海淀区高三级第二学期期末练习理科数学正文

海 淀 区 高 三 年 级 第 二 学 期 期 末 练 习
数 学（理科） 2008.5
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1. 答卷前将学校、班级、姓名填写清楚。

2. 选择题的每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

其他小 题用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项. （1）直线x +3y +1=0的倾斜角是
（ ）
（A ）
π6
（B ）
π3 （C ）2π3 （D ）5π6
（2）某中学有高一、高二、高三学生共1 600名，其中高三学生400名.如果用分层抽样的方法从
这1 600人抽取一个160人的样本，那么应当从高三学生中抽取的人数是 （ ） （A ）20 （B ）40 （C ）60 （D ）80 （3）函数y =
21x -(x <-1)的反函数是
（ ）
（A ）y =-21x +(x >0) （B ）y=21x +(x >0) （C ）y=-
21x +(x <-1)
（D ）y=
21x +(x <-1)
（4）函数f(x)=log 2(2x )与g (x )= (
12
)x-1
在同一直角坐标系下的图象是 （ ）
（5）设m ,n ,l 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，
则下列命题中的真命题是（ ）（A ）若m ,n 与l 所成的角相等，则m ∥n
（B ）若γ与α，β所成的角相等,则α∥β
（C）若m，n与α所成的角相等，则m∥n （D）若α∥β,m⊂α，则m∥β
（6）若a n=
1
1
n+
+
1
2
n+
+…+
1
2n
(n=1,2,3…),则a n+1-a n= （）
（A）
1
22
n+
（B）
1
22
n+
-
1
1
n+
（C）
1
21
n+
-
1
22
n+
（D）
1
21
n+
+
1
22
n+
（7）已知元素为实数的集合A满足条件：若a∈A,则1
1
a
a
+
-
∈A,那么集合A中所有元素的乘积
为（）（A）-1 （Ｂ）1 （C）0 （D）±1
（8）双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1, F2，点P n(x n, y n)(n=1,2,3…)在其右支上，且满足|P n+1F2|=|P n F1|,P1F2⊥F1F2,则x2 008的值是（）
（A）（Ｂ）（C）4 016 （D）4 015
海淀区高三年级第二学期期末练习
数学（理科）2008.5
第Ⅱ卷（共110分）
注意事项：
1. 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

题号一二
三
总分（15）（16）（17）（18）（19）（20）
分数
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
（9）已知映射f：A→B,集合A中元素x在对应法则f作用下的象为log3x,那么A中元素1
3
的象
是.
（10）集合A={
3
|
4
x
x
x
-
+
≥0}，B={x||x-2|<3}, A∪B=.
（11）在等差数列{a n}中，若a9=6,则a7-1
3
a3= .
（12）设圆x2+ y2-2x=0关于直线x+y=0对称的圆为C，则圆C的圆心坐标为；
再把圆C沿向量a=(1，2)平移得到圆D,则圆D的方程为.
（13）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB和CC1的中点，则线段EF 被正方体的内切球球面截在球内的线段长为.
（14）中国象棋中规定：马每走一步只能按日字格（也可以是横日“”）
的对角线走.例如马从方格中心点O走一步，会有8种走法.
则从图中点A走到点B，最少需要步，按最少的步数
走，共有种走法.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
（15）（本小题共12分）
设函数f(x)=p·q，其中向量p=(sin x,cos x+sin x), q=(2cos x,cos x-sin x),x∈R.
（Ⅰ）求f（π
3
）的值及函数f(x)的最大值;
（Ⅱ）求函数f(x)的单调递增区间.
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，动点P在棱A1B1上，（Ⅰ）求证：PD⊥AD1；
（Ⅱ）当A1P=1
2
A1B1时，求CP与平面D1DCC1所成角的正弦值；
（Ⅲ）当A1P=3
4
A1B1时，求点C到平面D1DP的距离.
某单位为普及奥运知识，根据问题的难易程度举办A，B两种形式的知识竞猜活动.A 种竞猜活动规定：参赛者回答6个问题后，统计结果，答对4个，可获福娃一个，答对5个或6个，可获其他奖品；B种竞猜活动规定：参赛者依次回答问题，答对一个问题就结束竞猜且最多回答6个问题，答对一个问题者可获福娃一个.假定参赛者答对每个题的概率
均为1
4
.
（Ⅰ）求某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率；（Ⅱ）设某人参加B种竞猜活动，结束时答题数为η，求Eη.
如图，矩形ABCD中，AB=83
3
，BC=2，椭圆M的中心和准线分别是已知矩形的中心
和一组对边所在直线，矩形的另一组对边间的距离为椭圆的短轴长，椭圆M的离心率大于0.7.
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求椭圆M的方程；
（Ⅱ）过椭圆M的中心作直线l与椭圆交于P，Q两点，设椭圆的右焦点为F2，当
∠PF2Q=2π
3
时，求△PF2Q的面积.
已知函数f(x)=-x3+ax2-4(a∈R).
（Ⅰ）若函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线的倾斜角为π
4
,求a；
（Ⅱ）设f(x)的导函数是f′(x).在（Ⅰ）的条件下，若m,n∈［-1，1］，求f(m)+ f′(n)的最小值;
（Ⅲ）若存在x0∈(0,+∞),使f(x0)>0，求a的取值范围.
已知函数y =f (x ), x ∈N *, y ∈ N *满足:
①对任意a,b ∈N *,a ≠b ,都有af (a )+bf (b )>af (b )+bf (a); ②对任意n ∈N *都有［f (n )］=3n .
（Ⅰ）试证明：f (x )为N *上的单调增函数； （Ⅱ）求f (1)+f (6)+f (28)； （Ⅲ）令a n =f (3n ),n ∈N *试证明:
42n
n +≤12
11a a ++…+1n a <14.
海 淀 区 高 三 年 级 第 二 学 期 期 末 练 习
数 学（理科）
参考答案及评分标准 2008.5
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题,第一空3分,第二空2分,共30分） （9）-1 （10）{x |x <-4,或x >-1} （11）4
（12）（0，-1）,（x -1)2+(y -1)2=1 （13 (14)4,8
三、解答题（本大题共6小题,共80分） （15）（共12分）
解：（Ⅰ）∵p =(sin x,cos x +sin x ), q =(2cos x,cos x -sin x),
∴f （x ）=p ·q =(sin x,cos x +sin x )·(2cos x ,cos x -sin x )
=2sin x cos x+cos 2x-sin 2x …………………………………… 2分 =sin2x +cos2x ……………………………………………… 4分
∴ f (
π3
)=12. …………………………………………………… 5分
又f (x )=sin2x+cos2x sin(2x+
π
4
) …………………………… 6分
∴函数f (x ). ……………………………………… 7分
当且仅当x=
π
8+k π(k ∈Z )时，函数f (x ). （Ⅱ）由2k π-π2≤2x+π4≤2k π+π
2 ( k ∈Z ), …………………… 9分
得k π-3π8≤x ≤k π+π
8
. ………………………………………… 11分 函数f (x )的单调递增区间为［k π-3π8, k π+π
8
］( k ∈Z ). …… 12分 （16）（共14分）
解法一：（Ⅰ）证明：连结A 1D ，在正方体AC 1中，∵A 1B 1⊥平面A 1ADD 1， ∴A 1D 是PD 在平面A 1ADD 1内的射影. …………………………………… 2分
∵在正方形A 1ADD 1中，A 1D ⊥AD 1，∴PD ⊥AD 1. ……………………… 4分
解：（Ⅱ）取D 1C 1中点M ，连结PM ，CM ,则PM ∥A 1D 1.
∵A1D1⊥平面D1DCC1，∴PM⊥平面D1DCC1.
∴CM为CP在平面D1DCC1内的射影.则∠PCM为CP与平面D1DCC1 所成的角. ……………………………………………………………7分
在Rt△PCM中,sin PCM=PM
PC
=
222
42
63
424
==
++
.
∴CP与平面D1DCC1所成角的正弦值为2
3
. ……………………………9分
（Ⅲ）在正方体AC1中，D1D∥C1C.
∵C1C⊄平面D1DP内，
∴C1C⊥∥平面D1DP.
∴点C到平面D1DP的距离与点C1
到平面D1DP的距离相等.
又D1D⊥平面A1B1C1D1,
DD1⊂平面D1DP
∴平面D1DP⊥平面A1B1C1D1,
又平面D1DP∩平面A1B1C1D1=
D1P,过C1作C1H⊥D1P于H,
则C1H⊥平面D1DP.
∴C1H的长为点C1到平面D1DP的距离. ………………………12分
连结C1P，并在D1C1上取点Q，使PQ∥B1C1，在△D1PC1中,
C1H·D1P=PQ·D1C1，得C1H=16 5
.
∴点C到平面D1DP的距离为16
5
.………………………………14分
解法二：如图，以D为坐标原点，建立空
间直角坐标系D-xyz.
由题设知正方体棱长为4，则
D(0,0,0),A(4,0,0)，
B1(4,4,4) ,A1(4,0,4)，
D1(0,0,4) ,C（0,4,0）.
………………………………………1分
(Ⅰ)设P(4，y0，4),
∴=(4,y0,4),
∴=(-4,0,4)
……………………………3分
∵·=-16+16=0,
∴PD⊥AD1.……………………………………………………………4分（Ⅱ）由题设可得,P（4,2,4），故=（4，-2，4）.
∵AD ⊥平面D 1DCC 1, ∴=(4,0,0)是平面D 1DCC 1的法向量. ……………
……………………………………………………………………………… 7分 ∴cos<
,
>= =
2
3
.……………………………………………… 8分 ∴CP 与平面D 1DCC 1所成角的正弦值为2
3
. …………………………………… 9分
(Ⅲ) ∵
=(0,4,0),设平面D 1DP 的法向量n =(x ,y ,z ),
∵P (4,3,4), ∴
=(0,0,4),
=(4,3,4).
则 即0,
4340.z x y z =⎧⎨++=⎩
令x =-3,则y =4.
∴n=(-3,4,0). ……………………………………………………………… 12分 ∴点C 到平面D 1DP 的距离为d= =
16
5
. ………………………… 14分 （17）（共13分）
解：（Ⅰ）设事件“某人参加A 种竞猜活动只获得一个福娃奖品”为事件M ，…… 1分
依题意，答对一题的概率为
1
4
，则 P （M ）=4
42611C ()(1)44- …………………………………………………… 3分
=15×694=61354=1354 096
. ………………………………………………… 4分
（Ⅱ）依题意，某人参加B 种竞猜活动，结束时答题数η=1，2，…,6，……… 5分
则P (η=1)=14,P (η=2)=234,P (η=3)=394,P (η=4)=4274, P (η=5)=581
4,
P (η=6)= 5243
4
, ……………………………………………………… 11分
所以,的分布列是
η
1
2
3
4
5
6
P
1
4 234 394 4274 5814 5243
4
E η=1×
14+2×34×14+…+5×43()4×14+6×53()4
. 设S =1+2×34+…+5×43
()4
,
则34S =34+2×23()4+3×33()4+4×43()4+5×53()4
,
14S =1+34+23()4+33()4+43()4-5×53()4
=531()414
--5×53()4,
E η=5
31()414
--5×53()4+6×53()4=665
434-=3 3671 024. ……………………… 13分 答：某人参加A 种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率为135
4 096
；某人参加B 种竞猜活动，
结束时答题数为η，E η为3 367
1 024
.
（18）（共13分）
解：如图，建立直角坐标系，依题意:设
椭圆方程为22x a +2
2y b
=1(a >b >0),
……………………………… 1分
(Ⅰ)依题意：2a c
=43
，b =1,
a 2=
b 2+
c 2, ………… 4分 ∵椭圆M 的离心率大于0.7, ∴a 2=4, b 2=1.
∴椭圆方程为24
x +y 2
=1. …………………………………………………… 6分
(Ⅱ)因为直线l 过原点与椭圆交于点P ,Q ，设椭圆M 的左焦点为F 1.由对称性可知，
四边形PF 1QF 2是平行四边形.
∴△PF 2Q 的面积等于△PF 1 F 2的面积. …………………………………… 8分 ∵∠PF 2Q=
2π3，∴∠F 1PF 2=π3
. 设|PF 1|=r 1, |PF 2|=r 2,则1222
1212
4,
12.r r r r r r +=⎧⎨+-=⎩ ……………………………… 10分 ∴r 1 r 2=
4
3
. ………………………………………………………………… 11分 ∴S △2PF Q =S △21F PF =
1
2r 1 r 2sin π3=3. ………………………………… 13分 （19）（共14分）
解：（Ⅰ）f ′(x )=-3x 2+2ax. ……………………………………………………… 1分
据题意，f ′(1)=tan
π
4
=1, ∴-3+2a =1,即a =2. ……………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x )=-x 3+2x 2-4,
则f ′(x )=-3x 2+4x.
x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1
f′(x)-7 - 0 + 1
f(x) -1 -4 -3 ……………………………………………………………………………5分∴对于m∈［-1,1］,f(m)的最小值为f(0)=-4 …………………6分
∵f′(x)=-3x2+4x的对称轴为x=2
3
,且抛物线开口向下，
∴x∈［-1,1］时，f′(x)的最小值为f′(-1)与f′( 1)中较小的.
∵f′( 1)=1，f′(-1)=-7,
∴当x∈［-1,1］时，f′(x)的最小值为-7.
∴当n∈［-1,1］时，f′(x)的最小值为-7. ……………………7分∴f(m)+ f′(n)的最小值为-11. …………………………………8分
(Ⅲ) ∵f′(x)= -3x
2 ()
3
a x-.
①若a≤0,当x>0时，f′(x)<0, ∴f(x)在［0,+∞上单调递减.
又f(0)=-4,则当x>0时,f(x)<-4.
∴当a≤0时,不存在x0>0,使f(x0)>0. ……………………………………11分
②若a>0,则当0<x<2
3
a
时，f ′(x)>0,当x>
2
3
a
时，f ′(x)<0.
从而f(x)在(0, 2
3
a
上单调递增，在[
2
3
a
,+∞上单调递减.
∴当x∈(0,+∞)时, f(x)max=f(2
3
a
)=-
3
8
27
a
+
3
4
9
a
-4=
3
4
27
a
-4.
据题意，
3
4
27
a
-4>0，即a3>27. ∴a>3. ………………………………14分
综上，a的取值范围是(3,+∞).
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）由①知，对任意a,b∈N*，a＜b,都有（a-b）（f (a)-f（b））＞0，
由于a-b＜0, 从而f（a）＜f（b），所以函数f（x）为N*上的单调增函数.…3分（Ⅱ）令f（1）=a，则a≥1，显然a≠1,否则f（f（1））= f（1）=1,与f（f（1））=3矛盾.
从而a＞1,
而由f（f（1））=3，即得f（a）=3.
又由（Ⅰ）知f（a）＞f（1）=a ,即a＜3.
于是得1＜a＜3,又a∈N*,从而a=2，即f（1）=2 ………………5分
进而由f（a）=3知，f（2）=3.
于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，…………………………………7分
f（6）=f（f（3））=3×3=9，
f（9）=f（f（6））=3×6=18，
f（18）=f（f（9））=3×9=27，
f（27）=f（f（18））=3×18=54，
f （54）=f （f （27））=3×27=81. 由于54-27=81-54=27,
而且由（Ⅰ）知，函数f （x ）为单调增函数，因此f （28）=54+1=55. 从而f （1）+f （6）+f （28）=2+9+55=66.……………………… 9分 （Ⅲ）f （a n ）=f （f （3n ））=3×3n =3n +1,
a n +1=f （3n +1）=f （f （a n ））=3a n ,a 1=f （3）=6.
即数列{a n }是以6为首项，以3为公比的等比数列.
∴a n =6×3n -1=2×3n （n =1，2，3…）.………………………… 11分
于是11a +21a +…+1n a =12（13+213+…+13n ）=12×11(1)1133(1)14313
n n -=--.
显然14（1
13
n -）＜14.………………………………………………12分
另一方面3n =（1+2）n =1+1C n ×2+2C n ×22+…+C n n
×2n ≥1+2n , 从而
14（1-13n ）≥14（1-121n +）=42
n n +. 综上得
142n +≤11a +2
1a +…+21a ＜1
4.………………………………14分
说明：其他正确解法按相应步骤给分.。