河北省故城县高级中学高一数学下学期期中试题

河北省故城县高级中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题
时间120分钟 满分150分
一．选择题：(共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的一项。

)
1.已知角α终边上一点P (－12，3
2)，sin α＝( )
A ．－1
2
B ．－3
2
C.1
2
D.
32
2. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin2 C.2
sin1
D ．2sin1
3. sin 43π·cos 56π·tan(－4
3π)的值是( )
A ．－334
B.33
4 C ．－
34
D.
34
4. 化简cos θ－sin θ
tan θ－1的结果为( )
A ．sin θ
B ．cos θ
C ．－cos θ
D ．1
5. 已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，其中θ∈[π
2
，π]，则下列结论正确的是( ) A ．m ∈[3,9]
B ．m ∈(－∞，5)∪[3，＋∞)
C ．m ＝0或m ＝8
D ．m ＝8
6.在△ABC 中，若sin A ·cos B ·tan C <0，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形
D ．不能确定
7. 函数y ＝sin 2
x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1]
B ．[－5
4
，－1]
C ．[－5
4
，1]
D ．[－1，5
4
]
8. 已知sin(π3－x )＝35，则cos(x ＋π
6)＝( )
A.3
5 B.45 C ．－35
D ．－45
9. 若函数f (x )＝sin x ＋φ
3
(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )
A.π2
B.2π3
C.3π2
D.5π3
10. 设函数f (x )＝|sin(x ＋
π
3
)|(x ∈R )，则f (x )( ) A ．在区间[2π3，7π
6]上是增函数
B ．在区间[－π，－π
2]上是减函数
C ．在区间[π8，π
4]上是增函数
D ．在区间[π3，5π
6
]上是减函数
11. 已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x
sin x －1的值是( )
A.1
2 B ．－12
C ．2
D ．－2
12.若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
二．填空题：(本大题共四小题，每小题5分,共20分)
13. 已知角α的终边落在射线5x ＋12y ＝0，(x ≤0)上，则cos α＋1tan α－1
sin α的值
为________．
14. 已知A 、B 是△ABC 的内角，且cos A ＝1
3
，sin(A ＋B )＝1，则sin(3A ＋2B )＝________.
15. 函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．
16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →
的坐标为________．
三、解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤,共70分)
17.(10分) 已知tan α
tan α－1＝－1，求下列各式的值．
(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；
(2)sin 2
α＋sin αcos α＋2.
18.(12分) 已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(π
2
，π)，求tan θ.
19.(12分) 已知A 、B 是△ABC 的内角，且cos A ＝1
3，sin(A ＋B )＝1，则sin(3A ＋2B )
＝________.
20.(12分) 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值C (C ＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 21. (12分) 已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，试求2sin αcos α－cos α＋1
1－tan α的
值．
22. (12分) 如图，已知一长为4 dm，宽为3 dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木块挡住，使木块底面与桌面成30°角，求点A走过的路程的长度及走过的弧所在的扇形的总面积．
高一数学参考答案
1. 解析：点P 的坐标为(－12，3
2
)，
∴r ＝|OP |＝1，sin α＝321＝3
2.
答案：D
2. 解析：由题设，圆弧的半径r ＝1
sin1
，
∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2
sin1
. 答案：C
3.解析：原式＝sin(π＋
π3)·cos(π－π6)·tan(－π－π3
) ＝(－sin π3)·(－cos π6)·(－tan π
3)
＝(－
32)×(－32)×(－3)＝－334
. 答案：A
4. 解析：cos θ－sin θtan θ－1＝cos θ－sin θsin θcos θ－1＝cos θ－sin θ
sin θ－cos θ
cos θ
＝－cos θ.
答案：C 5.解析：由已知有
m －3m ＋5≥0，4－2m m ＋5≤0，且(m －3m ＋5)2＋(4－2m m ＋5
)2
＝1，故m ＝8，选D. 答案： D
6. .解析 ∵△ABC 中每个角都在(0，π)内，∴sin A >0.
∵sin A ·cos B ·tan C <0，∴cos B ·tan C <0. 若B ，C 同为锐角，则cos B ·tan C >0. ∴B ，C 中必定有一个钝角． ∴△ABC 是钝角三角形．故选B. 答案 B
7. 解析：y ＝sin 2
x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2
＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－1
2及t ＝1时，函数取最
值，代入y ＝t 2
＋t －1可得y ∈[－54
，1]．故选C.
答案：C
8. 解析 cos(x ＋π6)＝cos[π2－(π3－x )]＝sin(π3－x )＝3
5，选A.
答案 A
9. 解析：∵f (x )＝sin
x ＋φ
3
是偶函数，∴f (0)＝±1.
∴sin φ3＝±1.∴φ3＝k π＋π
2
(k ∈Z )．
∴φ＝3k π＋3π
2
(k ∈Z )．
又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，φ＝3π
2.故选C.
答案：C
10. 解析：由函数图象的变换可知：f (x )＝|sin(x ＋
π3)|的图象是将f (x )＝sin(x ＋π3
)的图象在x 轴下方的部分的对折上去，此时函数的最小正周期变为π，则函数在区间k π≤x ＋π3≤k π＋π2，即k π－π3≤x ≤k π＋π6上为增函数，当k ＝1时有：2π3≤x ≤7π
6，故在区间[2π3，7π
6
]上f (x )是增函数．故选A.
答案：A
11. 解析：设cos x sin x －1＝t ，则1＋sin x cos x ·1t ＝1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2
x －1cos 2
x ＝－1，而1＋sin x cos x ＝－12，所以t ＝1
2
.故选A.
答案：A
12. 解析 ∵A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，
∴A ＋B >90°，即A >90°－B .
∴sin A >sin(90°－B )＝cos B ，cos A <cos(90°－B )＝sin B . ∴cos B －sin A <0，sin B －cos A >0. ∴点P 在第二象限．故选B.
答案 B
13. 解析：因为角的终边在直线上，故可利用三角函数的定义求解．
在角α的终边上取点P (－12,5)，则r ＝13，cos α＝－1213，tan α＝－512，sin α＝5
13，
所以cos α＋1tan α－1sin α＝－1213－125－135＝－77
13
.
答案：－77
13
14. 解析：由sin(A ＋B )＝1得A ＋B ＝π
2
，2A ＋2B ＝π.
于是sin(3A ＋2B )＝sin(A ＋π) ＝－sin A ＝－1－
1
3
2
＝－223.
答案：－22
3
15.
解析：本题是研究正弦函数与直线的交点问题，我们可借助于三角函数的图象，利用数形结合得出实数k 的取值范围．
由题意得，f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
3sin x ，x ∈[0，π]
－sin x ，x ∈π，2π其图象如图所示，由
图象可知，要f (x )与y ＝k 两图象有两个不同交点，则1＜k ＜3.
所以k 的取值范围是(1,3)．
答案：(1,3)
16. 解析：根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P 旋转了2
1＝2弧度，此时点P 的坐标
为
x P ＝2－cos(2－π2
)＝2－sin 2， y P ＝1＋sin(2－π2
)＝1－cos 2，
OP →
＝(2－sin 2,1－cos 2)
答案：(2－sin 2,1－cos 2)
17. 解析： 由已知得tan α＝1
2
.
(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝12－3
12＋1＝－53
.
(2)sin 2
α＋sin αcos α＋2
＝sin 2
α＋sin αcos α＋2(sin 2
α＋cos 2
α) ＝3sin 2
α＋sin αcos α＋2cos 2
αsin 2α＋cos 2
α ＝3tan 2α＋tan α＋2tan 2
α＋1 ＝
3×122
＋12＋212
2
＋1
＝13
5.
18. 解析:因θ∈(π2，π)，sin θ＋cos θ＝1
5
＞0，
故sin θ＞|cos θ|＞0，所以只有tan θ＝－4
3.
本题也可以这样求解：由sin θ＋cos θ＝1
5，
可得sin θ·cos θ＝－12
25，
由⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝1
5sin θ·cos θ＝－12
25
⇔⎩⎪⎨⎪⎧
sin θ＝4
5cos θ＝－3
5
或⎩⎪⎨⎪
⎧
sin θ＝－35
，
cos θ＝4
5
，
又由θ∈(π
2，π)，知sin θ＞0，cos θ＜0，
所以sin θ＝45，cos θ＝－35，则tan θ＝－4
3.
19. 解析：由sin(A ＋B )＝1得A ＋B ＝π
2
，2A ＋2B ＝π.
于是sin(3A ＋2B )＝sin(A ＋π) ＝－sin A ＝－1－
13
2
＝－223.
答案：－22
3
20. 解析： (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，
∵α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，∴l ＝10π
3
cm.
S 弓＝S 扇－S △＝12×
10π3×10－12
×102
sin60° ＝50(π3－32)(cm 2
)．
所以该扇形的弧长为10
3
πcm，
弓形面积为50(π3－32
)cm 2
(2)设扇形所在圆的半径为R ，则弧长为C －2R ， ∴S 扇＝12(C －2R )R ＝－R 2
＋12CR
＝－(R －14C )2＋116
C 2
.
又∵C 2π＜R ＜C 2，∴当R ＝1
4C 时，扇形的面积最大．
此时圆心角α＝C －2R R ＝2，扇形最大面积为C 2
16
.
21. 解析 ∵cos α－sin α＝－55，∴1－2sin αcos α＝15
. ∴2sin αcos α＝4
5
.
∴(sin α＋cos α)2
＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.
∵0<α<π2，∴sin α＋cos α＝3
5 5.
与cos α－sin α＝－5
5
联立，解得 cos α＝
55，sin α＝2
5
5.∴tan α＝2. ∴2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝45－5
5＋1
1－2＝55－95
.
22. 解析：第一面翻滚时，点A 的路程为AA 1，其圆心角为π
2，半径为5 dm ，所走过
的弧长为52π dm，所在的扇形的面积为254
π dm 2
.
第二面翻滚时，点A 的路程为A 1A 2，其圆心角为π2，半径为3 dm ，所走过的弧长为32π
dm ，所在的扇形的面积为94
π dm 2
.
第三面翻滚时，点A (图中的点A 2)在桌面上不动；第四面翻滚时，点A 的路为A 2A 3，其圆心角为π2－π6＝π3，半径为4 dm ，所走过的路程为43π dm，所在扇形的面积为83π dm 2
，
所以总路程为52π＋32π＋43π＝16
3
π(dm)．
25 4π＋
9
4
π＋
4
3
π＝
59
6
π(dm2)．
走过的弧所在的扇形总面积为。