基于认知负荷理论的对数定义教学设计

基于认知负荷理论的对数定义教学设计"
赵思林，王佩，崔静静
(四川省内江师范学院数学与信息科学学院，641112)
摘要:认知负荷理论要求教师在教学中善于分解和降低学生 的内在认知负荷，减少学生的外在认知负荷）加学生的相关
认知负荷，从而 学生对复杂认知任务的认知加工水平。

依据这
一理论，提出对数定义教学设计的“八步”流程:“激”—激发学习
动机;“忆”—复习旧知;“探”一一探究问题;“粗”—给出科普式
定义.精”—给出形 定义;“化”—内化定义.用”—应用
定义;“悟”—感悟数学的精神及思想方法。

关键词：认知负荷理论对数定义教学设计
纳皮尔发明的对数深含数学文化意蕴，是发现(创造）数学的经典范例，具有较高的 人价值。

不过，在 学教学中，对
是公认的难点。

有研究者曾调查过600名学生学习对数的情况，：感到对
义难学、难以理解的占741。

笔者从数学学习心理学和脑科学等角度 论述过对 学的原因：一是对复杂的分数指数幂和无理数指数幂 理解，导致已有的知识经验不足，难以同化学习；二是对 对 的认知 可能 记忆系统的过重甚至 。

笔者还应用米勒的“组块”理论，从对数定义涉及的新概念、关 系、字母和 等方面进行过组 的统计，结果表明：无论怎样计算，组 都会过 记忆容量（7±2)的上限。

也就是说，相对于 学生而言，对 自身
来的认知 ，是较为复杂的认知任务。

下面基于认知负荷理论，给出对数定义 的“八步”教学设计。

一、认知负荷理论及其教学意义简介
(一）认知负荷理论
认知负荷理论（CognitiveLoadTheory)是由澳大利亚教育心理学家斯威勒2Swel-
ler)等人于1988年提出的。

该理论认为认知 资源,记忆容量）是有限的，认知 f 的总量应该 其 内，否则学习就 ：阻或产生困难。

该理论还把认知负荷分为内 在认知负荷、外在认知负荷和相关认知负荷。

内在认知 是 记忆对认知任务本身所包含的信息 （如、规则的基本成分的数量)及其交互性进行认知 活
产生的。

内在认知 于认知任务本身，是由相对于学习者经 的学习 的复杂性所带来的，反映了获得某种图式所必须 同时在 记忆中加工的信息 的量。

外在认知 是 给内在认知负荷的额外负荷。

外在认知 是由学习 的呈现方式及其所要求的学习活动所带来的，主要是由不恰当的教学设计 的。

认知 是指与促进 构建和图
式自动化过 的 。

相关认知负荷不
是必需的，但是能够促使学习 人更多的力，促进学习者的学习，通常是由良好的教 学设计所产生的。

(二)教学意义
认知负荷理论要求教师在教学中善于分解 和降低学生的内在认知 ，减少学生的外在认知负荷，适当增加学生的相关认知负荷，从而 提升学生对复杂认知任务的认知 。

解内在认知 的本质就是通常说的分散教学难点。

其教学策略有：任务先“分”
“整”逐步呈现，任务先“简”后“繁”二次呈 现。

此外，按照 尔倡导的有意义学习理论设计教学，也能为后续的学习降低内在认知，即在学生学习新知识之前给他们呈现一 与所学新知识之间能够建立实质性联系的 引导性材料，作为建构新知识的“脚手架”。

减少外在认知 的本质就是聚焦教学内容，减少与学习内容 的教学活动。

其教学策略有:精选典型问题以减少问题数量，恰当运用多媒体和图表等的直观性改变学习材 的呈现方式，在教学内容和要求上体现循序 进、由浅人深、由易到难、由简到繁的 ，注重前后知识(问题)之间内在的逻辑性等。

认知 的本质就是帮助学生 激发内在 ，搭建同化学习的“脚手架”。

其教学策略有:改变认知任务，设置引导性材 料，变式练习，引人故事，生动比喻等。

二、基于认知负荷理论的对数定义“八 步”教学设计
上述理论，笔者提出对数定义教学 设计的“八步”流程:“激”“忆”“探”“粗”“精”“化”“用”“悟”。

下面对这“八步”的基本含 、实施建议、设计意图作简要说明。

(一）“激”
“激”是指激发内在动机，提升学习情感。

具体可以呈现如下内容，提出如下问题：对数的发明是17世纪数学史上的重大 事件。

伽利略说:“给我空间、时间及对数，我 可以创造一个宇宙。

”拉普拉斯说:％对数的发 现不仅避免了冗长的计算和可能的误差，而且实际上倍延了天文学家的寿命。

”
为什么对数的发明会让天文学界和数学 界如此欣喜若狂呢？什么是对数？对数又是 怎样延长天文学家寿命的呢？这些是我们将 要探讨的问题。

设计意图：利用名家名言，让学生感受到 数学文化的育人魅力，适度地增加了学生的认知 ，可以激发学生的学习动机(好
和求知欲），增加学生的学习意志力。

(二) “'
“忆'是 忆，复习 知。

具 可
提出如下问题％
在指数式a6'N(a>0且a+1)中有三个 量(a、、N)。

用方程的观点来看，一般情况 下，已知两个量，就能求解第三个量。

有几种 情况？请同学们思考。

(1) 已知a $，求N ，如求23;(预设：幂的 运算）
(2) 已知.、JV ，求a ，如已知a 2' 9，求a ; (预设：开方运算）(3)
已知a 、N ，求.，如已知26'5,求 (预设：学生疑惑）
图：对数是借助于指数等式a 6'
W (a >0且a +1)来定义的，因此在学习对数
定义之前，应系统复习
知识。

这里
利用了先行组织者策略，意在为后面的新知 学习搭建“脚手架”，降低内在认知负荷。

此 外，这
问题的
学生已有知识能够解决，但是
学生已有知识不
能解决。

设计第三个问题有两个意图：一是 自然地引发学生的认知冲突，让学生产生解 问题的心向；二是引
要重点探
究的问题，开启新知的学习。

因此，第三个问 题起着承上启下的。

(三）“探”
“探”是指探究问题。

探究是解决问题的 基本手段，也是发现(创造）数学的常用方法。

探究源于问题。

当面对的新问题不能用现成 方法解
，学生的探究意识就会自
生。

针对问题“已知2 = 5,求可以设计如 下探究过程:首先，用代数方法（如解方程）， 不
能
（注:尽量让学生说出这
）其次，若只看2 = 5的左边，就得到 函数^
'2\又由指数函数的
和性质可知这样
的.唯一存在(定性的结论），但是无法求出. 的
（注:尽量让学生得出这
）综
上，.是存在且唯一的，但是用代数方法和几 何方法都不能求出.的 （注:启发并帮
助学生得 这
)。

探究到这里，学生一般会有两种不同的 态度:一■是放弃，—■是创造（新的方法）。

这 时，教师可以讲解：“苏格兰数学家纳皮尔没 有选择放弃，而是选择创造（新的方法）。

他
为了解决这类问题，花费了十多年时间，发明
了对数。

在这个问题中，纳皮尔把.叫作由2
和5确定的对数，
简称对数，记作.= log 25。

” 至此，教师可以引导学生总结纳皮尔解
决这类问题的思路:首先给.
，或说给
，叫作对数；
究对
的性质;接着研究计算.的方法;最后应用 这个新发明的对数解决新问题。

这个过程可
为“问题##性质#计算#应用”， 是数学家研究和发现数学的一般方法和 。

设计意图：通过对问题的深度探究，引出 数学家研究和发现数学的一般方法和 ，对本课而言，增加了学生的外在认知 ，但是对今后的“数学研究和发现”来说，减少了
学生的内在认知。

学生没有对
及对
数符号的图式，因此这一问题不适合探究学 习）
师通过纳皮尔发明对数的故事直
接说出“叫作对数”—
这里讲述纳皮尔发
对数的故事还在于渗透数学文化 。

需要说明的是，为了有 低外在认知
，这
里没有采取 到位的设计。

也就是说，这
里不是
讲解最为一般(抽象）的等式沪’
W 中的.叫作什么，而是把a 和W 取定并且
取得非常简单。

等式2 = 5中只有“未知 数”，从学生观察的角度看，其着眼点极易聚 焦到“未知数'上，因此外在需要认知的东西 只有.其外在认知 。

考察等式a .'W ，共
有
“未知数”，学生观察的着
点就不容易聚焦了，这就
外在认知
负荷。

还需说明的是，纳皮尔发明对数并不 是完全按照“问题#定义#性质#计算#应 ”的步骤。

这里的做法体现了““
学”
的理念，意在让学生了解研究数学的一般方 法和步骤，为学生今后“研究和发现数学”埋 伏笔。

这里，还可以呈现一个变式练习：已知3*
=7,按照纳皮尔定义，在3、7$中哪个叫对 数？由此帮助学生巩固和强化从上述问题中获得的新概念(即对数-
(四）“粗”
“粗”是指“粗定义”，或者说科普式定义。

具体可以讲解如下内容：
在a6=N(a>0且a+1)中，由a和N确定的数6叫作对数。

简言之，叫作对数。

说 得更简单些，就是在中，指数（W叫作 对数。

符号log是一个整体，不能分开看。

符号 logaN表示以a为底N的对数，其中a叫作 对数的底数，N叫作对数的真数。

简言之，a 叫作底数，N叫作真数。

设计意图:这里引人“粗定义”，增加了相 关认知负荷，为下一步降低内在认知负荷打 了：对数的“粗”自然就成了对数定义的引导性材料。

也可以说，此步的“粗定 ”相当于在 和第五步之 了-“桥”。

由于“粗定义”易于理解和接受，其心 理加工也不会发生困难。

在讲解“粗定义”的同时，让学生提前认识对数的符号，也是在为 学习 减少内在认知负荷。

此外，好的教学在于 地把学生的思维引向深人，数学学习 需要把问题及其 进
一步抽象和一般化。

第三步的问题及练习中 都只有一个“未知数”，相对比较直观和特殊。

这里对直观和特殊的事例作进一步抽象和一 般化，正是弗赖 尔所倡导的“数学化”。

(五-精”
“精”是指“精定义”，或者说形式化定义。

概念教学的最终目标是达到定义的形式化标 准，即达到 的严密化、符号化、一般化等要求。

有了前面四步教学的铺垫，学习对数 的 就水到渠成了％
如果a6'N(a>0且a+1-那么6叫作 以a为底N的对数，记作logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作对数的真数。

图：给对 予 化的定义，使
其形成一个具体的数学对象，不仅实现了定
义的严密化、符号化、一般化，而且可以有效
促进学生将其融人已有的认知图式中。

在讲
解定义时，没有探究“>0且a+1”的主要目
的是 外在认知 。

(六-化”
“化”是指内化。

学习的本质在于认知，
认知的目的在于内化。

内化就是使知识图式
化、结构化、系统化。

对 的内化可以从域，对 的 、写法，指数与对数
的等价互化关系等方面进行。

(1)概念域：对数、指数、底数、真数、幂
值，见表1。

表1
式子
名称
a b N
a6=N底数指数值
b=log a N底数对数真
(2)符号“logaN”的读法：以a为底N的
对。

(3) 符号“logaN”的写法：四线三格法，将 底数a写在下标的位置，真数N写在“log”的
横向“重心线”位置。

(4) 指数与对数的等价互化关系：当a>0且 a+1 时，有 a6=N,6=logaN。

设计意图：采用表 助学生形成
概念域，有助于降低外在认知负荷。

强调对
的规 和 （教师 ，学生边
)，可 强学生的熟 度。

强化指
数与对数的等价互化关系，可以进一步促进
学生对对 的认识和理解，化 思
想。

需要说明的是，指数与对数的等价互化
关系特别重要，由此可以演绎出对数的全部
性质。

在本课中，限于 ，一种做法是点到
为止，另一种更为积极的做法是布置研究性学习课题“由沪=W,6=l〇gaiV能推出什么”，这体现了“带着问题”的理念。

(七-用”
“用”是指应用，同时兼巩固练习之任务。

练习的核心目的是使内化后得到的图式更加、明确和牢固， 到思维模块化、反应自动化的，为将来解决新的数学问题减少内在认知。

运 学知识解决新的学问题时应当考虑何、怎样用、用的效如何等问题。

具体可以设计如下例题：将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。

(1)54=625；
(3) (1—=5.73;
(4) log.i16'—4。

图:通过练习，使学生进一步熟悉对数式与的等价互化关系，加深对各意义的 理解。

为了降低课学习
的难度，例题给的都是具体数字。

等学生对与对数的等价互化关系之后，应当增加问题的抽象性，比如增加一些字母，使学生更深刻地理解指数与对数的等价互化系。

这就既遵循了循进的教学，现了“静待花开”的 。

(八-悟”
“悟”是指感悟数学的精神及思想方法。

“学之道在于悟。

”数学的及思想方法是
数学的灵魂。

数学思想方法是数学知识在更上的抽象和概括，蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中，具有的隐蔽性
和概括性。

对数定义蕴涵深刻的数学精神和思想，首先让学生学习了数学的创新精神（即发明
创造精神-其次让学生经历了“问题#探究
#理论”的“数学化”和数学研究、发现的过
程，最后发在 的分类、方
程、类比、符号化等思想。

此步不安排在本节
课内全部完成，因为“悟”需要比较长的。

图：通过对数定义的学习，让学生
学习数学的发明创造和一般方法。

由于
数学思想的隐喻性和概括性，因此教学时需人 ，充分挖掘其中的数学精神和
思想方法，然后有目的、有意识、有计划、有步
骤地渗透、介绍，使学生在学习数学知识的同
时，学到数学思考问题、解决问题的一般思想
方。

"本文系四川省“西部卓越中学数学教师
协同培养计划”项目（编号：ZY16001)和内江
师范学院2016年度校级学科建设特色培育
项目（T160009、T160010、T160011)的阶段性
研究成果。

参考文献：
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