高考数学考点专项突破 数列的通项与求和(含解析)

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数列的通项与求和
一、单选题
1、(2020·浙江镇海中学高三3月模拟）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足2
314a a a =，n S 为数列{}n a 的
前n 项和，则
3
1
S S 的值为（ ) A ．
94 B ．94
-
C ．
32
D ．32
-
【答案】A
【解析】设公差为d ，由2
314a a a =得到()()1112
32a d a a d =++，
整理得到2
140a d d +=，因0d ≠，故14a d =-,
31339S a d d =+=-，所以
319944
S d S d -==-,故选A 。

2、已知等差数列{}n a 的前m 项之和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项的和为( ) A 。

130 B.170 C.210 D.260 【答案】C
【解析】由于等差数列{}n a 中232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列,即330,70,100m S -成等差数列，所以
33100110,210m m S S -=∴=，故选C.
3、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( ) A ．3 B ．4
C ．5
D ．6
【答案】C
【解析】
{}n a 是等差数列
()
102
ms m m a a S +∴=
=
()112m m m a a S S -⇒=-=--=-
又113m m m a S S ++=-=，
∴公差11m m d a a +=-=,
11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选C ．
4、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考)已知数列{}n a 中，12a =，1
1
1n n a a -=-（2n ≥），则2018a 等于（ ）
A ．
12
B ．12
-
C ．1-
D ．2
【答案】A 【解析】
∵12a =，1
1
1n n a a -=-
(2n ≥)， 211122
a ∴=-
=, 3121a =-=-， 41(1)2a =--=,
511122
a =-
=， …，
∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，
201836722=⨯+， 201821
2
a a ∴==，
故选:A 。

5．（2020·浙江镇海中学高三3月模拟)已知数列{}n a 满足112(,2)n n n a a a n n *-+∈≥N ≤＋，则（ ） A ．52143a a a ≤- B ．2736a a a a +≤+ C ．76633()a a a a -≥- D ．2367a a a a +≥+
【答案】C 【解析】
由题得11n n n n a a a a -+-≤-，则有213243546576a a a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-≤-，
76435465633()()()()a a a a a a a a a a -≥-+-+-=-，故选C ．
6、（2020·浙江高三）等差数列｛a n ｝的公差为d ,a 1≠0,S n 为数列{a n ｝的前n 项和，则“d ＝0”是“
2n
n
S S ∈Z "的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和， 若d ＝0，则｛a n }为常数列，故a n =1a ,
即2112,n n S na S na ==⇒“
2n
n
S S ∈Z ”， 当
2n
n
S S ∈Z 时，d 不一定为0， 例如，数列1，3,5，7，9，11中，631357911135
S S +++++==++4，d ＝2， 故d ＝0是
2n
n
S S ∈Z 的充分不必要条件． 故选：A ．
7、(2020届山东省德州市高三上期末）对于数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中
()*1n n n a a a n +∆=-∈N ，对自然数()2k k ≥,规定{}k n a ∆为数列{}n a 的k 阶差分数列，其中
111k k k n n n a a a --+∆=∆-∆。

若11a =，且()
2*
12n n n n a a a n +∆-∆+=-∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）
A ．212n n a n -=⨯
B ．1
2n n a n -=⨯
C ．()2
12n n a n -=+⨯
D ．()1
212
n n a n -=-⨯
【答案】B
【解析】根据题中定义可得()()2
*
1112
n n
n n n n n n a a a a a a n a +++∆-∆+=∆-∆-∆+=-∈N ，
即()1122n
n n n n n n n a a a a a a a ++-∆=--=-=-，即122n
n n a a +=+，
等式两边同时除以12n +，得
111222n n n n a a ++=+，11
1222n n n n a a ++∴-=且11
22
a =， 所以，数列2n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是以12为首项，以12为公差的等差数列，()1112222n n
a n n ∴=+-=，
因此，1
2n n a n -=⋅.
故选：B.
8、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）已知数列{}n a ,满足1a a =且*1*121,N 222,N n n n a n k k a a n k k +⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩，，
，．设
n S 是数列{}n a 的前n 项和，若20201S =，则a 的值为（ ）
A ．
1
3030
B ．
1
2020
C ．
11515
D ．1
【答案】C
【解析】由1a a =且*1*121,N
222,N
n n n a n k k a a n k k +⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩，，，
得212
a a =
，3a a =，41
2a a
=
所以，,21,1,2,2n a n k k N a a n k k N *
*
⎧=-∈⎪
=⎨=∈⎪⎩, 20201
1010101015152
S a a a =+⨯=，
又20201S =，所以15151a =,解得1
1515
a =， 故选：C.
9、在数列{}n a 中,已知2
n a n n λ=+，n *∈N ，则“12a a <”是“{}n a 是单调递增数列”的( ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若在数列{}n a 中，已知2
n a n n λ=+，n *∈N ，12a a <,则142λλ+<+，解得3λ>-．
若数列{}n a 是单调递增数列，则对任意的n *∈N 都满足：
()()2
2111210n n a a n n n n n λλλ+-=+++--=++>,
12n λ∴>--，即()max 123n λ>--=-.
因此，“12a a <"是“{}n a 是单调递增数列”的充分必要条件。

故选：C 。

二、多选题
10、已知n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且897S S S >>，有下列四个命题，其中是真命题的是( ) A ．公差0d < B ．在所有0n S <中,17S 最大 C ．89a a > D ．满足0n S >的n 的个数有15个
【答案】ABC
【解析】89S S >,且989S S a =+，
889S S a ∴>+,即90a <，
又87S S >，878S S a =+, 787S a S ∴+>，即80a >，
980d a a ∴=-<，故选项A ，C 为真命题； 97S S >，9789S S a a =++， 7897S a a S ∴++>，即890a a +>，
又11582a a a +=， 11515815()
1502
a a S a +∴=
=>， 又11689a a a a +=+， 116168916()
8()02
a a S a a +∴=
=+>，
又11792a a a +=， 11717917()
1702
a a S a +∴=
=<， 故选项B 为真命题,选项D 为假命题； 故选：ABC ．
11、（2019秋•济宁期末）若S n 为数列｛a n }的前n 项和，且S n ＝2a n +1，（n ∈N *），则下列说法正确的是（ ） A ．a 5＝﹣16
B ．S 5＝﹣63
C ．数列{a n ｝是等比数列
D ．数列{S n +1}是等比数列
【答案】AC
【解析】：∵S n ＝2a n +1，（n ∈N *）, ∴①当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1+1,∴a 1＝﹣1,
②当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2a n +1﹣2a n ﹣1﹣1，∴2a n ﹣1＝a n ，∴a a
a
a −1
=2，
∴数列｛a n ｝是首项为﹣1，公比为2的等比数列，故选项C 正确, ∴a a =−2
a −1
，a a =
−(1−2a )
1−2
=1−2a
∴a 5=−24
=−16，a 5=
−(1−25)
1−2
=−31，故选项A 正确,选项B 错误，
又∵a a +1=2−2a ,∴数列{S n +1}不是等比数列,故选项D 错误, 故选:AC ．
12、（2019秋•宁阳县校级月考）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=,则( ) A ．112
n n a -=-
B ．1,1,111n n a n n
-=⎧⎪
=⎨-⎪-⎩
C ．数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列
D ．
12100
111
5050S S S ++⋯+=- 【答案】BCD
【解析】:n S 是数列{}n a 的前n 项和,且11a =-，11n n n a S S ++=，则11n n n n S S S S ++-=,
整理得
1111n n
S S +-=-（常数), 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以11
1S =-为首项，1-为公差的等差数列．故C 正确
所以
1
1(1)n
n n S =---=-， 故:1
n S n
=-．
所以当2n 时， 111
1n n n a S S n n
-=-=
--（首项不符合通项)， 故1,1,111n n a n n
-=⎧⎪
=⎨-⎪-⎩故B 正确
所以12100
111(123100)5050S S S ++⋯+=-+++⋯+=-，故D 正确．
故选：BCD ．
三、填空题
13、（2020届江苏省南通市如皋中学高三下学期3月线上模拟)已知数列*
{}()n a n N ∈是等差数列,n S 是其前n 项和。

若156913,18a a a S +==，则{}n a 的通项公式=n a _______ 【答案】7n -+
【解析】设数列{}n a 公差为d ,由已知得1111
(4)51393618a a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，解得161a d =⎧⎨=-⎩．
∴6(1)7n a n n =--=-． 故答案为：7n -+．
14、（2020届江苏省海安中学、金陵中学、新海高级中学高三12月联考）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若
()31n n S na n n =--（n *∈N ），且211a =，则20S 的值为______.
【答案】1240
【解析】当2n =时，()212223221S a a a =+=-⨯-，211a =，可得15a =， 当2n ≥时,由1n n n a S S -=-，得()()()()1311312n n n a na n n n a n n -=-------⎡⎤⎣⎦， ∴()()()11161n n n a n a n ----=-，即(
)*
162,n n a a n n N --=≥∈，
∴数列{}n a 是首项15a =，公差为6的等差数列，
∴202019
205612402
S ⨯=⨯+
⨯=, 故答案为：1240。

15、（江苏省南通市海安高级中学2019—2020学年高三9月月考）设等比数列{}n a 的公比为()1q q >，前n 项和为n S 。

若存在m N *∈,使得215
2
m m m a a a +++=，且29m m S S =，则正整数m 的值为______。

【答案】3
【解析】
2152m m m a a a +++=，252m m m a a q a q ∴+=,得25
102
q q -+=，
1q >，解得2q 。

由29m m S S =，可得
()()2111212912
12
m m a a --=⨯
--，所以,()212
912m
m -=-，
即(
)()()12
12912m
m
m
-+=-,
m N *∈，120m ∴-≠，129m ∴+=,解得3m =,
故答案为3.
16、（2020届山东师范大学附中高三月考）设等差数列{}n a 前n 项和为n S ．若210a =，540S =，则5a =________，n S 的最大值为________．
【答案】4 42 【解析】
∵数列{}n a 是等差数列，∵540S =，∴
()
153
552402
2
a a a ⨯+⨯=
=，38a ∴=,
又210a ∴=,2d ∴=-，2(2)10(2)(2)142n a a n d n n ∴=+-⨯=+-⨯-=-，
514254a ∴=-⨯=,
()122(12142)(262)13169
(13)13()2
2224
n n n a a n n n n S n n n n n ++--=
=
==-=-+=--+
, ∴当6n =或7时，n S 有最大值42。

故答案为：（1）4;(2)42.
17、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列{}n a 中，11
2
a =
，其前n 项和n S 满足()202n n n n S a S a n -+=≥,则2a =__________；2019S =__________.
【答案】16-
1
2020
【解析】
(1）由题：()2
02n n n n S a S a n -+=≥，令2n =，
222
222222211()022
0,()S a S a a a a a ++=++-=-，
得：
231024a +=，所以21
6
a =-； （2）由题()2
02n n n n S a S a n -+=≥，()12n n n a S S n --≥=
()2
11()02n n n n n n S S S S S S n ---+=-≥-，化简得:
()1102n n n n S S S S n ---+=≥,
11
111110,1,(2)n n n n n S S S S --+
-=-=≥， 1
{
}n
S 是一个以2为首项，1为公差的等差数列， 11n n S =+，11n S n =+，201912020
S = 故答案为：（1）。

16-
(2)。

1
2020
18、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =,()
()11444
n n n n n
a a a a a +⎧+<⎪
=⎨≥⎪⎩,
则11S =__________；若2019n S ≤时,n 的最大值为__________。

【答案】26 807
【解析】∵11a =，()()1+1444
n n n n n a a a a a +⎧<⎪
=⎨≥⎪⎩，
∴11a =,22a =,33a =，44a =，4
514
a a =
=,…… ∴111212S S a =-()123443a a a a a =+++-()31234426=⨯+++-=；
由
2020
20210
=可知80780880820162019S a S =-=<，8082020S =， 故2019n S ≤时，n 的最大值为807; 故答案为：26；807．
四、解答题
19、(2020年高考全国Ⅰ卷理数)设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．
（1)求{}n a 的公比；
（2）若11a =,求数列{}n na 的前n 项和．
【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1232,a a a =+ 即2
1112a a q a q =+.
所以2
20,q q +-= 解得1q =（舍去)，2q =-。

故{}n a 的公比为2-。

(2）设n S 为{}n na 的前n 项和.由（1）及题设可得，1
(2)n n a -=-.所以
112(2)(2)n n S n -=+⨯-+
+⨯-，
21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-+
+-⨯-+⨯-.
可得2
131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-+
+--⨯-
1(2)=(2).3n n n ---⨯-
所以1(31)(2)99
n
n n S +-=-.
20、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项。

（1）求,n n a b ;
（2）设()
1
1n n n n c b a a =+
+，求{}n c 的前n 项和n S .
【解析】 (1）设数列{}n a 的公差为d ，
由题意知： ()
1234114414+
46102
a a a a a d a d ⨯-+++==+= ① 又因为124,,a a a 成等比数列,
所以2
214a a a =⋅,
()
()2
1113a d a a d +=⋅+，
21d a d =，
又因为0d ≠， 所以1a d =. ②
由①②得11,1a d ==,
所以n a n =，
111b a ==，222b a == ，2
1
2b q b =
=， 12n n b -∴= .
(2)因为()1
111
12
211n n n c n n n n --⎛⎫=+
=+- ⎪++⎝⎭
，
所以011
1111122...212231n n S n n -⎛
⎫=++++-
+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝
⎭
121
1121n n -=+-
-+ 1
21
n n =-
+ 所以数列
{}n c 的前n 项和
121n n S n =-
+
21、(2020年高考全国III 卷理数）设数列{a n ｝满足a 1=3，134n n a a n +=-．
（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n
a n ｝的前n 项和S n ．
【解析】（1）235,7,a a == 猜想21,n a n =+ 由已知可得 1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+， 1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--，
……
2153(3)a a -=-。

因为13a =，所以2 1.n a n =+ (2）由（1）得2(21)2n n n a n =+,所以
23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯。

①
从而
23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯。

②
-①② 得
23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯+
+⨯-+⨯，
所以1(21)2 2.n n S n +=-+
22、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==． （1)求{}n a 的通项公式；
(2）数列{}n b 满足141
n n n b T S =
-，为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，()1k m k <<，使得
23k m T T =?若存在,求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d,
由2541216a a S +=⎧⎨=⎩得11
2512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，
()*12121,n a n n n N ∴=+-=-∈；
（2）()2122
n n n S n n -=+
⨯=，
2111141
22121n b n n n ⎛⎫
∴=
=
- ⎪--+⎝⎭
，
1211111
111111123352321212122121
n n n T b b b n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=
-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 若2
3k m T T =，则()2
232121k m k m =++，整理得223412m k m m
=+-， 又1k m >>，2
234121m m m m m ⎧>⎪∴+-⎨⎪>⎩，整理得222104121m m m m m ⎧-->⎪
+-⎨⎪>⎩
，
解得112
m <<+
，
又*m N ∈,2m ∴=，12k ∴=， ∴存在2,12m k ==满足题意．
23、（2020届山东省九校高三上学期联考)已知数列{}1n a +是等比数列,11a =且2a ，32a +，4a 成等差数列。

(1）求数列{}n a 的通项公式;
（2）设11
n n
n n n a a b a a ++-=
,求数列{}n b 的前n 项和n S .
【解析】（1)设数列{}1n a +的公比为q ，∵112a +=,
∴22334121212a q a q a q +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，∴22
334
212121a q a q a q =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩, ∵()32422a a a +=+,
∴(
)
2
3
2212121q q q +=-+-，
∴23
42222q q q +=+-,
即:(
)(
)
2
2
4121q q q +=+, 解得:2q
.
∴11222n n
n a -+=⋅=，
∴21n
n a =-.
（2）()()11211
21212121n n
n n n n b ++==-----，
∴1231n n n S b b b b b -=+++++
122334
1
11111212121212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11
1
11121212121n n n n -+⎛⎫⎛⎫++-+- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
1111
22
12121
n n n +++-=-=
--。

24、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()(
)21n n S n a n N
*
=+∈,且
12a =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2)设()12n a
n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

【解析】（1)因为2(1)n n S n a =+,n *∈N ，
所以112(2)n n S n a ++=+，n *∈N ，
两式相减得112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，
整理得1(1)n n na n a +=+，
即
11n n a a n n +=+，n *∈N ，所以n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭为常数列, 所以
1
21
n a a n ==， 所以2n a n =
(2）由（1）,(1)2=(21)4n a
n
n n b a n =--,
所以 123
14+34+54+
+(21)4n n T n =⨯⨯⨯-
231414+34++(23)4(21)4n n n T n n +=⨯⨯-+-…
两式相减得:
23134+2(4+4++4)(21)4n n n T n +-=⨯--…，
2+1
14434+2(21)414n n n T n +--=⨯---，
化简得1
20(65)4+
99
n n n T +-= 25、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知等比数列{}n a 满足1,a 2,a 31a a -成等差数列，且134a a a =;等差数列{}n b 的前n 项和2(1)log 2
n
n n a S +=.求：
（1）,n a n b ；
(2）数列{}n n a b 的前项和n T . 【解析】（1）设{}n a 的公比为q. 因为1,a 2,a 31a a -成等差数列， 所以()21312a a a a =+-,即232a a =.
因为20a ≠，所以3
2
2a q a =
=. 因为134a a a =，所以4
13
2a a q a =
==. 因此112n n
n a a q -==.
由题意,2(1)log 2n n n a S +=
(1)2
n n
+=。

所以111b S ==，
1223b b S +==,从而22b =.
所以{}n b 的公差21211d b b =-=-=. 所以1(1)1(1)1n b b n d n n =+-=+-⋅=.
（2）令n n n c a b =,则2n
n c n =⋅。

因此12n n T c c c =++⋅⋅⋅+1231122232(1)22n n
n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅.
又2341
2122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅
两式相减得231
22222n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅
1222=212
n n n +-⋅-⋅-
11222n n n ++=--⋅
1(1)22n n +=-⋅-.
所以1
(1)22n n T n +=-⋅+.。