张掖市二中2020届高三上学期11月考数学(文)试卷附答案详析

张掖市二中2020届高三上学期11月考
数学（文）试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1．复数1
2z i
=
+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2．设R θ∈，则“6
π
θ=”是“1
sin 2
θ=
”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3．已知函数()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，且当[0,2]x ∈时，2
()2f x x x =-，
则
(5)f -的值为（ ）
A. 3-
B. 1-
C. 1
D. 3
4．已知向量()()2,1,1,a b λ=-=r r
，若()()
2//2a b a b +-r r r r ，则实数λ=（ ）
A. 2
B. -2
C.
12
D. 1-2
5．已知双曲线()22
2103
x y a a -
=>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则a 为（ ） A ．19 B ．1 C.2 D ．4
6．己知4sin(
)65π
α+=-,则cos()3
π
α-= A.
45
B ・
35
C .45
-
.
D.35
-
7．已知正数项等比数列
{}n a 中，11a =，且14a 与5a 的等差中项是32a ，则2a =（ ）
A ．2
B ．
2
C ．4
D ．2或4
8．将函数()2cos()6
f x x π
=+
图像上所有点的横坐标缩短为原来的
12
倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，则函数()y g x =的图像的一个对称中心是（ ）
A. (
,0)12
π
B. (
,0)3
π
C. 5(
,0)12π
D. 2(
,0)3
π 9．若A 、B 为圆()2
2
:23C x y +-=上任意两点，P 为x 轴上的一个动点，则APB ∠的最大值是（ ）
A ．30︒
B ．60︒
C ．90︒
D ．120︒
10．双曲线22
22:1x y E a b
-=(00a b >>，）的离心率是5，过右焦点F 作渐近线l 的垂线，垂足为M ，若
OFM ∆的面积是1，则双曲线E 的实轴长是（ ）
A. 1
B. 2
C.
2 D. 22
11．如图1，已知正方体
1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为棱1AA 的中点，,,M N Q 分别是线段11A D ，
1CC ，11A B 上的点，若三棱锥P MNQ -的俯视图如图2，则点N 到平面PMQ 距离的最大值为（ ）
A.3
B.
34
2
C.
33
2
D.
53
3
12．已知函数22,0
()e ,0
x x x f x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，若12()()f x f x =(12x x ≠)，
则12x x +的最大值为（）
A.22
-
B.2ln 22-
C.3ln 22-
D.ln21-
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．23x
=，2
4
log 3
y =，则x y +=__________. 14. 1
tan ,sin =2
ABC αα=-△中，
则 15．若函数3
2
()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是__________． 16．已知函数()sin()6
f x x π
ω=+
(0)>ω的最小正周期为π，若()f x 在[0,)x t ∈时所求函数值中没有最
小值，则实数t 的范围是_________
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知正项数列
{}n a 的前n 项和n S 满足：11n n a a S S =+．
（1）求数列
{}n a 的通项公式；
（2）令2
log 32
n
n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．（本小题满分12分）某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分
组，得到的频率分布表如下表所示．
组号
分组
频数
频率
图
1
1
图
第1组
[)160165,
5 0.050
第2组
[)165170, n
0.350
第3组 [)170175,
30
p
第4组
[)175,180 20 0.200
第5组 [)180185,
10 0.100 合计
100
1.000
（1）求频率分布表中n ，p 的值，并估计该组数据的中位数（保留l 位小数）；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方
法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面 试？
（3）在（2）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第
4组至少有1名学生被甲考官面试的概率．
19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥面ABC ，=90ACB ∠o
，M 是AB 的中
点，12AC CB CC ===．
（Ⅰ）求证：平面1A CM ⊥平面11ABB A ． （Ⅱ）求点M 到平面11A CB 的距离．
20．（本小题满分12分）
已知函数12
1sin )(2
++=x x e x f x
M
B
A
C
1
A 1
C 1
B
（1）求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；
（2）若函数1sin )()(ln )(--+-=x e x f x x a x g x
有两个极值点1x ，2
x )(21x x ≠。

且不
等式)()()(2121x x x g x g +<+
λ恒成立，求实数λ的取值范围.
21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左，右焦点分别为()13,0F -，(
)
2
3,0F ，
且经过点13,2A ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过点0(4)B ，
作一条斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于P Q ，两点，记点P 关于x 轴 对称的点为P '．证明：直线P Q '经过x 轴上一定点D ，并求出定点D 的坐标．
22．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，过点()1,1P 的直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t α
α
=+⎧⎨=+⎩ （t 为参
数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11
||||
PA PB +的最小值． 22．（本小题满分12分）设函数
()3f x x a x a =++-．
（1）若()f x 的最小值是4，求a 的值； （2）若对于任意的实数x ∈R ，总存在[]2,3a ∈
-，使得24()0m m f x --≤成立，求实
数m 的取值范围．
数学（文科）答案
1答案】D 【详解】复数()()12222222555i i z i i i i --=
===-++- 对应的点坐标为22,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
在第四象限 2【答案】A 【分析】分别判断充分性和必要性，得到答案. 【详解】当6
π
θ=,可以得到1sin 2θ=
,反过来若1sin 2θ=，至少有6πθ=或56π，所以6
π
θ=为充分不必
要条件 3【答案】B 由题意，函数()f x 是定义R 在上周期为4的奇函数，所以(5)(54)(1)(1)f f f f -=-+=-=-，
又[]0,2x ∈
时，()22f x x x =-，则()221111f =⨯-=，所以(5)(1)1f f -=-=-，故选B.
4【答案】D 【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值．
【详解】向量a =r （2，﹣1），b =r （1，λ），则2a b +=u u r r （4，﹣1+2λ），2a b -=r r （3，﹣2﹣λ），
又（2a b +u u r
r
）∥（2a b -r
r
），所以4（﹣2﹣λ）﹣3（﹣1+2λ）＝0，解得λ1
2
=-．故选：D ． 5【答案】B 【解析】由题意得22321a a +=⇒=，选B. 6
7．14a 与5a 的等差中项是32a ，所以315224a a a ⨯=+，即2
4
111224a q a a q ⨯=+，
4224402122q q q a -+=⇒==⨯=，负值舍去，故选B ．
8【答案】D 【解析】将函数()2cos 6f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）
，得到函数()y g x =的图象，则()2cos 26g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
，由题可得当23x π=时，
2232cos 22cos 03362g ππππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦.即函数()y g x =的图象的一个对称中心是2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 故选D
10【解析】由于双曲线焦点到渐近线的距离为
b ,故,,OF b OM a FM b ===,根据面积公式有
11,22ab ab ==,而2225,c
c a b a
==+,解得1,2,5a b c ===,故实轴长22a =,选B 11解:由俯视图知，M 为11A D 的中点, Q 为11A B 的中点，
Q 平面//PMQ 平面11AB D ，1A C ∴⊥平面PMQ ，∴当N 与C 重合，点N 到平面PMQ 的距离最大，最大值为5532363
⋅=，故选D.
12解:当(,0)x ∈-∞时，
()f x 单调递减，且()(0,)f x ∈+∞，当[0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，且
()[1,)f x ∈+∞，可设212()()f x f x t ==(120x x <<)，其中1t ≥，则12
2
x t =-
，22ln x t =，
1222ln 2x x t t +=-
+(1t ≥)，令2()2ln 2g t t t =-+，2242()22t g t t t
-'=-+=，由()0g t '>， 得122t ≤<，由()0g t '<，得22t >，()g t ∴在(1,22)上单调递增，在(22,)+∞上单调递减，
max ()(22)3ln 22g t g ∴==-，即12x x +的最大值为3ln 22-，故选C.
13 14
【解析】∵2
()323f x x tx -'=+，由于()f x 在区间[1,4]上单调递减，则有()0f x '≤在[1,4]上恒成立，即
2
3230x tx -+≤，也即31()2t x x
≥
+在[1,4]上恒成立，因为31
()2y x x =+在[1,4]上单调递增，所以
3151
(4)248
t ≥
+=， 16.【详解】因为函数()sin()6
f x x π
ω=+
(0)>ω的最小正周期为π，所以2ω=，
当[0,)x t ∈时，2[,2)666
x t π
ππ
+
∈+，因为[0,)x t ∈时所求函数值中没有最小值，
所以
532662t πππ<+≤，解得233
t ππ<≤，所以t 的取值范围是2(,]33ππ
， 17【答案】（1）2n
n a =；（2）292
n n
-
【试题解析】（1）由已知11n n a a S S =+，可得
当1n =时，2
111a a a =+，可解得10a =，或12a =，由
{}n a 是正项数列，故12a =.
当2n ≥时，由已知可得22n n a S =+，1122n n a S --=+，两式相减得，
()12n n n a a a --=.化简得12n n a a -=，
∴数列
{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故2n n a =.∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =.
（2）∵2log 32
n n a b =，代入2n
n a =化简得5n b n =-，显然{}n b 是等差数列， ∴其前n 项和()
24592
2
n n n n n
T -+--=
=
. 【答案】（1）35n =，0.300p =，中位数估计值为171.7（2）第3、4、5组每组各抽学生人数为3、2、1
（3）
3
5
【分析】（1）由频率分布表可得：35n =，
0.300p =，由中位数的求法可得中位数估计值为171.7；
（2）因为笔试成绩高的第3、4、5组的人数之比为3:2:1，由分层抽样的方法选6名学生，三个小组分别选的人数为3、2、1；
55
（3）先列举出从6名学生中随机抽取2名学生的不同取法，再列举出第4组至少有1名学生被甲考官面试的取法，再结合古典概型的概率公式即可得解.
【详解】解：（1）由已知：5302010100n ++++=，0.5000.3500.2000.100 1.000p ++
++=，
35n ∴=，0.300p =，中位数为0.1
1700.06
+
≈171.7，即中位数估计值为171.7，
（2）由已知，笔试成绩高的第3、4、5组的人数之比为3:2:1，现用分层抽样的方法选6名学生。

故第3、4、5组每组各抽学生人数为3、2、1。

（3）在（2）的前提下，记第3组的3名学生为1c ，2c ，3c ，
第4组的2名学生为1d ，2d ，第5组的1名学生为1e ，且“第4组至少有1名学生被甲考官面试”为事件A 。

则所有的基本事件有：()12,c c ，()13,c c ，()11,c d ，()12,c d ，()11,c e ，()23,c c ，()21,c d ，()22,c d ，()21,c e ，
()31,c d ，()32,c d ，()31,c e ，()12,d d ，()11,d e ，()21,d e ，一共15种。

A 事件有：()11,c d ，()12,c d ，()21,c d ，()22,c d ，()31,c d ，()32,c d ，()12,d d ，()11,d e ，()21,d e ，
一共9种。

()93155
P
A ∴=
=，答：第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率为3
5。

19．（本小题满分12分）
证：（Ⅰ）由A 1A ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，则A 1A ⊥CM ． 由AC ＝CB ，M 是AB 的中点，则AB ⊥CM ． 又A 1A ∩AB ＝A ，则CM ⊥平面ABB 1A 1，
又CM ⊂平面A 1CM ，所以平面A 1CM ⊥平面ABB 1A 1．…………6分 （Ⅱ）设点M 到平面A 1CB 1的距离为h ，
由题意可知A 1C ＝CB 1＝A 1B 1＝2MC ＝22，S △A 1CB 1＝23，S △A 1MB 1＝22． 由（Ⅰ）可知CM ⊥平面ABB 1A 1，得，V C －A 1MB 1＝ 1
3MC ·S △A 1MB 1
＝V M －A 1CB 1＝ 1
3
h ·S △A 1CB 1，
M
B
A C
1
A 1
C 1
B
所以，点M 到平面A 1CB 1的距离h ＝
MC ·S △A 1MB 1
S △A 1CB 1
＝
23
3
． …………12分
21．（1）因为12
1sin )(2
++
=x x e x f x
，所以x x e x e x f x x ++=cos sin )(/， …………1分 所以1)0(/
==f k 切，又1)0(=f ，故所求的切线方程为)0(11-⨯=-x y ，即01=+-y x (4)
分
（2）因为1sin )()(ln )(--+-=x e x f x x a x g x
22
1)(ln x x x a +
-= 所以)0()(2/
>+-=
x x
a
ax x x g ， …………5分 由题意0)(/=x g 有两个不同的正根，即02
=+-a ax x 有两个不同的正根，
则400042
1212>⇒⎪⎩⎪
⎨⎧>=>=+>-=∆a a x x a x x a a ， …………7分 不等式)()()(2121x x x g x g +<+
λ恒成立等价于a
x g x g x x x g x g )
()()()(212121+=
++>
λ恒成立 又2
2
2221112121)(ln 21)(ln )()(x x x a x x x a x g x g +-++
-=+ )(21)()ln (ln 2
2212121x x x x a x x a +++-+= ]2)[(2
1)(ln 212212121x x x x x x a x x a -+++-=
)2(21ln 22a a a a a -+-= a a a a --=22
1
ln 所以
121ln )()(2121--=++a a x x x g x g ， …………10分 令121ln --
=a a y （4>a ）
，则02
11/
<-=a y ， 所以12
1
ln --
=a a y 在),4(+∞上单调递减， …………11分 所以32ln 2-<y ，所以32ln 2-≥λ
…………12分
21【答案】（Ⅰ）2
214
x y +=（Ⅱ）证明见解析，直线P Q '经过x 轴上定点D ，其坐标为()1,0
【分析】（Ⅰ）由已知结合椭圆定义求得a ，再求得b ，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由题意，设直线l 的方程为4(0)x my m =+≠，再设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，则1(P x '，1)y -．联立直线方程与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，求出P Q '所在直线方程，取0y =求得x 值，即可证明直线P Q '经过x 轴上一定点D ，并
求出定点D 的坐标．
【详解】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，可知122a AF AF =
+()
2
2
11
23422
⎛⎫=
++= ⎪⎝⎭. 解得2a =. 又()
2
22
31b a =-
=，∴椭圆C 的标准方程为2214
x
y +=.
（Ⅱ）由题意，设直线l 的方程为()4
0x my m =+≠.
设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,P x y '-. 由22
414
x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，可得()22
48120m y my +++=. ()216120m ∆=->Q ，212m ∴>. 12284
m y y m -∴+=
+，12
212
4y y m =+. ()21212121P Q y y y y k x x m y y '++=
=--Q ，∴直线P Q '的方程为()
()21
1121y y y y x x m y y ++=--. 令0y =，可得()21112
4m y y x my y y -=
+++. 121224my y x y y ∴=+=+2212
2244441884
m m m m m m ⋅
++=+=--+.()1,0D ∴.
∴直线P Q '经过x 轴上定点D ，其坐标为()1,0.
【答案】（Ⅰ）2
2
40x y x +-=（Ⅱ）
2
【详解】解：（Ⅰ）4cos ρθ=Q ，24cos ρρθ∴=.
由直角坐标与极坐标的互化关系222
x y ρ=+，cos x ρθ=. ∴曲线C 的直角坐标方程为
2240x y x +-=.
（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，并整理得
()22sin 2cos 20t t αα+--=.()2
2sin 2cos 80αα∆=-+>Q ，
∴可设12,t t 是方程的两个实数根，则122cos 2sin t t αα+=-，1220t t =-<.
11PA PB ∴+=1212121212
11t t t t t t t t t t +-+==()
2
1212
42
t t t t +-==
()
2
2cos 2sin 8
8
22
2
αα-+≥
=， 当4
πα
=
时，等号成立. 11PA PB ∴+的最小值为
2.
【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系
式的应用，三角函数关系式的恒等变换，考查直线参数方程t 的几何意义，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
22【答案】（1）±1a ；
（2）66m -≤≤ 详解：（Ⅰ）()|||3|f x x a x a =++-|()(3)|4||x a x a a ≥+--=， 由已知min ()4f x =，知4||4a =，解得±1a .
（Ⅱ）由题知2
||4||4||m m a -≤，又a 是存在的，∴2
max ||4||4||12m m a -≤=.
即2
||4||120m m --≤，变形得(||6)(||2)0m m -+≤，∴||6m ≤，∴66m -≤≤.
点睛：（1）利用a b a b a b -≤+≤+和a b a b a b -≤-≤+可对含绝对值的不等式进行放缩，从而求得最值（注意验证取等号的条件）；。