2013年甘肃省定西市中考数学试卷

2013年甘肃省定西市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.（3分）3的相反数是（）
A.3
B.-3
C.-
D.--
33
2.（3分）下列运算中，结果正确的是（）
A.4-a-a=3a
B.a'0 ^cr=a5
C.a2+a3=a5
D.a3a4=a12
3.（3分）下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为中心对称图形的©A
4.（3分）如图是两个相同的正方体和一个圆锥形组成的立体图形，其主视图是（）
6.（3分）一元二次方程x2+x-2=0根的情况是（）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
7.（3分）分式方程-=^-的解是（
x x+3
)
x=2x=3
A.x=-2
B.x=l
C.
D.
8.（3分）某超市一月份的营业额为36万元,三月份的营业额为48万元,设每月的平均增
长率为尤，则可列方程为（）
A.48(1-%)2=36
B.48(1+4=36
C.36(1-%)2=48
D.36(1+x)2=48
9.（3分）己知二次函数y=ax z+bx+c（a^O）的图象如图所示，在下列五个结论中:
①2a-力<0；②abc<0；@a+b+c<0；@a—b+c>0；⑤4a+2b+c>0,
10.（3分）如图,
C.3个
D.4个。

的圆心在定角Ziz（0o<cz<180o）的角平分线上运动，且。

与Na的
两边相切，图中阴影部分的面积S关于。

的半径r（r>0）变化的函数图象大致是（）
填空题（每小题3分，共24分）
（3分）分解因式：%2-9=
12.
13.（3分）不等式2x+9..3（x+2）的正整数解是.
（3分）等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边
为
14.（3分）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点0）20米的A
处，则小明的影子W长为米.
4
15.（3分）如图，已知BC=EC,ZBCE=ZACD,要使AABC u ADEC,则应添加的一个
条件为.（答案不唯一，只需填一个）
16.（3分）若代数式一-1的值为零，则了=_____.
x-1
17.（3分）已知Q与0的半径分别是方程J-4x+3=0的两根，且圆心距O t O2=t+2,
若这两个圆相切，贝"=.
18.（3分）现定义运算“★与对于任意实数a、b ,都有a^b=a2-3a+b,如：3*
5=32-3x3+5,若x*2=6,则实数x的值是.
三、解答题一（本大题共5小题，共26分）
19.（5分）计算：28、45。

一（一!尸一有一（〃-由）°.
20.（5分）先化简，再求值：（1——）*2*,其中x=-2.
x+1x2-l2
21.（5分）两个城镇A、3与两条公路，、匕位置如图所示，电信部门需在C处修建一座
信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路"，£的距离也必须相等,那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C.（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
B
22.（5分）某市在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌BCEF（如
图所示），已知立杆AB的高度是3米，从侧面D点测到路况警示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°,求路况警示牌宽BC的值.
C
/：地铁施•工
!堤道慢行
B
23.（6分）如图，一次函数y=-x-2与反比例函数y=-的图象相交于点A,且点A的纵
2x
坐标为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象写出当x>0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.
四、解答题二（本大题共5小题，共40分）
24.（7分）为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券，甲和乙设计了如下的摸球游戏：
在不透明口袋中放入编号分别为1、2、3的三个红球及编号为4的一个白球，四个小球除了颜色和编号不同外，其它没有任何区别，摸球之前将袋内的小球搅匀，甲先摸两次，每次摸出一个球（第一次摸后不放回）把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一次且摸出一个球，如果甲摸出的两个球都是红色，甲得1分，否则，甲得0分，如果乙摸出的球是白色，乙得1分，否则乙得。

分，得分高的获得入场券，如果得分相同，游戏重来.
（1）运用列表或画树状图求甲得1分的概率；
（2）请你用所学的知识说明这个游戏是否公平？
25.（7分）在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物.为使课外读物满足同学们的需
求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.
条形统计图扇形统计图
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了名同学；
（2）条形统计图中，m=,n=；
（3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是度；
（4）学校计划购买课外读物6000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？
26.（8分）如图，在AABC中，。

是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平
行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接时.
（1）线段3D与有什么数量关系，并说明理由；
（2）当AABC满足什么条件时，四边形血D是矩形？并说明理由.
27.（8分）如图，在。

中，半径。

C垂直于弦垂足为点E.
（1）若OC=5,AB=8,求tan ABAC；
（2）ADAC=ABAC,且点D在。

的外部，判断直线AQ与。

的位置关系，并加以证明.
28.(10分)如图，在直角坐标系xQy中，二次函数y=x2+(2k-l)x+k+\的图象与x轴相
交于。

、A两点.
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点3,使AAOB的面积等于6,求点B的坐
标；
(3)对于(2)中的点3,在此抛物线上是否存在点P,使ZPOB=90°?若存在，求出点
尸的坐标，并求出AFOB的面积；若不存在，请说明理由.
X
2013年甘肃省定西市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）1. （3分）3的相反数是（
）
A. 3
B. -3
C. -
D.--3
3
【解答】解：根据相反数的概念及意义可知：3的相反数是-3.
故选：B .
2. （3分）下列运算中，结果正确的是（
）
A . 4。

一。

= 3。

B . a 10
= a 5 C . a 2 + a 3 = a 5 D . a 3 a 4 - a 12
3. （3分）下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽,是（ ）
【解答】解：A 、4。

-a = 3a,故本选项正确；
B 、a w -i-a 2 = a'°~2 = a 8 a 5,故本选项错误；
C a~ + a 3 a 5,故本选项错误;
D 、根据«3 a 4=a 7,故a 3 a 4 =^2本选项错误;
故选：A .
其中为中心对称图形的
A.
【解答】解：A.此图形旋转180。

后不能与原图形重合，.•.此图形不是中心对称图形，故
此选项错误;
B -.此图形旋转180。

后不能与原图形重合，.•.此图形不是中心对称图形，故此选项错误;
C .此图形旋转180。

后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，故此选项正确；D-.此图形旋转180。

后不能与原图形重合，.•.此图形不是中心对称图形，故此选项错误. 故选：C
.
4.（3分）如图是两个相同的正方体和一个圆锥形组成的立体图形，其主视图是（）
5.（3分）如图，把一块含有45。

的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边
上.如果Z1=20°,那么Z2的度数是（)
B.20°
C.25°
D.30°
【解答】解：直尺的两边平行，/1=20。

,
Z3=Z1=20°,
22=45。

一20。

=25°.
6.（3分）一元二次方程x2+x-2=0根的情况是（)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
【解答】解：a= l,b=l,c=-2,
△=所-4ac=1+8=9>0
•••方程有两个不相等的实数根.
故选：A.
7.(3分)分式方程L=的解是()
x x+3
A.x=—2
B.x=1
C.x=2
D.x=3
【解答】解：去分母，得x+3=2x,
解得x=3,
当x=3时，x(x+3)夭0,
所以，原方程的解为x=3,
故选：D.
8.(3分)某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增
长率为x,则可列方程为()
A.48(1-x)2=36
B.48(l+x)2=36
C.36(1-x)2=48
D.36(1+x)2=48【解答】解：二月份的营业额为36(l+x),
三月份的营业额为36(1+x)x(1+x)=36(1+x)2,
即所列的方程为36(1+x)2=48,
故选：D.
9.(3分)己知二次函数y=ax1+bx+c(a^O)的图象如图所示，在下列五个结论中：
①2a-力<0；②abc<0；@a+b+c<0；@a—b+c>0；⑤4a+2/?+c>0,
错误的个数有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
h h
【解答】解:①由函数图象开口向下可知，1<0,由函数的对称轴x=-—>-l,故2vl,
la2a •<0,b>2a,所以2•-。

vO,①正确；
②a<0,对称轴在y轴左侧，a,人同号，图象与y轴交于负半轴，则c<。

，故abc<0；
②正确;
③当x=l时，y=a+b+c<0,③正确；
④当x=-l时，y=a-b+c<0,④错误；
⑤当x=2时，y=4a+2b+c<0,⑤错误;
故错误的有2个.
故选：B.
10.(3分)如图，。

的圆心在定角Ziz(0o<cz<180o)的角平分线上运动，且。

与Na的
两边相切，图中阴影部分的面积S关于O的半径r(r>0)变化的函数图象大致是()
【解答】解：连接。

8、
圆。

切W于3,切AN于C,
:.ZOBA=ZOCA=90。

,OB=OC=r,AB=AC
ZBOC=360°-90°-90°-a=(180-a)°,
AO平分/MAN,
:.ZBAO=ZCAO=-a,
2
ab=ac=—1—
tan—a
2
阴影部分的面积是
、
1r(180-a)
S四边形b ac。

—S扇形0bc=2x—x|—xr
tan—a
2360
7ir21
F~
tan—a
2
180/r-an
360
r2
7
r>0,
S与r之间是二次函数关系.
故选：C.
二、填空题(每小题3分，共24分)
11.(3分)分解因式：X2-9=_(%+3)(%—3)—.
【解答】解：x2-9=(x+3)(x-3).
故答案为：(x+3)(x-3).
12.(3分)不等式2x+9..3(x+2)的正整数解是1,2,3.
【解答】解：2x+9..3(x+2),
去括号得，2x+9..3x+6,
移项得，2x-3x..6-9,
合并同类项得，-X (3)
系数化为1得，&3,
故其正整数解为1,2, 3.
故答案为：1,2, 3.
13.(3分)等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为6,4或5,5.
【解答】解：当腰是6时，则另两边是4,6,且4+6>6,满足三边关系定理；
当底边是6时，另两边长是5,5,5+5>6,满足三边关系定理，
故该等腰三角形的另两边为：6,4或5, 5.
故答案为：6,4或5, 5.
14.(3分)如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点0)20米的A
处，则小明的影子叔长为5米.
4
【解答】解：根据题意，易得AM&4SAMCO,
根据相似三角形的性质可知法鑫，即*以
解得AM=5m.则小明的影长为5米.
15.（3分）如图，已知BC=EC,ZBCE=ZACD,要使AABC m ADEC,则应添加的一个
条件为_AC=CD_.（答案不唯一，只需填一个）
【解答】解：添加条件：AC=CD,
ZBCE=ZACD,
ZACB=ZDCE,
BC=EC
在AABC和ADEC中｛ZACB=ZDCE,
AC=DC
:.AABC=M）EC（SAS）,
故答案为：AC=CD（答案不唯一）.
16.（3分）若代数式一-1的值为零，贝»=3.
%-1
【解答】解：由题意得，—--1=0,
X—1
解得：x=3,经检验的x=3是原方程的根.
故答案为：3.
17.（3分）已知Q与0的半径分别是方程必-4*+3=0的两根，且圆心距O X O2=t+2,
若这两个圆相切，贝"=2或0.
【解答】解：。

、0的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，
解得。

、0的半径分别是1和3.
①当两圆外切时，圆心距QQ=r+2=1+3=4,解得t=2；
②当两圆内切时，圆心距QQ=1+2=3-1=2,解得f=0.
:*为2或0.
故答案为：2或0.
18.（3分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b,都有a^b=a2-3a+b,如：3*
5=32-3x3+5,若x*2=6,则实数x的值是-1或4.
【解答】解：根据题中的新定义将x*2=6变形得：
x2-3x+2=6,即/-3》-4=0,
因式分解得：（x-4）（x+l）=0,
解得：也=4,x2=—\,
则实数x的值是-1或4.
故答案为：-1或4
三、解答题一（本大题共5小题，共26分）
19.（5分）计算：2cos45°-（--）■*-5/8-（^--^）°.
【解答】解：2海45。

_（-分-1_好（勿_构。

,
=2x^--（-4）-272-1,
=^+4-2a/2-1,
=3-^/5.
20.（5分）先化简，再求值：（1-一其+%=--•
x+1x2-l2
【解答】解：原式=—（%+1）（%-1）=^-1,
x+1X
当X=-2时，原式=—2—1=—2.
2 22
21.（5分）两个城镇A、3与两条公路，、4位置如图所示，电信部门需在C处修建一座
信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路"，£的距离也必须相等,那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C.（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
5
1
【解答】解：（1）作出线段仙的垂直平分线;
（2）作出角的平分线;
它们的交点即为所求作的点C（2个）.
22.（5分）某市在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌BCEF（如
图所示），已知立杆施的高度是3米，从侧面。

点测到路况警示牌顶端C点和底端3点的仰角分别是60°和45°,求路况警示牌宽BC的值.
D
【解答】解：在RtAADB中，ZBDA=45°,AB=3米,
ZM=3米,
在RtAADC中，ZCDA=60°,
...tan60。

=——
AD
CA=3右,
BC=CA-BA=(3y/3-3)米.
答：路况显示牌8。

是(30-3)米.
23.(6分)如图，一次函数y=-x-2与反比例函数y=竺的图象相交于点A,且点A的纵
2x
坐标为1.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)根据图象写出当x>0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.
【解答】解：(1)点A在y=—2上,
2
解得x=6,
把(6,1)代入y=竺得
X
m=6x1=6.
6
x
(2)由图象得，当x>6时，一次函数的值大于反比例函数的值.
四、解答题二(本大题共5小题，共40分)
24.(7分)为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券，甲和乙设计了如下的摸球游戏：
在不透明口袋中放入编号分别为1、2、3的三个红球及编号为4的一个白球，四个小球除了颜色和编号不同外，其它没有任何区别，摸球之前将袋内的小球搅匀，甲先摸两次，每次摸出一个球(第一次摸后不放回)把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一次且摸出一个球，如果甲摸出的两个球都是红色，甲得1分，否则，甲得0分，如果乙摸出的球是白色，乙得1分，否则乙得0分，得分高的获得入场券，如果得分相同，
游戏重来.
（1）运用列表或画树状图求甲得1分的概率；（2）请你用所学的知识说明这个游戏是否公平?【解答】解：（1）列表得：
画树状图得:1234
1一1分1分。

分21分一1分。

分31分1分一。

分4。

分。

分。

分一
开始
第1次
第2次得分
1234 A A A A 234134124123 110110110000
:.P
（甲）=昌
（2）不公平.
P（乙）=上
4
:.P（甲）？P（乙）,
.•.不公平.
25.（7分）在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物.为使课外读物满足同学们的需
求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.
条形统计图扇形统计图
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，一共调查了200名同学;
(2)条形统计图中，m=,n=；
(3)扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是度；
(4)学校计划购买课外读物6000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比
较合理？
【解答】解：(1)根据条形图得出文学类人数为：70,利用扇形图得出文学类所占百分比为：35%,
故本次调查中，一共调查了：70+35%=200人，
故答案为：200；
(2)根据科普类所占百分比为：30%,
则科普类人数为：“=200x30%=60人，
m=200-70-30-60=40人，
故m=40,zz=60；
故答案为：40,60；
(3)艺术类读物所在扇形的圆心角是：—X360°=72°,
200
故答案为：72；
(4)由题意，得6000x—=900(册).
200
答：学校购买其他类读物900册比较合理.
26.(8分)如图，在AABC中，。

是BC边上的一点，E是孙的中点，过A点作BC的平
行线交CE的延长线于点F,S.AF=BD,连接BF.
（1）线段庞＞与有什么数量关系，并说明理由；
（2）当AABC满足什么条件时，四边形四位）是矩形？并说明理由.
理由如下：依题意得AF//BC,
:.ZAFE=ZDCE,
E是AD的中点，
:.AE=DE,
在AA£F和l^DEC中，
ZAFE=ZDCE
<ZAEF=ZDEC,
AE=DE
:.NAEF=NDEC(AAS),
AF=CD,
AF=BD,
BD=CD；
(2)当\ABC满足：AB=AC时，四边形是矩形.
理由如下：AF//BD,AF=BD,
:.四边形AZ湖是平行四边形，
AB=AC f BD=CD(三线合一)，
ZADB=90°,
..AFBD是矩形.
F A
B E
D
C
27. （8分）如图，在。

中，半径。

垂直于弦AB,垂足为点E.（1） 若 OC = 5 , AB = 8 ,求 tan ABAC ；
（2） 若ADAC = ABAC,且点。

在，。

的外部，判断直线AZ ）与。

的位置关系，并加以
【解答】解：(1) 半径。

C 垂直于弦AB,:.AE = BE = -AB = 4, 2
在 RtAOAE 中，OA = 5 , AE = 4,
:.OE = ^JO^-AE 2 =3 ,
(2) AD 与。

相切.
理由如下：
半径。

垂直于弦AB,
AC 弧=8C 弧，
Z.AOC = 2ZBAC ,
ZDAC = ABAC ,
ZAOC = ZBAD ,
ZAOC + ZOAE = 90° ,
ZBAD + ZOAE = 90° ,
OA± AD 9
.•.AD 与。

相切.
28. （10分）如图，在直角坐标系xQy 中，二次函数y = j+（2si ）x + m 的图象与工轴相
:.EC = OC-OE = 5-3 = 2,
在RtzXAEC 中，A£ = 4, EC = 2,
EC 2 1tan ZBAC =——=—=一AE 4
2
交于。

、A两点.
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使AAOB的面积等于6,求点B的坐
标；
(3)对于(2)中的点3,在此抛物线上是否存在点P,使ZPOB=90°?若存在，求出点
尸的坐标，并求出APOB的面积；若不存在，请说明理由.
【解答】解：①函数的图象与x轴相交于。

，
0=化 +1,
k=—1f
y=x2—3x,
②假设存在点8,过点3做BDlx轴于点
AAOB的面积等于6,
-AO BD=6,
2
当0=/一3工，
x(x-3)=0,
解得：x=0或3,
AO=3,
.•.BD=4
即4=—3x,
解得：x=4或x=-l(舍去).
又顶点坐标为：(1.5,-2.25).
2.25<4,
.•.X轴下方不存在B点,
.•.点B的坐标为：(4,4)；
③点B的坐标为：(4,4),
ZBOD=45°,BO=a/42+42=4a/2,
当ZPOB=90°,
:.ZPOD=45°,
设P点横坐标为：x,则纵坐标为：x2-3%,即—x=x2—3x,
解得x=2或x=0,
.•.在抛物线上仅存在一点F(2,-2).
:.0?=必+必=2血,
使/FOB=90。

,
:.APOB的面积为：ipOBO=-x4V2x2V2=8.。