广东省江门市育才职业高级中学高二数学理月考试题含解析

广东省江门市育才职业高级中学高二数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）
A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
参考答案：
B
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；
根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；
根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；
根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．
【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误；
若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；
若l⊥α，l∥β，则存在直线m?β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；
若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；
故选B
2. 恒成立，则n的最大值为（）
A. 2
B.3
C.4
D.5
参考答案：
C
3. 若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
略4. 的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则向量在向量
方向上的射影的数量为（）
A． B． C． 3 D．
参考答案：
A
5. 如图，正四面体ABCD的棱长为1，点E是棱CD的中点，则?=（）
A．﹣B．﹣C．D．
参考答案：
D
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可．
【解答】解：∵正四面体ABCD的棱长为1，点E是棱CD的中点，
∴?=（+）?
=?+?=×1×1×+×1×1×=，
故选：D．
6. 在等差数列中，（）
A. 18
B. 12
C. 14
D. 16
参考答案：
A
考点：等差数列通项公式
【方法点睛】(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．
7.
参考答案： D
略 8. 函数
的的单调递增区间是 ( )
A. B. C. D.和
参考答案： C 略
9. 用反证法证明：“方程
且
都是奇数,则方程没有整数根”
正确的假设是方程存在实数根
为 （ ） A ．整数 B ．奇数或偶数 C ．自然数或负整数 D ．正整数或负整数 参考答案： C
略
10. 若圆上每个点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是
A. B. C. D.
参考答案： C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设函数是奇函数，则实数
的值为
▲ ．
参考答案：
略
12. 228与1995的最大公约数是____________。

参考答案：
280 略
13. 直线3x+4y+3=0与直线6x+8y+11=0间的距离是
．
参考答案：
【考点】两条平行直线间的距离．
【专题】计算题；方程思想；演绎法；直线与圆．
【分析】把两条平行直线的方程中x 、y 的系数化为相同的，再由条件利用两条平行直线间的距离公
式计算求得结果．
【解答】解：两直线3x+4y+3=0，6x+8y+11=0，即两直线6x+8y+6=0，6x+8y+11=0，
故它们之间的距离为=．
故答案为．
【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用，注意未知数的系数必需相同，属于基础题．
14. 设且,则的最小值为________.
参考答案：
16
15. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若
，则抛物线方程是
参考答案：
16. 已知命题p ：?
x 1，x 2∈
R ，（f （x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是．
参考答案：
x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0
略
17. 若函数，则
参考答案：
2
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (13分)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏, 但
可见部分如下, 据此解答如下问题.
(1) 求全班人数及分数在之间的频数;
(2) 估计该班的平均分数, 并计算频率分布直方图中间的矩形的高;
(3) 若要从分数在[80, 100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况, 在抽取的试卷中, 求至少有
一份分数在[90, 100]之间的概率.
参考答案：
（I）由茎叶图知，分数在之间的频数为2，频率为全班人
数为所以分数在之间的频数为
（II）分数在之间的总分为56+58=114；分数在之间的总分
为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456；
分数在之间的总分数为70×10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747；分数在
之间的总分约为85×4=340；
分数在之间的总分数为95+98=193；所以，该班的平均分数为
估计平均分时，以下解法也给分：
分数在之间的频率为2/25=0.08;分数在之间的频率为7/25=0.28；分数
在
之间的频率为10/25=0.40;分数在之间的频率为4/25=0.16分数在
之间的频率为2/25=0.08;
所以，该班的平均分约为
频率分布直方图中间的矩形的高为
（III）将之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，
6，
在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）；（2，3），（2，4），（2，
5），
（2，6）；（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）；（5，6）共15个，
其中，至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个，故至少有一份分数在[90，1000]之间的频率
是
19. （本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A、B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD关于y轴对称？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
解：（Ⅰ）由题意，设椭圆方程为，
则有，解得，所以椭圆C的方程为．…………………5分
（Ⅱ）假设存在点满足条件，则．
设，，，联立方程，得，
，，…………………9分
由，得，即，
综上所述，存在点，使直线AD与BD关于y轴对称．…………………12分
20. 在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD为矩形，A（1，0），B（2，0），C（2，），又A1（﹣1，0）．点M在直线CD上，点N在直线BC上，且=λ，=λ（λ∈R）．（1）求直线AM与A1N的交点Q的轨迹S的方程；
（2）过点P（1，1）能否作一条直线l，与曲线S交于E、F两点，且点P是线段EF的中点．
参考答案：
【考点】轨迹方程．
【分析】（1）由题意M（，），N（2，），求出直线AM、直线A1N的方程，消去参数，即可求直线AM与A1N的交点Q的轨迹S的方程；
（2）设点A（x1，y1），点B（x2，y2），得到2x12﹣y12=2 ①，2x22﹣y22=2 ②然后，①﹣②并结合有关中点坐标公式求解．
【解答】解：（1）由题意M（，），N（2，），
∴直线AM的方程为y﹣0=（x﹣1），直线A1N的方程为y﹣0=（x+1），
两式相乘可得y2=2（x2﹣1），即x2﹣=1；
（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），直线的斜率为k，
则2x12﹣y12=2 ①
2x22﹣y22=2 ②
①﹣②得2（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
∴2×2﹣2k=0，
∴k=2，
∴y﹣1=2（x﹣1），
∴直线l的方程为2x﹣y﹣1=0，
y=2x﹣1，代入x2﹣=1，整理可得x2﹣2x+2=0，△＜0，∴直线l不存在．
21. (本小题满分12分)相关部门对跳水运动员进行达标定级考核，动作自选，并规定完成动作成绩在八分及以上的定为达标，成绩在九分及以上的定为一级运动员. 已知参加此次考核的共有56名运动员.
（1）考核结束后，从参加考核的运动员中随机抽取了8人，发现这8人中有2人没有达标，有3人
为一级运动员，据此请估计此次考核的达标率及被定为一级运动员的人数；
（2）经过考核，决定从其中的A、B、C、D、E五名一级运动员中任选2名参加跳水比赛（这五位运动员每位被选中的可能性相同）. 写出所有可能情况，并求运动员E被选中的概率.
参考答案：
（Ⅰ）依题意，估计此次考核的达标率为
一级运动员约有（人）
（Ⅱ）依题意，从这五人中选2人的基本事件有：（A、B）（A、C）（A、D）（A、E）（B、C）（B、D）（B、E）（C、D）（C、E）（D、E），共10个
其中“E被选中”包含：（A、E）（B、E）（C、E）（D、E）4个基本事件，
因此所求概率
22. 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/每小时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/每小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
参考答案：
【考点】解三角形的实际应用；正弦定理；余弦定理．
【分析】设缉私船追上走私船需t小时，进而可表示出CD和BD，进而在△ABC中利用余弦定理求得BC，进而在△BCD中，根据正弦定理可求得sin∠BCD的值，即可得到缉私船沿什么方向能最快追上走私船．
【解答】解：如图所示，设缉私船追上走私船需t小时，
则有CD=t，BD=10t．在△ABC中，
∵AB=，AC=2，
∠BAC=45°+75°=120°．根据余弦定理BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcos∠BAC==6可求得BC=．
=，∴∠ABC=45°，∴BC与正北方向垂直，
∵∠CBD=90°+30°=120°．
在△BCD中，根据正弦定理可得
sin∠BCD===，
∴∠BCD=30°
所以缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船．。