2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题33空间向量及其运算(题型专练)含解析

专题33 空间向量及其运算
1．若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( ) A ．a ，a ＋b ，a －b B ．b ，a ＋b ，a －b C ．c ，a ＋b ，a －b D ．a ＋b ，a －b ，a ＋2b 【答案】C
【解析】若c 、a ＋b 、a －b 共面，
则c ＝λ(a ＋b )＋m (a －b )＝(λ＋m )a ＋(λ－m )b ，
则a 、b 、c 为共面向量，此与{a 、b 、c }为空间向量的一组基底矛盾，故c ，a ＋b ，a －b 可构成空间向量的一组基底。

2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式： ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→。

其中能够化简为向量BD 1→
的是( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④ 【答案】A
3．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为8
9，则λ等于( )
A ．2
B ．－2
C ．－2或255
D ．2或－2
55
【答案】C
【解析】由已知得89＝a·b
|a |·|b |＝2－λ＋45＋λ2·9，
∴85＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝2
55。

4．平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC →′＝xAB →＋2yBC →－3zCC →
′，则x ＋y ＋z ＝( ) A ．1 B.7
6
C.56
D.23
【答案】B
【解析】AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AD →＋AB →＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝xAB →＋2yBC →－3zCC ′→，故x ＝1，y ＝1
2，
z ＝－13，∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝7
6。

5．已知直线AB 、CD 是异面直线，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线AB 与CD 夹角的大小为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
【答案】C
6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN
→|为( )
A.216a
B.66a
C.
156a D.153
a 【答案】A
【解析】以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，
则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )， N ⎝
⎛⎭⎫a ，a ，a
2。

设M (x ，y ，z )。

∵点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→，
∴(x －a ，y ，z )＝1
2
(－x ，a －y ，a －z )，
∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a
3，得M ⎝⎛⎭⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN →|＝⎝⎛⎭⎫a －23a 2＋⎝⎛⎭⎫a －a 32＋⎝⎛⎭
⎫a 2－a 32 ＝
21
6
a 。

7．在空间直角坐标系中，A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )
A ．垂直
B ．平行
C ．异面
D ．相交但不垂直
【答案】B
8．如图7-6-6，三棱锥O -ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →
＝( )
图7-6-6 A ．1
2(－a ＋b ＋c )
B ．1
2(a ＋b －c )
C ．1
2(a －b ＋c )
D ．1
2(－a －b ＋c )
【答案】B
【解析】NM →＝NA →＋AM →＝(OA →－ON →)＋12AB →＝OA →－12OC →＋12(OB →－OA →)＝12OA →＋12OB →－12OC →＝1
2(a
＋b －c )．
9．在空间直角坐标系中，已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且满足|P A |＝|PB |，则P 点坐标为( )
A ．(3,0,0)
B ．(0,3,0)
C ．(0,0,3)
D ．(0,0，－3)
【答案】C
10．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(x,1,2)，且a ·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．5π6
B ．2π3
C ．π3
D ．π6
【答案】D
【解析】∵a ·b ＝x ＋2＝3，∴x ＝1， ∴b ＝(1,1,2)．
∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝32×6＝32.
∴a 与b 的夹角为π
6
，故选D ．
11．如图7-6-7，在大小为45°的二面角A -EF -D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )
图7-6-7 A ． 3 B ． 2 C ．1
D ．3－ 2
【答案】D
【解析】∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →
，
∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2
＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD →|＝3－ 2.
12．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 是( )
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．不确定
【答案】C
13．已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP →＝13VC →，VM →＝23VB →，VN
→
＝23
VD →
.则VA 与平面PMN 的位置关系是________.
【答案】平行
【解析】如图，设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，则VD →＝a ＋c －b ，由题意知PM →＝23b －13c ，PN →＝23VD
→
－13VC →＝23a －23b ＋1
3
c . 因此VA →＝32PM →＋32PN →，
∴VA →，PM →，PN →
共面．
又∵VA ⊄平面PMN ，∴VA ∥平面PMN .
14．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝________. 【答案】－9
【解析】由题意知c ＝xa ＋yb ， 即(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)，
∴{ 2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.
15．如图7-6-8，已知P 为矩形ABCD 所在平面外一点，P A ⊥平面ABCD ，点M 在线段PC 上，点N 在线段PD 上，且PM ＝2MC ，PN ＝ND ，若MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →
，则x ＋y ＋z ＝________.
图7-6-8 【答案】－2
3
16．已知a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，则c ＝________. 【答案】(3，－2,2)
【解析】因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1
－1
，
解得x ＝2，y ＝－4，
此时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)， 又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，
即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)．
17．如图所示，已知空间四边形ABCD ，F 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若EF →＝λ(AB →＋DC →)，则λ＝__________。

【答案】12
【解析】如图所示，取AC 的中点G ， 连接EG 、GF ，
则EF →＝EG →＋GF →＝12(AB →＋DC →)
∴λ＝12。

18．已知O (0,0,0)，A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →
最小时，点Q 的坐标是________。

【答案】⎝⎛⎭⎫43，43，83
19．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下面给出四个命题： ①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2
＝3(A 1B 1→
)2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0； ③AD 1→与A 1B →
的夹角为60°； ④此正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|。

则正确命题的序号是__________(填写所有正确命题的序号)。

【答案】①②
【解析】①∵|A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→|＝|A 1C →|＝3|A 1B 1→|， ∴正确；
②∵A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·A 1B 1→－A 1C →·A 1A →； ∵(A 1C →，A 1B 1→)＝(A 1C →，A 1A →)，|A 1B 1→|＝|A 1A →| ∴A 1C →·A 1B 1→－A 1C →·A 1A →＝0.∴正确；
③AD 1与A 1B 两异面直线的夹角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，A 1B →＝D 1C →，注意方向，
④AB →·AA 1→＝0，正确的应是|AB →|·|AA 1→|·|AD →|。

20．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →
＝c ，M 、N 、P 分别是AA 1、BC 、C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：
(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→。

＝12AD →＋AA 1→＝1
2
c ＋a ， ∴MP →＋NC 1→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋1
2c ＝32a ＋12b ＋3
2
c 。

21．已知a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，求： (1)a ，b ，c ；
(2)(a ＋c )与(b ＋c )所成角的余弦值。

22．如图所示，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是(32，12
，0)，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°。

(1)求OD →
的坐标；
(2)设AD →和BC →
的夹角为θ，求cos θ的值。

【解析】(1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E 。

在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝3。

∴DE ＝CD sin30°＝
3
2。

OE ＝OB －BD cos60°＝1－12＝1
2。

＝
－210
＝－10
5。

∴co s θ＝－
10
5。

23．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →
. (1)若|c |＝3，且c ∥BC →
，求向量c ；
(2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值. 【解析】解 (1)∵c ∥BC →，BC →
＝(－3,0,4)－(－1,1,2) ＝(－2，－1,2)，
∴c ＝mBC →
＝m (－2，－1,2)＝(－2m ，－m,2m )， ∴|c |＝－2m 2＋－m 2＋2m 2＝3|m |＝3，
∴m ＝±1.
∴c ＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)． (2)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)． ∴a ·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1. 又∵|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝
－1
2＋02＋22＝
5，
∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－110＝－1010，
故向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－
10
10
.
24．已知a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)．
(1)求|2a ＋b |；
(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点)
⎝⎛⎭⎫－65，－145，25. 25.如图7-6-9，在直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．
图7-6-9
(1)求证：CE ⊥A ′D ；
(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．
【解析】解 (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，
根据题意得，|a |＝|b |＝|c |，
且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，
∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12
a . ∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12
b 2＝0.。