【典型题】高中必修二数学下期中第一次模拟试题及答案

【典型题】高中必修二数学下期中第一次模拟试题及答案
一、选择题
1．圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（ ）
A ．1
B ．221-
C ．22
D ．2
2．已知a ，b 是两条异面直线，且a b ⊥r r
，直线c 与直线a 成30°角，则c 与b 所成的角的大小范围是( ) A ．[]60,90︒︒
B ．[]30,90︒︒
C ．[]30,60︒︒
D ．[]45,90︒︒
3．一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．
A ．满足条件的截面不存在
B ．截面是一个梯形
C ．截面是一个菱形
D ．截面是一个三角形
4．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列
命题正确的是（ ） A ．若m α⊂，则m β⊥
B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥
C ．若m α⊄，m β⊥，则//m α
D ．若m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥
5．直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y +-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．53(
,]124
B ．51(,]122
C ．13(,]24
D ．1[,)2
+∞
6．已知平面//α平面β，直线m αÜ，直线n βÜ，点A m ∈,点B n ∈，记点A 、B 之间的距离为a ,点A 到直线n 的距离为b ,直线m 和n 的距离为c ,则 A ．b a c ≤≤
B ．a c b ≤≤
C ． c a b ≤≤
D ．c b a ≤≤
7．直线20x y ++=截圆2
2
2210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ） A ．－3
B ．－4
C ．－6
D ．368．从点(,3)P m 向圆2
2
(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( ) A ．26B ．5
C 26
D ．429．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( )
A ．
72
π B ．56π C ．14π D ．64π
10．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ） A ．62+45
B ．62+25
C ．32+45
D ．32+25
11．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）
A ．34
a
B ．33a
C ．32
a
D ．3a 3a
12．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为
A ．1∶2
B ．1∶3
C ．1∶5
D ．3∶2
二、填空题
13．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以
AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u v u u u v
，则点A 的横坐标为
________．
14．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．
15．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面
ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O
的表面积为__________.
16．已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点
()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.
17．正三棱柱的底面边长为，高为2，则它的外接球的表面积为 ． 18．已知双曲线
的半焦距为，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线
的准线被双曲线截得的弦长是
（为双曲线
的离心率），则的值为__________．
19．已知棱长等于31111ABCD A B C D -，它的外接球的球心为O ﹐点E 是AB 的中点，则过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值为________.
20．已知直线1:1l y x =-上有两个点11(,)A x y 和22(,)B x y , 且12,x x 为一元二次方程
2610x x -+=的两个根, 则过点,A B 且和直线2:1l x =-相切的圆的方程为
______________.
三、解答题
21．如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，将ABC ∆沿中位线DE 翻折得到如图（2）所示的空间图形，使二面角A DE C --的大小为02πθθ⎛⎫
<<
⎪⎝
⎭
.
（1）求证：平面ABD ⊥平面ABC ； （2）若3
π
θ=
，求直线AE 与平面ABC 所成角的正弦值.
22．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过()0,2A ，()0,0O ，(),0D t （0t >）三
点，M 是线段AD 上的动点，1l ，2l 是过点()10
B ,且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆
C 于P 、Q 两点. （1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程； （2）若t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数 ①求t 的值； ②求三角形EPQ 的面积的最小值．
23．已知点(3,3)M ，圆2
2
:(1)(2)4C x y -+-=. （1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；
（2）若直线40()ax y a -+=∈R 与圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求实数a 的值.
24．如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.
（1）证明：//PB 平面AEC ；
（2）设二面角D AE C --为60°，1AP =，3AD =，求直线AC 与平面ECD 所成
角的正弦值.
25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面
ABC ,1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点．
（1）求证：//AB 平面DEF ； （2）求证：平面1ACB ⊥平面DEF ； （3）求三棱锥1E ACB -的体积.
26．如图，正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，E F M 、、分别是1111C B C D ，和AB 的中点．
（1）求证：1//MD 平面BEFD ． （2）求M 到平面BEFD 的距离．
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解. 【详解】
由圆的一般方程可得2
2
(2)(2)1x y -+-=， 圆心到直线的距离222
d =
= 所以圆上的点到直线的距离的最小值为221. 故选B.
本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a 垂直的直线b 的平行线，与直线c 平行线的夹角. 【详解】
在直线a 上任取一点O ，过O 做//c c '，则,a c '确定一平面α，
过O 点做直线b 的平行线b '，所有平行线b '在过O 与直线a 垂直的平面β内， 若存在平行线1b '不在β内，则1b '与b '相交又确定不同于β的平面， 这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以b '都在平面β内， 且,l αβαβ⊥=I ，在直线c '上任取不同于O 的一点P ，
做PP l '⊥于P '，则PP β'⊥，POP '∠为是c '与β所成的角为60︒， 若b l '⊥，则,b b c α'''⊥⊥，若b '不垂直l 且不与l 重合， 过P '做P A b ''⊥，垂足为A ，连PA ，则b '⊥平面PP A '， 所以b PA '⊥，即1
,cos 2
OA OP OA PA AOP OP OP '⊥∠=
<=， 60AOP ∠>︒，综上b '与c '所成角的范围为[60,90]︒︒，
所以直线b 与c 所成角的范围为[]60,90︒︒. 故选：A.
【点睛】
本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大小，属于中档题.
3．C
解析：C 【解析】
取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得即截面为四边形PDEF ，且四边形PDEF 为菱形即可得到答案. 【详解】
取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ， 易得PD ∥VB 且12PD VB =
，EF ∥VB 且1
2
EF VB =，所以PD ∥EF ，PD EF =， 所以四边形PDEF 为平行四边形，又VB ⊄平面PDEF ，PD ⊂平面PDEF ,由线面平行 的判定定理可知，VB ∥平面PDEF ，AC ∥平面PDEF ，即截面为四边形PDEF ，又
11
22DE AC VB PD =
==，所以四边形PDEF 为菱形，所以选项C 正确. 故选：C
【点睛】
本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.
4．C
解析：C 【解析】
由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误. 故选C.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用数形结合，作出图象，计算得直线1l 与直线2l 的斜率，即可得到结论. 【详解】
曲线可化简为()22
(1)40x y x +-=≤，如图所示：
直线()1:24l y k x =-+23221
k k -=+，解得512
k =， 直线()2:24l y k x =-+，此直线与曲线有两个交点，此时有12
k =. 所以，过点()2,4的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得51122
k <≤. 故选：B. 【点睛】
本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据平面与平面平行的判断性质,判断c 最小,再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a 最大. 【详解】
由于平面//α平面β,直线m 和n 又分别是两平面的直线,则c 即是平面之间的最短距离. 而由于两直线不一定在同一平面内,则b 一定大于或等于c ,判断a 和b 时, 因为B 是上n 任意一点,则a 大于或等于b . 故选D. 【点睛】
本题主要考查面面平行的性质以及空间距离的性质，考查了空间想象能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可. 【详解】
由题意，根据圆的方程2
2
2210x y x y a ++-+-=，即2
2
(1)(1)2x y a ++-=-， 则圆心坐标为(1,1)-
，半径r =
又由圆心到直线的距离为d =
=
所以由圆的弦长公式可得4=，解得3a =-，故选A. 【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
设切线长为d ,则2
2
2
2
(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解. 【详解】
设切线长为d ,则2
2
2
2
(2)51(2)24d m m =++-=++
, min d ∴= 故选:A. 【点睛】
本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可. 【详解】
设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
所以()
2
36abc =，于是213a b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π． 本题选择C 选项. 【点睛】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可. 【详解】 作图如下:
因为,E F 是棱1,AD DD 的中点, 所以11////EF AD BC ,
因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B , 所以//EF 平面11BCC B ， 由线面平行的性质定理知,
过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF , 结合图形知,l 即为直线1BC ,
过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC , 因为正方体的棱长AB ＝4,
所以1122,25,42EF BE C F BC ====, 所以所求截面的周长为62+45, 故选:A 【点睛】
本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积． 【详解】
如图，当P 与A 重合时，
异面直线CP 与BA 1所成的角最大， ∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时， 三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：
11C PA D V -=11C AA D V -=11
13AA D S AB ⨯⨯V =1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=
3
3
a ． 故选:B ． 【点睛】
求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】
设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝r ．∴S 侧＝πrl ＝
πr 2，S 底＝πr 故选
C ． 【点睛】
本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．
二、填空题
13．3【解析】分析：先根据条件确定圆方程再利用方程组解出交点坐标最后根据平面向量的数量积求结果详解：设则由圆心为中点得易得与联立解得点的横坐标所以所以由得或因为所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范
解析：3 【解析】
分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.
详解：设()
,2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫ ⎪⎝⎭
易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以
()1,2D .所以()
55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫
=--=-- ⎪⎝⎭
u u u v u u u v ， 由0AB CD ⋅=u u u v u u u v
得()()()2
551220,230,32a a a a a a a +⎛
⎫--+--=--== ⎪⎝⎭
或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =
点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
14．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为 6
【解析】
连结11B D ，易知面1ACD ⊥面11BDD B ，而1MN ACD ⊥，即1NM D O ⊥，NM 在面
11BDD B 内，且点N 的轨迹是线段11B D ，连结1AB ，易知11AB D V 是等边三角形，则当
N 为11B D 中点时，NA 15．【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形且平面可得因为为直角三角形可得所以因此结合几何关系可求得外接球的半径代入公式即可求球的表面积【详解】本题主要考查空间几何体由题意得该四面体的四个 解析：20π
【解析】 【分析】
由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，可得PC =
PB =PBC V 为直角三角形，可得BC =PB BC ⊥，因此
AB BC ⊥，结合几何关系，可求得外接球O 的半径
R ===O 的表面积． 【详解】
本题主要考查空间几何体．
由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，
2PA AB ==，4AC =，PC =PB =
因为PBC V 为直角三角形，
因此BC =BC =（舍）．
所以只可能是BC = 此时PB BC ⊥，因此AB BC ⊥， 所以平面ABC 所在小圆的半径即为22
AC
r ==， 又因为2PA =，
所以外接球O 的半径R ===
所以球O 的表面积为24π20πS R ==． 【点睛】
本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC 的长，即得到AB BC ⊥，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题．
16．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键 解析：27310x y -+=
【解析】
【分析】
计算()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()15,3A -，计算直线1A B 得到答案.
【详解】
设()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()1,A x y ，故513
350
22y x x y -⎧
=⎪⎪+⎨-+⎪+=⎪⎩，故()15,3A -. 故反射光线为1A B ：()53
2525
y x -=-++，化简得到27310x y -+=. 故答案为：27310x y -+=.
【点睛】
本题考查了直线的反射问题，找出对称点是解题的关键.
17．【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为得底面所在平面截其外接球所成圆半径为又由高为则球心到圆的球心距为根据球心距截面圆半径球半径构成的直角三角形满足勾股定理我们易得半径满足：已知求得正三棱柱外接球所 解析：
【解析】
试题分析：由正三棱柱底面边长为2，得底面所在平面截其外接球所成圆O 半径为
23
r =
，又由高为2，则球心到圆O 的球心距为1d =，根据球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形满足勾股定理，我们易得半径R 满足：2
2
2
7
3
R r d =+=
，已知求得正三棱柱外接球，所以外接球的表面积为2
2843
S R π
π==
． 考点：棱柱的几何特征，球的表面积，空间位置关系和距离．
【方法点晴】解决本题的关键是确定球心的位置，进而确定半径．因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以过三角形的外心且垂直于此三角形的所在平面的垂线上的任意一点到次三角形三个顶点的距离相等，所以过该三角形的三个顶点的球的球心必在垂线上．所以本题中球心必在上下底面外心的连线上，进而利用球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形，即可算出．
18．62【解析】试题分析：由题意得抛物线的准线为x=-c 它正好经过双曲线的左焦点所以准线被双曲线截得的弦长为2b2a 所以2b2a=223be2即ba=23e2所以整理得2e4-9e2+1=0解得e=62 解析：
【解析】
试题分析：由题意，得抛物线的准线为
，它正好经过双曲线的左焦点，所以准线被
双曲线截得的弦长为，所以，即，所以
，整理，得
，解得
或．又
过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，所以
．
考点：1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系．
【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于
的等式，求取值范围问题就是建立关于
的不等式．
19．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【
解析：3π. 【解析】 【分析】
当过球内一点E 的截面与OE 垂直时，截面面积最小可求截面半径，即可求出过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值． 【详解】
解：棱长等于231111ABCD A B C D -，它的外接球的半径为3，||6OE = 当过点E 的平面与OE 垂直时，截面面积最小，963r -33S ππ=⨯=， 故答案为：3π． 【点睛】
本题考查过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值及接体问题，找准量化关系是关键，属于中档题．
20．或【解析】【分析】由题意可知所以中点坐标为圆心在直线的中垂线上故过圆心满足直线设圆心的坐标为由圆与直线相切故由弦长公式可得圆心到直线的距离为由勾股定理可知解得：当时；当时得解【详解】上有两个点和为一
解析：
2
2
3(2)16x y -+-=（）或2
2
11(6)144x y -++=（） 【解析】 【分析】
由题意可知，126x x +=，124y y +=，所以AB 中点坐标为32（，），圆心在直线AB 的中垂线上，故过圆心满足直线5y x =-+，设圆心的坐标为a 5a -（，）
，由圆与直线2:1l x =-相切故r a 1=+，由弦长公式可得21218AB k x =+-=，圆心到直线AB
262
a -2
22
221r (a 1)2(3)162
d AB a =+
↔+=-+解得：
当3a =时，r 4=；当11a =时，r 11=得解。

【详解】
1:1l y x =-上有两个点()11,A x y 和()22,B x y ,12 ,x x 为一元二次方程2610x x -+=的两
个根，故126x x +=，那么124y y +=，所以AB 中点坐标为32（，），因为圆心在直线AB 的中垂线上，故过圆心的直线为5y x =-+，设圆心的坐标为a 5a -（，）
，由圆与直线
2:1l x =-相切故r a 1=+，由弦长公式可得128AB x =-=，圆心到直线AB
AB 的距离构成直角三角形，由
勾股定理可知2
2
2
221r (a 1)2(3)162
d AB a =+
↔+=-+解得：当3a =时，r 4=；当11a =时，r 11=，所以圆的方程为()2
2
(3216x y -+-=）或()2
2
116144x y -++=（）。

【点睛】
利用圆与直线的几何性质解圆有关的问题常见解法，圆心到直线的距离、半径、弦长之间
的关系为AB =。

三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）4
【解析】 【分析】
（1）证明DE ∥BC ，DE ⊥平面ABD ，可得BC ⊥平面ABD ，由面面垂直的判定定理即可证出平面ABD ⊥平面ABC ；
（2）取BD 的中点O ，所以AO BD ⊥，由（1）可知平面ABD ⊥平面BCDE ，所以
AO ⊥平面BCDE ，所以以O 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则(00A ,
，()1,0,0B ，()1,4,0C ，()1,2,0E -，设平面ABC 的法向量为(),,m x y z =u r
，利用空间向
量法求解即可. 【详解】
（1）由题意可知DE 为ABC V 的中位线，所以//DE BC BC ， 因为90B =o ∠，所以BC AB ⊥，所以DE AB ⊥，
因为图（2）所示的空间图形是由ABC V 沿中位线DE 翻折得到的， 所以DE AD ⊥，DE BD ⊥，又AD BD D =I ， 所以DE ⊥平面ABD ，所以BC ⊥平面ABD ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABD ⊥平面ABC ；
（2）由（1）可知二面角A DE C --的平面角即为ADB ∠，所以3
π
θ∠==ADB ，
因为AD BD =，所以
ABD △为等边三角形，
如图取BD 的中点O ，所以AO BD ⊥，由（1）可知平面ABD ⊥平面BCDE ，
Q 平面ABD ⋂平面BCDE BD =，AO ⊂平面ABD ，
所以AO ⊥平面BCDE ，所以以O 为原点建立如图所示空间直角坐标系， 设图1等腰直角ABC V 中4AB =，则图2中2AD BD AB ===，
则()
003A ,
,，()1,0,0B ，()1,4,0C ，()1,2,0E -， 所以()1,0,3AB =-uu u r ，()
1,4,3=-u u u r AC ，()
1,2,3=--u u u r
AE ，
设平面ABC 的法向量为(),,m x y z =u r
，
所以有00m AB m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即30430
x z x y z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，取()
3,0,1m =u r ，
设直线AE 与平面ABC 所成的角为α，
所以6
sin cos ,4m AE m AE m AE
α⋅=<>==⋅u r u u u r
u r u u u r u u r u u u u r ，
所以直线AE 与平面ABC 所成的角的正弦值为
6
.
【点睛】
本题主要考查面面垂直的判定定理以及空间中直线与平面所成角的求法，解题时要会用法向量求线面角.
22．（1）4340x y --=；（2）①4，②152
. 【解析】 【分析】
（1）求出圆的标准方程，设直线2l 的方程(1)y k x =-，利用6PQ =，结合圆心到直线的2
10911
k -=+，解可得k 的值，验证直线与y 轴有无交点，即可得答
案；
（2）①设(,)M x y ，由点M 在线段AD 上，得220x ty t +-=，由2AM BM ≤，得224220()()339x y -++…，结合题意，线段AD 与圆224220()()339
x y -++=至多有一个公共
88
||
t -t 的值，
②由①的结论，分直线的斜率存在与不存在2种情况讨论，用k 表示三角形EPQ 的面积，结合二次函数的性质分析可得答案． 【详解】
解：（1）由题意可知，圆C 的直径为AD ，
所以圆C 方程为：()()2
2
3110x y -+-=，设2l 方程为：()1y k x =-，则
()
2
22
213101k k -+=+，
解得10k =，24
3
k =，当0k =时，直线1l 与y 轴无交点，不合题意，舍去. 所以，4
3
k =
时直线2l 的方程为4340x y --=. （2）①设(,)M x y ，由点M 在线段AD 上，则有12
x y
t +=，即220x ty t +-=． 由2AM BM „，则有224220
()()339
x y -++…
依题意知，线段AD 与圆224220
()()339
x y -++=至多有一个公共点，
88
||t -
t „
或1611t +…，
因为t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数，所以4t =； ②由①的结论，圆C 的方程为2
2
(2)(1)5x y -+-=． 分2种情况讨论：
a 当直线2:1l x =时，直线1l 的方程为0y =，此时，2EPQ S =V ；
b 当直线2l 的斜率存在时，设2l 的方程为(1)y k x =-，0k ≠，
则1l 的方程为1
(1)y x k
=--，
点1(0,)E k
，所以BE =
又圆心到2l
，
所以PQ=
故
11
22
EPQ
S BE PQ
===
V
g
又由2
2
<，
故求三角形EPQ
的面积的最小值为
2
．
【点睛】
本题考查直线与圆的方程的综合应用，涉及三角形面积的最小值的求法，（2）的关键是确定三角形面积的表达式，属于中档题．
23．（1）3
x=或34210
x y
+-=；（2）
3
4
-.
【解析】
【分析】
（1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r，直接求解圆的切线方程即可．
（2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解a即可．
【详解】
（1）由圆的方程得到圆心(1,2)，半径2
r=.
当直线斜率不存在时，直线3
x=与圆C显然相切；
当直线斜率存在时，设所求直线方程为3(3)
y k x
-=-，即330
kx y k
-+-=，
2
=，解得3
4
k=-，
∴方程为
3
3(3)
4
y x
-=--，即34210
x y
+-=.
故过点M且与圆C相切的直线方程为3
x=或34210
x y
+-=.
（2）∵弦长AB
为 2.
圆心到直线40
ax y
-+=
的距离d=
∴
2
2
4
2
⎛
⎛⎫
+=
⎝⎭
，
解得
3
4
a=-.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用，考查计算能力．
24．（1）见解析；（2）
7 7
.
【解析】
【分析】
（1）连接辅助线构造三角形，利用三角形中位线定理证明线线平行，再通过线线平行证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，通过二面角D AE C
--为60°，利用平面法向量求出点B的坐标，再利用法向量求直线AC与平面ECD所成角的正弦值.
【详解】
（1）如图，
连接BD，且BD AC O
⋂=，则在矩形ABCD中O为BD中点，
且在PBD
△中，E为PD的中点，
∴//
OE PB
且OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
∴//
PB平面AEC；
（2）如图以A为原点，以AB为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴建立空间直角坐标系，
1
AP=，3
AD BC
==，
设AB CD a ==，()0,0,0A ，
()
C a
，()
D
，12E ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
∴()
AC a =u u u r
，12AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r
，()
AD =u u u
r
设平面AEC 、平面AED 和平面ECD 的法向量分别为()1111,,n x y z =u r ，()2222,,n x y z =u u r
， ()3333,,n x y z =u u r
则有1100
n AE n AC ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，
∴111
11
020
y z ax +=⎨⎪+=⎩，
令1x
)
1n a =-u r
，
同理可得()21,0,0n =u u r
，()
3n =u u r ，
∵二面角D AE C --为60°
∴1212
1cos 602n n n n ⋅︒==u r u u r
u
r u u r ，
12
=
， 解得32
a =
，
∴32AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r
，()
3n =u
u r ，
设AC u u u r 与3n u
u r 所成角为θ，
∴33cos 7n AC n AC
θ⋅===u u r u u u r u u r u u u r ， 即直线AC 与平面ECD
所成角的正弦值为7
. 【点睛】
本题考查用线面平行判定定理证明线面平行，用空间向量求线面所成角，考查推理论证能力、运算求解能力和转化与化归思想，是中档题. 25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）23
. 【解析】
（1）由题意可知DE P AB ，从而得证；
（2）要证平面1ACB ⊥平面DEF ，转证EF ⊥平面1ACB ，即证AC EF ⊥，1EF CB ⊥； （3）利用等积法即可得到结果.
【详解】
（1）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，11A B P AB , 又因为,D E 分别为1111,AC B C 的中点，所以DE P 11A B , 于是DE P AB ,
AB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ,
所以AB P 平面DEF .
(2) 在三棱柱111ABC A B C -中，
1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC 所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥,
又AC BC ⊥,
1BC CC C ⋂=，1,BC CC ⊂平面11C BC B ,
所以AC ⊥平面11C BC B ,
EF ⊂平面11C BC B ,
所以AC EF ⊥ ,
又因为12BC CC ==， 1CC BC ⊥，
所以侧面11C BC B 为正方形，故11BC CB ⊥ ,
而,E F 分别为111,B C BB 的中点，连结1BC ，所以EF ‖1BC , 所以1EF CB ⊥ ，又1AC CB C ⋂=，1,AC CB ⊂平面1ACB , 所以EF ⊥平面1ACB ,
又EF ⊂平面DEF ,
所以平面1ACB ⊥平面DEF .
（3） 1111233E ACB A ECB ECB V V S AC --∆==
⋅= . 【点睛】
垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
26．（1）见解析（2）
23
【解析】
（1）连接BF ，证明四边形1BMD F 是平行四边形即可得出1//D M BF ，故1//MD 平面BEFD ；（2）根据M BDE E BDM V V --=求出M 到平面BEFD 的距离．
【详解】
解：（1）证明：连接BF ， ∵111111111111////22D F A B D F A B BM A B BM A B ==，，，， ∴11//D F BM D F BM =，，
∴四边形1BMD F 是平行四边形，
∴1//D M BF ，
又1D M ⊄平面BEFD ，BF ⊂平面BEFD ，
∴1//MD 平面BEFD ．
（2）解：连接ED EM DM ，，，
则112122323E BDM V -=
⨯⨯⨯⨯=， 又22221111122253BD AB BE BB B E DE D C C E ===+==+=，，，
∴22210cos 2BD BE DE DBE BD BE +-∠==⋅，∴310sin DBE ∠=． ∴131022532BDE S =⨯⨯⨯=V ， 设M 到平面BEFD 的距离为d ，则12333M BDE V d -=
⨯⨯=， ∴23d =．即M 到平面BEFD 的距离为23
．
【点睛】
本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．。