苏科版九年级数学下册《第五章二次函数》单元测试卷(有答案)

苏科版九年级数学下册第五章二次函数单元测试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）
1. 下列函数关系中是二次函数的是（）
A.正三角形面积S与边长a的关系
B.直角三角形两锐角A与B的关系
C.矩形面积一定时，长y与宽x的关系
D.等腰三角形顶角A与底角B的关系
2. 在平面直角坐标系中，二次函数y=a(x+ℎ)2的图象可能是（）
A. B.
C. D.
3. 苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足S=gt2(g=9.8)，则s与t的函数图象大致是（）
A. B.
C. D.4. 抛物线y=2(x−3)2+1的顶点坐标是（）
A.(−3, 1)
B.(3, 1)
C.(3, −1)
D.(−3, −1)
5. 对抛物线：y=−x2+2x−3而言，下列结论正确的是（）
A.与x轴有两个交点
B.开口向上
C.与y轴的交点坐标是(0, 3)
D.顶点坐标是(1, −2)
6. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=−1，且过点(−3, 0)．下列说法：①abc<0；②2a−b=0；③4a+2b+c<0；④3a+c=0；其中说法正确的是（）
A.①②
B.②③
C.①②④
D.②③④
7. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（）
A.b2−4ac>0
B.a−b+c<0
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C.abc<0
D.2a+b>0
8. 若A(−4, y1)，B(−1
4
, y2)，C(3, y3)为二次函数y=(x+2)2−9的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A.y1<y2<y3
B.y2<y1<y3
C.y3<y1<y2
D.y1<y3<y2
9. 把抛物线y=−x2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，即得到抛物线（）
A.y=−(x+2)2+3
B.y=−(x−2)2+3
C.y=−(x+2)2−3
D.y=−(x−2)2−3
10. 如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为(−1, −2)、(1, −2)，点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（）
A.−3
B.−1
C.1
D.3
二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）
11. 抛物线y=−3x2+8向右平移5个单位的抛物线的函数关系式是________．
12. 将函数y=2x2+1向上平移1个单位，再向左平移2个单位，得到抛物线的解析式________．
13. 二次函数y=ax2+bx+c中，若a:b:c=1:4:3，且该函数的最小值是−3，则解析式为
________．
14. 已知二次函数y=(x−1)2+(x−3)2，当x=________时，函数达到最小值．
15. 已知二次函数的图象如图所示，则 (1)这个二次函数的解析式是________；
(2)当x=________时，y=3
(3)当x的取值范围是________时，y>0．
16. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：
①ab<0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=−1，x2=3；③a+b+c>0；④当x>1时，y 随x值的增大而增大；⑤当y>0时，−1<x<3．
其中，正确的说法有________（请写出所有正确说法的序号）．
17. 已知二次函数y=−x2+4x+5，用配方法化成y=a(x+ℎ)2+k的形式为________．
18. 将二次函数y=x2−4x+7化为y=(x−a)2+b的形式，如果直角三角形的两边长分别为a、b，那么第三边的长为________．
19. 军事演习在平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足y=−1
5
x2+10x．经过________秒时间，炮弹落到地上爆炸了．
20. 如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(−2, 4)，B(1, 1)，则关于x的不等式ax2>bx+c的解集为________．
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三、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分，）
21. 已知函数y=(m+3)x m2+m−4+(m+2)x+2．
(1)当函数是二次函数时，求m的值；
(2)当函数是一次函数时，求m的值．
22. 已知抛物线的解析式为y=−1
2
x2+4x−6
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)求出抛物线与x轴的交点坐标；
(3)当x取何值时y>0？
23. 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长a的变化而变化．(1)当矩形边长a为多少米时，矩形面积为200m2； (2)求出S关于a的函数关系式，并直接写出当a为何值时，场地的面积S最大．
24. 如图所示，在边长为4的正方形EFCD上截去一角，成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=1，在AB上取一点P，设P到DE的距离PM=x，P到CD的距离PN=y，试写出矩形PMDN的面积S与x
之间的函数关系式．
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25. 张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y（元/吨）与采购量x（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)已知老王种植水果的成本是2 800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？
26. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B和点C的坐标分别为(3, 0)(0, −3)，抛物线的对称轴为x=1，D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式．
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，写出点P点的坐标，若不
存在，说明理由．
(3)点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线，与抛物线交于点F，求四边形ACFB面积的最大值，以及此时点E的坐标．
答案
1. A
2. D
3. B
4. B
5. D
6. C
7. C
8. B
9. D
10. A
11. y=−3(x−5)2+8
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12. y=2(x+2)2+2
13. y=3x2+12x+9
14. 2
15. 解：(1)观察图象得：此函数的顶点坐标为(1, −1)，对称轴为x=1，与x轴的交点坐标为(0, 0)，(2, 0)，
∴设此函数的解析式为y=a(x−1)2−1，
将点(0, 0)代入函数解析式得a=1，
∴这个二次函数的解析式是y=(x−1)2−1，
即y=x2−2x；(2)当x2−2x=3时，y=3，
解得x1=3，x2=−1，
∴当x=3或−1时，y=3；(3)根据图象得，当x<0或x>2时，y>0．
16. ①②④
17. y=−(x−2)2+9
18. √13
19. 50
20. x>1或x<−2
21. 解：(1)依题意得：m2+m−4=2且m+3≠0．
即(m−2)(m+3)=0且m+3≠0，
解得m=2；(2)依题意得：m2+m−4=0或m2+m−4=1或m+3=0，
解得m=2或m=1±√21
2
或m=−3．
22. 解：（1）y=−1
2
x2+4x−6
=−1
2
(x−4)2+2，
∴抛物线顶点坐标为(4, 2)；(2)当y=0时，即y=−1
2x2+4x−6=0，
∴x=2或x=6，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(2, 0)(6, 0)；(3)∵抛物线的开口方向向下，且抛物线与x轴的交点坐标
为(2, 0)(6, 0)，
∴当2<x<6时，y>0．
23. 解：(1)由题意可得，
a(30−a)=200，
解得，a1=10，a2=20，
即当矩形的边长a为10米或20米时，矩形面积为200m2；(2)由题意可得，
S=a(30−a)=−a2+30a=−(a−15)2+225，
∴当a=15时，场地面积S取得最大．
24. 解：如图，
∵在边长为4的正方形EFCD上截去一角，成为五边形ABCDE，
∴存在线段AB且AB的位置已经固定，
当P和B重合时，x=4，即x≤4
当x=2，P和A重合，即x≥2，
∴x的取值范围是2≤x≤4，
如图，S矩形PNDM=xy，且2≤x≤4，
延长NP交EF于G，显然PG // BF，
∴△AGP∽△AFB，
∴PG
BF
=AG
AF
，
即4−y
1
=x−2
2
，
∴y=−1
2
x+5，
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∴S =xy =−1
2x 2+5x ， 即S =−1
2x 2+5x(2≤x ≤4)．
25. 解：(1)根据图象可知当0<x ≤20时， y =8000(0<x ≤20)， 当20<x ≤40时，
将B(20, 8000)，C(40, 4000)，代入y =kx +b ，得： {8000=20k +b 4000=40k +b ， 解得：{k =−200
b =12000
，
y =−200x +12000(20<x ≤40)；(2)根据上式以及老王种植水果的成本是2 800元/吨， 由题意得：当0<x ≤20时， W =(8000−2800)x =5200x ，
W 随x 的增大而增大，当x =20时，W 最大=5200×20=104000元， 当20<x ≤40时，
W =(−200x +12000−2800)x =−200x 2+9200x ， ∵a =−200， ∴函数有最大值， 当x =−b 2a =23时， W 最大=
4ac−b 24a =105800元．
故张经理的采购量为23吨时，老王在这次买卖中所获的利润W 最大，最大利润是105800元． 26. 解：(1)∵点B 和点C 的坐标分别为(3, 0)(0, −3)，抛物线的对称轴为x =1， ∴{9a +3b +c =0c =−3−b 2a =1，解得{a =1
b =−2
c =−3
， ∴抛物线解析式为y =x 2−2x −3；(2)∵y =x 2−2x −3=(x −1)2−4， ∴D(1, −4)，且C(0, −3)， ∵P 点为对称轴上的一点，
∴可设P(1, t)，
∴PC =√12+(t +3)2=√t 2+6t +10，PD =|t −4|，CD =√12+(−4+3)2=√2， ∵△PCD 为等腰三角形，
∴分PC =PD 、PC =CD 和PD =CD 三种情况，
①当PC =PD 时，则√t 2+6t +10=|t −4|，解得t =3
7，此时P 点坐标为(1, 3
7)；
②当PC =CD 时，则√t 2+6t +10=√2，解得t =−2或t =−4（与D 点重合，舍去），此时P 点坐标为(1, −2)；
③当PD =CD 时，则|t −4|=√2，解得t =4+√2或t =4−√2，此时P 点坐标为(1, 4+√2)或(1, 4−√2)；
综上可知存在满足条件的P 点，其坐标为(1, 3
7)或(1, −2)或(1, 4+√2)或(1, 4−√2)；(3)∵B(3, 0)，C(0, −3)，
∴直线BC 解析式为y =x −3，
∵E 点在直线BC 上，F 点在抛物线上， ∴设F(x, x 2−2x −3)，E(x, x −3)， ∵点F 在线段BC 下方，
∴EF =x −3−(x 2−2x −3)=−x 2+3x ，
∴S △BCF =1
2EF ⋅OB =1
2×3(−x 2+3x)=−3
2x 2+9
2x =−3
2(x −3
2)2+
27
8
，且S △ABC =1
2AB ⋅OC =12
×4×3=6，
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∴S 四边形ACFB =S △ABC +S △BCF =−3
2(x −3
2)2+278
+6=−32
(x −32
)2+
758
，
∵−3
2<0，
∴当x =3
2时，S 四边形ACFB 有最大值，最大值为75
8，此时E 点坐标为(3
2, −3
2)， 综上可知四边形ACFB 面积的最大值75
8，此时点E 的坐标为(3
2, −3
2)．。