凤台县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

凤台县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）i 21i
i
-A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2． 在ABC ∆中，2
2
2
sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）1111]
A ．(0,
]6
π
B ．[
,)6
π
π C. (0,
]3
π
D ．[
,)
3
π
π3． 已知x ，y 满足约束条件，使z=ax+y 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（
）
A ．﹣3
B ．3
C ．﹣1
D ．1
4． 已知集合M={1，4，7}，M ∪N=M ，则集合N 不可能是（ ）
A ．∅
B ．{1，4}
C ．M
D ．{2，7}
5． 四棱锥P ﹣ABCD 的底面是一个正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=2，E 是棱PA 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 在△ABC 中，b=，c=3，B=30°，则a=（ ）
A ．
B ．2
C ．
或2
D ．2
7． “m=1”是“直线（m ﹣2）x ﹣3my ﹣1=0与直线（m+2）x+（m ﹣2）y+3=0相互垂直”的（ ）
A ．必要而不充分条件
B ．充分而不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8． 抛物线y=﹣x 2上的点到直线4x+3y ﹣8=0距离的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．3
9． 已知圆C ：x 2+y 2﹣2x=1，直线l ：y=k （x ﹣1）+1，则l 与C 的位置关系是（ ）A ．一定相离B ．一定相切
C ．相交且一定不过圆心
D ．相交且可能过圆心
10．若函数y=x 2+（2a ﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[﹣，+∞）
B ．（﹣∞，﹣]
C ．[，+∞）
D ．（﹣∞，]
11．已知命题p ：∀x ∈R ，32x+1＞0，有命题q ：0＜x ＜2是log 2x ＜1的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（
）
A ．￢p
B ．p ∧q
C ．p ∧￢q
D ．￢p ∨q
12．（文科）要得到的图象，只需将函数的图象（ ）
()2log 2g x x =()2log f x x =A ．向左平移1个单位
B ．向右平移1个单位
C ．向上平移1个单位
D ．向下平移1个单位
二、填空题
13．已知直线：（）被圆：所截的弦长是圆心到直线的043=++m y x 0>m C 06222
2
=--++y x y x C 距离的2倍，则
.
=m 14．已知，为实数，代数式的最小值是
.
x y 2222)3(9)2(1y x x y ++-++-+【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力.15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y=（
）t ﹣a （a 为常数），
如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
16有两个不等实根，则的取值范围是
．
()23k x =-+17．（本小题满分12分）点M （2pt ，2pt 2）（t 为常数，且t ≠0）是拋物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上一点，过M 作倾斜角互补的两直线l 1与l 2与C 的另外交点分别为P 、Q .
（1）求证：直线PQ 的斜率为－2t ；
（2）记拋物线的准线与y 轴的交点为T ，若拋物线在M 处的切线过点T ，求t 的值．
18．已知、、分别是三内角的对应的三边，若，则
a b c ABC ∆A B C 、、C a A c cos sin -=
的取值范围是___________．3cos(4
A B π
-+
【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、
转化思想．
三、解答题
19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD=2AB ，E 为PA 的中点，M 在PD 上．
（I ）求证：AD ⊥PB ；（Ⅱ）若
，则当λ为何值时，平面BEM ⊥平面PAB ？
（Ⅲ）在（II ）的条件下，求证：PC ∥平面BEM ．
20．（本小题12分）在多面体中，四边形与是边长均为正方形，平面
ABCDEFG ABCD CDEF a CF ⊥，平面，且．
ABCD BG ⊥ABCD 24AB BG BH ==（1）求证：平面平面；AGH ⊥EFG （2）若，求三棱锥的体积．
4a =G ADE -
【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识，间在考查空间想象能力、逻辑推理能力，以及转化的思想、方程思想．
21．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆的极坐标方程为，点为其左、右焦点，直线的参数方程为C 2
22
12
3cos 4sin ρθθ
=
+12,F F （为参数，）
.2x y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩t R ∈（1）求直线和曲线的普通方程；
C （2）求点到直线的距离之和.
12,F F 22．（本小题满分12分）
两个人在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设分别表示甲，乙，丙3个,,x y z 盒中的球数.
（1）求，，的概率；
0x =1y =2z =（2）记，求随机变量的概率分布列和数学期望.
x y ξ=+ξ【命题意图】本题考查频离散型随机变量及其分布列等基础知识，意在考查学生的统计思想和基本的运算能力．
23．已知函数f （x ）=4sinxcosx ﹣5sin 2x ﹣cos 2x+3．
（Ⅰ）当x ∈[0，
]时，求函数f （x ）的值域；
（Ⅱ）若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足=，
=2+2cos （A+C ），
求f （B ）的值．　
24．（本小题满分12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，过点作垂直
1C 14
82
2=+y x 21F F 、1F 于轴的直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点.
2l P 2PF 2l M （1）求点的轨迹的方程；
M 2C （2）过点作两条互相垂直的直线，且分别交椭圆于，求四边形面积2F BD AC 、D C B A 、、、ABCD 的最小值.
凤台县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】因为
所以，对应的点位于第二象限
故答案为：B
【答案】B
2．【答案】C
【解析】
考点：三角形中正余弦定理的运用.
3．【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=ax+y，得y=﹣ax+z，
若a=0，此时y=z，此时函数y=z只在B处取得最小值，不满足条件．
若a＞0，则目标函数的斜率k=﹣a＜0．
平移直线y=﹣ax+z，
由图象可知当直线y=﹣ax+z和直线x+y=1平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，
此时﹣a=﹣1，即a=1．
若a＜0，则目标函数的斜率k=﹣a＞0．
平移直线y=﹣ax+z，
由图象可知当直线y=﹣ax+z，此时目标函数只在C处取得最小值，不满足条件．
综上a=1．
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．
4．【答案】D
【解析】解：∵M∪N=M，∴N⊆M，
∴集合N不可能是{2，7}，
故选：D
【点评】本题主要考查集合的关系的判断，比较基础．
5．【答案】B
【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），E（0，0，1），A（0，0，0），C（2，2，0），
=（﹣2，0，1），=（2，2，0），
设异面直线BE与AC所成角为θ，
则cosθ===．
故选：B．
6．【答案】C
【解析】解：∵b=，c=3，B=30°，
∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：3=9+a2﹣3，整理可得：a2﹣3a+6=0，
∴解得：a=或2．
故选：C．
7．【答案】B
【解析】解：当m=0时，两条直线方程分别化为：﹣2x﹣1=0，2x﹣2y+3=0，此时两条直线不垂直，舍去；
当m=2时，两条直线方程分别化为：﹣6y﹣1=0，4x+3=0，此时两条直线相互垂直；
当m≠0，2时，两条直线相互垂直，则×=﹣1，解得m=1．
综上可得：两条直线相互垂直的充要条件是：m=1，2．
∴“m=1”是“直线（m﹣2）x﹣3my﹣1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y+3=0相互垂直”的充分不必要条件．
故选：B．
【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件、充要条件的判定，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
8．【答案】A
【解析】解：由，得3x2﹣4x+8=0．
△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．
所以直线4x+3y﹣8=0与抛物线y=﹣x2无交点．
设与直线4x+3y﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0
联立，得3x2﹣4x﹣m=0．
由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m）=16+12m=0，
得m=﹣．
所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x2相切的直线方程为4x+3y﹣=0．
所以抛物线y=﹣x2上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是=．
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是中档题．
9．【答案】C
【解析】
【分析】将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，与r比较大小即可得到结果．
【解答】解：圆C方程化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=2，
∴圆心C（1，0），半径r=，
∵≥＞1，
∴圆心到直线l的距离d=＜=r，且圆心（1，0）不在直线l上，
∴直线l与圆相交且一定不过圆心．
故选C
10．【答案】B
【解析】解：∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1的图象是方向朝上，以直线x=为对称轴的抛物线
又∵函数在区间（﹣∞，2]上是减函数，
故2≤
解得a≤﹣
故选B．
11．【答案】C
【解析】解：∵命题p：∀x∈R，32x+1＞0，∴命题p为真，
由log 2x ＜1，解得：0＜x ＜2，∴0＜x ＜2是log 2x ＜1的充分必要条件，∴命题q 为假，故选：C ．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了对数，指数函数的性质，是一道基础题．　
12．【答案】C 【解析】
试题分析：，故向上平移个单位.()2222log 2log 2log 1log g x x x x ==+=+考点：图象平移．
二、填空题
13．【答案】9【解析】
考点：直线与圆的位置关系
【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是，R 是圆的半径，d 是圆心到直线的距离.2
2
2d R l -=
14．. 【
解
析
】
15．【答案】0.6
【解析】解：当t ＞0.1时，可得1=（
）0.1﹣a
∴0.1﹣a=0
a=0.1
由题意可得y ≤0.25=，即（）t ﹣0.1≤，即t ﹣0.1≥
解得t ≥0.6，
由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．
故答案为：0.6
【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，得到其他错误答案．
16．【答案】53,124⎛⎤
⎥⎝⎦【解析】
试题分析：作出函数和的图象，如图所示，函数的图象是一个半圆，
y =()23y k x =-+y =直线的图象恒过定点，结合图象，可知，当过点时，，当直线()23y k x =-+()2,3()2,0-303224k -=
=+
，解得，所以实数的取值范围是.111]()23y k x =-+2
512k =53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦
考点：直线与圆的位置关系的应用．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键.
17．【答案】
【解析】解：（1）证明：l 1的斜率显然存在，设为k ，其方程为y －2pt 2＝k （x －2pt ）．①
将①与拋物线x 2＝2py 联立得，
x 2－2pkx ＋4p 2t （k －t ）＝0，
解得x 1＝2pt ，x 2＝2p （k －t ），将x 2＝2p （k －t ）代入x 2＝2py 得y 2＝2p （k －t ）2，∴P 点的坐标为（2p （k －t ），2p （k －t ）2）．
由于l 1与l 2的倾斜角互补，∴点Q 的坐标为（2p （－k －t ），2p （－k －t ）2），
∴k PQ ＝＝－2t ，2p （－k －t ）2－2p （k －t ）22p （－k －t ）－2p （k －t ）即直线PQ 的斜率为－2t .
（2）由y ＝得y ′＝，x 2
2p x p ∴拋物线C 在M （2pt ，2pt 2）处的切线斜率为k ＝＝2t .2pt p
其切线方程为y －2pt 2＝2t （x －2pt ），又C 的准线与y 轴的交点T 的坐标为（0，
－）．p 2
∴－－2pt 2＝2t （－2pt ）．p 2
解得t ＝±，即t
的值为±.12118．【答案】
【解析】
三、解答题
19．【答案】
【解析】（I）证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴AD⊥平面PAB．又PB⊂平面PAB，
∴AD⊥PB．
（II）解：由（I）可知，AD⊥平面PAB，又E为PA的中点，
当M为PD的中点时，EM∥AD，
∴EM⊥平面PAB，∵EM⊂平面BEM，
∴平面BEM⊥平面PAB．
此时，．
（III）设CD的中点为F，连接BF，FM
由（II）可知，M为PD的中点．
∴FM∥PC．
∵AB∥FD，FD=AB，
∴ABFD为平行四边形．
∴AD∥BF，又∵EM∥AD，
∴EM∥BF．
∴B，E，M，F四点共面．
∴FM⊂平面BEM，又PC⊄平面BEM，
∴PC∥平面BEM．
【点评】本题考查了线面垂直的性质，线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．
20．【答案】
【解析】（1）连接，由题意，知，，∴平面．
FH CD BC ⊥CD CF ⊥CD ⊥BCFG 又∵平面，∴．
GH ⊂BCFG CD ⊥GH 又∵，∴……………………………2分
EF CD A EF GH ⊥由题意，得，，，∴，14BH a =
34CH a =12BG a =2222516
GH BG BH a =+=，，22225()4FG CF BG BC a =-+=22222516
FH CF CH a =+=则，∴．……………………………4分222FH FG GH =+GH FG ⊥又∵，平面．……………………………5分
EF FG F = GH ⊥EFG ∵平面，∴平面平面．……………………………6分
GH ⊂AGH AGH ⊥EFG
21．【答案】（1）直线的普通方程为，曲线的普通方程为；（2）．2y x =-C 22143
x y +=【解析】
试题分析：（1）由公式可化极坐标方程为直角坐标方程，利用消参法可化参数方程为普通方程；cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式．
22．【答案】
【解析】（1）由，，知，甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0，1，2，
0x =1y =2z =此时的概率.（4分）
213111324P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭
23．【答案】
sin2x+2cos2x=4sin（2x+）．
∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]，
∴f（x）∈[﹣2，4]．
（Ⅱ）由条件得sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
∴sinAcos （A+C ）+cosAsin （A+C ）=2sinA+2sinAcos （A+C ），
化简得 sinC=2sinA ，
由正弦定理得：c=2a ，
又b=，
由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3a2+4a2﹣4
a2cosA ，解得：cosA=，故解得：A=
，B=，C=，∴f （B ）=f （）=4sin =2．
【点评】本题考查了平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
24．【答案】（1）；（2）
.x y 82=9
64【解析】试题分析：（1）求得椭圆的焦点坐标，连接，由垂直平分线的性质可得，运用抛物线的定
2MF 2MF MP =义，即可得到所求轨迹方程；（2）分类讨论：当或中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时，此时四AC BD 边形面积．当直线和的斜率都存在时，不妨设直线的方程为，则直ABCD 22b S =AC BD AC ()2-=x k y 线的方程为．分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得，BD ()21--=x k
y AC ．利用四边形面积即可得到关于斜率的式子，再利用配方和二次函数的最值求法，
BD ABCD BD AC S 2
1=即可得出．
（2）当直线的斜率存在且不为零时，直线的斜率为，，，则直线的斜率为，AC AC ),(11y x A ),(22y x C BD k
1-直线的方程为，联立，得.111]AC )2(-=x k y ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=148
)2(22y x x k y 0888)12(2222=-+-+k x k x k ∴，.2221218k k x x +=+22212188k
k x x +-=
.由于直线的斜率为，用代换上式中的。

可得1
2)1(324)(1||22212
212++=-+⋅+=k k x x x x k AC BD k 1-k 1-.2
)1(32||22++=k k BD ∵，∴四边形的面积.BD AC ⊥ABCD )12)(2()1(16||||21222
2+++=⋅=k k k BD AC S 由于，∴，当且仅当，即222222
2]2)1(3[]2)12()2([)12)(2(+=+++≤++k k k k k 9
64≥S 12222+=+k k 时取得等号.1±=k 易知，当直线的斜率不存在或斜率为零时，四边形的面积.
AC ABCD 8=S 综上，四边形面积的最小值为
.ABCD 964考点：椭圆的简单性质．1
【思路点晴】求得椭圆的焦点坐标,由垂直平分线的性质可得,运用抛物线的定义,即可得所求的||||2MF MP =轨迹方程.第二问分类讨论,当或中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时,四边形面积为.当直线AC BD 22b 和的斜率都存在时,分别设出的直线方程与椭圆联立得到根与系数的关系,利用弦长公式求得AC BD BD AC ,,从而利用四边形的面积公式求最值.
BD AC ,。