芝诺悖论产生的历史背景中学数学知识的历史背景

中学数学知识的历史背景
《数学史》课程的学习，是为了帮助中学数学教师或将来的数学教师更科学、更有效地开展中学数学教学。

而如今中学数学教师的一个重要任务是如何适应并积极地推动中学数学课程的改革。

所以在本课程的学习中，学员们也有必要密切关注、认真研究新课程中与数学史相关的一些基本理念以及教学内容。

因而，本学习指导中也补充了一些新课程改革方面的内容，以及《义务教育数学课程标准》、《高中数学课程标准》中新增加的一些教学内容，如“中国剩余定理”、“数论与密码技术”等。

这些材料也是中学数学教师需要认真学习并加以掌握的。

第1章HPM的理论与实践
现在的课程改革开始重视对数学史的利用，高中数学课程标准中就安排了数学史方面的学习内容。

体现数学文化是新课程的一个重要特色，而数学史便是数学文化的一个重要组成部分。

国外的中学数学教材都比较重视数学史、数学发现的故事、数学家的故事等这些素材的使用。

如：太极图在德国教材中、曹冲称象在日本数学教材中出现。

日本的中学数学教材特别重视数学史，中学三年级教材中就有：无理数的故事、二次方程的故事、圆周率的故事、勾股定理的证明、π值的测定、黄金分割、伽利略与概略等许多数学历史故事，日本人认为，重视数学史的处理，有利于促使学生形成数学的思维方法并使之认识到数学的优越性。

我国原教材中：侧重用来进行爱国主义教育，且介绍极为简单，勾股定理、祖冲之的圆周率、扬挥三角等，教材中都是一笔带过。

新教材有了明显的变化，国内外各种数学发展的史料增加了不少，如何合理使用便是中学数学教师需要研究的问题。

如教材中所述，对数学史在数学教育中的重要作用，国内外的一些大数学家和数学教育家有许多精辟的阐述。

还成立了专门研究数学史与数学教育的国际研究机构HPM，从而极大地推动了将数学史知识应用于中学数学教学的理论和实践研究。

数学史知识在中学数学教学中的作用主要体现在如下方面
（1）增加人文价值，增加教材的趣味性和可读性，从而激发学生学习数学的兴趣；
（2）数学发现发展的历史包含着丰富的数学思想，学生了解一些数学史，有助于拓宽视野、领会这些数学思想；
（3）激励作用。

数学家对真理的执着探索过程，有助于培养学生的意志、健全学生的人格。

教师学习一定的数学史知识，一方面可以在施教中丰富题材、另一方面也有助于教师本身对数学思想方法和数学本质的理解。

同时，数学教育改革必然也受着数学发展的影响，数学史知识也有助于对数学教育改革的理解。

李文林在《数学史教程》中写了这样一段话：“数学科学作为一种文化，不仅是整个人类文化的重要组成部分，而且始终是推进人类文明的重要力量。

对于每一个希望了解整个人类文明史的人来说，数学史是必读的篇章。

”
自然，对于一个从事中学数学教育的专业人员，数学史知识的学习就更是非常必要的了。

张奠宙先生在《数学教育学导论》一书中概括了数学发展的四个高峰期
（1）古希腊的演绎数学时期；
（2）牛顿----莱布尼茨的微积分时期；
（3）希尔伯特为代表的形式主义公理化时期；
（4）以计算机技术为标志的新数学时期。

进而分析了四个高峰时期的特征，第一高峰期是演绎思想占主导地位，第二高峰期是算法思想占主导地位，第三高峰期又是演绎思想占主导地位，第四高峰期则再是算法思想占主导地位。

事实我们长期使用的中学数学教材，带有相当强的形式主义特征，是第三高峰期的产物，很少反映20世纪数学发展的特征，因而极有必要进行改革。

显然，数学史知识的学习能帮助我们更好地理解当前的数学课程改革。

算法化是以中国为代表的东方古代数学的主要特征，演绎化则是以古希腊为代表的西方古代数学的主要特征。

演绎化、算法化是数学发展不可或缺的两个方面，在数学发展中交替地占据主导地位。

但是，长期以来，我们的中学数学教育过度地关注了演义思想而严重忽视了算法思想。

新课程标准在高中数学教学内容中特别安排了算法思想的学习，这是十分必要的。

那么如何在中学数学中进行算法思想的教学呢？数学史能给我们以很好的启迪并提供丰富的素材。

中国古代算法思想非常接近于现代算法思想，因此具有一般算法思想的各种教育价值．除此之外，基于中国古代算法思想的特征，其对本民族的数学教育而言，还有着特别的教育价值，即体现数学课程的民族性、培养学生的应用意识、促进学生对现代算法思想的理解等．
我们可以从以下诸方面来理解中国古代算法思想的特征：
（1） 体现数学课程的民族性
英国课程论专家豪森（G ·Howson ）指出：“一个民族的历史和文化，会在数学学习对本民族的重要性以及数学课程变革的必要性等问题上形成一种传统观念，从而影响学校数学课程的发展．”
民族文化的保存与传递能够激发学生的爱国主义热情、提高民族的自尊心与自信心．因此，数学课程必须结合自己的文化传统实施，数学课程应该具有本民族文化传统的特点．
我国数学课程一贯重视宣传我国的数学成就和中国古今数学家的伟大贡献．但是这些内容往往被当作具有爱国主义教育意义的历史知识，而与现代数学知识的交融并不深入．中国古代的算法思想既是中国传统数学的精髓，同时又具有现代算法思想的所有特征，如果能选择一些典型的中国古代算法内容作为中学数学的学习内容，必将能使民族文化传统与现代数学知识具有更好的交融性，因而能更深入地体现我国数学课程的民族性．
比如“中国剩余定理”便是一个很好的素材．
中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”，原题为：今有物，不知其数．三、三数之，剩二；五、五数之剩三；七、七数之，剩二．问物几何？
这实际上是求解一次同余式组的问题．后来，南宋大数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，给出了这类问题的一般性解法，即“大衍总数术”（也称孙子定理）．该方法传到西方后，被西方数学家称为“中国剩余定理”．该定理用现代符号形式叙述就是
)(mod ......)(mod )(mod 2211n n p r p r p r N ≡≡≡≡，其中n p p p ,,,21 两两互质，n p p p M 21=，i
i p M M =，)(mod 1i i i p M M ≡'，则 )(mod 222111
M r M M r M M r M M N n n n '++'+'≡ ．
其中最关键的一步是求i M '使)(mod 1i i i p M M ≡'．秦九韶先求出i M '除以i p 的余数
i G （称为奇数）
，则上面的问题等价于求i M '使)(mod 1i i i p M G ≡'，但此处i i p G <．秦九韶提出了一种他称为“大衍求一术”的方法来解决这一同余式的求解问题．
列出算阵⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛i i p G 01，然后交替进行如下一、二两步的操作．
（1）右下角除以右上角，余数留在右下角，商与左上角相乘加入左下角；（2）右上角除以右下角，余数留在右上角，商与左下角相乘加入左上角．这样重复操作，直至右上角为1时，左上角之数即为所求的i M '值之一．（若右下角先出现1，则右上角除以右下角时，规定余数为1，商为被除数减1．）
例 求最小的正整数N 使)9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2≡≡≡N ．
解M=3159,7,5321===p p p 、5,3,2321===r r r 、35,45,63321===M M M 、8,3,3321===G G G ．
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2131→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2112，所以21='M ；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛731→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1231→⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛1215，所以52
='M ；同理求得83='M ． )315(mod 2327)315(mod 535834552632≡⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≡N ．
最小的正整数N=2327-315×7=122．
上述“大衍求一术”的实质与西方的“辗转相除法”相同，但该方法具有更强的程序性，只要用一个简单的循环语句，就很容易在计算机上进行这种计算．程序性和构造性正是中国古代数学的显著特征之一，而且解一次同余式组的一般方法“大衍总数术”为秦九韶所首创．将这样的内容引入中学数学，能使爱国主义、民族精神的培养与数学知识、数学思想方法的学习更好地融合．
（2） 培养学生的数学应用意识
强调学生数学应用意识的培养是现代数学教育的重要特点．应用是中国古代数学的特征之一，中国古代数学中的算法也是明显地来自于现实、用之于现实．所以中国古算素材也是培养学生数学应用意识的极好素材．
比如中国古代最早的算书《周髀算经》实际上是一本天文著作，系统地记载了周秦以来为适应天文计算的需要而逐步积累起来的算法技术．该书所最早叙述的勾股定理，便是以解决实际问题的方式提出的．书中写道，陈子曰：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日．”在这里，勾股定理一般形式实际上是以天文计算中的一种算法出现的．
《九章算术》则更是以应用问题集的形式编排．全书共分9章，叙述了246道应用问题及它们的解法．内容涉及土地面积计算、比例分配、工程计算等许多应用领域．例如，该书“方程”章，第1题便是有关粮食收成的计算问题：
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，
实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？
题中“禾”为带杆的黍米，“秉”指捆，“实”是打下来的粮食．设一秉上、中、下等的禾分别能打下粮食x 、y 、z 斗，则问题就相当于解一个三元一次方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++=++.2632,3432,3923z y x z y x z y x
“方程术”的关键算法是“遍乘直除”．即先将三个方程的系数排列成三行（当时的行相当于现在的列），得图1．
左 中 右
上禾 1 2 3
中禾 2 3 2
下禾 3 1 1
实 26 34 39
图1
解法步骤为：以右行上禾秉数，即3，遍乘中行各元素，然后逐次减去右行对应各元素，直到中行第一个元素出现0为止，对左行作同样的变换，得图2；以中行第一个不等于0的元素，即5，遍乘左行后，逐次减去中行对应的元素直至左行第二个元素为0，并对左行约分，得图3；然后继续变换直至图4．
0 0 3 0 0 3 0 0 4
4 5 2 0 5 2 0 4 0
8 1 1 4 1 1 4 0 0
39 2 39 11 24 39 11 17 37
图2 图3 图4
于是得上禾一秉实数x=437斗，中禾一秉实数y=4
17斗，下禾一秉实数z=411斗．该方法正是西方国家一千多年后才出现的“高斯消去法”．《九章算术》中如此先进的方法依然来自于实际问题解决的需要．
（3） 促进学生对现代算法思想的理解
中国古代数学中的“术”符合现代算法的一些最主要的特征，包含着一般算法的操作过程以及顺序、选择、循环等各种控制结构．因此，让学生适当地接触并分析一些中国古代的算法，能很好地促进学生对现代算法思想的理解．
一般认为算法含有两大要素：一是操作，包括算术运算、逻辑运算、关系运算、函数运算等；二是控制结构，其作用是控制算法各操作的执行顺序．算法通常所具备的三种控制结构是顺序结构、选择结构和循环结构．
算法的特征则可归纳为“五性”，即可行性、确定性、有穷性、有效性和普遍性．
中国古代数学的核心就是各种各样的“术”．这里的“术”就是一种算法，类似于现在
所讲的数学“公式”，但又与公式不完全相同．比如，一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的求根公式a
ac b b x 242-±-=，给出的是当042≥-ac b 时可以将a 、b 、c 的值代入
以求得方程的解．这样的公式只是静态地给出了结果，而对于计算过程的每一步具体如何操作，却并未加以说明．相反，中国古代数学中的“术”则明确地指出了每一步计算的具体操作方式，是一种动态的算法描述．我们以《九章算术》中的“约分术”为例来分析其特征．
约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之． 比如约分
182
98．先求分子分母的最大公约数．按约分术，“可半者半之”是指如果分子分母都能被2整除，就先取半得9149．“不可半者，副置分母子之数，以少减多”是指如果两个数中有一个不能被2整除，则将两数分列，大数减小数（用较少的数从较多的数中减去）得91-49=42．“更相减损，求其等也”是指对减数和所得的差再大数减小数，不停地减直至减数和所得的差相等，即49-42=7、42-7=35、35-7=28、28-7=14、14-7=7得等数为7，该等数便是分子分母的最大公约数．然后“以等数约之”便得结果13
7791749=÷÷． 从以上过程可以明显看出“术”的操作性特点，且易发现“术”体现了一般算法的“可行性、确定性、有穷性、有效性和普遍性”等特征．而且“可半”“不可半”的选择明显是算法中的“选择结构”，“更相减损”则是算法中的“循环结构”，至于“顺序结构”则是不言自明的．
所以中国古代数学中的“术”是一种真正意义上的算法，符合现代算法思想的一般特征．让学生分析这样的“术”能较好地促进对现代算法思想的理解．
算法的学习需要学生“通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程．在具体问题的解决过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环．”中国古代数学中大量的应用问题，为算法的学习提供了丰富的案例．这些案例及计算过程，深刻地揭示了现代算法思想，是学生模仿、操作、探索的极佳的素材．同时这些问题及算法的背景，能够较好地激发学生的民族情绪，这一点对学生理解现代算法思想也是有着很好的促进作用的．
数学史中象算法这样能为数学教育提供丰富素材的内容是非常多的，这里就不一一赘述了。

第2章 代数
一、三次方程求根与复数、群论的诞生
在欧洲文艺复兴时期之前，世界数学的中心是印度和阿拉伯数学，阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》被认为是“近代初等代数学”的开端，该书被翻译成拉丁文后，对欧洲代数学的发展产生了极大的影响。

（因为该书探讨的是问题的一般解法——其中有二次方程解法的几何解释——所以激起了人们探讨方程的一般解法的兴趣。

）
15世纪，人们认为三次、四次方程的一般解法问题与化圆为方问题一样难以解决。

1515年前后，意大利波伦亚大学的数学教授费罗（Ferro ，1465—1526）发现了形如n mx x =+3
（m ，n ＞0）的三次方程的一般解法。

按当时的风气，学者之间常常进行一些学术性的比赛，比如解方程比赛，所以自己的最新研究成果肯定是要保密而不公开的。

费罗把自己的解法秘
密传给他的学生费奥（Fior ）。

1535年，意大利另一位数学家塔塔利亚（原名Fontana ，绰号Tartaglia 意思是口吃者）也宣称自己能解形如n mx x =+2
3（m ，n ＞0）的三次方程。

费奥不相信，便向塔塔利亚挑战，要求各自解出对方提出的30个三次方程。

比赛在米兰大教堂公开举行，结果塔塔利亚大获全胜，很快解出了两种类型的所有30个方程，而费奥只能解出一种类型的方程。

塔塔利亚获胜后仍然保守秘密，后来，一位教书行医于米兰的学者卡尔丹（Cardano ，1501—1576）再三请求并答应保密，于是，塔塔利亚便把解法传给了卡尔丹。

但卡尔丹在1545年出版的著作《大法》中公布了这些解法。

许多人认为卡尔丹不守信用，但卡尔丹注明了解法是塔塔利亚告诉他的，而且他将方法推广到一般的三次方程，并给出了几何证明。

而事实上这一公式的公开对数学发展产生了积极的作用。

三次方程解决后不久，意大利数学家达科伊向卡尔丹提出一个四次方程的问题，卡尔丹未能解决，但由其学生费拉里（Ferrari ，1522—1565）解决了，其解法也被卡尔丹写进了《大法》中。

三次方程求根的基本思路是： 二次：02=++c bx ax →a ac b y 4422
-=（消一次项，令x=y-b/2a ） 三次：02
3=+++d cx bx ax →q py y +=3（消二次项，令x=y-b/3a ）
在q px x +=3中，令x=y+z ，则q z y p yz z y =+-++))(3(33
若⎩⎨⎧==+3/33p yz q z y 则上式成立，即⎪⎩⎪⎨⎧==+33333)3/(p z y q z y 解方程 0)3/(32=+-p qt t 得32)3
()2(2p q q t -±=，所以三次方程q px x +=3的一个解是 332332)3
()2(2)3()2(2p q q p q q x --+-+= 三次方程求根公式的公布，对数学的发展起了很大的推动作用。

对教学也具有一定的启发作用。

例如对虚数概念的教学，如果用传统的方法，由于方程012
=+x 在实数集内无解，为解决这一矛盾需扩充数集而引入虚数的概念，那么学生虽然也能从形式上接受这一概念，但在思想上却往往难以消除对引入这一新概念的必要性与合理性的困惑。

如果在教学中先向学生介绍虚数概念产生和发展的历史，就可能消除学生的这种困惑。

事实上，虚数概念正是来源于数学家们使用卡尔丹公式时发现的一种奇怪现象，那就是当027/4/32<-p q 时公式中出现了负数的平方根。

比如对于方程4153+=x x ，容易知道它有一个根4=x ，据此不难求得另外两个根是32+-和32--。

但是用卡尔丹公式却得到方程的一个根是3312121212--+-+=x ，于是数学家们困惑了，一个明
明有着三个实根的三次方程，用卡尔丹公式进行计算时却包含着一个“不存在”的根。

后来，人们把1-、121-这些负数的平方根当成是普通的数一样参与运算，这样就有1212-+3)12(-+=，3)12(1212--=--，于是原来那个“不存在”的根便化为4=x ，卡尔丹公式计算的结果又与实际情况相符了。

这一现象使数学家们在遇到类似情况时都把形如a -)0(>a 的算式当成普通的数进行运算。

虽然人们在科学计算中大量地使用形如a -这类数，却始终不承认它们是真正的数，为此笛卡尔还特别称这种数为“虚数”，意思是虚无而不存在的数。

直到19世纪高斯等人，将形如bi a +的数称为复数，并把它与直角坐标系中的点),(b a 联系起来，使得这种数有了直观的解释。

高斯首先在代数基本定理的证明中使用了复数，后来复数又在电学、几何、声学等许多自然科学和应用科学中发挥了巨大的作用。

凭借着高斯的崇高威望及自身的广泛应用性，复数概念才被普遍接受。

复数概念的发展中，如下一些史实值得关注：
18世纪，由于微积分运算中经常要用到复数，从而推动了复数理论的发展。

但虚数的本质究竟是什么，仍是数学家们困惑的难题。

欧拉试图理解这一问题，但他还是认为：“它们就其本性来说是不可能的数，因而通常叫做虚数或幻想中的数，因为它们只存在于想象之中。

”
1707年法国数学家棣莫弗（1667—1754）提出后来称为棣莫弗公式的关系式。

1748年欧拉证明了上述公式，同年给出公式x x e x sin 1cos 1-+=-。

1777年欧拉用i （imaginary 虚幻）表示虚数单位1-。

1788年丹麦数学家韦塞尔（1745-1818）建立了复平面，将每个复数bi a +对应一个由原点出发的向量，并用几何方法的向量运算规定了复数的四则运算。

1811年高斯提出bi a +可用点),(b a 表示，并于1831年阐述了复数加法与乘法的几何意义。

韦塞尔、高斯等人仅仅提供了复数的直观解释，数学家还需要建立复数的逻辑基础。

1837年，英国数学家哈密尔顿指出，bi a +不是2+3意义上的和，而只不过是有序实数偶，i 在复平面上可表示（0，1）。

哈密尔顿的定义，可以直接用实数演绎出复数。

他用实数偶给出了复数四则运算的定义，如
)
,(),(),(),(),(),(bc ad bd ac d c b a d c b a d c b a +-=⋅++=+ 在这种定义下，运算的交换律、结合律、分配律等都可以通过实数的运算律推导出来，于是复数理论的逻辑基础终于在实数的基础上牢固地建立起来。

在教学中，通过对复数产生和发展史及复数广泛应用性的简单介绍，可以使学生消除对虚数概念的神秘感和接受这一概念的心理抵抗情绪，从而以较高的热情学习复数知识。

美国UCSMP 教材（芝加哥大学编）引入复数概念时就用了这样一段文字：“‘复数’术语的第一次使用一般归功于高斯（Carl Friedrich Gauss ，1777—1855），他还将复数应用于电学上。

20世纪以后逐步发现复数在几何和声学中的应用。

新的应用继续被发现，从1975年
开始，一个全新的领域——动态系统出现，复数起着中心作用。

这个领域又辐射出绚丽多姿的计算机生成图画学，其在艺术比赛中屡获殊荣。

”
在解出三、四次方程后的整整两个半世纪里，很少有人怀疑五次或五次以上方程根式求解的可能性。

但是，所有寻求这种解法的努力都失败了。

历史上，第一个明确宣布“不可能用根式解四次以上的方程”的数学家是拉格朗日。

拉格朗日在1770年发表的《关于代数方程解的思考》一文中，指出五次及五次以上的方程不可能有象三、四次方程那样的一般解法。

拉格朗日试图对此作出证明，但经过顽强的努力也无法解决（据说他写了长达200页的论文，仍未能把问题说清楚）。

他无奈地说：“这个问题好象是向人类智慧的一种挑战”。

1824年，挪威的一位年轻数学家阿贝尔（22岁）在一本小册子《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》中，严格证明了如下事实：如果方程的次数n 大于或等于5，并且把系数n a a a ,......,,21看成字母，那么任何一个由这些字母组成的根式都不可能是方程的根。

（即证明了五次及五次以上的方程不可能有一般解法）阿贝尔还考虑了一些能用根式求解的特殊方程，其中的一类现在被称为“阿贝尔方程”。

（阿贝尔只活了27岁。

他一生贫病交加，但留下了许多创造性贡献。

除方程论外，他还是椭圆函数的创始人之一，不过这些工作在他生前均未受重视。

阿贝尔大学毕业后长期找不到工作，1829年，柏林大学终于认识到了他的才华，决定任命他为教授，但当聘书寄到的时候，阿贝尔由于肺结核已在两天前去世了。

）
在阿贝尔之后，数学家所面临的一个问题就是：什么样的特殊方程能够用根式来求解？解决这个问题的是法国的年轻数学家伽罗瓦，他在1829—1831年间完成的几篇论文中，建立了判别方程根式可解的充分必要条件。

在这个问题的论述中，伽罗瓦实际上建立了“群”的理论，当然伽罗瓦用到的只是一种特殊的群，即置换群。

伽罗瓦因决斗而死时还不到21岁。

二、自然数幂和公式在教学上的应用
现行高中数学教材中，最早出现自然数平方和公式是在高二球体积公式的推导中，这里只是用到了公式的结果，其证明则是在高三学习数学归纳法时完成的．这样的安排，自有编者的意图和理由，但在实际教学中根据教学对象等方面的具体情况，作一些灵活的调整，应该也是教师的权利和责任．以下关于自然数平方和公式的研究性学习设计，选自《中学教研》2005年赵晓娟老师的一篇论文，列在此处作为参考。

1 归纳猜想
“我们已经知道了前n 个自然数和的公式，那么前n 个自然数的平方和该如何求呢？据记载，早在公元前3000年左右，巴比伦人曾求出了前10个自然数的平方和，而在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n 个自然数平方和的一般公式．你们也能得到这一公式吗？” 笔者这样开场以激起学生对该问题的研究兴趣，并顺手在黑板上写下了
n S =2222321n ++++ =？．
多数学生觉得可以先依次算出前几项的和，再探求规律．看来，学生们已经比较普遍地习惯于用探索归纳的思想去研究未知事物了．然而眼前的问题却难住了学生，这里的规律实在不容易看出来．
这时需要教师的合理化建议了，“希尔伯特曾经说过：‘数学的生命力就在于各部分之间的广泛联系’，这对大家有什么启发吗？我们研究的问题是从什么问题引出来的？”
“自然数的一次和．对，我们把这两个和的前几项写到一起看看．”有学生这样提议，于是大家共同构造了下面这张表。