2020年高考文科数学新课标第一轮总复习练习题：9-3几何概型+含解析

课时规范练
A 5A 组基础对点练
1. （2018-贵阳监测）某公交车站每隔10分钟有一辆公交车到站，乘客到达该车站 的时刻是任意的，则一个乘客候车时间大于等于7分钟的概率为（D ）B. 土
C 二
D —
2. （2016-高考全国卷II ）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯 持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出 现绿灯的概率为（B ）
A.】。

成8C '8 D 而
3. （2018-湖北八校联考）2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪念日， 中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示的是一枚8g 圆形金质 纪念币，直径22 mm,面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内 随机画100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积是(B )
A 726k 2A.-- mm
八363兀mm 2 B.363兀102 mm D.3637120mm 2
解析：设军旗的面积为a mm 2
则有一兀.a 30 时363兀 浒口"22\-100-解何口― 10，故选B・
4.如图，矩形A3CD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为（1,0）,且点。

与点D
在
x+1, xNO,
函数如=—3+1, YO 的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（B )
A 6
D.f
C.|
o 5. （2018-广州调研）如图，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，直角三角形中较小的锐角3=j.若在该大正方形区域内随机取一点，则该点在中间小正方形区域内的概率是（A )
A.W
D;
C '4jr
解析：在每个直角三角形中，斜边长为2,有一个内角为g,所以每个直角三角氏 4—4X 乎2 氏
形的面积S=3~, 所以所求概率P=----_ =—一•故选 A .6.在区间一§,号上随机取一个数X,则cos 心的值介于平与乎之间的概率为1- 3 1- 5 A.C 1-41-
6
「2x-y+14N0,7. (2018-陕西质检)在不等式组｛xW —3,
所确定的三角形区域内随机
好2取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是(C )
A. 9一壹
B.9—71
c. I-食
D.1-.解析：作出不等式组表示的平面区域，即如图所示的△ABC 及其内部，分别以 点*, B,。

为圆心，以1为半径作弧，则图中的阴影部分内的点满足到AA5C 的三个顶点的距离均不小于1.易求得点A( —6,2), 3( — 3, 2), C(-3,8),所以AB =3, 3C=6.又注意到图中的三个扇形恰好可以拼凑成一个以1为半径的半圆，
1,1 2c 3X3X6—3X71X12 故所求概率p= ―-----i -----------OAABC 1
7T =1一75■.故选 C .io 8.设复数 z=(x —l)+yi(x, yWR),若|z|Wl,则 yNx 的概率为(D )1 , 1B '2+k 1 1
,2 711 D •厂12兀
A 3 1 1A •云+分
9. 在区间［—2,4〕上随机地取一个数X,若x 满足|x|<m 的概率为|,则以=3 .10. (2018-贵阳适应性考试)已知三角形的三边长分别为1,1,彖，若将一个质点 随机投入该三角形的外接圆中，则质点落入该三角形内的概率是!.
7C
解析：三边长分别为1,1,皿的三角形是等腰直角三角形，其外接圆的直径是彖,
所以质点落入三角形内的概率p=1
2 1
71,
11. （2018-福州质检）如图，在菱形ABCZ ）中，AB=2, /ABC=60。

，以该菱形的 4个顶点为圆心的扇形的半径都为1.若在菱形内随机取一点，则该点取自阴影部 分的概率是1 一晋兀.
解析：依题意，菱形中空白部分的面积总和等于一个半径为1的圆的面积，菱形ABCD 的面积为2X2Xsin 60。

= 2巫.所以该点落在阴影部分的概率P=\-毒-1— 6 兀.
12.已知长方形A3CQ 中，A3=4, BC=1, M 为AB 的中点，则在此长方形内
7T 随机取一点P, P 与M 的距离小于1的概率为o O
B 组能力提升练
1.如图，在圆心角为直角的扇形Q4B 中，分别以OA, 为直径作两个半圆.在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（C ）
1B-71
2D-兀
解析：设OA — OB —r,则两个以壹为半径的半圆的公共部分面积为
2[H(H x 朗=fjr — 2）, 1' 了，两个半圆外部的阴影部分的面积为T7ir 2- o
4
兀—2）/
顼多X2-咛^］=气匚所以所求概率为18
一~砂户
2.（2018-石家庄模拟）已知尸是AABC所在平面内一点，PB+PC+1PA=Q,现将一粒黄豆随机撒在AABC内，则黄豆落在△P3C内的概率是（D）
A1b1
人・4成3
C.：
D.；
解析：以PB,PC为邻边作平行四边形PBDC,
则PB+PC^PD.因为PB+PC+2PA^Q,
所以PB+PC^-2PA,得PD^-2PA.
由此可得，P是/XABC边BC上的中线AO的中点，点、P到BC的距离等于A到BC距离的
所以SMPBC=*4ABC,
所以将一粒黄豆随机撒在AABC内，黄豆落在△PBC内的概率为薯匹=*故选
^AABC2
D.
3.在区间［一必兀］内随机取两个数分别记为。

，b,则使得函数yu）=J+2破一+兀有零点的概率为（B）
73
A-8B4
D1
i.2u.4
解析：建立如图所示的平面直角坐标系,
则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD及其内部.要使函数»=?+2ox —Z?+兀有零点，则必须有』=4疽一4（—Z?+兀）30,即a+b2^n,其表示的区
域为图中阴影部分.故所求概率尸=弩=备=*
pWO,4.由不等式组〈yNO,
.y —%—2^0尤+yWl, 确定的平面区域记为。

1，不等式组| f c 确、尤十yN —2
定的平面区域记为。

2,在Q1中随机取一点，则该点恰好在@2内的概率为(D )1 1A 板 B.彳
-3 7C -4 D 8
解析：如图，由题意知平面区域。

1的面积= S aaom =^X 2X 2 = 2.
1 1 7Qi 与。

2的公共区域为阴影部分，面积S 阴=5Di —S aabc =
2 —2X 1 X 2=4'
7
c 47 由几何概型得该点恰好落在。

2内的概率尸=涡=3=6故选D.Z o
5.记函数Kx)=y/6+x —x2的定义域为D 在区间［—4, 5］上随机取一个数x,则x WD 的概率是5-9
解析：由6+x —即x-x-6^0,得一2WxW3,根据几何概型的概率计算公式得x7D 的概率是「厂
5 — (—4) y 6.在边长为2的正方形A3CD 中有一个不规则的图形M,用随机模拟方法来估 计不规则图形的面积.若在正方形A3CQ 中随机产生了 10 000个点，落在不规 则图形M 内的点数恰有2 000个，则在这次模拟中，不规则图形M 的面积的估
4计值为|
•解析：由题意，因为在正方形中随机产生了 10 000个点，落在不规则图 形M 内的点数恰有2 000个，所以概率尸=会滞
=§•
因为边长为2的正方形ABCD的面积为4,
14
所以不规则图形M的面积的估计值为§X4=M.
7.（2016-高考山东卷）在[T,l]上随机地取一个数奴则事件“直线y=kx与圆3—5）2+寸=9相交”发生的概率为j.
解析：圆（x-5）2+/=9的圆心为C（5,0）,半径尸=3,故由直线与圆相交可得片＜,即4＜3整理得矽＜2得_3＜点
3—
4I4J3
故所求事件的概率P j,[=方.
8.（2018-西安地区八校联考）从集合｛（加浏？+寸^4,XER,yER｝中任选一个
JT-2
元素（X,y）,贝!1满足x+y^2的概率为.
[x2+y2^4,
解析：如图，先画出圆x2+y2=4,再画出不等式组,'对应的可行域，
x+y^2
S7X4兀-；X2X2_2
即图中阴影部分，则所求概率户=责=------孩------=*.
9.一个边长为3寸i cm的正方形薄木板的正中央有一个直径为2cm的圆孔，一只小虫在木板的一个面内随机地爬行，则小虫恰在离四个顶点的距离都大于2cm 的区域内的概率等于|.
解析：如图所示，分别以正方形的四个顶点为圆心，2cm为半径作圆，与正方形相交截得四个圆心角为直角的扇形，当小虫落在图中的黑色区域时，它离四个顶点的距离都大于2cm,其中黑色区域面积为S i=S n形一4S扇形s小圆=（3崩2—7iX22—7iX12=9ti—57i=47i,所以小虫离四个顶点的距离都大于2cm的概率
为p=
Si
9兀—兀
4k1
8兀2,
10.若m^(0,3),则直线(m+2)x+(3—m)y—3=0与x轴、y轴围成的三角形的
9?
面积小于菖的概率为:・
O J
3
解析：对于直线方程(m+2)x+(3—m)y—3=0,令x=0,得〉=瑟7扁；令>=。

，
31339
得由题意可得—1<1,因为me(0,3),所以解得0<m<2.由m+22'm+23—m o
2
几何概型的概率计算公式可得，所求事件的概率是号.
11.某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30〜7：50到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5
9
分钟到校的概率为玲(用数字作答).
解析：设小张与小王的到校时间分别为7:00后第x分钟，第y分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(50—30)2=400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A={(x,y)|y—xN5,30WxW50,30WyW50},如图中阴
1225
影部分所示，阴影部分所占的面积为2X15X15=—,所以小张比小王至少早5
225
29
分钟到校的概率为尸(人)=顽=五.
12.有一个底面半径为1,高为3的圆柱，点。

1，。

2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P,则点尸到点01，。

2的距离都大于
1的概率为I.
解析：依题意，所求的概率等于1—l3^H-(7tX12X3)=|.
13.已知向量a=(—2,1),b=(x,y).
⑴若分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a b=—1的概率；
(2)若X,y在连续区间［1,6〕上取值，求满足a0<O的概率.
解析：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6X6=36,
由a-b—~\,得一2x+y=—1,
所以满足a b=~1的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共3个.
31
故满足a-b=—l的概率为标=正・
⑵若x,y在连续区间［1,6］上取值，则全部基本事件的结果为Q={(x, y)|l WxW6,l WyW6}.
满足a-b<0的基本事件的结果为A={(x,y)|lWxW6,lWyW6且一2x+y<0}.
画出图象如图所示，矩形的面积为S朝=25,
阴影部分的面积为5ra^=25-|x2X4=21,
21
故满足a-b<0的概率为王.。