2014年高考模拟试卷 南通数学密卷五

（第4题图） 2014年高考模拟试卷(5) 有答案
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 .
1.设全集U ={1，2，3，4，5}，若U A =ð{1，2，4}，则集合A = ．
2.已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的模是 ．
3.已知曲线4(0)y x x
=>的一条切线斜率为1-，则切点的横坐标为 ．
4.右图是某算法的流程图，则输出的T 的值为 ．
5.已知甲、乙、丙三人在3天中值班，每人值1天，那么甲在
乙前面值班的概率为 ．
6.为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，
数据的分组及各组的频数如下表：
根据以上数表绘制相应的频率分布直方图时，落在
[10.95 11.15)，范围内的矩形的高应为 ．
7.已知0x >，0y >，且2520x y +=，则lg lg x y +的最大值为 ．
8.要得到函数()
3sin 2y x π=-3
的图象，只需将函数3sin 2y x =的图象向右至少平移 个单
位．
9.设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0 )+∞，
上是单调减函数，且2(3)f x x -(2)f +0>，则实数x 的取值范围是 ．
10.在锐角三角形ABC 中，3sin 5A =，1tan()3
A B -=-，则3t
a n C 的值为 ．
11.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：23100x y +-=与圆
C ：22()()13x a y b -+-=切于点(P 2，2)，则a b +的值构成的
集合是 ．
12.如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F
分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， 则四棱锥1A AEFD -的体积为 ．
C
D 1B
1A
1C D E F
13．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12
-，b 与c 的夹角的正切
为13
-，2=b ，则⋅a c 的值为 ．
14．已知数列{}n a 满足123
4
n n n a a a ++=+*()n ∈N ．设*( n n n a b n a λλμμ-=∈-N , , 为均不等于2的且互
不相等的常数，若数列{}n b 为等比数列，则λμ的值为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.
15.（本小题满分14分）已知△ABC 为锐角三角形，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，
c ，且222
b a
c ac
--cos sin C A =sin cos C A -．
（1）求角A 的大小；
（2）设关于角B 的函数()
22()2cos sin sin cos f B B B B B π=+-+6
，求()f B 的值域．
16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为棱1A A ，1C C 的中点，AC ⊥BE ，点F 在棱AB 上，且4AB AF =． （1）求证：1BC C D ⊥；
（2）试在线段BE 上确定一点M ，使得1//C D 平面BFM ，并给出证明．
（第16题图）
1A
A B C
1C
1B F E M
D
17.（本小题满分14分）如图，在半径为30 cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．
（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？
（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？
18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy，已知椭圆E：22
221(0)
x y
a b a b
+=>>
过点
(1，其左右焦点分别为1F，2F
．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若A，B分别是椭圆E的左右顶点，动点M满足MB AB
⊥，且MA交椭圆E于点P．
①求证：OP OM
⋅为定值；
②设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，问直线MQ是否过定点，并说明理由．
19.（本小题满分16分）已知函数()()()f x x x a x b =--，其中0a b <<．
（1）设函数()y f x =在点() ()A s f s ，，() ()B t f t ，处取得极值，且s t <．求证： ①0s a t b <<<<；
②线段AB 的中点C 在曲线()y f x =上；
（2）
若a b +<问：过原点且与曲线()y f x =相切的两条直线是否垂直，并说明理由．
20.（本小题满分16分） 已知数列{}n a 满足：11a =
，1
1n a +=
n ∈*N ，其前n 项和为n S ．
（1）求证：①数列21n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列；
②对任意的正整数n
，都有n S >
（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足：21221
1683n n n n T T
n n a a ++=+--．试确定1b 的值，
使得数列{}n b 为等差数列．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，C ，D 是直径为AB 的半圆上的两点，AC 与BD
交于点E ，点F 在弦BD 上，且△ACD ∽△BCF ，证明：△ABC ∽△DFC ．
B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵A 的逆矩阵110102-⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ．若1114()102-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
AB ，求矩阵B ．
C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）如图，在极坐标系中，求以点)
C
π4
，为圆心，12
为半径的圆的极坐标方程．
D ．（选修４－５：不等式选讲） 设{
}
22
2min b h a a b =+，
，其中a ，b 均为正实数，证
明：h 1≤．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
B
（第
21题A
）
x
O
（第21—C 题）
22．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，
记所得数字分别为x ，y ．设ξ为随机变量，若x 为整数，则0ξ=；若x 为小于1的分数，
则1ξ=-；若x y
为大于1的分数，则1ξ=．
（1）求概率(0)P ξ=；
（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．
23．设i 为虚数单位，n 为正整数．
（1）证明：(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+；
（2）结合等式“[][]1(cos isin )(1cos )isin n n
x x x x ++=++”证明：
121C cos C cos2C cos n
n n n x x nx +++⋅⋅⋅+2c o s c o s 2
2
n n x nx =．
2014年高考模拟试卷(5)参考答案
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题
1. {3，5}；
2.
3. 2；
4. 120 ；
5. 12
； 6. 1.45； 7.1； 8.6
π； 9.（1，2）；
10. 79.依题意，3tan A =，[]31
1343tan tan ()319
143
B A A B +=--==-⨯，则
313
493tan 3tan()3793131C A B +=-+=-⨯=-⨯ ； 11. {1-，9}．依题意，22(2)(2)13a b -+-=，
且232
2
b a -=-，联立方程组解得22 23a b -=⎧⎨
-=⎩，或22 23a b -=-⎧⎨-=-⎩
，，即4 5a b =⎧⎨=⎩，或0 1a b =⎧⎨=-⎩，，从而
9a b +=或1a b +=-
； 12. 9.连接DE ，易得1
1
A AED A FED V V --=，又
11113
A AED E A AD A AD V V S A
B --∆==⋅
111111119662
A ADD ABCD A C D S A
B V -=⋅==，所以19A AEFD V -=； 13. 4
.易得11
23tan tan()1 111
23
C A B +=-+==-⨯-，sin sin sin A B C =从而
2
====由
得，a c a c 4⋅=则 a c ；
14. 3-.11
12334222323424n n n n n n n n n a a a b a a a a λλλλλμμμμ
μ++++⎡⎤--+⎢⎥---===⎢⎥-+--⎢⎥+--⎢⎥+⎣⎦
，因为数列{}n b 为等比数列，所以34λλλ--=，34μ
μμ
--=
，且公比为22λμ--，故λμ, 为方程34x x --=的两不等实根，从而3λμ=-． 二、解答题
15. 解：（1）由222b a c --cos sin C A =
得，222
cos a c b B +-= ()
1sin cos 2cos sin C C A A =-1sin sin cos cos 2sin cos C A C A A A -=⋅()cos sin 2A C A
-+=
cos sin 2B
A =， 因为△ABC 为锐角三角形，所以cos 0
B ≠，从而sin 21A =，又()0 A ∈π，
，故A π=4
； （2）()
22()2cos sin sin cos f B B B B B π=+-+
6)12cos cos cos22
B
B B B =++
2
cos cos cos2B B B B =
+
+1cos22cos22B B B +=+
+)11sin 222
B B =+
()
1232B π=++，由0
B B π⎧<<⎪2⎨
3ππ
⎪0<-<⎩42
，得，B ππ<<42，从而542633B ππ<+<π，
故()1sin 23
2
B π<+<
，所以0()f B <<()f B
的值域为(
0．
16．证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中， 1C C ⊥平面ABC ，
又AC ，BC ⊂平面ABC ，
所以1C C ⊥AC ，1C C ⊥BC ，
又AC ⊥BE ， 1BE C C E =，1 BE C C ⊂，平面11BCC B ，
所以AC ⊥平面11BCC B ，又BC ⊂平面11BCC B ，
所以AC ⊥BC ，而1AC C C C =，
1 A C C C
⊂，平面11ACC A ， 所以BC ⊥平面11ACC A ， 又1C D ⊂平面11ACC A ，所以1BC C D ⊥； （2）当4BE ME =时，1//C D ⊥平面BFM ，下证之：
1A
A
B
C 1C 1B E M D
连结AE ，FM ，在△ABE 中，由4AB AF =，4BE M E =得，//AE MF ，又在平面11ACC A 中，易得1//AE C D ，
所以1//MF C D ， 又1C D ⊄平面BFM ， M F ⊂平面BFM ，所以1//C D ⊥平面BFM ．
17.解：（1）如图，设圆心为O ，连结OC ，设BC =x ，
法一
易得BC =(0 30)x ∈，
， 所以矩形ABCD 的面积为
()2S x =
= 22900x x +-≤
900=（2
cm ） （当且仅当22
900x x
=-，x =cm ）
时等号成立）
此时BC =cm ；
法二 设COB θ∠=，()
0 θπ∈2，； 则30sin BC θ=，30cos OB θ=， 所以矩形ABCD 的面积为
()230sin 30cos 900sin 2S θθθθ=⨯⨯=，
当sin 21θ=，即θπ=4
时，max ()900S θ=（2cm ），
此时BC =cm ； （2）设圆柱的底面半径为r ，体积为V ，
由2AB r =π得，r ， 所以()231900V r x x x =π=-π
，其中(0 30)x ∈，
， 由()2190030V x '=-=得x =
此时，()31900V x x =-π
在(0，
上单调递增，在()
上单调递减，
故当x =cm 3cm ， 答：（1）当截取的矩形铁皮的一边BC 为cm 为时，圆柱体罐子的侧面
积最大．
（2）当截取的矩形铁皮的一边BC
为cm 为时，圆柱体罐子的体积最大．
18. 解：（1
）易得223121 a b c a ⎧
⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩
，且222
c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，
所以椭圆E 的方程为22
142
x y +=；
（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，，
①易得直线MA 的方程为：0042y y
y x =+，
代入椭圆22
142
x y +=得，()
2222
000140822y y y x x +++-=， 由()201204828
y x y --=+得，()20120288
y x y --=
+，从而0
12088
y y y =
+，
所以()()2
2200000222
20000
284888 (2 )48888y y y y OP OM y y y y y ----⎛⎫
⋅=⋅=+= ⎪++++⎝⎭，，， ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下： 依题意，0202
00
2
0882
2828
PB y y k y y y +==----+（）， 由MQ PB ⊥得，0
MQ y k =
， 则MQ 的方程为：00(2)y y y x -=-，即0y
y x =，
所以直线MQ 过定点(0 0)O ，
． 19. 解：（1）①依题意，s ，t ()s t <为方程2()32()0f x x a b x ab '=-++=的两个实根，
而(0)0f ab '=>，()()0f a a a b '=-<，()()0f b b b a '=-<，
故()0f x '=在区间(0 )a ，
和( )a b ，内各有一个实根， 所以0s a t b <<<<； ②由①得，2()
3
a b s t ++=，3ab st =，
因
为
()()33
42()()()()()
()27
3
f s f t s t a b s t
ab s t a b ab a b +=+-++++=-+++， ()()321()()23273
s t a b f f a b ab a b ++==-+++，
所以()()f s f t +=()
22s t f +，
即证线段AB 的中点C 在曲线()y f x =上； （2）过原点且与曲线()y f x =相切的两条直线不垂直，理由如下： 设过曲线()y f x =上一点()00 P x y ，的切线方程为：
2
0000 32()()y y x
a b x a b
x x ⎡⎤-=-++-⎣⎦， 因为切线过原点，所以2
000032()y x x a b x ab ⎡⎤=-++⎣⎦， 又0000()()y x x a x b =--，
所以200032()x x a b x ab ⎡⎤-++=⎣⎦000()()x x a x b --，
解得00x =，或02
a b x +=，
当00x =时，切线的斜率为ab ；当02
a b x +=时，切线的斜率为
2
()4
a b ab +-
； 因为0a b <<
，且a b +< 所以两条切线斜率之积为：
ab ⋅22222
()1()()()2(1)1144a b ab ab ab a b ab ab ab ⎡⎤+-=-+>-=---⎢⎥⎣⎦
≥， 所以过原点且与曲线()y f x =相切的两条直线不垂直．
20.证明：（1
）①因为1
1n +=
所以221
114n n
a a +-=，
故数列21n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为1，公差为4的等差数列； ②由①得211(1)4n
n a =+-，
又易得0n a >
，故n a ，
因为n a =
>，
所以n S >+⋅⋅⋅=
（2）由21221
1683n n
n n T T n n a a ++=+--得，1(43)(41)(43)(41)n n n T n T n n +-=++-+， 即
114143
n n T T
n n +-=+-， 所以数列n T ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭是以1b 为首项，1为公差的等差数列，
从而
1
143n
T b n n =+--， 令2n =，3得，2145b b =+，31413b b =+，
若{}n b 为等差数列，则2132b b b =+， 所以()111245413b b b +=++，解得11b =，
此时，243n T n n =-，87n b n =-恰为等差数列，
所以，当11b =时，数列{}n b 为等差数列．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21. A. 证明：因为△ACD ∽△BCF ，所以∠ACD =∠BCF ， 故∠ACD ACF +∠=∠BCF ACF +∠，
即∠DCF =∠BCE ，又∠BDC =∠BAC ，所以△ABC ∽△
B ．解：因为1()-=AB 11--B A ，所以1-B 1101411
002⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 解得1
-=B 11201⎡⎤-⎢
⎥⎢⎥⎣⎦，由逆矩阵公式得，B 11201⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
． C. 解：如图，设圆上任意一点( )P ρθ，，连结PO ，PC ，OC 在△POC 中，由余弦定理得()
212cos 4
ρθπ+--=4，
整理得()
27cos 0ρθπ--+=，
故所求圆的极坐标方程为()
27cos 04
ρθπ--+=4．
D. 证明：依题意h a ≤，222b h a b
+≤，
由不等式的性质，两式相乘得2222ab h a b
+≤，
因为222a b ab +≥，
所以22221ab h a b
+≤≤（当且仅当a b =时等号成立），即证．
22.解：（1）依题意，数对（x ，y ）共有16种，其中使x y
（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（（4，1），（4，2）， 所以81(0)162P ξ===；
（2）随机变量ξ的所有取值为1-，0，1，
B
（第
21题A ）
B （第21题A ） （第21—
C 题）
1ξ=-有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），
故63(1)16
8
P ξ=-==；
1ξ=有以下2种：（3，2），（4，3）， 故21(1)16
8
P ξ===；
所以ξ
3111()1018
2
8
4
E ξ=-⨯
+⨯+⨯
=-， 答：ξ的数学期望为1-．
23.证明：（1）①当1n =时，cos isin cos isin x x x x +=+，即证； ②假设当n k =时，(cos isin )cos isin k x x kx kx +=+成立， 则当1n k =+时，()1(cos isin )cos isin (cos isin )k x x kx kx x x ++=++
()()c o s c o s s i n
s i n
s i n c o s s i n c o s i
k
x x k x x k x x x k
x =-++ ()()c o s 1i s i n 1k x k x =+++，
故命题对1n k =+时也成立，
由①②得，(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+； （
2
）
由
（1）知，
[]
1(cos isin )C (cos isin )C (cos isin )n
n n
r r
r n
n r r x x x x rx rx ==++=+=+∑∑，
其实部为121C cos C cos2C cos n
n n n x x nx +++⋅⋅⋅+；
[](1c o s )
i s i n n
x x +
+=(
)
(
)
2
2c o s 2i s i n c o s 2c o s c o s i s i n
2
22
22
2
n
n
n
n
x x x x x x +
=+
(
)
2c o s c o s i s i n 22
2n n x
nx nx =+， 其实部为2cos cos 2
2
n n x nx ，
根据两个复数相等，其实部也相等可得：
121C cos C cos2C cos n
n n n x x nx +++⋅⋅⋅+2c o s
c o s 2
2
n n x nx =．。