2022届高考数学一轮复习课时作业： 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式

两角和与差的正弦、余弦、正切公式及
二倍角公式
1．(多选)下列选项中，值为1
4的是( ) A ．cos 72°cos 36° B ．sin π12sin 5π
12 C ．1sin 50°＋3cos 50°
D ．13－2
3cos 215°
2．(多选)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5＝35，则sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2α－35π＝( )
A ．－24
25 B ．－1225 C ．1225
D ．2425
3．(多选)(2020·山东济南模拟)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－1
3，且α，β∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，π2，则( ) A ．cos β＝7
9 B ．sin β＝2
3 C ．cos(α－β)＝23
27
D ．sin(α－β)＝－4
27
4．已知α满足sin α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－α＝( )
A ．7
18 B ．2518 C ．－718
D ．－2518
5．若α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝2，则tan α
2＝( ) A ．32 B ．34 C ．233
D ．433
6．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋α＝－2，则1－sin 2αcos 2α＝( )
A ．2
B ．1
2 C ．－2
D ．－12
7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π3的值为________．
8．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan α
tan β＝________.
9．化简：sin 235°－1
2
cos 10°cos 80°
＝________.
10．(2020·杭州中学月考)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上．
(1)求cos 2α的值；
(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫β＋π4＝1010，－π2<β<0，求sin(α－2β)的值．
11．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－1
3. (1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．
能力提高
1．(2020·杭州模拟)如图，点A ，B 在圆O 上，且点A 位于第一象限，圆O 与x 正半轴的交点是C ，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4
5，－35，∠AOC ＝α.若|AB |＝1，则sin α＝( )
A.3＋43
10
B ．
－3＋43
10
C.4＋3310 D ．－4＋3310
2．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则m n 2cos 227°－1
＝( )
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫β－π4＝513.
(1)求sin 2α的值； (2)求cos(α＋β)的值．
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及
二倍角公式
1．(多选)下列选项中，值为1
4的是( ) A ．cos 72°cos 36° B ．sin π12sin 5π
12 C ．1sin 50°＋3cos 50°
D ．13－2
3cos 215°
AB [对于A ，cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝
2sin 72°cos 72°
4sin 36°＝
sin 144°4sin 36°
＝1
4，故A 正确；
对于B ，sin π12sin 5π12＝sin π12cos π12＝12×2sin π12cos π12＝12sin π6＝1
4，故B 正确； 对于C ，原式＝cos 50°＋3sin 50°
sin 50°
cos 50°
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 50°＋1
2cos 50°
1
2sin 100°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°
12sin 80°＝4，故C 错误；
对于D ，13－23cos 215°＝－1
3(2cos 215°－1) ＝－13cos 30°＝－36，故D 错误． 故选AB.]
2．(多选)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5＝35，则sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2α－35π＝( )
A ．－24
25 B ．－1225 C ．1225
D ．2425 AD [由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5＝35，得sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α＋π5＝±
45. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋2π5＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5＝±2425，即sin
⎝ ⎛
⎭⎪⎫2α－3π5＝－sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π－⎝ ⎛
⎭⎪⎫2α＋2π5
＝－sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2α＋2π5＝±
2425. 故选AD.]
3．(多选)(2020·山东济南模拟)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－1
3，且α，β∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，π2，则( ) A ．cos β＝7
9 B ．sin β＝2
3 C ．cos(α－β)＝
2327
D ．sin(α－β)＝－
427
AC [因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos α＝13，所以sin α＝223，又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝22
3，所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－19＋89＝79，A 正确．sin β＝42
9，B 错误．cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝23
27，C 正确．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝102
27，D 错误．]
4．已知α满足sin α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－α＝( ) A ．7
18 B ．2518 C ．－718
D ．－2518
A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝1
2cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2×19＝718
，故选A.] 5．若α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝2，则tan α
2＝( ) A ．32 B ．34 C ．233
D ．433
A [由二倍角公式，得3sin α＋2cos α＝23sin α2cos α2＋2⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－2sin 2α2＝2，
化简可得23sin α2cos α2＝4sin 2α2， ∵α∈(0，π)，∴α2∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，π2，
∴sin α2≠0，∴3cos α2＝2sin α2，∴tan α2＝3
2.] 6．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋α＝－2，则1－sin 2αcos 2α＝( )
A ．2
B ．1
2 C ．－2
D ．－12
D [∵tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋α－tan π41＋tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋αtan π
4
＝－2－11－2＝3，
∴1－sin 2αcos 2α＝(sin α－cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝1－31＋3＝－
1
2，故选D.] 7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π3的值为________．
－12 [由已知得cos α＝12，sin α＝－3
2， 所以cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.]
8．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan α
tan β＝________.
5 [因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝1
2，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.]
9．化简：sin 235°－1
2
cos 10°cos 80°
＝________.
－1 [sin 235°－1
2
cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°
＝－1
2cos 70°
12sin 20°
＝－1.]
10．(2020·杭州中学月考)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上．
(1)求cos 2α的值；
(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫β＋π4＝1010，－π2<β<0，求sin(α－2β)的值．
[解] (1)由题意得，tan α＝2，
∴cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－41＋4＝－
3
5. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧
sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，
解得sin α＝255，cos α＝5
5.
又sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫β＋π4＝1010，β＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，
∴cos
⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝31010. ∴cos β＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫β＋π4－π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫β＋π4sin π4
＝31010×22＋1010×22＝255， 则cos 2β＝2cos 2β－1＝2×45－1＝3
5，
sin 2β＝－1－cos 22β＝－4
5.
∴sin(α－2β)＝sin αcos 2β－cos αsin 2β ＝255×35－55×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45＝255.
11．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－1
3.
(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．
[解] (1)∵α，β∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，∴－π2＜α－β＜π2.
又∵tan(α－β)＝－1
3＜0， ∴－π
2＜α－β＜0. ∴sin(α－β)＝－10
10.
(2)由(1)可得，cos(α－β)＝310
10. ∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝4
5. ∴cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
1010＝910
50. 能力提高
1．(2020·杭州模拟)如图，点A ，B 在圆O 上，且点A 位于第一象限，圆O 与x 正半轴的交点是C ，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4
5，－35，
∠AOC ＝α.若|AB |＝1，则sin α＝( )
A.3＋43
10 B ．－3＋4310
C.4＋3310
D ．
－4＋33
10
B [∵A ，B 在圆O 上，且点A 位于第一象限，圆O 与x 正半轴的交点是
C ，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，由⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－352＝1知圆O 的半径为1，
∵∠AOC ＝α，|AB |＝1，故△AOB 为等边三角形，∠BOC ＝60°－α， cos ∠BOC ＝cos(60°－α)＝45，sin ∠BOC ＝sin(60°－α)＝3
5.
则sin α＝sin [60°－(60°－α)]＝sin 60°cos(60°－α)－cos 60°sin(60°－α)＝32
×45－12×35＝43－3
10，故选B.]
2．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则m n 2cos 227°－1
＝( )
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
C [因为m ＝2sin 18°，m 2＋n ＝4， 所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°. 所以m n 2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°2cos 227°－1
＝
4sin 18°cos 18°2cos 227°－1
＝2sin 36°cos 54°＝2sin 36°
sin 36°＝2.故选C.]
3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫β－π4＝513.
(1)求sin 2α的值； (2)求cos(α＋β)的值．
[解] (1)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，可得sin 2α＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋α＝1
－2×925＝7
25.
(2)由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π4，0，可得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4，
则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋α＝
1－cos 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝
1－925＝4
5； sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫β－π4＝－1－cos 2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
β－π4＝－
1－25169＝－1213，
∴cos(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋αsin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫β－π4＝35×513－45×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1213＝6365.。