22.2.3公式法

22.2.3用公式法解一元二次方程
年级：八年级 科目：数学 课型：新授 执笔： 审核：
备课时间： 上课时间：
教学目标
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用
公式法解一元二次方程．
2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx+c=0（a ≠0）• 的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
重点：求根公式的推导和公式法的应用．
难点：一元二次方程求根公式法的推导．
【课前预习】
导学过程
阅读教材第34页至第37页的部分，完成以下问题
1、用配方法解下列方程
（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52
总结用配方法解一元二次方程的步骤：
2、如果这个一元二次方程是一般形式a x 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方
法的步骤求出它们的两根？
问题：已知ax 2
+bx+c=0（a ≠0）试推导它的两个根x 1=
x 2分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具
体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得： ，二次项系数化为1，得 配方，得： 即 ∵a ≠0，∴4a 2>0，式子b 2-4ac 的值有以下三种情况：
（1） b 2
-4ac ＞0，则2244b ac a -＞0
直接开平方，得： 即x=2b a
-± ∴x 1= ，x 2=
（2） b 2
-4ac=0，则2244b ac a -=0此时方程的根为 即一元二次程 a x 2+bx+c=0（a ≠0）有两个 的实根。

（3） b 2
-4ac ＜0，则2244b ac a -＜0，此时（x+2b a ）2 ＜0，而x 取任何实数都不 能使（x+
2b a
）2 ＜0，因此方程 实数根。

由上可知，一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥
0时，将a 、b 、c 代入式子x=b 2-4ac ＜0，方程没有实数根。

（2）x=2b a
-±a x 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有 实数根，也可能有 实根或
者 实根。

（5）一般地，式子b 2-4ac 叫做方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ= b 2-4ac
用公式法解下列方程．
（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0
【课堂活动】
活动1、预习反馈
活动2、例习题分析
例2、用公式法解下列方程．
（1）x 2-4x-7=0 （2）2x 2-22x+1=0 （3）5x 2-3x=x+1 （4）x 2+17=8x
练习：
1、在什么情况下，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？
2、写出一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，b 2-4ac ≥0）的求根公式。

3、方程x 2-4x+4=0的根的情况是（ ）
A 有两个不相等的实数根
B 有两个相等的实数根
C 有一个实数根
D 没有实数根
4、用公式法解下列方程．
（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0
（5）x 2+x-6=0 （6）x 2-3x-4
1=0 （7）3x 2-6x-2=0
（8）4x 2-6=0 （9）x 2+4x+8=4x+11 (10) x （2x-4）=5-8x
【课堂练习】：
活动3、知识运用
1、利用判别式判定下列方程的根的情况：
（1）2x 2-3x-2
3=0 （2）16x 2-24x+9=0 （3）x 2-24x+9=0 （4）3x 2+10x=2x 2+8x
2、用公式法解下列方程．
（1）x 2+x-12=0 （2）x 2-2x-4
1=0 （3）x 2+4x+8=2x+11
（4）x （x-4）=2-8x （5）x 2+2x=0 (6) x 2+52x+10=0
归纳小结
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况．
【课后巩固】
一、选择题
1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．
A ．x=32-±．x=32± C ．x=32-± D ．x=32
±
22+4=0的根是（ ）．
A.x 1x 2x 1=6，x 2 C.x 1x 2 D.x 1=x 2
3．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）．
A ．4
B ．-2
C ．4或-2
D ．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．
2．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．
3．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．
三、综合提高题
1．用公式法解关于x 的方程：x 2-2ax-b 2+a 2=0．
2．设x 1，x 2是一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，
（1）试推导x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a ； （2）•求代数式a （x 13+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值．
3、 某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？。