2020-2021初三数学下期中试卷含答案(4)

2020-2021初三数学下期中试卷含答案(4)
一、选择题
1．如图，△ABC的三个顶点A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原点O为位似中心，将△ABC 扩大得到△A1B1C1,且△ABC 与△A1B1C1的位似比为1 :3.则下列结论错误的是 ( )
A．△ABC∽△A1B1C1B．△A1B1C1的周长为6+32
C．△A1B1C1的面积为3D．点B1的坐标可能是(6，6)
2．如果反比例函数y=k
x
（k≠0）的图象经过点（﹣3，2），则它一定还经过（）
A．（﹣1
2
，8）B．（﹣3，﹣2）
C．（1
2
，12）D．（1，﹣6）
3．用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（）
A．各边的长度 B．各内角的度数 C．五边形的周长 D．五边形的面积
4．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y=3
x
（x
＞0）、y=k
x
（x＜0）的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k值为（）
A．﹣1B．1C．
1
2
D．
1
2
5．已知2x=3y，则下列比例式成立的是（）
A．B．C．D．
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（）
A．15B．25C．215D．8
7．在平面直角坐标系中，将点（2，l）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是
（）
A．（0，5）B．（5，1）C．（2，4）D．（4，2）
8．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（）
A．8tan20°B．C．8sin20°D．8cos20°
9．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为（）
A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m
10．如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12．给出下列函数：①y=﹣3x +2；②y=3x ；③y=2x 2；④y=3x ，上述函数中符合条作“当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大“的是（ ）
A ．①③
B ．③④
C ．②④
D ．②③ 二、填空题
13．如图，已知AD 为ABC ∆的角平分线，DE AB ∥，如果23AE EC =，那么AE AB
=______.
14．计算：cos 245°
-tan30°sin60°=______． 15．如图，点D 、E 、F 分别位于△ABC 的三边上，满足DE ∥BC ，EF ∥AB ，如果AD ：DB=3：2，那么BF ：FC=_____．
16．如图，矩形ABCD 中，AD=2，AB=5，P 为CD 边上的动点，当△ADP 与△BCP 相似时，DP=__．
17．在 ABC V 中， 6AB = ， 5AC = ，点D 在边AB 上，且 2AD = ，点E 在边AC 上，当 AE = ________时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与 ABC V 相似．
18．已知线段a ＝2厘米，c ＝8厘米，则线段a 和c 的比例中项b 是______厘米．
19．已知CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，且AB=10，若BC=8，则cos ∠ACD= ______ ．
20．已知点P 在线段AB 上，且AP ：BP=2：3，那么AB ：PB=_____．
三、解答题
21．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=4，BC=2，以AC 为边作△ACE ，∠ACE=90°，AC=CE ，延长BC 至点D ，使CD=5，连接DE ．求证：△ABC ∽△CED ．
22．计算：cos 45tan 45sin 60cot 60cot 452sin 30︒⋅︒-︒⋅︒︒+︒
． 23．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y （毫克/百毫升）与时间x （时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y 与x 成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出一般成人喝半斤低度白酒后，y 与x 之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上21：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
24．如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片．AD是边BC上的高，BC=40cm，
AD=30cm．从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH．使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上．AD与HG的交点为M．
（1）求证：AM HG AD BC
；
（2）求这个矩形EFGH的周长．
25．如图，平面直角坐标系xOy中，A（2，1），B（3，﹣1），C（﹣2，1），D（0，2）．已知线段AB绕着点P逆时针旋转得到线段CD，其中C是点A的对应点．
（1）用尺规作图的方法确定旋转中心P，并直接写出点P的坐标；（要求保留作图痕迹，不写作法）
（2）若以P为圆心的圆与直线CD相切，求⊙P的半径
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
【解析】
【分析】
根据位似图的性质可知，位似图形也是相似图形，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方，对应边之比等于位似比，据此判断即可.
【详解】
A. △ABC∽△A1B1C1，故A正确；
B. 由图可知，AB=2-1=1，BC=2-1=1，，所以△ABC的周长为，由周长比
等于位似比可得△A1B1C1的周长为△ABC周长的3倍，即6+B正确；
C. S△ABC=11
11=
22
⨯⨯,由面积比等于位似比的平方，可得△A1B1C1的面积为△ABC周长的
9倍，即1
9=4.5
2
⨯，故C错误；
D. 在第一象限内作△A1B1C1时，B1点的横纵坐标均为B的3倍，此时B1的坐标为
（6,6），故D正确；
故选C.
【点睛】
本题考查位似三角形的性质，熟练掌握位似的定义，以及位似三角形与相似三角形的关系是解题的关键.
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
分别计算各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．【详解】
∵反比例函数y=k
x
(k≠0)的图象经过点(−3,2)，
∴k=−3×2=−6，
∵−1
2
×8=−4≠−6，
−3×(−2)=6≠−6，
1
2
×12=6≠−6，
1×(−6)=−6，
则它一定还经过(1,−6).
故答案选D.
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练的掌握反比例函数图象上点的坐标特征.
解析：B
【解析】解：∵用一个放大镜去观察一个三角形，∴放大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的对应边成比例，∴各边长都变大，故此选项错误；
∵相似三角形的对应角相等，∴对应角大小不变，故选项B正确；．
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴C选项错误；
∵相似三角形的周长得比等于相似比，∴D选项错误．
故选B．
点睛：此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等，相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长得比等于相似比．4．A
解析：A
【解析】
【分析】连接OC、OB，如图，由于BC∥x轴，根据三角形面积公式得到S△ACB=S△OCB，
再利用反比例函数系数k的几何意义得到1
2
×|3|+
1
2
•|k|=2，然后解关于k的绝对值方程可得
到满足条件的k的值．
【详解】连接OC、OB，如图，∵BC∥x轴，
∴S△ACB=S△OCB，
而S△OCB=1
2
×|3|+
1
2
•|k|，
∴1
2
×|3|+
1
2
•|k|=2，
而k＜0，∴k=﹣1，故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=k
x
图象中任取一点，
过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积
是1
2
|k|，且保持不变．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x=3y，即可判断．
【详解】
A．变成等积式是：xy=6，故错误；
B．变成等积式是：3x+3y=4y，即3x=y，故错误；
C．变成等积式是：2x=3y，故正确；
D．变成等积式是：5x+5y=3x，即2x+5y=0，故错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．6．C
解析：C
【解析】
【分析】
作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用
AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA－AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30°的
直角三角形的性质计算出OH=1
2
OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出
CH=15，所以CD=2CH=215．【详解】
作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=30°，∴OH=
12
OP=1， 在Rt △OHC 中，∵OC=4，OH=1，
∴
∴
故选C ．
【点睛】
本题主要考查圆中的计算问题，熟练掌握垂径定理、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，掌握数形结合的思想是解答的关键
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
在平面直角坐标系中，将点（2，l ）向右平移时，横坐标增加，纵坐标不变.
【详解】
将点（2，l ）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（5，1）.
故选：B.
【点睛】
本题运用了点平移的坐标变化规律，关键是把握好规律.
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20°．
【详解】
设木桩上升了h 米，
∴由已知图形可得：tan20°=8
h ， ∴木桩上升的高度h =8tan20°
故选B. 9．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用直角三角形DEF 和直角三角形BCD 相似求得BC 的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB ．
【详解】
∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D ，
∴△DEF∽△DCB，
∴BC DC EF DE
=，
∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，∴由勾股定理求得DE=40cm，
∴
20 0.30.4 BC
=，
∴BC=15米，
∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）．
故答案为16.5m．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．10．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
利用如图所示的计算器计算2cos55°，
按键顺序正确的是．
故答案选C．
11．D
解析：D
【解析】
解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；
②球的主视图与左视图都是圆；
③圆锥主视图与左视图都是三角形；
④圆柱的主视图和左视图都是长方形；
故选D．
12．B
解析：B
【解析】
分析：分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．详解：①y=﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；
②y=3
x
，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；
③y=2x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；
④y=3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确．故选B．
点睛：本题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握相关性质是解题的关键．
二、填空题
13．【解析】【分析】由证得【详解】∵∴△CED∽△CAB∴∵∴∵为的角平分线∴∠ADE=∠BAD=∠DAE∴故填：【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质根据平行线证得三角形相似由此得到边的比值关系推导出 解析：35
【解析】
【分析】
由DE AB ∥证得
【详解】
∵DE AB ∥，
∴△CED ∽△CAB, ∴
DE CE AB AC =, ∵
23AE EC =, ∴35
DE CE AB AC ==, ∵AD 为ABC ∆的角平分线，DE AB ∥,
∴∠ADE=∠BAD=∠DAE, ∴AE AB =35
DE CE AB AC ==, 故填：
35
. 【点睛】 此题考查相似三角形的判定与性质，根据平行线证得三角形相似，由此得到边的比值关系，推导出AE AB
的值. 14．0【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案【详解】=故答案为0【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值正确记忆相关数据是解题关键
解析：0
【解析】
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．
2
cos45tan30sin60
︒-︒︒=2
11
0 22
=-=.
故答案为0.
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．15．3:2【解析】因为DE∥BC所以因为EF∥AB所以所以故答案为:3:2 解析：3:2
【解析】
因为DE∥BC,所以
3
2
AD AE
DB EC
==,因为EF∥AB,所以
2
3
CE CF
EA BF
==,所以
3
2
BF
FC
=,故答
案为: 3:2.
16．1或4或25【解析】【分析】需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC 根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度【详解】设DP=x则CP=5-
x本题需要分两种情况情况进行讨论①当△PAD
解析：1或4或2.5．
【解析】
【分析】
需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度．
【详解】
设DP=x，则CP=5-x，本题需要分两种情况情况进行讨论，①、当△PAD∽△PBC时，
AD BC = DP CP
∴2
25
x
x
=
-
，解得：x=2.5；
②、当△APD∽△PBC时，AD
CP
=
DP
BC
，即
2
5x
-
=
2
x
，
解得：x=1或x=4，
综上所述DP=1或4或2.5
【点晴】
本题主要考查的就是三角形相似的问题和动点问题，首先将各线段用含x的代数式进行表示，然后看是否有相同的角，根据对应角的两边对应成比例将线段写成比例式的形式，然后分别进行计算得出答案．在解答这种问题的时候千万不能出现漏解的现象，每种情况都要考虑到位.
17．【解析】当时∵∠A=∠A∴△AED∽△ABC此时AE=；当时∵∠A=∠A∴△AD E∽△ABC此时AE=；故答案是：
解析：512 35或
当
AE AB AD AC
=时， ∵∠A=∠A ， ∴△AED ∽△ABC ，
此时AE=
·621255AB AD AC ⨯==； 当AD AB AE AC
=时， ∵∠A=∠A ，
∴△ADE ∽△ABC ，
此时AE=·52563
AC AD AB ⨯==； 故答案是：
12553或. 18．4【解析】∵线段b 是ac 的比例中项∴解得b ＝±4又∵线段是正数∴b ＝4点睛：本题考查了比例中项的概念利用比例的基本性质求两条线段的比例中项的时候负数应舍去
解析：4
【解析】
∵线段b 是a 、c 的比例中项，∴216b ac ==，解得b ＝±
4，又∵线段是正数，∴b ＝4． 点睛：本题考查了比例中项的概念，利用比例的基本性质求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．
19．【解析】试题分析：根据同角的余角相等得：∠ACD=∠B 利用同角的余弦得结论解：∵CD 是Rt△ABC 斜边上的高线
∴CD⊥AB∴∠A+∠ACD=90°∵∠ACB=90°∴∠B+∠A=90°∴∠ACD=∠ 解析：45
【解析】
试题分析：根据同角的余角相等得：∠ACD =∠B ，利用同角的余弦得结论．
解：∵CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，
∴CD ⊥AB ，
∴∠A +∠ACD =90°，
∵∠ACB =90°，
∴∠B +∠A =90°，
∴∠ACD =∠B ，
∴cos ∠ACD =cos ∠B =BC AB =810=45
，
故答案为：4 5 .
20．5:3【解析】【详解】试题解析：由题意AP：BP=2：3AB：PB=（AP+PB）：PB=（2+3）：3=5：3故答案为5:3
解析：5:3
【解析】
【详解】
试题解析：由题意AP：BP=2：3，
AB：PB=（AP+PB）：PB=（2+3）：3=5：3.
故答案为5:3.
三、解答题
21．证明见解析
【解析】
【分析】
由已知易证∠BAC=∠ECD，在Rt△ABC中由已知可得=，结
合AB=4，CD=5，可证得AB CE
AC CD
=，由此即可由“两边对应成比例，且夹角相等的两三
角形相似”得到△ABC∽△CED．【详解】
∵∠B=90°，AB=4，BC=2，
∴ AC==
∵ CE=AC，
∴ CE=
∵ CD=5，
∴ AB AC
CE CD
=.
∵∠B=90°，∠ACE=90°，
∴∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCE=90°.∴∠BAC=∠DCE.
∴△ABC∽△CED.
22．
1
4
-
．
【解析】
试题分析：把特殊角的三角函数值代入运算即可.
试题解析：原式11122322.124122
=
-==+⨯ 23．（1）100(0 1.5)225( 1.5)x x y x x
⎧⎪=⎨⎪⎩剟…；（2）第二天早上7：00不能驾车去上班，见解析． 【解析】
【分析】
（1）直接利用待定系数法分别求出反比例函数以及一次函数的解析式得出答案； （2）根据题意得出x =10时y 的值进而得出答案．
【详解】
（1）由题意可得：当0≤x ≤1.5时，设函数关系式为：y =kx ，则150=1.5k ，解得：k =100，故y =100x ，当1.5≤x 时，设函数关系式为：y a x =
，则a =150×1.5=225，解得：a =225，故y 225x
=（x ≥1.5）． 综上所述：y 与x 之间的两个函数关系式为：y ()()1000 1.5225 1.5x x x x ⎧≤≤⎪=⎨≥⎪⎩
； （2）第二天早上7：00不能驾车去上班．理由如下：
∵晚上21：00到第二天早上7：00，有10小时，∴x =10时，y 22510
=
=22.5＞20，∴第二天早上7：00不能驾车去上班．
【点睛】
本题考查了反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用函数解决实际问题，属于中考常考题型．
24．（1）证明见解析；（2）72cm ．
【解析】
【分析】
（1）根据矩形性质得出∠AHG =∠ABC ，再证明△AHG ∽△ABC ，即可得出结论； （2）根据（1）中比例式即可求出HE 的长度，以及矩形的周长．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形EFGH 为矩形，
∴EF ∥GH ，
∴∠AHG =∠ABC ，
又∵∠HAG =∠BAC ，
∴△AHG ∽△ABC ，
∴AM HG AD BC
=；
（2）解：由（1）AM HG
AD BC
=得：设HE=xcm，则MD=HE=xcm．
∵AD=30cm，
∴AM=（30﹣x）cm．∵HG=2HE，
∴HG=（2x）cm，
可得：30
3040
x x
-
=，
解得：x=12，
故HG=2x=24，
所以矩形EFGH的周长为：2×（12+24）=72（cm）．
答：矩形EFGH的周长为72cm．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据矩形性质得出△AHG∽△ABC是解决问题的关键．
25．（1）如图点P即为所求．见解析；（2）以P为圆心的圆与直线CD相切，⊙P的半
径为65
．
【解析】
【分析】
（1）作相对AC，BD的垂直平分线，两条垂直平分线的交点P即为所求．（2）作PE⊥CD于E，求出点E的坐标，利用相似三角形的性质求出PE即可．【详解】
（1）如图点P即为所求．
（2）作PE⊥CD于E，设AC交PD于K．
∵∠CDO＝∠PDE，∠CKD＝∠PED＝90°，
∴△COD∽△PED，
∴CO
PE
＝
CD
PD
，
∴
2
PE
＝
3
，
∴PE，
∵以P为圆心的圆与直线CD相切，
∴⊙P的半径为
5
．
【点睛】
本题考查作图，相似三角形的判定和性质，切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．。