高考数学二轮复习课时跟踪检测(二十四)导数的简单应用(小题练)理

课时跟踪检测（二十四） 导数的简单应用（小题练）
A 级——12＋4提速练
一、选择题
1．已知f (x )＝ax 3
＋3x 2
＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝( ) A.193 B.163 C.133
D ．3
解析：选D ∵f (x )＝ax 3
＋3x 2
＋2，∴f ′(x )＝3ax 2
＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6，
∵f ′(－1)＝3，∴3a －6＝3，解得a ＝3.故选D. 2．(优质试题·合肥模拟)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x
＋x 相切，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的值是( )
A ．e
B ．2e
C ．1
D ．2
解析：选 C ∵y ＝a e x
＋x ，∴y ′＝a e x
＋1，设直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x
＋x 相切的切点坐标为(m ，n )，则y ′|x ＝m ＝a e m
＋1＝2，得a e m
＝1，又n ＝a e m
＋m ＝2m ＋1，∴m ＝0，a ＝1，故选C.
3．(优质试题·成都模拟)已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝
f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内的极小
值点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 如图，在区间(a，b)内，f′(c)＝0，且在点x ＝c附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，所以在区间(a，b)内只有1个极小值点，故选A.
4．(优质试题·重庆调研)若函数f(x)＝(x＋a)e x在(0，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(－1,0) D．[－1，＋∞)
解析：选 A f′(x)＝e x(x＋a＋1)，由题意，知方程e x(x ＋a＋1)＝0在(0，＋∞)上至少有一个实数根，即x＝－a－1＞0，解得a＜－1.
5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值为3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )
A．0 B．－5
C．－10 D．－37
解析：选D 由题意知，f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当x＜0或x＞2时，f′(x)＞0，当0＜x＜2时，f′(x)＜0，∴f(x)在[－2,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，由条件知f(0)＝m＝3，∴f(2)＝－5，f(－2)＝－37，∴最小值为－37.
6．(优质试题·广州模拟)设函数f (x )＝x 3＋ax 2
，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )
A ．(0,0)
B ．(1，－1)
C ．(－1,1)
D ．(1，－1)或(－1,1)
解析：选D 由题意知，f ′(x )＝3x 2
＋2ax ，所以曲线y ＝
f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率为f ′(x 0)＝3x 2
0＋2ax 0，
又切线方程为x ＋y ＝0，所以
x 0≠0，且⎩⎪⎨⎪⎧
3x 2
0＋2ax 0＝－1，
x 0
＋x 30＋ax 2
0＝0，解
得
a ＝±2，x 0＝－a
2.所以当⎩⎪⎨
⎪⎧
x 0＝1，
a ＝－2
时，点P 的坐标为(1，－
1)；当⎩⎪⎨
⎪⎧
x 0＝－1，
a ＝2
时，点P 的坐标为(－1,1)，故选D.
7．(优质试题·昆明检测)若函数f (x )＝e 2x
＋ax 在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )
A ．[－1，＋∞)
B ．(－1，＋∞)
C ．[－2，＋∞)
D ．(－2，＋∞)
解析：选C ∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ′(x )＝2e 2x
＋a ，∴f ′(x )＝2e 2x
＋a ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≥－2e 2x
在(0，＋∞)上恒成立，又x ∈(0，＋∞)时，－2e 2x
＜－2，∴a ≥－2.
8．(优质试题·陕西模拟)设函数f (x )＝x 3
－12x ＋b ，则下列结论正确的是( )
A ．函数f (x )在(－∞，－1)上单调递增
B ．函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减
C ．若b ＝－6，则函数f (x )的图象在点(－2，f (－2))处的切线方程为y ＝10
D ．若b ＝0，则函数f (x )的图象与直线y ＝10只有一个公共点
解析：选C 对于选项A ，B ，根据函数f (x )＝x 3
－12x ＋b ，可得f ′(x )＝3x 2
－12，令3x 2
－12＝0，得x ＝－2或x ＝2，故函数f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，所以选项A ，B 都不正确；对于选项C ，当b ＝－6时，
f ′(－2)＝0，f (－2)＝10，故函数f (x )的图象在点(－2，f (－
2))处的切线方程为y ＝10，选项C 正确；对于选项D ，当b ＝0时，f (x )的极大值为f (－2)＝16，极小值为f (2)＝－16，故直线y ＝10与函数f (x )的图象有三个公共点，选项D 错误．故选C.
9．已知定义在⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫0，π2上的函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，
若f ′(x )cos x －1＝ln x －f (x )sin x ，则下列不等式成立的是( )
A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫
π4 B ．3f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫
π6 C.
3f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
π4<2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
π6 D.
3f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
π6 解析：选D 令g (x )＝
f x
cos x
，则g ′(x )＝
f ′x cos x －f x
－sin x
cos 2x
＝
1＋ln x
cos 2x
，由
⎩⎪⎨⎪⎧
0<x <π2，g ′x >0，
解得1e <x <π2
；由⎩⎪⎨⎪⎧
0<x <π2，g ′x <0，
解得
0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫1e
，π2上单调递增．因为π3>π6>1e ，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫π6，所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
π6cos
π6
，即3
f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
π6，B 错，D 正确．同理因为π4>π6>1e ，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4>g ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫π6，所以
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
π4cos π4>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
π6cos
π6
，即3f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫
π4>2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
π6，C 错．因为π3>π4>1
e
，所
以
g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
π4cos
π4
，即
2f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
π4，A 错．故
选D.
10．已知函数f (x )(x ∈R)为奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝ln x －m
2
x ⎝ ⎛
⎭
⎪⎪
⎫m >22，当x ∈[－2,0)时，f (x )的最小值为3，则m 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．e
D ．e 2
解析：选C ∵f (x )在R 上是奇函数，当x ∈[－2,0)时，f (x )的最小值为3，∴f (x )在(0,2]上的最大值为－3.∵当x ∈(0,2]时，f ′(x )＝1x －m 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝m －2
；由m >22
知0<m
－2
<2.当x ∈(0，m －2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(m
－2,
2]
时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故当x ＝m －2
时，f (x )在(0,2]上取得最大值－3.∴f (m －2
)＝ln m －2
－m 2
·m －2
＝ln m －2
－1＝－3，解得m ＝e.故选C.
11．已知函数f (x )＝－ln x ＋ax ，g (x )＝(x ＋a )e x
，a <0，若存在区间D ，使函数f (x )和g (x )在区间D 上的单调性相同，则a 的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12 B ．(－∞，0) C.⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－1，－12 D ．(－∞，－1)
解析：选 D f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1
x
＋a
＝ax －1x
.由a <0可得f ′(x )<0，即f (x )在定义域(0，＋∞)上单
调递减．g ′(x )＝e x
＋(x ＋a )e x
＝(x ＋a ＋1)e x
，令g ′(x )＝0，解得x ＝－(a ＋1)，当x ∈(－∞，－a －1)时，g ′(x )<0，当x ∈(－
a －1，＋∞)时，g ′(x )>0，故g (x )的单调递减区间为(－∞，
－a －1)，单调递增区间为(－a －1，＋∞)．因为存在区间D ，使f (x )和g (x )在区间D 上的单调性相同，所以－a －1>0，即a <
－1，故a 的取值范围是(－∞，－1)，选D.
12．(优质试题·张家界模拟)已知函数f (x )在定义域R 上的导函数为f ′(x )，若方程f ′(x )＝0无解，且f [f (x )－2 017x
]＝2 017，若g (x )＝sin x －cos x －kx
在⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤
－π2，π2上与f (x )在
R 上的单调性相同，则实数k 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1]
B ．(－∞， 2 ]
C ．[－1，2]
D ．[2，＋∞)
解析：选 A 若方程f ′(x )＝0无解，则f ′(x )>0或
f ′(x )<0恒成立，∴f (x )为R 上的单调函数．若∀x ∈R ，都有f [f (x )－2 017x ]＝2 017，则f (x )－2 017x 为定值，设t ＝f (x )
－2 017x
，则f (x )＝t ＋2 017x
，易知f (x )为R 上的增函数．∵
g (x )＝sin x －cos x －kx ，∴g ′(x )＝cos x ＋sin x －k ＝2
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4－k .又g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤－π2，π2上与f (x )在R 上的单调性相
同，∴g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤
－π2，π2上单调递增，则当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤
－π2，π2时，g ′(x )≥0恒成立，则
k ≤⎣⎢
⎢⎡
⎦⎥⎥
⎤2sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4min .当
x ∈⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤
－π2，π2时，x ＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，3π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤－22，1，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫x ＋π4∈[－1,2]，故k ≤－1，选A.
二、填空题
13．(优质试题·福州四校联考)已知曲线C ：y ＝x 2
＋2x 在点(0,0)处的切线为l ，则由C ，l 以及直线x ＝1围成的区域的
面积等于________．
解析：因为y ′＝2x ＋2，所以曲线C ：y ＝x 2
＋2x 在点(0,0)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝2，所以切线方程为y ＝2x ，所以由C ，l 以及直线x ＝1围
成的区域如图中阴影部分所示，其面积S ＝⎠⎜⎛
1
(x 2
＋
2x －2x )d x ＝⎠⎜⎛
1x 2
d x ＝x 3
3|1
0＝1
3. 答案：1
3
14．(优质试题·太原二模)若函数f(x )＝sin x ＋ax 为R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．
解析：∵f ′(x )＝cos x ＋a ，由题意可知，f ′(x )≤0对任意的x ∈R 都成立，∴a ≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
15．(优质试题·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x
在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________.
解析：∵y ′＝(ax ＋a ＋1)e x
，∴当x ＝0时，y ′＝a ＋1， ∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案：－3
16．已知定义在(0，＋∞)上的单调函数f (x )，对任意的
x ∈(0，＋∞)，都有f [f (x )－log 3x ]＝4，则函数f (x )的图象在
x ＝1ln 3
处的切线的斜率为________．
解析：由题意，设f (x )－log 3x ＝m >0，则f (x )＝log 3x ＋m ，由f [f (x )－log 3x ]＝4可得f (m )＝log 3m ＋m ＝4，即m ＝3
4－m
，解
得m ＝3，所以f (x )＝log 3x ＋3，f ′(x )＝1x ln 3，从而f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫1ln 3＝1，即所求切线的斜率为1.
答案：1
B 级——难度小题强化练
1．(优质试题·西安八校联考)已知函数f (x )＝ln x －ax 2
，若f (x )恰有两个不同的零点，则a 的取值范围为( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
12e ，＋∞ B ．⎣⎢⎢
⎡⎭⎪⎪⎫
12e ，＋∞ C.⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫0，12e D.⎝
⎛⎦
⎥⎥⎤0，12e 解析：选C 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1
x
－
2ax ＝1－2ax
2
x
.当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，函数f (x )在(0，
＋∞)上单调递增，则函数f (x )不存在两个不同的零点．当a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝1
2a ，当0<x <1
2a
时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x >1
2a
时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以f (x )的最大值为
f ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫12a ＝ln 1
2a －a ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫12a 2
＝－
12
ln 2a －1
2，于是要使函数f (x )恰有两个不同的零点，则需满足
－12ln 2a －12>0，即ln 2a <－1，所以0<2a <1e ，即0<a <1
2e
，所以a
的取值范围是⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫0，12e ，故选C.
2．已知f ′(x )为f (x )(x ∈R)的导函数，当x ≠0时，f ′(x )
＋f x x >2，则方程f (x )＋1x
＝x 的根的个数为( )
A ．1
B ．1或2
C ．0
D ．0或1
解析：选 C 由题意知，方程f (x )＋1
x
＝x 的根，即为
xf x －x 2＋1x ＝0的根．记g (x )＝xf (x )－x 2
＋1，则g ′(x )＝
f (x )＋xf ′(x )－2x .
当
x ≠0时，由
f ′(x )＋
f x
x
>2得
xf ′x ＋f x －2x
x
>0，故当x >0时，xf ′(x )＋f (x )－2x >0，
即g ′(x )>0，
当x <0时，xf ′(x )＋f (x )－2x <0，即g ′(x )<0. 所以函数g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以g (x )≥g (0)＝0×f (0)－02
＋1＝1.
故函数g (x )＝xf (x )－x 2
＋1没有零点，即方程f (x )＋1
x
＝x
无根．故选C.
3．已知函数f (x )的定义域为R ，其导函数为y ＝f ′(x )，
当x ≠1时，f ′(x )－f 2－x
x －1
>0，若函数y ＝f (x ＋1)的图象
关于原点对称，a ＝－12f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫12，b ＝－3f (－2)，c ＝2f (3)，则a ，b ，
c 的大小关系是( )
A ．a <b <c
B ．b <c <a
C ．a <c <b
D ．c <a <b
解析：选C 由函数y ＝f (x ＋1)的图象关于原点对称可得函数y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称，即f (2－x )＝－f (x )．设
g (x )＝(x －1)f (x )，则g (2－x )＝[(2－x )－1]f (2－x )＝(1－x )[－f (x )]＝(x －1)f (x )＝g (x )，所以函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝1对称．由已知当x ≠1时，f ′(x )－f 2－x x －1>0可得
f ′(x )＋f x
x －1
>0，即
x －1f ′x ＋f x
x －1
>0，即
g ′x
x －1
>0.当x >1时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增．而a ＝
g ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫12，b ＝g (－2)，c ＝g (3)．由函数y ＝g (x )的图象关于直线x
＝1对称可得
a ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝g ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫32，b ＝g (－2)＝g (4)，因为32<3<4，所
以a <c <b .故选C.
4．(优质试题·胶州模拟)若方程ln(x ＋1)＝x 2
－3
2
x ＋a 在
区间[0,2]上有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎢
⎡⎭
⎪⎪⎫ln 3－1，ln 2＋12 B ．[ln 2－1，ln 3－1)
C ．[ln 2－1，ln 2]
D.⎣
⎢⎢
⎡⎦⎥⎥⎤0，ln 2＋12 解析：选A 令f (x )＝ln(x ＋1)－x 2
＋3
2x －a ，则f ′(x )＝
1x ＋1－2x ＋32
＝－4x ＋5x －1
2x ＋1
.当x ∈[0,1)时，f ′(x )>0，
f (x )单调递增，当x ∈(1,2]时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．由
于方程ln(x ＋1)＝x 2
－3
2
x ＋a 在区间[0,2]上有两个不同的实数
根，即f (x )＝0在区间[0,2]上有两个不同的实数根，则
⎩⎪⎨⎪⎧
f 0＝－a ≤0，
f 1＝ln 2＋1
2－a >0，
f
2
＝ln 3－1－a ≤0，
解得ln 3－1≤a <ln 2＋1
2
.
所以方程ln(x ＋1)＝x 2
－3
2x ＋a 在区间[0,2]上有两个不同的实
数根时，实数a
的取值范围是⎣⎢⎢
⎡⎭
⎪⎪⎫ln 3－1，ln 2＋12. 5．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．
解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝ln x －ax ＋
x ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫1x －a ＝ln x －2ax ＋1，令f ′(x )＝ln x －2ax ＋1＝0，得ln x
＝2ax －1，因为函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，所以
f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，等价于函数y
＝ln x 与y ＝2ax －1的图象有两个交点．在同一平面直角坐标系中作出它们的图象，如图所示，过点
(0，－1)作曲线y ＝ln x 的切线，设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝1
x 0，所以切线方程为y ＝1
x 0
x －1，又切点在切线上，所以
y 0＝x 0
x 0
－1＝0，又切点在曲线y ＝ln x 上，则ln x 0＝0，解得x 0
＝1，所以切点为(1,0)，所以切线方程为y ＝x －1.再由直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x 有两个交点，知直线y ＝2ax －1位于两直线y ＝－1和y ＝x －1之间，其斜率2a 满足0<2a <1，解得实数a
的取值范围是⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫0，12. 答案：⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫0，12 6．已知函数g (x )＝a －x
2⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫
1e ≤x ≤e，e 为自然对数的底数与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值
范围是________．
解析：因为函数g (x )＝a －x
2⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫
1e ≤x ≤e，e 为自然对数的底数与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，所以方程a －
x 2＝－2ln x ，即－a ＝2ln x －x
2
在⎣⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥⎤1e ，e 上有解．令f (x )＝2ln x
－x 2
，则f ′(x )＝2x －2x ＝
21－x 1＋x
x
，因为1
e
≤x ≤e，
所以f (x )在x ＝1处有唯一的极大值点．因为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫1e ＝－2－1e 2，f (e)
＝2－e 2
，f (x )的极大值为f (1)＝－1，且f (e)<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
1e ，故方程－a ＝2ln x －x
2
在⎣⎢⎢
⎡⎦
⎥⎥⎤1e ，e 上有解等价于2－e 2≤－a ≤－1，即1≤a ≤e 2－2，故实数a 的取值范围是[1，e 2
－2]．
答案：[1，e 2
－2]。