【成才之路】高中数学人教A版选修课件：第三章间向量与立体几何立体几何中的向量方法

2．空间中平面 α 的位置可以由 α 内两条___相__交_____直线来 确定. 设这两条直线相交于点 O，它们的方向向量分别为 a 和 b， P 为平面 α 上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序 实数对(x，y)，使得
O→P＝___xa_＋__y_b_____. 这样，点 O 与向量 a，b 不仅可以确定平面 α 的位置，还 可以具体表示出 α 内的任意一点．
2．已知向量 a＝(2,4,5)、b＝(5，x，y)分别是直线 l1、l2 的 方向向量，若 l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝125
C．x＝10，y＝15 [答案] D
D．x＝10，y＝225
[解析] ∵l1∥l2，∴a∥b， ∴52＝4x＝5y，∴xy＝ ＝12205 .
[分析] 设平面 ABC 的一个法向量为 n，则 n 垂直于平面 ABC 内的任意向量，不妨取A→B、B→C，求得 n.
[解析] 设平面 ABC 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， 由题意A→B＝(－1,1,0)，B→C＝(1,0，－1)． ∵n⊥A→B且 n⊥B→C， ∴nn··AB→→BC＝＝－x－x＋z＝y＝0 0 ， 令 x＝1 得 y＝z＝1. ∴平面 ABC 的一个法向量为 n＝(1,1,1)．
∴u⊥v，∴α⊥β. (2)观察知v＝－2u，即u∥v，∴α∥β.
(3)∵u·v＝－29≠0，∴u、v不垂直，显然u≠v， ∴α与β既不平行也不垂直， 即α与β相交但不垂直．
[点评] 1.判断两不重合平面的位置关系，只需取两平面 的法向量u，v，若u·v＝0，则二面垂直；若u∥v，则二面平 行．
2．判断直线l与平面α(l⊄α)的位置关系，取直线的方向向 量a与平面的法向量v，若a·v＝0，则l∥α；若a∥v，则l⊥α.
A→P＝t___A→_B___或O→P＝(1－t)O→A＋tO→B.
这样，点 A 和向量 a 不仅可以确定直线 l 的位置，还可以 具体表示出 l 上的任意一点．
依据直线的方向向量可以确定直线平行的条件，计算两条 直线所成的角，研究线面的平行与垂直等．
在直线上任取两点 P、Q，可得到直线的一个方向向量 → PQ.
l1∥l2⇔a∥b，l1⊥l2⇔a⊥b.
[解析] (1)显然有b＝3a，即a∥b，
∴l1∥l2. (2)a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
(3)显然b＝－4a，即a∥b，故l1∥l2.
[点评] 判断两不重合直线位置关系，只需取两直线的方
向向量a、b，若a·b＝0，则两直线垂直；若a∥b，则两直线平
注：①由前提知 a，b，u，v 都是非零向量．
②用(1)证明线线平行时，必须指明 l 与 m 不重合；用(3) 证明线面平行时必须说明__l_⊄_α______；用(5)证明二面平行时， 必须说明___α_与__β_不__重__合______．
1．(2015·山东临沂市高二期末测试)若平面α∥β，则下面
面 α 的法向量，则必须满足nn··Pa→＝M＝0 0 ，把选项代入验证，只
有选项 D 不满足，故选 D.
4．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个 法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝_______.
[答案] －3 [解析] 由题意，得－63＝－y2，∴y＝1，
1．空间中任意一条直线 l 的位置可 以 由 l 上 一 个 ___定__点__A___ 以 及 一 个 __定__方__向____确定．如图所示，点 A 是直 线 l 上一点，向量 a 表示直线 l 的方向(方 向向量)，O 是空间任一点．在直线 l 上取 A→B＝a，那么对于直线 l 上任意一点 P， 一定存在实数 t，使得
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人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
空间向量与立体几何 第三章
3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 直线的方向向量和平面的法 向量
第三章
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4 课时作业
课前自主预习
任何一种工具的发明，都是为了方便解决问题，蒸汽机的 发明推动了工业革命；计算机的出现解决了复杂的运算问题， 提升了运算速度；网络的发明与发展促进了全球化的发展与地 球村的形成．向量作为一种工具，它的应用又体现了在哪些方 面呢？
(1，y,2)，则y＝__________________.
[答案]
1 2
[解析] ∵l∥α，∴l 的方向向量与 α 的法向量垂直，∴2×1
－8y＋1×2＝0，∴y＝12.
易错疑难辨析
直线 l 的方向向量为 a＝(2，－1,1)，平面 α 的法 向量为 e＝12，0，－1，则 l 与 α 的位置关系为___________．
利用法向量研究线面位置关系
设 u、v 分别是不重合平面 α、β 的法向量，根 据下列条件，判断 α、β 的位置关系．
(1)u＝(－2,2,5)、v＝(3，－2,2)； (2)u＝(12，1，－1)、v＝(－1，－2,2)； (3)u＝(2，－3,5)、v＝(－3,1，－4)．
[解析] (1)∵u·v＝－6－4＋10＝0，
(3)l∥α⇔___a_⊥__u_____⇔____a_·u__＝__0___________； (4)l⊥α⇔___a_∥__u_____⇔__存__在__k_∈__R__，__使__a_＝__k_u_. (5)α∥β⇔__u_∥__v______⇔__存__在__k_∈__R_，__使__u_＝__k_v_； (6)α⊥β⇔__u_⊥__v______⇔____u_·_v_＝__0___________.
又－63＝2z，∴z＝－4，
∴y＋z＝－3.
5．两条不重合直线m、n和平面α都垂直，求证：m∥n.
[证明] 设m、n的方向向量分别为e1、e2，平面α的法向量 为n，∵m⊥α，n⊥α，∴e1∥n，e2∥n，
故存在实数x，y，使e1＝xn，n＝ye2， ∴e1＝(xy)e2，∴e1∥e2， ∵m与n不重合，∴m∥n.
可以是这两个平面法向量的是( )
A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1) B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1) C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1) D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2) [答案] D
[解析] ∵α∥β，∴平面α与β的法向量平行，又n2＝(－ 2，－2，－2)，n1＝(1,1,1)，n2＝－2n1，n1∥n2，故选D.
3．已知直线 l 过点 P(1,0，－1)且平行于向量 a＝(2,1,1)，
平面 α 过直线 l 与点 M(1,2,3)，则平面 α 的法向量不．可．能．是( )
A．(1，－4,2)
B．(14，－1，12)
C．(－14，1，－12)
D．(0，－1,1)
[答案] D [解析] 因为P→M＝(0,2,4)，直线 l 平行于向量 a，若 n 是平
3．利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题 中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以 及它们之间距离和夹角等问题； (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．
已知l∥α，且l的方向向量为(2，－8,1)，平面α的法向量为
行．
直线 a 与 b 的方向向量分别为 e＝(2a 与 b 的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交
D．重合
[答案] B [解析] ∵e·n＝2×(－1)＋1×1＋(－3)×(－13)＝－2＋1＋
1＝0，∴e⊥n，∴a⊥b.
求平面的法向量
已知 A(1,0,1)、B(0,1,1)、C(1,1,0)，求平面 ABC 的一个法向量．
3．用平面的法向量表示空间中平面的位置． 如图所示，直线 l⊥α，取直线 l 的方向向 量 a，则向量 a 叫做平面 α 的__法__向__量____． 4．设直线 l、m 的方向向量分别为 a、b， 平面 α、β 的法向量分别为 u、v，当 l，m 不 重合，α、β 不重合且 l、m 不在平面 α、β 内 时，有 (1)l∥m⇔_a_∥__b_______⇔__存__在__k_∈__R_，__使__a_＝__k_b__； (2)l⊥m⇔_a_⊥__b_______⇔____a_·_b_＝__0___________；
课堂典例讲练
根据方向向量确定两直线位置关系
设 a、b 分别是不重合直线 l1、l2 的方向向量， 根据下列条件判断 l1、l2 的位置关系．
(1)a＝(2，－2，－2)，b＝(6，－6，－6)； (2)a＝(1，－2，－2)，b＝(－2，－3,2)； (3)a＝(0,0，－1)，b＝(0,0,4)． [分析] l1、l2 的方向向量分别为 a，b，l1 与 l2 不重合，则
[错解] l∥α [辨析] ∵a＝(2，－1,1)，e＝(12，0，－1)， ∴a·e＝(2，－1,1)·(12，0，－1) ＝2×12－1×0－1×1＝0. ∴a⊥e，所以 l∥α 或 l⊂α.
[正解] l∥α 或 l⊂α
课时作业
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过点A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)的平面的一个法向量为 ____．
[答案] (1,1,1)
[解析] 设法向量 n＝(x，y,1)，
n·A→B＝0 由n·A→C＝0
，得－ －xx＋ ＋y1＝＝00 ，∴yx＝＝11 .
∴n＝(1,1,1)．
[点评] 设定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为1时，一定 要注意这个坐标不为0，如本题中若求平面AOB的法向量时， 就不能设其法向量为(1，y，z)．
[点评] 求平面 ABC 的法向量的方法：设 v＝(x，y，z)是 平面 ABC 的法向量，由vv··AA→→BC＝＝00 ，建立 x、y、z 的两个方程 组成方程组，取其中某个字母为常数，即可写出一个法向量．
注意：(1)在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向 量．(2)在求 n 的坐标时，可令 x、y、z 中一个为一特殊值得另 两个值，就是平面的一个法向量．