2022-2023学年四川省遂宁市射洪中学教育联盟九年级(上)期中数学试题及答案解析

2022-2023学年四川省遂宁市射洪中学教育联盟九年级（上）期
中数学试卷
一、选择题（本大题共20小题，共60.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列式子是二次根式的有个( )
√a ；√32；√523；√−3；√x 2−2xy +y 2；√−4×(−3)
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
2. 下列各等式成立的是( )
A. 4√5×2√5=8√5
B. 5√3×4√2=20√5
C. 4√3×3√2=7√5
D. 5√3×4√2=20√6
3. 要使二次根式√2x −6有意义，x 应满足的条件是( )
A. x ≥3
B. x <3
C. x >3
D. x ≤3
4. √24n 是整数，则正整数n 的最小值是( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
5. 已知一元二次方程mx 2+n =0(m ≠0,n ≠0)，若方程有解，则必须( )
A. n =0
B. m ，n 同号
C. n 是m 的整数倍
D. m ，n 异号
6. 三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2−6x +8=0的解，则这个三角形的周长是( )
A. −11
B. 13
C. 11或8
D. 11和13
7. 将一元二次方程式x 2−6x −5=0化成(x +a)2=b 的形式，则b =( )
A. −4
B. 4
C. −14
D. 14
8. 若x =0是关于x 的一元二次方程(m −1)x 2+2x +m 2−1=0的解，则m 的值为( )
A. m =±1
B. m =0
C. m =1
D. m =−1
9. 若二次根式√4b a+b 与最简二次根式√3a +b 是同类二次根式，则a 、b 的值分别为( )
A. a =0，b =2
B. a =1，b =1
C. a =0，b =−2
D. a =2，b =0
10. 已知下列各组四条线段，它们能组成比例线段的是( )
A. a =12cm ，b =15cm ，c =8cm ，d =10cm
B. a =5cm ，b =10cm ，c =15cm ，d =20cm
C. a =7cm ，b =3cm ，c =2cm ，d =10cm
D. a =30cm ，b =2cm ，c =8cm ，d =12cm
11. 下列条件中，能使△ABC∽△DEF成立的是( )
A. ∠C=98°，∠E=98°，AC 
BC =DE
DF
B. AB=1，AC=1.5，BC=2，EF=8，DE=10，FD=6
C. ∠A=∠F=90°，AC=5，BC=13，DF=10，EF=26
D. ∠A=46°，∠B=54°，∠E=54°，∠F=80°
12. 如图，AB//CD//EF，则下列结论不正确的是( )
A. AC
CE =BD
DF
B. AC
AE =BD
BF
C. BD
CE =AC
DF
D. AE
CE =BF
DF
13. 如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是( )
A.
B.
C.
D.
14. 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值( )
A. 只有1个
B. 可以有2个
C. 有2个以上，但有限
D. 有无数个
15. 如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是( )
A. 线段EF的长不能确定
B. 线段EF的长逐渐增大
C. 线段EF的长逐渐减小
D. 线段EF的长不改变
16. 如图所示，在▱ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于E，与DC交于F，则图中相似三角形有( )
A. 3对
B. 4对
C. 5对
D. 6对
17. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE//AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=( )
A. 1：16
B. 1：18
C. 1：20
D. 1：24
18. 如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是(−2,1)，点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是( )
A. (3
2,3)、(−2
3
,4) B. (3
2
,3)、(−1
2
,4)
C. (7
4,7
2
)、(−2
3
,4) D. (7
4
,7
2
)、(−1
2
,4)
19. 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM=2，则线段ON的长为( )
A. √2
2
B. √3
2
C. 1
D. √6
2
20. 如图，正方形OPQR内接于△ABC.已知△AOR、△BOP和△CRQ的面积分别是S1=1，S2= 3和S3=1，那么正方形OPQR的边长是( )
A. 1
B. √2
C. √3
D. 2
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
21. 在函数y=√x+1
x−2
中，自变量x的取值范围是______ ．
22. 比较大小：−2√5______−3√2(填“>”“<”或“=”)．
23. 已知a
5=b
4
=c
3
，则2a+b−3c
a−b+c
=______．
24. 在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为−9，−1；乙看错了常数项，得出的两根为8，2，则这个方程正确的解为______．
25. 方程2x2−4x=1和方程2x2−x=−4所有实数根之和为______．
26. 已知△ABC∽△DEF，其中AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周长是______ ．
27. 如果四边形的两条互相垂直的对角线的长分别为12cm，8cm，则顺次连结该四边形四边中点的四边形的面积为______．
28. 如图，在△ABC中，AB=15，AC=8，在AC上取一点D，使AD=3，如果在AB上取一点E，使△ADE和△ABC相似，则AE长为______．
29. 在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC= 1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ的长度为______m.
30. 如图，设点G为△ABC的重心，且AG=6，BG=10，CG=8，则△ABC的面积为______．
三、解答题（本大题共6小题，共60.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
31. (本小题20.0分)
计算或解方程：
①√(√3−2)2−(π−3)0+6
√3−1
√3+2
；
②(3√2−2√3)2．(−3√2−2√3)2；
③3x(x−1)=1−x；
④(x−5)(x+7)=1．
32. (本小题7.0分)
阅读材料：像(√6+√5)(√6−√5)=1,√a×√a=a(a≥0)，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
解答下列问题：
(1)√7的有理化因式是______；
(2)观察下面的变形规律，请你猜想：1
√2+1=√2−1，1
√3+√2
=√3−√2，1
√4+√3
=√4−√3，
…，1
√n+1+√n
=______；
(3)利用上面的方法，请化简：1
√2+1+1
√3+√2
+1
√4+√3
+⋯+1
√2022+√2021
．
33. (本小题8.0分)
已知一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
34. (本小题8.0分)
某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件．
(1)应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
(2)每件售价定为多少元时，才能使利润最大？其最大利润是多少？
35. (本小题7.0分)
如图，▱ABCD中，M是AB上的一点，连接CM并延长交DA的延长线于P，交对角线BD于N，求证：CN2=MN⋅NP．
36. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P为BC边上一动点(不与点B、C重合)，过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；
(1)求证：△ABP∽△PCM；
(2)设BP=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当△APM为等腰三角形时，求PB的长．(直接写出答案，不写解题过程)．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：√−4×(−3)=√12，
所以√3
和√−4×(−3)是二次根式．
2
故选：A．
直接根据二次根式的定义解答即可．
本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、4√5×2√5=8×5=40，故选项错误；
B、5√3×4√2=20√3×2=20√6，故选项错误；
C、4√3×3√2=12√3×2=12√6，故选项错误；
D、5√3×4√2=20√3×2=20√6，故选项正确．
故选D．
根据二次根式乘法法则：√a⋅√b=√ab(a≥0,b≥0)，分别计算即可．
本题考查了二次根式的乘法法则，正确理解法则是关键．
3.【答案】A
【解析】解：依题意有2x−6≥0，
解得x≥3.故选A．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可求x的范围．
主要考查了二次根式的概念．
二次根式的概念：式子√a(a≥0)叫二次根式．
√a(a≥0)是一个非负数．
二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
4.【答案】C
【解析】解：∵√24n=√4×6n=2√6n，
∴当n=6时，√6n=6，
∴原式=2√6n=12，
∴n的最小值为6．
故选：C．
本题可将24拆成4×6，先把√24n化简为2√6n，所以只要乘以6得出62即可得出整数，由此可得出n的值．
本题考查的是二次根式的性质．本题还可将选项代入根式中看是否能开得尽方，若能则为答案．
5.【答案】D
【解析】解：mx2+n=0，
x2=−n
m
，
∵x2≥0，
∴−n
m
≥0，
∴n
m
≤0，
∵n≠0，
∴mn异号，
故选：D．
首先求出x2的值为−n
m
，再根据x2≥0确定m、n的符号即可．
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是表示出x2的值，根据x2的取值范围确定m、n的符号．
6.【答案】B
【解析】解：x2−6x+8=0，
(x−2)(x−4)=0，
∴x−2=0或x−4=0，
∴x1=2，x2=4．
因为三角形两边的长分别为3和6，所以第三边的长必须大于3，
故周长=3+6+4=13．
故选：B．
先用因式分解求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长，计算出三角形的周长．
本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，先求出方程的根，再根据三角形三边的关系确定第三边的长，然后求出三角形的周长．
7.【答案】D
【解析】解：∵x2−6x−5=0，
∴x2−6x=5，
∴x2−6x+9=5+9，
∴(x−3)2=14．
∴b=14．
故选D．
配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
8.【答案】D
【解析】解：把x=0代入一元二次方程(m−1)x2+2x+m2−1=0得m2−1=0，
解得m=1或m=−1，
因为m−1≠0，
所以m的值为−1．
故选：D．
先把x=0代入一元二次方程得m2−1=0，解方程得到m=1或m=−1，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
9.【答案】A
【解析】解：∵
√4b a+b 是二次根式， ∴√4b a+b =2√b a+b ，
由题意得{a +b =23a +b =b
， 解得{a =0b =2
． 故选：A ．
根据同类二次根式的定义列出关于a ，b 的方程组，求出a ，b 的值即可．
本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：A.12×10=15×8，故符合题意．
B .5×20≠10×15，故不符合题意；
C .7×3≠2×10，故不符合题意；
D .30×2≠8×12，故不符合题意；
故选：A ．
根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案．
此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
11.【答案】D
【解析】解：A.当AC BC =DE DF ，只有再加上条件∠C =∠D 时，△ABC∽△DEF ，故此选项不合题意； B .∵AB =1，AC =1.5，BC =2，EF =8，DE =10，FD =6，
∴AB FD =AC EF ≠BC DE ，
∴无法得到△ABC∽△DEF ，故此选项不合题意；
C.当AC=5，BC=13，DF=10，EF=26，只有具备∠C=∠F时，△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；
D.∵∠A=46°，∠B=54°，
∴∠C=180°−46°−54°=80°，
∴∠B=∠E=54°，∠C=∠F=80°，
∴△ABC∽△DEF，故此选项符合题意．
故选：D．
分别利用相似三角形的判定方法分别判断得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵AB//CD//EF，
∴AC CE =BD
DF
，AC
AE
=BD
BF
，BD
AC
=DF
CE
，AE
CE
=BF
DF
，
∴选项A、B、D结论正确，不符合题意，选项C结论错误，符合题意；
故选：C．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13.【答案】B
【解析】解：由题意得，A中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；
C，D中正方形，菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；而B中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以B中矩形不是相似多边形
故选B．
此题考查相似多边形的判定问题，其对应角相等，对应边成比例．
熟练掌握相似多边形的性质及判定．
14.【答案】B
【解析】解：根据题意，两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，一种是6和8为直角边，那么根据勾股定理可知斜边为10；另一种可能是6是直角边，而8是斜边，那么根据勾股定理可知
另一条直角边为2√7．
所以另一个与它相似的直角三角形也有两种可能，
第一种是6
3=8
4
=10
x
，解得x=5；
第二种是6
3=2√7
x
=8
4
，解得x=√7.所以可以有2个．
故选：B．
两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，即已知边均为直角边或者8为斜边，运用勾股定理分别求出第三边后，和另外三角形构成相似三角形，利用对应边成比例即可解答．
本题考查了勾股定理和三角形相似的有关知识．本题学生常常漏掉第二种情况，是一道易错题．15.【答案】D
【解析】解：连接AR，
∵E、F分别是AP、RP的中点，
∴EF为△APR的中位线，
∴EF=1
2
AR，
∵AR的长为定值．
∴线段EF的长不改变，
故选D．
因为R不动，所以AR不变．根据中位线定理，EF不变．
本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变．16.【答案】D
【解析】解：在▱ABCD中，AB//CD，
所以△ABE∽△FDE，△ABG∽△FCG，∠ABD=∠CDB，
AD//BC，
所以△ADE∽△GBE，△FDA∽△FCG，∠ADB=∠DBC，
所以△ABG∽△FDA，△ABD∽△BCD，
故图中相似三角形有6对．
故选D．
根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解．
本题考查了相似三角形的判定，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似，要注意△ABG与△FDA都与△FCG相似，所以也相似，这也是本题容易出错的地方．
17.【答案】C
【解析】解：∵S△BDE：S△CDE=1：4，
∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为4a，
∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，
∴BE CE =1
4
，
∴BE BC =1
5
，
∵DE//AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴S△DBE：S△ABC=1：25，
∴S△ACD=25a−a−4a=20a，
∴S△BDE：S△ACD=a：20a=1：20．
故选：C．
设△BDE的面积为a，表示出△CDE的面积为4a，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出BE
CE
，然后求出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，然后表示出△ACD的面积，再求出比值即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．
18.【答案】B
【解析】解：过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，过点C 作
CF//y 轴，过点A 作AF//x 轴，交点为F ，延长CA 交x 轴于点H ，
∵四边形AOBC 是矩形，
∴AC//OB ，AC =OB ，
∴∠CAF =∠BOE =∠CHO ，
在△ACF 和△OBE 中，
{∠F =∠BEO =90°∠CAF =∠BOE AC =OB
，
∴△CAF≌△BOE(AAS)，
∴BE =CF =4−1=3，
∵∠AOD +∠BOE =∠BOE +∠OBE =90°，
∴∠AOD =∠OBE ，
∵∠ADO =∠OEB =90°，
∴△AOD∽△OBE ， ∴AD OE =OD BE ， 即1
OE =23，
∴OE =32，
即点B(3
2
,3)， ∴AF =OE =32，
∴点C 的横坐标为：−(2−32)=−12
， ∴点C(−12,4)．
故选：B ．
首先过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF//y 轴，过点A 作AF//x 轴，交点为F ，易得△CAF≌△BOE ，△AOD∽△OBE ，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案． 此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
【解析】
【分析】
作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以
AH=MH=√2
2
AM=√2，再根据角平分线性质得BM=MH=√2，则AB=2+√2，于是利用正方形的性质得到AC=√2AB=2√2+2
OC=1
2
AC=√2+1，所以CH=AC−AH=2+√2，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．
【解答】
解：作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH=MH=√2
2AM=√2
2
×2=√2，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH=√2，
∴AB=2+√2，
∴AC=√2AB=√2(2+√2)=2√2+2，
∴OC=1
2
AC=√2+1，CH=AC−AH=2√2+2−√2=2+√2，∵BD⊥AC，
∴ON//MH，
∴△CON∽△CHM，
∴ON MH =OC
CH
，即ON
√2
=√2+1
2+√2
，
∴ON=1．故选：C．
【解析】解：设正方形OPQR 的边长为x ，则OR =OP =RQ =PQ =x ．
由题意知：S △ABC =S △AOR +S △BOP +S 正方形OPQR +S △RQC
=1+3+x 2+1
=5+x 2．
∵S △AOR =12⋅x ⋅ℎ△AOR =1，
∴△AOR 的高ℎ△AOR =2x
． ∴△ABC 的高ℎ△ABC =2x +x ．
∵S △BPO =12OP ⋅BP =3，S △RCQ =12CQ ⋅RQ =1，
∴BP =6x ，CQ =2x ．
∴BC =6x +2x +x =8x +x ．
∵OR//BC ，
∴△AOR∽△ABC ．
∴OR BC =ℎ△AOR ℎ△ABC ，即x 8x +x =2x
2x +x ． 整理，得x 2=16
x 2， ∴x 4=16．
∴x =±2．
∵正方形的边长不能为负，
∴x =2．
故选：D ．
设正方形OPQR 的边长为x ，利用三角形的面积公式用含x 的代数式表示出△AOR 、
△ABC 的高和BC 的长，再利用相似三角形的性质得关于x 的方程，求解即可．
本题主要考查了三角形的面积和相似三角形的性质，掌握三角形的面积公式，由相似三角形的性质得到关于x 的方程是解决本题的关键．
21.【答案】x ≥−1且x ≠2
【解析】解：由题意得，x+1≥0，x−2≠0，
解得x≥−1且x≠2．
故答案为：x≥−1且x≠2．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
22.【答案】<
【解析】解：∵(2√5)2=20，(3√2)2=18，
∴20>18，
∴2√5>3√2，
∴−2√5<−3√2，
故答案为：<．
利用平方运算比较2√5与3√2的大小，即可解答．
本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键．
23.【答案】5
4
【解析】解：设a
5=b
4
=c
3
=k，
∴a=5k，b=4k，c=3k，
∴2a+b−3c
a−b+c =10k+4k−9k 5k−4k+3k
=5k
4k
=5
4
，
故答案为：5
4
．
利用设k法，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法进行计算是解题的关键．
24.【答案】1或9
【解析】解：由于甲看错了一次项的系数，得出的两个根为−9，−1，则常数项为−9×(−1)=9，而乙看错了常数项，得出的两根为8，2，则一次项系数为−(8+2)=−10，
所以原一元二次方程为x 2−10x +9=0
解得x =1或9．
故答案为1或9．
根据根与系数的关系，当甲看错了一次项的系数，得出的两个根为−9，−1，于是得到常数项为−9×(−1)=9，同样，乙看错了常数项，得出的两根为8，2，则一次项系数为−(8+2)=−10，然后写出满足条件的方程，解方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=c a ．
25.【答案】2
【解析】解：方程2x 2−4x =1化为一般式为2x 2−4x −1=0，此方程的两实数根之和为2，
方程2x 2−x =−4化为一般式为2x 2−x +4=0，Δ=(−1)2−4×2×4<0，此方程没有实数解，
所以方程2x 2−4x =1和方程2x 2−x =−4所有实数根之和为2．
故答案为：2．
先把两个方程都化为一般式，再利用根的判别式的意义判断方程2x 2−x =−4没有实数解，然后根据根与系数的关系得到方程2x 2−4x =1的两实数根之和即可．
本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a
，x 1x 2=c a .也考查了根与系数的关系． 26.【答案】12
【解析】解：∵△ABC∽△DEF ，
∴△ABC 的周长
△DEF 的周长=AB DE ，即5+6+9△DEF 的周长=53， ∴△DEF 的周长=12．
故答案为：12．
根据相似的性质得△ABC 的周长
△DEF 的周长=AB DE ，即5+6+9△DEF 的周长=53，然后利用比例的性质计算即可． 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比
也等于相似比．
27.【答案】24cm 2
【解析】解：∵E 、F 、G 、H 分别为AB 、AD 、CD 、BC 的中点，
∴EF =12BD =4cm ，EF//BD ，GH =12BD =4cm ，GH//BD ，EH =12AC =6cm ，
EH//AC ，
∴EF =GH ，EF//GH ，
∴四边形EFGH 为平行四边形，
∵AC ⊥BD ，
∴EF ⊥EH ，
∴平行四边形EFGH 为矩形，
∴S 矩形EFGH =4×6=24(cm 2)，
故答案为：24cm 2．
根据三角形中位线定理得到EF =12BD =4cm ，EF//BD ，GH =12BD =4cm ，GH//BD ，EH =12AC =6cm ，EH//AC ，根据矩形的判定定理得到四边形EFGH 为矩形，根据矩形面积公式计算即可．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定定理是解题的关键．
28.【答案】458或85
【解析】解：当DE//BC 时，△ADE∽△ABC ．
∵DE//BC ，
∴AD
AC =AE AB ，即38
=AE 15． ∴AE =458．
∵∠A =∠A ，当
AD AE =AB
AC 时，△ADE∽△ABC ． ∵AD AE =AB AC ，
∴3AE =158，
∴AE =85． 故答案为：458或85．
若△ADE∽△ABC ，则DE//BC 或AD
AE =AB
AC ，把AB 、AD 、AC 的值代入求出AE ． 本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键．
29.【答案】2.3
【解析】
【分析】
本题考查用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论．
先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD 的影长，再根据此影长列出比例式即可．
【解答】
解：如图，过点N 作ND ⊥PQ 于点D ，则四边形DPMN 是矩形，
∴DN =PM =1.2m ，DP =MN =0.8m ，
∵BC
AB =DN QD
，AB =2m ，BC =1.6m ， ∴QD =AB⋅DN BC =2×1.21.6=1.5(m)，
∴PQ =QD +DP =1.5+0.8=2.3(m)．
30.【答案】72
【解析】解：延长AG 到G′，与BC 相交于D ，使DG =DG′，则△BDG≌△CDG′，
∴CG′=BG =8，
∵DG =1
2AG =3，
∴DG =DG′=3，
∴GG′=6，
∵BG =10，
∴△BGG′是直角三角形，
×8×6=24，
∴S△GBC=S△BGG′=1
2
∴S△ABC=3S△GBC=72．
故答案为：72．
延长AG到G′，与BC相交于D，使DG=DG′，则△BDG′≌△CDG，所以BG′=CG=8，根据重心的性质可求得DG=DG′=3，则GG′=6，又CG=10，所以△BGG′是直角三角形，并可求得其面积，从而得出△BGC的面积，即可求得△ABC的面积．
本题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
31.【答案】解：①原式=2−√3−1+2√3+√3−2
=2√3−1；
②原式=(3√2−2√3)2⋅(3√2+2√3)2
=[(3√2−2√3)(3√2+2√3)]2
=(18−12)2
=36；
③3x(x−1)=1−x，
3x(x−1)+(x−1)=0，
(x−1)(3x+1)=0，
∴x−1=0或3x+1=0，
∴x1=1，x2=−1
；
3
④(x−5)(x+7)=1，
x2+2x=36，
x2+2x+1=36+1，即(x+1)2=37，
∴x+1=±√37，
∴x1=−1+√37，x2=−1−√37．
【解析】①原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项、第四项分母有理化即可得到结果；
②利用乘法公式以及积的乘方进行计算即可；
③利用因式分解法求解即可；
④利用配方法求解即可．
此题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握运算法则以及解方程的方法是解本题的关键．
32.【答案】√7√n+1−√n
【解析】解：(1)√7的有理化因式是√7；
故答案为：√7；
√n+1+√n =√n+1−√n
(√n+1+√n)(√n+1−√n)
=√n+1−√n；
故答案为：√n+1−√n；
(3)原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+...+√2022−√2021
=√2022−1．
(1)直接利用有理化因式的定义得出答案；
(2)直接利用已知将原式分母有理化得出答案；
(3)利用(2)中规律化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确将二次根式分母有理化是解题关键．
33.【答案】(1)证明：∵△=[−(2k+1)]2−4(k2+k)=1>0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)解：∵△=1>0，
∴AB≠AC，
∴AB、AC中有一个数为5．
当x=5时，原方程为：25−5(2k+1)+k2+k=0，即k2−9k+20=0，
解得：k1=4，k2=5．
当k=4时，原方程为x2−9x+20=0，
∴x1=4，x2=5．
∵4、5、5能围成等腰三角形，
∴k=4符合题意；
当k=5时，原方程为x2−11x+30=0，
解得：x1=5，x2=6．
∵5、5、6能围成等腰三角形，
∴k=5符合题意．
综上所述：k的值为4或5．
【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=1>0，由此可证出：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)由△=1>0可知AB≠AC，代入x=5可求出k的值，将k值代入原方程，解方程可得出AB、AC 的长度，由三角形的三边关系可确定两个k值均符合题意，此题得解．
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形三边关系，解题的关键是：(1)牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”；(2)代入x=5求出k值．
34.【答案】解：(1)设每件售价定为x元时，才能使每天利润为640元，
(x−8)[200−20(x−10)]=640，
解得：x1=12，x2=16．
答：应将每件售价定为12元或16元时，能使每天利润为640元．
(2)设利润为y，
则y=(x−8)[200−20(x−10)]
=−20x2+560x−3200
=−20(x−14)2+720，
∴当售价定为14元时，获得最大利润；最大利润为720元．
【解析】(1)根据等量关系“利润=(售价−进价)×销量”列出函数关系式，进而列出方程，求解即可．
(2)根据(1)中的函数关系式求得利润最大值．
此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握．
35.【答案】证明：∵平行四边形ABCD中，AD//BC，
∴△DNP∽△BNC，∴NP
CN =ND
NB
，
∵平行四边形ABCD中，AB//CD，
∴△DCN∽△BMN，CN
MN =ND
NB
，
∴CN MN =NP
CN
∴CN2=MN⋅NP
【解析】利用平行四边形对边相互平行的性质，分别求证△DNP∽△BNC和△DCN∽△BMN，然后根据相似三角形对应边成比例，通过等量代换即可证明．
此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质的理解和掌握，证明此题的关键是求证△DNP∽△BNC和△DCN∽△BMN．
36.【答案】(1)证明：∵∠APC=∠B+∠BAP，
即∠APM+∠CPM=∠B+∠BAP，
而∠APM=∠B，
∴∠BAP=∠CPM，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCM；
(2)解：BP=x，则PC=8−x，
∵点P为BC边上一动点(不与点B、C重合)，
∴0<x<8；
∵△ABP∽△PCM，
∴PB CM =AB
PC
，
∴x y =5
8−x
，
∴y与x的函数解析式为y=−1
5x2+8
5
x(0<x<8)；
(3)解：①当AP=AM时，则∠APM=∠AMP=∠B，
而∠AMP >∠C ，不合题意舍去；
②当PA =PM 时，
∴△ABP≌△PCM ，
∴BP =CM ，即x =y ，
∴−15x 2+85x =x ，
解得x 1=0，x 2=3，此时PB 的长为3；
③当MA =MP 时，
∴∠APM =∠PAM ，
∵∠APM =∠B =∠C ，
∴△MAP∽△ABC ，PA =PC =8−x ，
∴MA
AB =PA BC
， ∴5−y
5=8−x 8，
∴8y =5x ，
即8(−15x 2+85
x)=5x ， 整理得8x 2−39x =0，
解得x 1=0，x 2=398，此时PB 的长为398
， 综上所述，PB 的长为3或398．
【解析】(1)利用三角形外角性质得∠APC =∠B +∠BAP ，进而判断∠BAP =∠CPM ，即可得出结论；
(2)PC =8−x ，利用△ABP∽△PCM 得到比例式，即可得出结论；
(3)讨论：①当AP =AM 时，则∠APM =∠AMP =∠B ，而∠AMP >∠C ，不合题意舍去；②当PA =PM 时，判断出BP =CM ，即x =y ，进而建立方程求解，即可求出答案；
③当MA =MP 时，判断出△MAP∽△ABC ，得出比例式，进而得出8y =5x ，结合(2)的函数关系式，即可求出答案．
本题是相似三角形综合题，主要考查了三角形相似的判定与性质，等腰三角形的判定．全等三角形的判定和性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．。