新疆高二上学期期末两校联考数学试题(解析版)

一、单选题
1．已知点，则（ ） ()()0,1,3,1,2,3A B -AB =
A ．
B ．
C ．
D ．
(2,1,3)-()1,2,3()1,3,0-()1,3,0【答案】D
【分析】的坐标用终点坐标减去起点坐标即可.
AB
【详解】由点可知，. ()()0,1,3,1,2,3A B -()1,3,0AB =
故选：D
2．已知两点分别为，则所在直线的斜率为（ ） (1,1),(2,3)A B AB A ．2 B ．
C ．
D ．
1
212
-2-【答案】A
【解析】利用两点求斜率公式即可求解. 【详解】由， (1,1),(2,3)A B 则. 31
221
AB k -=
=-故选：A
【点睛】本题考查了两点求斜率，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 3．抛物线的准线方程是（ ） 2
14
y x =A ． B ．
C ．
D ．
1y =-1y ==1x -1x =【答案】A
【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程 y 2p 【详解】抛物线的标准方程为，焦点在轴上 24x y =y ，即
24p ∴=2p = 12
p ∴
=则准线方程为 1y =-故选
A 【点睛】本题主要考查了抛物线的基本性质，先将其转换为标准方程，然后求出准线方程，属于基础题．
4．已知圆，则该圆的圆心和半径分别是（ ） 22240x y x y ++-=
A ．，5
B ．，5
C ．
D ．()1,2-()1,2-()1,2-()1,2-
【答案】C
【分析】将圆的方程化为标准方程即可得解.
【详解】解：将圆的一般式方程化为标准方程得， 22240x y x y ++-=22(1)(2)5x y ++-=
所以圆心为()1,2-故选：C.
5．直线，若，则a 的值为（ ） 12:3102110l ax y l x a y ++=+
++=：，（）12l l ∥A ．或2 B ．3或 C ． D ．2
3-2-3-【答案】C
【分析】根据直线平行得到，得到解得或，再验证得到答案.
()123a a +=⨯2a =3a =-【详解】，，则， 12:3102110l ax y l x a y ++=+
++=：，（）12l l ∥()123a a +=⨯解得或，
2a =3a =-当时，，两直线重合，排除； 2a =1223102:310l x y l x y ++=++=：
，当，验证满足. 3a =-综上所述：. 3a =-故选：C
6．已知向量，，则等于（ ） (2,3,1)a = (1,2,0)b =
a b +
A B ． C D ．
39【答案】C
【解析】利用空间向量加法运算的坐标表示计算，再用空间向量的模长公式计算模长.
a b +
【详解】
(3,5,1)a b +=
故a + 故选：C
7．已知圆和，则两圆的位置关系是（ ）
221:1C x y +=22
2:540C x y x +-+=A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离
【答案】C
【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案.
【详解】由题意，知圆的圆心，半径.
1C 1(0,0)C 1r =圆的方程可化为，则其圆心，半径.
2C 2
25924x y ⎛
⎫-+= ⎪⎝
⎭25,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭32R =因为两圆的圆心距，故两圆外切. 1253
1+22
C C R r ===+故选：C.
8．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则抛物线的方程是（ ） 22y px =0(2,)M y 3A ． B ． 22y x =24y x =C ． D ．
22y x =-24y x =-【答案】B
【分析】由抛物线知识得出准线方程，再由点到焦点的距离等于其到准线的距离求出，0(2,)M y p 从而得出方程.
【详解】由题意知，则准线为， 0p >2
p
x =-
点到焦点的距离等于其到准线的距离， 0(2,)M y 即，∴，则 |2|32
p
-
-=2p =24y x =故选：B.
9．已知，是椭圆的焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且
()12,0F -()22,0F C 2F x C A B ，则椭圆的方程为（ ） 6AB =C A ．
B ．
2
215x y +=22
1128x y +=C ．
D ．
22
11612x y +=22
195
x y +=【答案】C
【分析】由题意设椭圆方程为，再将代入椭圆方程求出，则有22
221(0)x y a b a b +=>>2x =y 26
y =，再结合可求出，从而可得椭圆方程.
2224a b c -==,a b 【详解】由题意设椭圆方程为，则，
22
221(0)x y a b a b +=>>2224a b c -==
当时，，则
2x =22241y b a ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭y =
因为，所以，得，所以， 6AB =3=2
3b
a
==23b a =
所以，所以，解得或（舍去）， 224a b -=2340a a --=4a =1a =-所以，
2
12b =所以椭圆方程为，
2211612x y +=故选：C
10．已知正方体中，点，分别为正方形和正方形的中心，1111ABCD A B C D -Q P 11CDD C 1111D C B A M 为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） AB PQ 1MB
A B C D 【答案】A
【分析】取底面ABCD 的中心O ，和的中点分别为，进而证明与1CC 11B C ,U T //PQ TU 1//MB OT ，然后根据线线角的定义可知（或其补角）是所成的角，再进一步解出对应三角形OTU ∠1,PQ MB 三边的长度，最后求得答案. 【详解】如图所示：
取底面ABCD 的中心O ，BC 、和的中点分别为.
1CC 11B C ,,W U T 连接，因为P 为底面的中心，所以，即四边形，所,,PT TU QU 1111D C B A //,PT QU PT QU =PQUT 以.
//PQ TU 又因为O 为底面ABCD 的中心，T 为的中点，所以，即四边形，所11B C 11//,B T MO B T MO =1MOTB 以.
1//MB OT 于是，（或其补角）是所成的角.
OTU ∠1,PQ MB
连接OW ,OC ，设该正方体棱长为2，由勾股定理可知：，
=TU OC =OU ==
OT ==
于是，即，所以
222OT OU TU =+OU TU ⊥cos TU OTU OT ∠==
故选：A.
11．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A 、两点，则A 、与椭圆的另一焦点22421x y +=1F B B 构成，那么的周长是（ ）
2F 2ABF △2
ABF △A ．B
．2
C
D ．1
【答案】A
【分析】由椭圆的方程可求出，得解. a =
24ABF C a =A 【详解】因为椭圆可化为，所以，即
22421x y +=22
111
42x y +=2
12a =a =故的周长为2ABF △2221122ABF C AB AF BF AF BF AF BF =
++=++
+A ()()1212AF AF BF BF =+++2244a a a =+===故选：
A.
12．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB
＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为（ ）
A ．
B
C ．
D ．
1
21316
【答案】C
【分析】
以D 为坐标原点， ，分别为x 轴，y 输、z 轴正方向建立空间直角坐标系，
1,,D C D A D D u u u r u u u r u u u r
用向量法求解. 【详解】如图，
以D 为坐标原点， ，分别为x 轴，y 输、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则
1,,D C D A D D u u u r u u u r u u u r
．从而. ()()()()10,0,1,1,1,0,1,0,0,0,2,0D E A C ()11,1,1,1(1,2,0)(1,),0,1E AC D AD ==-=--
设平面的法向量为，则，即，得，
1ACD (),,n a b c = 10
0n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩2a b a c =⎧⎨=⎩令，则，所以点E 到平面的距离为． 2a =()2,1,2n = 1ACD 1||2121
33||D E h n n +-=
=⋅=
故选：C
二、填空题
13．若向量，且，则___________.
(4,1,2)a =- (,8,6)b x =- a b ⊥
x =【答案】
5【分析】空间向量垂直，则空间向量的数量积为0，进而列出方程，求得结果
【详解】因为，所以，即，解得： a b ⊥
0a b ⋅= 48120x --=5x =故答案为：
514．双曲线的右焦点到直线的距离为________．
22
163
x
y -=280x y +-=
【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，， 3c ==所以双曲线的右焦点为，
(3,0)所以右焦点
到直线
(3,0)280x y +-
==
=15．已知直线与圆相切，则______.
:1l y x =+
222
10C :x y r r -+=>（）
（）r =
【分析】根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】
r Þ
16．已知，是椭圆E 的两个焦点，P 是E 上的一点，若，且1(,0)F c -2(,0)F c 12PF PF ⊥122
=△PF F S c
，则E 的离心率为________.（注：离心率等于） c
a
【分析】根据椭圆定义及勾股定理求出，从而求出，结合题干条件得到
2122PF PF b ⋅=122
F PF S b =△，从而求出离心率.
b c =【详解】由椭圆定理可知：，， 122PF PF a +=122FF c =因为，由勾股定理得：， 12PF PF ⊥2
2
2
1212PF PF F F +=即，
()
2
2
12
12122PF PF PF PF F F +-⋅=所以，
22
12424a PF PF c -⋅=解得：， 2
122PF PF b ⋅=所以， 122121
2
F PF S PF PF b =
⋅=A 因为，
122
=△PF F S c 所以，故， b c =22222a b c c =+=
故离心率为c e a ==
三、解答题
17．求双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 224936x y -=【答案】答案见详解
【分析】将双曲线化为标准方程，得到的值，即可得出结果.
,,a b c
【详解】解：由已知可得，双曲线标准方程为：，则，，.
22
194x y -=3a =2b =c =所以实轴长为；
26a =
双曲线的焦点在轴，焦点坐标为
，；
x )()
离心率为： c e a =
=
渐近线方程为：.
2
3b y x x a =±=±18．已知直线与直线交于点．
230x y -+=320x y ++=P
(1)求过点且平行于直线的直线的方程，并求出两平行线之间的距离；（直线方程P 3450x y +-=1l 写成一般式）
(2)求过点且垂直于直线的直线的方程；（直线方程写成一般式） P 4320x y ++=2l 【答案】(1)；距离为 3410x y +-=4
5
(2) 3470x y -+=
【分析】（1）联立方程得到，根据平行得到斜率的关系，代入点坐标得到直线方程，再计()1,1P -算距离即可.
（2）根据垂直关系得到斜率的关系，代入点坐标得到答案.
【详解】（1），解得，故，
230
320x y x y -+=⎧⎨++=⎩11 x y =-⎧⎨=⎩
()1,1P -设直线的方程为,平行于直线，即，
1l 11y k x b =+1l 3450x y +-=35
44
y x =-+则，直线过点，即，解得， 13
4
k =-()1,1P -3
14b =
+14
b =故直线方程为，即.
31
44
y x =-+3410x y +-=
两平行线之间的距离为. 4
5
d （2）设直线的方程为，直线与垂直，即，
2l 22y k x b =+2l 4320x y ++=42
33y x =--故，直线过点，故，，故直线方程为，
234
k =
()1,1P -2314b =-+274b =37
44y x =+即.
3470x y -+=19．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1.
（1）求证：AB 1⊥平面A 1BC 1；
（2）若D 为B 1C 1的中点，求AD 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2 【分析】（1）若要证明线面垂直，只要证明该直线垂直于平面内的两条相交直线，结合图像，利用线面关系即可得解；
（2）要求线面角的正弦值，先确定线面角，然后解三角形即可. 【详解】（1）证明：由题意知四边形AA 1B 1B 是正方形， ∴AB 1⊥BA 1.
由AA 1⊥平面A 1B 1C 1得AA 1⊥A 1C 1. 又∵A 1C 1⊥A 1B 1，AA 1∩A 1B 1＝A 1， ∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B.
又∵AB 1⊂平面AA 1B 1B ，∴A 1C 1⊥AB 1. 又∵BA 1∩A 1C 1＝A 1， ∴AB 1⊥平面A 1BC 1.
（2）连接A 1D.设AB ＝AC ＝AA 1＝1.
∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴∠A 1DA 是AD 与平面A 1B 1C 1所成的角.在等腰直角三角形A 1B 1C 1中，D 为斜
边B 1C 1的中点，∴A 1D ＝B 1C 1. 1
2
在Rt △A 1DA 中，AD =
∴sin ∠A 1DA ＝
，即AD 与平面A 1B 1C 11A A AD =
【点睛】本题考查了立体几何的线面垂直的证明，考查了几何法求线面角的大小，有一定的计算量属于中档题，本题的关键有：
（1）通过线面垂直关系得到线线垂直，从而得到线面垂直； （2）几何法求线面角的关键是先确定线面角，进而解三角形计算.
20．已知椭圆C 的焦点为F 1（0，-2）和F 2（0，2），长轴长为y =x +2交椭圆C 于
A ，
B 两点.
(1)求椭圆C 的标准方程; (2)求弦AB 的中点坐标及|AB |.
【答案】(1)
2
215
y x +=
(2)中点坐标15,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
【分析】（1）由题意以及即可求出椭圆的标准方程. 222a b c =+（2）将直线与椭圆方程联立，由中点坐标公式以及弦长公式即可求解.
【详解】（1）因为椭圆C 的焦点为和 ，长轴长为 ()10,2F -()20,2F
所以椭圆的焦点在轴上，y 2,c a ==所以.
1b =所以椭圆C 的标准方程.
2
215
y x +=（2）设，，AB 线段的中点为，
11(,)A x y 22(,)B x y 00(,)M x y 由得， 22552x y y x ⎧+=⎨=+⎩26410,0x x +-=∆>所以，
121221
,36
x x x x +=-=-所以，，
01
3x =-00523y x =+=所以弦AB 的中点坐标为，
15,33M ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
||AB ==
21．如图，在长方体中，四边形是正方形，点N 为AD 的中点，且
1111ABCD A B C D -ABCD .
14,2AA AB ==
(1)求证；
11CD BA A (2)求二面角的余弦值.
1N CD D --【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）确定四边形为平行四边形，得到证明.
11BCD A （2）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，计算平面的法向量，根据法向量的夹角公式得到答案.
【详解】（1）长方体，故，
1111ABCD A B C D -1111,,,BC AD BC AD AD A D AD A D ==∥∥故，四边形为平行四边形，故.
1111,BC A D BC A D =∥11BCD A 11CD BA A （2）建立为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，如图所示：
AB x AD y 1AA z
则，，，，则，，
01,0N （，）220C （，，）1024D （，，）020D （，，）()2,1,0NC = ()10,1,4ND = 设平面的法向量为，则， 1D NC ()1,,n a b c = 11
12040n NC a b n ND b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 取得到， 1a =11122n ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ ，，平面的一个法向量为，
1CDD ()20,1,0n =u u r 故二面角的余弦值. 1N CD D -
-121112
cos ,n n n n n n ⋅===⋅ 22．已知圆的圆心在轴上，且经过点.
C x 1,0,()(,2)1A B -（1）求圆的标准方程；
C （2）过点的直线与圆相交于两点，且
的方程.
(0,2)P l C ,M N ||MN =l
【答案】（1）（2）或
22(1)4x y -+=0x =3480x y +-=【分析】（1）根据题意，设的中点为，求出的坐标，求出直线的斜率，由直线的点斜AB D D CD 式方程分析可得答案，设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而C 222()x a y r -+=a 计算可得的值，据此分析可得答案；
r （2）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，综合F MN l 即可得答案.
【详解】解：（1）设的中点为，则，
AB D (0,1)D 由圆的性质得，
CD AB ⊥所以，得，
1CD AB K K ⨯=-1CD K =-所以线段的垂直平分线方程是，
AB 1y x =-+设圆的标准方程为，其中，半径为，
C 222()x a y r -+=(,0)C a ()0r r >由圆的性质，圆心在直线上，化简得，
(,0)C a CD 1a =所以圆心，，
()1,0C ||2r CA ==所以圆的标准方程为；
C 22(1)4x y -+=
（2）由（1）设为中点，则，得
F MN CF l ⊥||||FM FN ==
圆心到直线的距离， C l ||1d CF ===当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；
l l 0x =||1CF =当直线的斜率存在时，设的方程，即，
l l 2y kx =+20kx y -+=
由题意得； d =34k =-故直线的方程为， l 324y x =-+即；
3480x y +-=综上直线的方程为或.
l 0x =3480x y +-=【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的综合应用，属于基础题.。