时，，不等式为：，
解得：或，即
综上所述当时，不等式的解集为：
当时，不等式的解集为：
当时，不等式的解集为：
（2）由（1）可知，当时，中的元素有无限个，而当时，
中的元素为有限个，要使得元素个数最小，则需要最大，由
当且仅当，即时，取到最大值－4
此时
【考点】解含参数的一元二次不等式，基本不等式．
【名师点睛】对于解含有参数的二次不等式,一般讨论的顺序是:
（1）讨论二次项系数是否为0,这决定此不等式是否为二次不等式;
（2）当二次项系数不为0时,讨论判别式是否大于0;
（3）当判别式大于0时,讨论二次项系数是否大于0,这决定所求不等式的不等号的方向;
（4）判断二次不等式两根的大小.
5.某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.
（1）该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)？
（2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出;
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.
问哪一种方案较为合算，请说明理由.
【答案】（1）捕捞3年后，开始盈利；（2）方案①合算．
【解析】（1）设捕捞年后开始盈利，盈利为元，根据所给关系列出与的函数关系式，
，解不等式，解集中的最小正整数就是所求．（2）计算两种方案的总赢利及所需时间比较．
试题解析：（1）设捕捞年后开始盈利，盈利为元，则：
由，得n2－20n+49＜0 ∴ ()，
∴，∴. 即捕捞3年后，开始盈利.
（2）①平均盈利为．
当且仅当，即n=7时，年平均利润最大．
∴经过7年捕捞后年平均利润最大，共盈利为12×7+26=110(万元)
②∵y=－2n2+40n－98=－2(n－10)2+102．∴当n=10时，y的最大值为102;
即经过10年捕捞盈利额最大，共盈利102+8=110万元．
故两种方案获利相等，但方案②的时间长，所以方案①合算.
【考点】函数的应用，不等式的实际应用．
6.设数列，，已知，，，（）．
（Ⅰ）设,求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：对任意，为定值；
（Ⅲ）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）．
【解析】（Ⅰ）根据的定义，计算，观察一下看看与是什么关系，本题中恰好得出，计算得，因此是等比数列（也可计算，发现数列可能为系数，再证之），可
得通项公式；（Ⅱ）仿（1）计算得，变形得，又，证明，即为常数；（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可求得，分组求和
可得，由即为，分离参数有
，求出左边的最大值，右边的最小值即得，注意按的奇偶分类讨论．
试题解析：（Ⅰ）依题意,即，
又, 故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以
（Ⅱ）解：，所以，
而，由上述递推关系可得，当时，恒成立，即
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，所以，
所以，
所以，
由，得，因为，
所以，
当为奇数时，随的增大而增大，且，
当为偶数时，随的增大而减小，且，
所以的最大值为，的最小值为．
由，得，得．
实数的取值范围是
【考点】等比数列的判断，等比数列的通项公式，递推公式，数列与不等式的综合．。