2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册：3.2.3 函数的最大(小)值

3．函数y＝x－1 1在[2,3]上的最小值为( B )
A．2
1 B.2
1 C.3
D．－12
解析：因为y＝x－1 1在[2,3]上递减， 所以ymin＝3－1 1＝12.选B.
4．若函数f(x)＝|x＋2|在[－4,0]上的最大值为M，最小值为
m，则M＋m＝( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：作出函数f(x)＝|x＋2|＝
7．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为
－2，则f(x)的最大值为( C )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：f(x)＝－(x－2)2＋a＋4，∴函数f(x)在[0,1]上是增函 数，最小值为f(0)＝a，∴a＝－2.
∴函数f(x)的最大值为f(1)＝－1＋4＋a＝1.
x＋2，－2≤x≤0 －x－2，－4≤x<－2
的图象
如图所示，由图象可知M＝f(x)max＝f(0)＝f(－4)＝2，m＝f(x)min＝
f(－2)＝0，所以M＋m＝2.故选B.
5．函数y＝kx＋b在区间[1,2]上的最大值比最小值大2，则k的
值为( C )
A．2
1 B.2
C．－2或2
D．－2
解析：因为函数y＝kx＋b在[1,2]上一定单调，所以端点处取 最值，所以应有|(k＋b)－(2k＋b)|＝2，解得k＝±2.
6．已最大值为1，则k的值为
(A)
A．2
B．－4
C．2或－4
D．4
解析：当k>0时，函数y＝xk在[2,4]上是减函数， ∴2k＝1，k＝2. 当k<0时，函数y＝xk在[2,4]上是增函数， ∴4k＝1，k＝4. ∵k<0，∴k无解． 综上所述，k＝2.
3 10．函数y＝ －x2＋x＋2的最大值为 2 ，最小值为 0 .
解析：令u＝－x2＋x＋2，则u≥0，且u＝－(x－12)2＋94.所以当 x＝12时，umax＝94，即ymax＝32.又因为u≥0，所以ymin＝0.
11．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位： 万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位： 辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为 120万元
解析：由函数图象可得，函数最小值是f(－2)，最大值是2.
2．函数y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域为( C )
A．[2，＋∞) B．(－∞，2]
C．[2,11)
D．[2,11]
解析：y＝(x－2)2＋2.当x＝2时，ymin＝2，当x＝5时，ymax＝ 11，所以函数的值域为[2,11)．
解析：设公司在甲地销售x辆(0≤x≤15，x为正整数)，则在乙 地销售(15－x)辆，
∴公司获得利润 L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30. ∴当x＝9或10时，L最大为120万元．
三、解答题(共25分)
12．(12分)求函数f(x)＝
x x－1
在区间[2,5]上的最大值与最小
解：因为f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1. ①当t>1时， f(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以当x＝t时，f(x)取得最小值， 此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3. ②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，f(x)在区间[t，t＋1]上先减后 增，故当x＝1时，f(x)取得最小值， 此时g(t)＝f(1)＝2.
解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x 的图象．
根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中 实线部分．
解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为 (4,6)．
所以f(x)的最大值为6.
15．(15分)求二次函数f(x)＝x2－2x＋3在[t，t＋1]上的最小值 g(t)．
第三章 函数的概念与性质
3．2 函数的基本性质 第22课时 函数的最大(小)值
课时作业基设础训计练（45分钟）
——作业目标—— 1.理解函数的最大小值及其几何意义； 2.能利用函数的单调性求函数的最值； 3.能利用函数的单调性比较函数值的大小； 4.掌握二次函数在闭区间上最值的求法.
——基础巩固—— 一、选择题(每小题5分，共40分) 1.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、 最大值分别是( C ) A．f(－2)，0 B．0,2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2
二、填空题(每小题5分，共15分) 9．函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，若函数f(x)在区间[－4，－ 2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f(－4)<f(6)，则函数 f(x)的最小值是 f(－2) ，最大值是 f(6)
解析：作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f(x)min＝f(－ 2)，f(x)max＝f(6)．
8．已知函数y＝x2＋ax＋3的定义域为[－1,1]，且当x＝－1
时，y有最小值；当x＝1时，y有最大值，则实数a的取值范围是
( B)
A．0<a≤2
B．a≥2
C．a<0
D．a∈R
解析：∵函数在x＝－1时取最小值，在x＝1时取最大值，∴ 函数在[－1,1]上单调递增．
又函数图象的对称轴为直线x＝－a2，且开口向上， ∴有－a2≤－1，即a≥2.
13．(13分)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)画出f(x)的图象； (2)根据图象写出f(x)的最小值．
解：(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝ 2－，2－x，1x<≤x<－1，1， 2x，x≥1，
所示．
其图象如图
(2)由图象，得函数f(x)的最小值是2.
——能力提升—— 14．(5分)用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝ min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为 6 .
值．
解：任取2≤x1<x2≤5， 则f(x1)＝x1x－1 1，f(x2)＝x2x－2 1， f(x2)－f(x1)＝x2x－2 1－x1x－1 1＝x2－x11－xx12－1. 因为2≤x1<x2≤5， 所以x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0.
所以f(x2)－f(x1)<0. 所以f(x2)<f(x1)． 所以f(x)＝x－x 1在区间[2,5]上是单调减函数． 所以f(x)max＝f(2)＝2－2 1＝2，f(x)min＝f(5)＝5－5 1＝54.