泰兴市二中九年级数学上册 第二章 一元二次方程6 应用一元二次方程第1课时 利用一元二次方程解决几何

6 应用一元二次方程
第1课时利用一元二次方程解决几何问题
【知识与技能】
使学生会用一元二次方程解应用题.
【过程与方法】
进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生运用数学的意识.
【情感态度】
通过列方程解应用题，进一步体会运用代数中方程的思想方法解应用题的优越性.
【教学重点】
实际问题中的等量关系如何找.
【教学难点】
根据等量关系设未知数列方程.
一、情境导入，初步认识
列方程解应用题的步骤是什么？
①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答.
【教学说明】初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决.但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用.
二、思考探究，获取新知
问题：有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）
分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为(2x+6)尺，宽为（2x+3）尺，利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.
解：设四周垂下的宽度为x尺时，依题意可列方程为（6+2x）(3+2x)=2×6×3.整理方程，得2x2+9x-9=0.解得x1≈0.84，x2≈-5.3(不合题意，舍去).即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.
【教学说明】注意引导学生分析、理清题目中的数量关系，挖掘已知条件与要解决问题，激发学生解决问题的欲望，体会数形结合思想的应用.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P52例1.
2.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（ B ）
A.37
B.5
C.38
D.7
3.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm2，则原来正方形的铁皮的面积为64cm2.
4.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m，宽为3m，若整个地毯的面积为40m2，求花边的宽.
解：设花边的宽为x m，依题意有（6+2x）（3+2x）=40，
解得x1=1，x2=
11
2
-（不合题意应舍去）.
即花边的宽度为1m.
5.如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.
（1）若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽；
（2）如果墙长为18m，则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是
多少？
（3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.
分析:如图，若设BC = x m，则AB的长为35
2
x
-
m，若设AB = x m，则BC=(35-
2x)m，再利用题设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中墙长a = 18m意味着BC边长应小于或等于18m，从而对（1）的结论进行甄别即可；（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得到结论.
解:（1）设BC=xm，则AB=CD=35
2
x
-
m，依题意可列方程为x·
35
2
x
-
=150，解这个
方程，得x1=20，x2=15.
（2）当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15m和10m;
（3）不能围成面积为160m2的长方形鸡场，理由如下：设BC = x m，由（1）知
AB=35
2
x
-
m，从而有x·
35
2
x
-
=160，方程整理为x2-35x+320=0.此时Δ=352-4×1×
320=1225-1280＜0，原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不可能围成面积
为160m2的鸡场.
6.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.
（1）如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？
（2）点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？
分析：（1）如果P，Q同时出发，x s后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此时△
PCQ的面积为1
2
×2x（6-x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意值；
（2）△ABC的面积的一半等于1
2
×
1
2
AC·BC=12（cm2），令
1
2
×2x（6-x）=12，判断
该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在.
解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2.由题意得AP=xcm，PC=
（6-x）cm，CQ=2xcm，则1
2
·（6-x）·2x=8.整理，得x2-6x+8=0，解得
x1=2，x2=4.所以P，Q同时出发2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
（2）由题意，得S△AB C=1
2
AC·BC=
1
2
×6×8=24（cm2），令
1
2
×2x×（6-x）=
1
2
×
24，x2-6x+12=0，b2-4ac=62-4×12=-12<0，该方程无实数解，所以不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻.
四、师生互动、课堂小结
1.回顾、整理并总结，让学生在活动中积累实践经验，理解建立数学模型的重要性.
2.独立完成以上例题.
1.布置作业：教材“习题
2.9”中第2、3、4题.
2.完成练习册中相应练习.
本课时无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己的机会，在此过程中发现并总结学生存在的思维误区，便于今后的教学.课堂上注意激发学生的学习热情，帮助学生形成积极主动的求知态度.
《公式法解一元二次方程》同步练习题
一、选择题（每小题只有一个正确答案）
1．利用求根公式求5x2+=6x的根时，其中a=5，则b、c的值分别是（）
A．，6 B．6， C．﹣6， D．﹣6，﹣
2．方程x2﹣9=0的解是（）
A．x=3 B．x=﹣3 C．x=±9 D．x1=3，x2=﹣3
3．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（）
A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣3＜a＜﹣4 D．4＜a＜5
4．方程2x2﹣x﹣3=0的两根是（）
A．x= B．x= C．x= D．x=
5．若3（x+1）2﹣48=0，则x的值等于（）
A．±4 B．3或﹣5 C．﹣3或5 D．3或5
6．若※是新规定的某种运算符号，设a※b=b 2 -a，则-2※x=6中x的值（）
A．4 B．8 C． 2 D．-2
二、填空题
7．根的判别式内容：
△=b2﹣4ac＞0⇔一元二次方程_____；
△=b2﹣4ac=0⇔一元二次方程_____；
此时方程的两个根为x1=x2=_____．
△=b2﹣4ac＜0⇔一元二次方程_____．
△=b2﹣4ac≥0⇔一元二次方程_____．
8．用求根公式解方程x2+3x=﹣1，先求得b2﹣4ac=_____，则 x1=_____，x2=_____．9．用公式法解一元二次方程﹣x2+3x=1时，应求出a，b，c的值，则：a=_____；b=_____；c=_____．
10．把方程（x+3）（x﹣1）=x（1﹣x）整理成ax2+bx+c=0的形式_____，b2﹣4ac的值是_____．
三、解答题
11．解方程：．
12．选择适当的方法解方程:
（1）2(x－3)2＝8；
（2）x2-6x-4＝0.
13．解方程：（1）(2x+1)2=(x-1)2;（2）x2+4x-7=0
14．已知关于x的方程mx2+(3﹣m)x﹣3=0(m为实数，m≠0)．
(1) 试说明：此方程总有两个实数根．
(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
把方程化为一般式，使二次项系数为5，从而可得到b、c的值．
【详解】
5x2﹣6x+=0，
所以a=5，b=﹣6，c=．
故选：C．
【点睛】
考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
2．D
【解析】
【分析】
先移项得到x2=9，然后利用直接开平方法解方程．
【详解】
x2=9，
x=±3，
所以x1=3，x2=-3．
故选D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
3．A
【解析】
【分析】
利用公式法表示出方程的根，再进行估算即可．
【详解】
一元二次方程x2-3x-5=0，
∵a=1，b=-3，c=-5，
∴△=9+20=29，
∴x=，
则较小的根a=，即-2＜a＜-1，
故选A．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-公式法，以及估算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．B
【解析】
【分析】
利用求根公式x=解方程.
【详解】
方程：﹣x﹣3=0中b=-,a=2,c=-3.
∴x=＝.
故选：B.
【点睛】
考查用公式法解一元二次方程，利用求根公式x=解方程时，一定要弄清楚该公式中的字母a、b、c所表示的意义．
5．B
【解析】
【分析】
先移项，再系数化成1，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
3（x+1）2-48=0，3（x+1）2=48，（x+1）2=16，x+1=±4，x=3或-5，
故选：B ． 【点睛】
考查了解一元二次方程，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程． 6．C
【解析】解：由题意得：226x +=，∴24x =，∴x =±2．故选C ． 7．有两个不相等的实数根有两个相等的实数根﹣无解有实数根 【解析】 【分析】
利用根的判别式与解的关系判断即可得到结果． 【详解】
△=b 2
-4ac ＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根； △=b 2-4ac=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根； 此时方程的两个根为x 1=x 2=-． △=b 2-4ac ＜0⇔一元二次方程无解． △=b 2-4ac≥0⇔一元二次方程有实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；-；无解；有实数根． 【点睛】
此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握根的判别式与解的关系是解本题的关键． 8．5
【解析】 【分析】
将已知方程化为一般形式，找出a ，b 及c 的值，计算出b 2
-4ac ，发现其值大于0，得到方程有两个不相等的实数根，故将a ，b 及c 的值代入求根公式，即可求出原方程的解． 【详解】
x 2
+3x=-1整理为一般形式得：x 2
+3x+1=0， ∵a=1，b=3，c=1， ∴b 2
-4ac=32
-4=5＞0，
∴x=，
∴x1=，x2=．
故答案为：5；；.
【点睛】
此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用此方法解方程时，应先将方程化为一般形式，找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c，然后计算出根的判别式，当根的判别式大于等于0时，将a，b及c的值代入求根公式可得出方程的解；当根的判别式小于0时，原方程无解．
9．-13-1
【解析】
【分析】
先移项，将方程变形为一元二次方程的一般形式，然后再找出各项系数即可．
【详解】
-x2+3x=1，
-x2+3x-1=0，
a=-1，b=3，c=-1，
故答案为：-1，3，-1．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的一般形式的应用，注意：项的系数带着前面的符号．
10．2x2+x﹣3=025
【解析】
【分析】
将方程整理为一般形式，计算出根的判别式的值即可．
【详解】
方程（x+3）（x-1）=x（1-x）整理得：2x2+x-3=0，b2-4ac=25．
故答案为：2x2+x-3=0；25．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
11．，.
【解析】
【分析】
先找出a，b，c，再求出b2-4ac=28，根据求根公式即可求出答案．
【详解】
a=3，b=-2，c=-2，
b2-4ac=（-2）2-4×3×（-2）=28>0，
∴x==，
，.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有提公因式法、公式法，因式分解法等，根据方程的系数特点灵活选择恰当的方法进行求解是解题的关键.
12．（1）x1＝5，x2＝1．（2）x1＝3+； x2＝3-；
【解析】分析：（1）方程用直接开平方法即可求解；
（2）用公式法即可求解方程.
详解：（1）2(x－3)2＝8，
(x－3)2＝4，
开方，得x－3＝2或x－3＝-2，
解得x1＝5，x2＝1．
（2）x2-6x-4＝0
a=1，b=-6，c=-4，
△=b2-4ac=52>0，
∴方程有两个不相等的实数根x===3±，
∴x1＝3+； x2＝3-
点睛：此题考查了解一元二次方程的方法-直接开平方法和公式法，根据给出的方程的结构，选择适当的方法进行求解是关键.
13．(1)x1=0，x2=-2；（2）x1=-2+，x2=-2-.
【解析】分析：（1）用直接开平方法求解即可；（2）根据求根公式：计算
即可.
详解：（1）∵(2x+1)2=(x-1)2,
∴2x+1=x-1或2x+1=-(x-1),
∴2x-x=-1-1或2x+1=-x+1,
∴2x-x=--1或2x+1=-x+1,
∴x=-2或x=0，
即x1=0，x2=-2；
（2）x2+4x-7=0
∵a=1,b=4,c=-7,
∴x= ,
∴x1=-2+，x2=-2-.
点睛：本题主要考查的知识点是一元二次方程的解法－直接开平方法和求根公式法．熟练掌握直接开平方法和求根公式法是解答本题的关键，本题属于一道基础题，难度适中．14．(1)≥0；(2)m=-1,-3.
【解析】分析:（1）先计算判别式得到△=（m-3）2-4m•（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）利用公式法可求出x1=，x2=-1，然后利用整除性即可得到m的值．
详解:（1）证明：∵m≠0，
∴方程mx2+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程，
∴△=（m-3）2-4m×（-3）
=（m+3）2，
∵（m+3）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x=，
∴x1=-，x2=1，
∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴m=-1或-3．
点睛: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，
方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．
第2课时实际问题与一元二次方程（2）
【知识与技能】
1.继续探索实际问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某
些问题的一个有效的数学模型；
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
【过程与方法】
经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体验解决问题策略的多样性，发展数学应用
意识.
【情感态度】
通过构建一元二次方程解决身边的问题，体会数学的应用价值，提高学生学习数学的
兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
【教学重点】
列一元二次方程解决应用问题.
【教学难点】
寻找问题中的等量关系.
一、情境导入，初步认识
问题 1 通过上节课的学习，请谈谈列方程解应用题的一般步骤是怎样的？关键是什么?
问题2 现有长19cm，宽为15cm长方形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正
方形后，再折成一个无盖的长方形纸盒，要使纸盒的底面积为77cm2，问剪去的小正方形的边长应是多少？你能解决这一问题吗？不妨试试看.
【教学说明】问题1的目的是引导学生回顾前面学过的知识，为本节课的学习作好铺垫；问题2则过渡到本节要处理的问题中来，使学生初步感受到一元二次方程也是解决几
何问题的重要手段之一，引入新课.
二、思考探究，获取新知
探究教材20页探究3.
【教学说明】让学生自主探究，相互交流，尝试寻求解决问题的方法.为了帮助学生更好地理解题意，可设置如下几个问题：（1）中央长方形的长与宽的比是多少呢？（2）如
果设出中央长方形的长的话，你能求出左、右边衬的宽吗？上、下边衬的宽呢？（3）问题中的等量关系是什么？由此你能得到怎样的方程？（4）如果将问题中的等量关系（四周彩色边衬所占面积是整个长方形面积的四分之一）转化为中央长方形面积与整个长方形面积
之间的关系时，结论如何？由此你又能列出怎样的方程呢？然后教师在巡视过程中，关注
学生的解题方法，选取有代表性的依据不同方式而获得结论的学生上黑板展示他们的解答过程，共同分析，提高认知.
三、典例精析，掌握新知
例1 有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）
分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为(2x+6)尺，宽为（2x+3）尺，利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.
解：设四周垂下的宽度为x尺时，依题意可列方程为（6+2x）(3+2x)=2×6×3.整理方程，得2x2+9x-9=0.解得x1≈0.84,x2≈-5.3(不合题意，舍去).即这块台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.
例2 如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.
（1）若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽；
（2）如果墙长为18m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？
（3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.
分析:如图,若设BC=xm，则AB的长为35
2
x
-
m,若设AB=xm,则BC=(35-2x)m,再利用题
设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中墙长a=18m意味着BC边长应小于或等于18m,从而对（1）的结论进行甄别即可；（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得到结论.
解:(1)设BC=xm,则AB=CD=35
2
x
-
，依题意可列方程为x·
35
2
x
-
=150,
解这个方程，得x1=20,x2=15.
(2)当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15m和10m;
(3)不能围成面积为160m2的长方形鸡场，理由如下：设BC=xm,由（1）知AB=35
2
x
-
m,
从而有x·35
2
x
=160,方程整理为x2-35x+320=0.此时Δ=352-4×1×320=1225-1280＜0,
原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160m2的鸡场.
四、运用新知，深化理解
1.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（）
A.37
B.5
C.38
D.7
2.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm2，则原来正方形的铁皮的面积为 .
3.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为
6m，宽为3m，若整个地毯的面积为40m2，求花边的宽.
4.某种服装进价每件60元，据市场调查，这种服装按80元销售时，每月可卖出400件，若销售价每涨价1元，就要少卖出5件，如果服装店预计在销售这种服装时每月获利12000元，那么这种服装的销售价定为多少时，可使顾客更实惠?
【教学说明】让学生学以致用，巩固新知.
【答案】1.B 2.64cm2
3.设花边的宽为xm，依题意有（6+2x）(3+2x)=40，解得x1=1,x2=-11/2(不合题意应舍去)，即花边的宽度为1m.
4.设销售价提高了x个1元，则每月应少卖出5x件.依题意可列方程为（80+x-60）×(400-5x)=12000.解这个方程，得x1=20,x2=40.显然，当x=40时，销售价为120元，当
x=20时，销售价为100元，要使顾客得到实惠，则销售价越低越好，故这种服装的销售价应定为100元合适.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，谈谈你对列一元二次方程解决实际问题的体会和收获？你认为有哪些地方需要特别注意？
【教学说明】让学生回顾整理本节知识，反思学习过程的体会，加深理解.
1.布置作业：从教材“习题21.3”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
1.面积问题的设置,力求以点带面,了解列一元二次方程的步骤并能解答简单的应用题，训练题是对前面问题的延伸，使学生灵活运用解题的能力有很大的提高，对学生思维能力的拓展、发散有很大的帮助.
2.列一元二次方程解应用题是让数学来源于生活，是对一元二次方程解法的延伸，同时又是一元二次方程或二元一次方程组解应用题步骤的总结和内容的升华，列一元二次方程解应用题是下章中学习二次函数解决问题的基础.。