备战2013年高考数学(理)专题3 导数与函数(2007-2012年高考).pdf

【2012年高考试题】
一、选择题
1.【2012高考真题重庆理8】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
（A）函数有极大值和极小值
（B）函数有极大值和极小值
（C）函数有极大值和极小值
（D）函数有极大值和极小值
2.【2012高考真题新课标理12】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）
【答案】B
【解析】函数与函数互为反函数，图象关于对称
函数上的点到直线的距离为
设函数
由图象关于对称得：最小值为,
3.【2012高考真题陕西理7】设函数，则（ ）
A. 为的极大值点
B.为的极小值点
C. 为的极大值点
D. 为的极小值点[学
4.【2012高考真题辽宁理12】若，则下列不等式恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)
5.【2012高考真题湖北理3】已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为
A． B．
C． D．
【答案】B
，再由定积分的几何意义，可求得面积为.
6.【2012高考真题全国卷理10】已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝
（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1
7.【2012高考真题浙江理16】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线
C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______。

【答案】
【解析】曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为，
曲线C1：y=x2+a对应函数的导数为，令得，所以C1：y=x2+a上的点为，点到到直线l:y=x的距离应为，所以，解得或（舍去）。

8.【2012高考真题江西理11】计算定积分___________。

【答案】
【解析】。

9.【2012高考真题山东理15】设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.
10.【2012高考真题广东理12】曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 ．
11.【2012高考真题上海理13】已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为 。

【答案】
【解析】当，线段的方程为，当时。

线段方程为，整理得，即函数，所以，函数与轴围成的图形面积为。

12.【2012高考真题陕西理14】设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 .
三、解答题
13.【2012高考真题广东理21】（本小题满分14分）
设a＜1，集合，，。

（1）求集合D（用区间表示）；
（2）求函数在D内的极值点．
【答案】本题是一个综合性问题，考查集合与导数的相关知识，考查了学生综合解决问题的能力，难度较大.
14.【2012高考真题安徽理19】（本小题满分1分）
。

（I）求在上的最小值；
（II）设曲线在点的切线方程为；求的值。

【答案】本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。

【解析】（I）设；则，
①当时，在上是增函数，
得：当时，的最小值为。

15.【2012高考真题福建理20】（本小题满分14分）已知函数f（x）=ex＋ax2-ex，a∈R.
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P. 【答案】本题主要考查函数导数的应用、二次函数的性质、函数零点的存在性定理等基础知识，考查推理论证能力、基本运算能力、抽象概括能力，以及分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想.
16.【2012高考真题北京理18】（本小题共13分）
【答案】解：（?）由为公共切点可得：
，则，，
，则，，
①
又，，
，即，代入①式可得：．
已知函数满足满足；
（1）求的解析式及单调区间；
（2）若，求的最大值.
（2）得
①当时，在上单调递增
时，与矛盾
②当时，
得：当时，
令；则
当时，
当时，的最大值为
18.【2012高考真题天津理20】本小题满分14分）
已知函数的最小值为0，其中
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的有≤成立，求实数的最小值；
（Ⅲ）证明（）.
【答案】
19.【2012高考江苏18】（16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。

已知是实数，1和是函数的两个极值点．
（1）求和的值；
（2）设函数的导函数，求的极值点；
（3）设，其中，求函数的零点个数．
【答案】解：（1）由，得。

∵1和是函数的两个极值点，
∴ ，，解得。

（3）令，则。

先讨论关于 的方程 根的情况：
当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2。

当时，∵， ，
∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。

由（1）知。

① 当时， ，于是是单调增函数，从而。

此时在无实根。

② 当时．，于是是单调增函数。

又∵，，的图象不间断，
∴ 在（1 , 2 ）内有唯一实根。

同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。

③ 当时，，于是是单调减两数。

又∵， ，的图象不间断，
∴在（一1，1 ）内有唯一实根。

因此，当时，有两个不同的根满足；当 时
有三个不同的根，满足。

现考虑函数的零点：
【解析】（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。

（2）由（1）得，，求出，令，求解讨论即可。

（3）比较复杂，先分和讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函数的零点。

20.【2012高考真题辽宁理21】本小题满分12分)
设，曲线与
直线在(0，0)点相切。

(Ⅰ)求的值。

(Ⅱ)证明：当时，。

【答案】
21.【2012高考真题重庆理16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）
设其中，曲线在点处的切线垂直于轴.
（Ⅰ） 求的值；
（Ⅱ）求函数的极值.
【答案】
22.【2012高考真题浙江理22】(本小题满分14分)已知a＞0，bR，函数．
(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，
()函数的最大值为|2a－b|a；
() ＋|2a－b|a≥0；
(Ⅱ) 若1≤≤1对x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．
() 要证＋|2a－b|a≥0，即证＝≤|2a－b|a．
亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|a，
∵，
∴令．
当b≤0时，＜0在0≤x≤1上恒成立，
此时的最大值为：＝|2a－b|a；
当b＜0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，
≤|2a－b|a；
综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|a．
即＋|2a－b|a≥0在0≤x≤1上恒成立．
∴所求a＋b的取值范围为：．
23.【2012高考真题湖南理22】（本小题满分13分）
已知函数=，其中a≠0.
若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合.
（2）在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
当时，单调递增；当时，单调递减.
故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，①式成立.
综上所述，的取值集合为.
（Ⅱ）由题意知，
令则
令，则.
当时，单调递减；当时，单调递增.
故当，即
函数与方程
一、选择题
1.【2012高考真题重庆理7】已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数
”的
（A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件
（C）必要而不充分的条件 （D）充要条件
【答案】D
【解析】因为为偶函数，所以当在上是增函数，则在上则为减函数，又函数的周期是4，所以在区间也为减函数.若在区间为减函数，根据函数的周期可知在上则为减函数，又函数为偶函数，根据对称性可知，在上是增函数，综上可知，“在上是增函数”是“为区间上的减函数”成立的充要条件，选D.
2.【2012高考真题北京理8】某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。

m值为（ ）
A.5
B.7
C.9
D.11
【答案】C
【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C。

3.【2012高考真题安徽理2】下列函数中，不满足：的是（ ）
4.【2012高考真题天津理4】函数在区间(0,1)内的零点个数是
（A）0 （B）1
（C）2 （D）3
【答案】B
【解析】因为函数的导数为，所以函数单调递增，又，，所以根据根的存在定理可知在区间内函数的零点个数为
1个，选B.
5.【2012高考真题全国卷理9】已知x=lnπ，y=log52，，则
(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x
【答案】D
【解析】，，，，所以，选D.
6.【2012高考真题新课标理10】 已知函数；则的图像大致为（ ）
【答案】B
【解析】排除法，因为，排除A.，排除C,D，选B.
7.【2012高考真题陕西理2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A非奇非偶的增函数；B是奇函数且是减函数；C是奇函数且在，上是减函数；D中函数可化为易知是奇函数且是增函数.故选D.
8.【2012高考真题重庆理10】设平面点集，则所表示的平面图形的面积为
（A） （B） （C） （D）
9.【2012高考真题山东理3】设且，则“函数在上是减函数 ”，是“函数在上是增函数”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数在R上为减函数，则有。

函数为增函数，则有，所以，所以“函数在R上为减函数”是“函数为增函数”的充分不必要条件，选A.
10.【2012高考真题四川理3】函数在处的极限是（ ）
A、不存在
B、等于
C、等于
D、等于
【答案】A.
【解析】即为，故其在处的极限不存在，选A.
11.【2012高考真题四川理5】函数的图象可能是（ ）
12.【2012高考真题山东理8】定义在上的函数满足.当时，，当时，。

则
（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012
【答案】B
【解析】由，可知函数的周期为6，所以，，，，，，所以在一个周期内有，所以，选B.
13.【2012高考真题山东理9】函数的图像大致为
14.【2012高考真题山东理12】设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是
A.当时，
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
【答案】B
【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当时，要想满足条件，则有如图，做出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为，由图象知即，同理当时，则有，故答案选B.
另法：，则方程与同解，故其有且仅有两个不同零点.由得或.这样，必须且只须或，因为，故必有由此得.不妨设，则.所以，比较系数得，故.，由此知，故答案为B.
15.【2012高考真题辽宁理11】设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
16.【2012高考真题江西理2】下列函数中，与函数定义域相同的函数为
A． B. C.y=xex D.
【答案】D
【解析】函数的定义域为。

的定义域为
,的定义域为，函数的定义域为，所以定义域相同的是D,选D.
17.【2012高考真题江西理3】若函数，则f(f(10)=A.lg101 B.2 C.1 D.0
18.【2012高考真题江西理10】如右图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点E是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记截面下面部分的体积为则函数的图像大致为
【答案】A
【解析】（定性法）当时，随着的增大，观察图形可知，单调递减，且递减的速度越来越快；当时，随着的增大，观察图形可知，单调递减，且递减的速度越来越慢；再观察各选项中的图象，发现只有A图象符合.故选A.
19．【2012高考真题湖南理8】已知两条直线 ：y=m 和： y=(m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，的最小值为
A． B. C. D.
20.【2012高考真题湖北理9】函数在区间上的零点个数为
A．4 B．5
C．6 D．7
【答案】C
【解析】，则或，，又，
所以共有6个解.选C.
21.【2012高考真题广东理4】下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是
A.y=ln（x+2）
B.y=-
C.y=（）x
D.y=x+
22.【2012高考真题福建理7】设函数则下列结论错误的是
A.D（x）的值域为{0,1}
B. D（x）是偶函数
C. D（x）不是周期函数
D.
D（x）不是单调函数
23.【2012高考真题福建理10】函数f（x）在[a,b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a,b]，有则称f（x）在[a,b]上具
有性质P.设f（x）在[1,3]上具有性质P，现给出如下命题：
①f（x）在[1,3]上的图像时连续不断的；
②f（x2）在[1,]上具有性质P；
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1,3]；
④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有
其中真命题的序号是
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
【答案】D．
二、填空题
24.【2012高考真题福建理15】对于实数a和b，定义运算“”：，
设，且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是
_________________.
，可解得，所以，又易知当时有最小值，所以，即.
25.【2012高考真题上海理7】已知函数（为常数）。

若在区间上是增函数，则的取值范围是 。

【答案】
【解析】令，则在区间上单调递增，而为增函数，所以要是函数在单调递增，则有，所以的取值范围是。

26.【2012高考真题上海理9】已知是奇函数，且，若，则 。

27.【2012高考江苏5】（5分）函数的定义域为 ▲ ．
28.【2012高考真题北京理14】已知，，若同时满足条件：
①，或；
②, 。

则m的取值范围是_______。

【答案】
【解析】根据，可解得。

由于题目中第一个条件的限制，或成立的限制，导致在时必须是的。

当时，不能做到在时，所以舍掉。

因此，作为二次函数开口只能向下，故，且此时两个根为，。

为保证此条件成立，需要，和大前提取交集结果为；又由于条件2：要求，0的限制，可分析得出在时，恒负，因此就需要在这个范围内有得正数的可能，即应该比两根中小的那个大，当时，，解得，交集为空，舍。

当时，两个根同为，舍。

当时，，解得，综上所述．
29.【2012高考真题天津理14】已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________.
除外，如图，则此时当直线经过，，综上实数的取值范围是且，即或。

30.【2012高考江苏10】（5分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，
其中．若，
则的值为 ▲ ．
三、解答题
31.【2012高考真题江西理22】 （本小题满分14分）
若函数h(x)满足
（1）h(0)=1，h(1)=0；
（2）对任意，有h(h(a))=a；
（3）在（0,1）上单调递减。

则称h(x)为补函数。

已知函数
（1）判函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论；
（2）若存在，使得h(m)=m，若m是函数h(x)的中介元，记时h(x)的中介元为xn，且，若对任意的，都有Sn0，则函数g(x)在R上单调递增.又因为g(-1)=f(-1)-(-2+4)=0，故g(x)>0,即f(x)＞2x+4的解集为(-1，+).
8．(2011年高考浙江卷理科1)设函数,则实数=（A）-4或-2 （B）-4或2 （C）-2或4 （D）-2或2
【答案】 B
【解析】：当，故选B
9. (2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数的是（ ）
A B C D
10. (2011年高考全国新课标卷理科9)由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为
（A） （B）4 （C） （D）6
【答案】C
解析：因为的解为，所以两图像交点为，于是面积故选C
点评：本题考查定积分的概念、几何意义、运算及解决问题的能力。

求曲线围成的图形的面积，就是要求函数在某个区间内的定积分。

13. (2011年高考天津卷理科8)对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D.
14. (2011年高考江西卷理科3)若，则的定义域为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】要使原函数有意义,只须,即,解得,故选A.
15. (2011年高考江西卷理科4)若，则的解集为
A. B. C. D.
16. (2011年高考湖南卷理科6)由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为
A. B. 1 C. D.
17. (2011年高考湖南卷理科8)设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为
A. 1
B.
C.
D.
答案：D
解析：将代入中，得到点的坐标分别为，，从而
对其求导，可知当且仅当时取到最小。

故选D
评析：本小题主要考查二次函数和对数函数的图像和性质，以及建立距离函数，用导数法求最值.
18．(2011年高考广东卷理科4)设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）
A．+|g(x)|是偶函数 B．-|g(x)|是奇函数
C．|| +g(x)是偶函数 D．||- g(x)是奇函数
【解析】A.设
，所以是偶函数，所以选A.
19．(2011年高考湖北卷理科6)已知定义在R上的奇函数和偶函数满足且，若，则
A.2
B.
C.
D.
20. (2011年高考湖北卷理科10) 放射性元素由于不断有原子放射微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位年）满足函数关系：，其中为t=0时铯137的含量，已知t=30时，铯137含量的变化率是—10ln2（太贝克/年），则M(60)=A.5太贝克
B.75ln2太贝克
C.150ln2太贝克
D.150太贝克
答案：.D
解析：因为，故其变化率为，又由故，则，所以选D.
21．(2011年高考陕西卷理科3)设函数满足，则的图像可能是
【答案】B
【解析】：由知为偶函数，由知周期为2。

故选B
22．(2011年高考陕西卷理科6)函数在内
（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点
（C）有且仅有两一个零点（D）有无穷个零点
【答案】B
【解析】：令，，则它们的图像如图故选B
23.(2011年高考重庆卷理科5)下列区间中，函数，在其上为增函数的是
（A） (B)
(C) (D)
26． (2011年高考全国卷理科8)曲线y=+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为
(A) (B) (C) (D)1
【答案】A
【解析】： ，，切线方程为
由 则 故选A
27．(2011年高考全国卷理科9)设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则=(A) - (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】 故选A
28．(2011年高考福建卷理科5)（e2+2x）dx等于
A．1 B．e-1 C．e D．e+1
【答案】C
【解析】由定积分的定义容易求得答案.
二、填空题:
1. (2011年高考山东卷理科16)已知函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点 .
【答案】2
【解析】方程=0的根为,即函数的图象与函数的交点横坐标为,且,结合图象,因为当时,,此时对应直线上的点的横坐标;当时, 对数函数的图象上点的横坐标,直线的图象上点的横坐标,故所求的.
2．(2011年高考浙江卷理科11)若函数为偶函数，则实数 。

【答案】 0
【解析】：：，
则
3. (2011年高考广东卷理科12)函数在 处取得极小值.
4．(2011年高考陕西卷理科11)设，若，则
【答案】1
【解析】
5. (2011年高考四川卷理科13)计算 .
6. (2011年高考四川卷理科16)函数的定义域为A，若时总有为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题： 函数=（xR）是单函数；
若为单函数，
若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；
函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.
其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）
7.(2011年高考江苏卷2)函数的单调增区间是__________
【答案】
【解析】考察函数性质，容易题。

因为,所以定义域为,由复合函数的单调性知:函数的单调增区间是.
8.(2011年高考江苏卷8)在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________
【答案】4
【解析】考察函数与方程，两点间距离公式以及基本不等式，中档题。

设坐标原点的直线方程为,则由解得交点坐标为、，即为P、Q两点，所以线段PQ长为，当且仅当时等号成立，故线段PQ长的最小值是4.
9．(2011年高考安徽卷江苏11)已知实数，函数，若，则a的值为________
【答案】
【解析】因为,所以是函数的对称轴,所以,所以的值为.
10．(2011年高考北京卷理科13)已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_______ 【答案】（0，1）
【解析】画出函数图象与直线y=k,观察,可得结果,考查了函数与方程、数形结合的数学思想.
11．(2011年高考上海卷理科1)函数的反函数为 。

12．(2011年高考上海卷理科13)设是定义在上，以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为。

【答案】
【解析】本小题考查函数的性质.
三、解答题:
1. (2011年高考山东卷理科21)（本小题满分12分）
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为
3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.
（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.
【解析】（I）设容器的容积为V，
（II）由（I）得
由于
当
令
所以
（1）当时，
所以是函数y的极小值点，也是最小值点。

（2）当即时，
当函数单调递减，
所以r=2是函数y的最小值点，
综上所述，当时，建造费用最小时
当时，建造费用最小时
2．(2011年高考浙江卷理科22)（本题满分14分）设函数（Ⅰ）若为的极值点，求实数（Ⅱ）求实数的取值范围
，使得对任意恒有成立
注：为自然对数的底数
②当 时，由题意，首先有
解得 由（Ⅰ）知
令 则，
且
又在 内单调递增，所以函数 在内有唯一零点，记此零点为 ，则，从而，当 时， 当 时
当 时 即 在内单调递增，在内单调递减，
在 内单调递增。

所以要使对恒成立，
只要成立，由，知 将（3）代入（1）得又。

注意到函数在内单调递增，故
再由（3）以及函数在 内单调递增，可得 ，
由（2）解得 ，所以
综上，的取值范围为.
3．(2011年高考辽宁卷理科21) (本小题满分12分)
已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x.
(I)讨论f（x）的单调性；
（II）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（-x）；
（III）若函数y=f（x）的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f’（ x0）＜0.
4．(2011年高考安徽卷理科16) (本小题满分12分)
设，其中为正实数
（Ⅰ）当时，求的极值点；
（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。

【命题意图】：本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力。

【解析】：
当时，，由得解得
由得，由得，当x变化时与相应变化如下表：
x+0-0+极大值极小值所以，是函数的极大值点，是函数的极小值点。

因为为上的单调函数，而为正实数，故为上的单调递增函数
恒成立，即在上恒成立，因此
，结合解得
5. (2011年高考全国新课标卷理科20)（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上，M点满足MB//OA， MA?AB=MB?BA，M点的轨迹为曲线
C。

（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。

分析：（1）按照“建系、设点、列式、化简”求轨迹方程；（2）把点到直线的距离用动点坐标表示，然后化简，利用均值不等式求最值。

解：（Ⅰ）设动点M的坐标为，则依题意：
，
由此可得，即曲线C的方程为：
6. (2011年高考全国新课标卷理科21)（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为。

（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。

分析：（1）利用导数的概念和性质求字母的值；（2）构造新函数，用导数判定单调性，通过分类讨论确定参数的取值范围。

解：（Ⅰ），由题意知：即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，
设则，
7. (2011年高考天津卷理科19)（本小题满分14分）
已知，函数（的图像连续不断）
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明：存在，使；
（Ⅲ）若存在均属于区间的，且，使，证明．
【解析】本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.
（Ⅰ）解:,令,解得.
当变化时, 的变化情况如下表:
+0-极大值所以的单调递增区间是;的单调递减区间是.
（Ⅱ）证明: 当时，.由（Ⅰ）知在(0,2)内单调递增,在内单调递减.令,由在(0,2)内单调递增,故,即,
取,则,所以存在，使.
8．(2011年高考江西卷理科19) (本小题满分12分)
设
（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围．
（2）当时，在的最小值为，求在该区间上的最大值．
解析：（1），因为函数在上存在单调递增区间，所以的解集与集合有公共部分，所以不等式解集的右端点落在内，即，解得．
9. (2011年高考湖南卷理科20)（本小题满分13分）如图6，长方形物体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为（），雨速沿移动方向的分速度为（）. 移动时单位时间内的淋雨量包括量部分：(1) 或的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为.记为移动过程中的总淋雨量.当移动距离，面积时，
写出的表达式；
设，，试根据的不同取值范围，确定移动速
度，使总淋雨量最少.
解：由题意知，移动时单位时间内的
淋雨量为，故
由知，
当时，
当时，
故
10. (2011年高考湖南卷理科22)（本小题满分13分）已知函数
求函数的零点个数，并说明理由；
设数列满足证明：存在常数
使得对于任意的都有
解：由知，，而且，
，则为的一个零点，且在内由零点，
因此至少有两个零点.
解法1 记则
当时，因此在上单调递增，则在上至多有一个零点，
又因为，，则在内有零点.所以在上有且只有一个零点，记此零点为，则当时，当时，
所以，
当时，单调递减，而则在内无零点；当时，单调递增，则在内至多只有一个零点，从而在上至多有一个零点.
综上所述，有且只有两个零点.
知
因此，当时，成立
故对任意的成立
综上所述，存在常数使得对于任意的都有
评析：本大题综合考查函数与导数、数列、不等式等数学知识和方法以及数学归纳法、放缩法等证明方法的灵活运用.突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力.
11. (2011年高考湖北卷理科17)（本小题满分12分）
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度的一次函数.
(Ⅰ)当时，求函数的表达式；
(Ⅱ)当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）
本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.
解析：
（Ⅰ）由题意：当时，；当时，设
再由已知得，解得
故函数的表达式为
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当时，为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；
当时，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，当时，在区间[20,200]上取得最大值.
综上，当时，在区间[0,200]上取得最大值.
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.
12. (2011年高考湖北卷理科21)（本小题满分14分）
(Ⅰ)已知函数，求函数的最大值；
(Ⅱ)设均为正数，证明：
（1）若，则；
（2）若，则
（Ⅱ）
（1）由（Ⅰ）知，当时，有，即，
，从而有，得，
求和得,
,,即
.
（2）①先证.
令，则,于是
由（1）得，即。