辽宁省抚顺一中高三(上)10月月考数学试卷(理.docx

2015-2016学年辽宁省抚顺一中高三（上）10月月考数学试卷（理
科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A=x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|log4x＜0.5}，则（）
A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩∁R B=RD．A⊆B
2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z=（）
A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i
3．已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设{a n}是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（）
A．﹣10 B．﹣5 C．0 D．5
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．32 B．18 C．16 D．10
6．某同学想求斐波那契数列0，1，1，2，…（从第三项起每一项等于前两项的和）的前10项的和，他设计了一个程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是（）
A．c=a；i≤9 B．b=c；i≤9 C．c=a；i≤10 D．b=c；i≤10
7．已知向量，，若向量满足与的夹角为120°，
，则=（）
A．1 B．C．2 D．
8．已知菱形ABCD的边长为3，∠B=60°，沿对角线AC折成一个四面体，使得平面ACD ⊥平面ABC，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（）
A．15πB．C．πD．6π
9．已知双曲线C：﹣=1（b＞0）的一条渐进线方程为y=x，F1，F2分别为双曲
线C的左右焦点，P为双曲线C上的一点，满足|PF1|：|PF2|=3：1，则|+|的值
是（）
A．4 B．2C．2D．
10．对任意实数a，b定义运算“⊗”：，设f（x）=（x2﹣1）⊗（4+x），
若函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（）
A．（﹣2，1）B．[0，1]C．[﹣2，0）D．[﹣2，1）
11．如图，长方形ABCD的长AD=2x，宽AB=x（x≥1），线段MN的长度为1，端点M、N在长方形ABCD的四边上滑动，当M、N沿长方形的四边滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G的周长与G围成的面积数值的差为y，则函数y=f（x）的图象大致为（）
A．B．C．D．
12．定义在（0，+∞）上的单调减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足＞x，
则下列不等式成立的是（）
A．3f（2）＜2f（3）B．2f（3）＜3f（2）C．3f（4）＜4f（3）D．2f（3）＜3f（4）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．正项等比数列{a n}中，前n项和为S n，若S4=30，a3+a5=40，则数列{a n}的前9项的和为．
14．在（a＞0）的展开式中含常数项的系数是60，则sinxdx的值为．
15．已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为8，则k=．
16．已知函数y=f（x）为奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）=﹣f（1﹣x）．当x ∈（2，3）时，f（x）=log2（x﹣1），给出以下4个结论：
①函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称；
②函数y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；
③当x∈（﹣1，0）时，f（x）=﹣log2（1﹣x）；
④函数y=f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）上单调递增．
其中所有正确结论的序号为．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=3，sinC=2sinB，求b、c的值．
18．由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：
组别候车时间（单位：min）人
数
一[0，5） 1 二[5，10） 5
三[10，15） 3
四[15，20） 1
（Ⅰ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（Ⅱ）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；
（Ⅲ）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望．
19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥PB，PA=PD．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAB；
（Ⅱ）设E是棱AB的中点，∠PEC=90°，AB=2，求二面角E﹣PC﹣B的余弦值．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），F（，0）为其右焦点，过F垂直于x轴的直
线与椭圆相交所得的弦长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（|k|≤）与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻
边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围．
21．已知函数f（x）=x2﹣1﹣．
（1）求函数y=f（x）的零点的个数；
（2）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（0，）内有极值，求实数a的取值范围．
【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）
22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BA和CD相交于点P，=，
=．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若BD为⊙O的直径，且PA=1，求BC的长．
【选修4-4：坐标系与参数方程】共1小题，满分0分）
23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原
点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程ρ=2cos（θ+）．
（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；
（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．
【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）
24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2
（Ⅰ）解不等式f（x）≥0
（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．
2015-2016学年辽宁省抚顺一中高三（上）10月月考数学
试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A=x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|log4x＜0.5}，则（）
A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩∁R B=RD．A⊆B
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】先根据不等式的解法求出集合A，再根据对数的单调性求出集合B，根据子集的关系即可判断．
【解答】解：∵x2﹣x﹣2＜0，
∴（x﹣2）（x+1）＜0，
解得﹣1＜x＜2
∴A=（﹣1，2），
∵log4x＜0.5=log42，
∴0＜x＜2，
∴B=（0，2），
∴B⊆A，
故选：B
2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z=（）
A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】复数方程两边同乗1﹣2i，化简即可．
【解答】解：∵（1+2i）z=4+3i，
∴（1﹣2i）（1+2i）z=（4+3i）（1﹣2i）
5z=10﹣5i，
z=2﹣i，
故选B．
3．已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据题意，分两步来判断：①分析当α∥β时，a⊥b是否成立，有线面垂直的性质，可得其是真命题，
②分析当a⊥b时，α∥β是否成立，举出反例可得其是假命题，综合①②可得答案．【解答】解：根据题意，分两步来判断：
①当α∥β时，
∵a⊥α，且α∥β，
∴a⊥β，又∵b⊂β，
∴a⊥b，
则a⊥b是α∥β的必要条件，
②若a⊥b，不一定α∥β，
当α∩β=a时，又由a⊥α，则a⊥b，但此时α∥β不成立，
即a⊥b不是α∥β的充分条件，
则a⊥b是α∥β的必要不充分条件，
故选B．
4．设{a n}是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（）
A．﹣10 B．﹣5 C．0 D．5
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】设出等差数列的首项和公差，把已知等式用首项和公差表示，得到a1+a10=0，则可求得数列的前10项和等于0．
【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d（d≠0），
由，得，
整理得：2a1+9d=0，即a1+a10=0，
∴．
故选：C．
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．32 B．18 C．16 D．10
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】结合直观图可得几何体是正方体的一半，根据正方体的棱长为4，计算几何体的体积．
【解答】解：由三视图知：几何体是正方体的一半，如图：
已知正方体的棱长为2，
∴几何体的体积V=×43=32．
故选：A．
6．某同学想求斐波那契数列0，1，1，2，…（从第三项起每一项等于前两项的和）的前10项的和，他设计了一个程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是（）
A．c=a；i≤9 B．b=c；i≤9 C．c=a；i≤10 D．b=c；i≤10
【考点】程序框图．
【分析】由斐波那契数列从第三项起每一项等于前两项的和，由程序框图从而判断空白矩形框内应为：b=c，模拟执行程序框图，当第8次循环时，i=10，由题意不满足条件，退出执行循环，输出S的值，即可得判断框内应为i≤9．
【解答】解：由题意，斐波那契数列0，1，1，2，…，从第三项起每一项等于前两项的和，分别用a，b来表示前两项，c表示第三项，S为数列前n项和，
故空白矩形框内应为：b=c，
第1次循环：a=0，b=1，S=0+4=1，i=3，求出第3项c=1，求出前3项和S=0+1+1=2，a=1，b=1，满足条件，i=4，执行循环；
第2次循环：求出第4项c=1+1=2，求出前4项和S=0+1+1+2=4，a=1，b=2，满足条件，i=5，执行循环；
…
第8次循环：求出第10项c，求出前10项和S，此时i=10，由题意不满足条件，退出执行循环，输出S的值．
故判断框内应为i≤9．
故选：B．
7．已知向量，，若向量满足与的夹角为120°，，
则=（）
A．1 B．C．2 D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】运用坐标求解，=（x，y），得出x﹣2y=﹣5，根据夹角公式得出=，
即=，整体代入整体求解即可得出=2．选择答案．
【解答】解：设=（x，y）
∵，，
∴4=（﹣1，2），|4|=，
∵，
∴﹣x+2y=5，
即x﹣2y=﹣5，
∵向量满足与的夹角为120°
∴=，
即=，
∵=，
∴=2．
故||=2，
故选：D．
8．已知菱形ABCD的边长为3，∠B=60°，沿对角线AC折成一个四面体，使得平面ACD ⊥平面ABC，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（）
A．15πB．C．πD．6π
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．
【分析】设球心为O，OF=x，则CF=，EF=，可得R2=x2+（）2=（﹣x）2+
（）2，求出x，可得R，即可求出球的表面积．
【解答】解：如图所示，设球心为O，在平面ABC中的射影为F，E是AC的中点，OF=x，
则CF=，EF=
R2=x2+（）2=（﹣x）2+（）2，
∴x=
∴R2=
∴球的表面积为15π．
故选：A．
9．已知双曲线C：﹣=1（b＞0）的一条渐进线方程为y=x，F1，F2分别为双曲
线C的左右焦点，P为双曲线C上的一点，满足|PF1|：|PF2|=3：1，则|+|的值是（）
A．4 B．2C．2D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线C：﹣=1（b＞0）的一条渐近线方程为y=x，求出b，c，利
用|PF1|：|PF2|=3：1，可得|PF1|=6，|PF2|=2，再求|+|即可．
【解答】解：∵双曲线C：﹣=1（b＞0）的一条渐近线方程为y=x，
∴b=，
∴c=，
∵|PF1|：|PF2|=3：1，
∴|PF1|=6，|PF2|=2，
∴cos∠F1PF2==0，
∴|+|2=36+4=40，
∴|+|=2．
故选：C．
10．对任意实数a，b定义运算“⊗”：，设f（x）=（x2﹣1）⊗（4+x），
若函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（）
A．（﹣2，1）B．[0，1]C．[﹣2，0）D．[﹣2，1）
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】化简函数f（x）的解析式，作出函数y=f（x）的图象，由题意可得，函数y=f（x）与y=﹣k的图象有3个交点，结合图象求得结果．．
【解答】解：当（x2﹣1）﹣（x+4）＜1时，f（x）=x2﹣1，（﹣2＜x＜3），
当（x2﹣1）﹣（x+4）≥1时，f（x）=x+4，（x≥3或x≤﹣2），
函数y=f（x）=的图象如图所示：
由图象得：﹣2≤k＜1，函数y=f（x）与y=﹣k的图象有3个交点，
即函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点；
故答案选：D．
11．如图，长方形ABCD的长AD=2x，宽AB=x（x≥1），线段MN的长度为1，端点M、N在长方形ABCD的四边上滑动，当M、N沿长方形的四边滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G的周长与G围成的面积数值的差为y，则函数y=f（x）的图象大致为（）
A．B．C．D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据条件确定点P，对应的轨迹，然后求出相应的周长和面积，求出函数f（x）的表达式，然后根据函数表达式进行判断图象即可．
【解答】解：∵线段MN的长度为1，线段MN的中点P，
∴AP=，
即P的轨迹是分别以A，B，C，D为圆心，半径为的4个圆，以及线段GH，FE，RT，
LK，部分．
∴G的周长等于四个圆弧长加上线段GH，FE，RT，LK的长，
即周长==π+4x﹣2+2x﹣2=6x+π﹣4，
面积为矩形的面积减去4个圆的面积，即等于矩形的面积减去一个整圆的面积
为，
∴f（x）=6x+π﹣4﹣=，是一个开口向下的抛物线，
∴对应的图象为C，
故选：C．
12．定义在（0，+∞）上的单调减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足＞x，
则下列不等式成立的是（）
A．3f（2）＜2f（3）B．2f（3）＜3f（2）C．3f（4）＜4f（3）D．2f（3）＜3f（4）【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数
的单调性进行判断即可．
【解答】解：∵定义在（0，+∞）上的单调减函数f（x），
∴f′（x）＜0，则不等式＞x，等价为f（x）＜xf′（x），
即xf′（x）﹣f（x）＞0，
设g（x）=，
则g′（x）=＞0，
即函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，
则g（3）＜g（4），g（2）＜g（3），
即＜，＜
即4f（3）＜3f（4），3f（2）＜2f（3），
故选：A．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．正项等比数列{a n}中，前n项和为S n，若S4=30，a3+a5=40，则数列{a n}的前9项的和为．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，由S4=30，a3+a5=40，q≠1，可得
，解得a1，q，即可得出．
【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，
∵S4=30，a3+a5=40，
∴q≠1，
∴，
解得a1=q=2，
∴S9==210﹣2=1022．
故答案为：1022．
14．在（a＞0）的展开式中含常数项的系数是60，则sinxdx的值为．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0，求出展开式的常数项，列出方程求出a，代入定积分求出值．
【解答】解：展开式的通项a r C6r，令6﹣3r=0得r=2．
∴常数项为15a2=60，a=2，
∴sinxdx=sinxdx=（﹣cosx）=1﹣cos2．
故答案为：1﹣cos2．
15．已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为8，则k=．
【考点】简单线性规划．
【分析】画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点A时，纵截距最大，z最大．
【解答】解：画出可行域
将z=x+3y变形为y=，
画出直线平移至点A时，纵截距最大，z最大，
联立方程得，
代入，∴k=﹣6．
故答案为﹣6
16．已知函数y=f（x）为奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）=﹣f（1﹣x）．当x ∈（2，3）时，f（x）=log2（x﹣1），给出以下4个结论：
①函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称；
②函数y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；
③当x∈（﹣1，0）时，f（x）=﹣log2（1﹣x）；
④函数y=f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）上单调递增．
其中所有正确结论的序号为．
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】根据奇函数的性质和f（1+x）=﹣f（1﹣x），求出函数的周期，再由所给的解析式和周期性，求出函数在一个周期性的解析式，再画出函数在R上的图象，由图象进行逐一判断．
【解答】解：令x取x+1代入f（1+x）=﹣f（1﹣x）得，f（x+2）=﹣f（﹣x）
∵函数y=f（x）为奇函数，∴f（x+2）=f（x），则函数是周期为2的周期函数，
设0＜x＜1，则2＜x+2＜3，
∵当x∈（2，3）时，f（x）=log2（x﹣1），
∴f（x）=f（x+2）=log2（x+1），
设﹣1＜x＜﹣0，则0＜﹣x＜1，
由f（x）=﹣f（﹣x）得，f（x）=﹣log2（﹣x+1），
根据奇函数的性质和周期函数的性质画出函数的图象：
由上图得，函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称；
且函数y=|f（x）|的图象是将y=f（x）的图象在x轴下方的部分沿x轴对称过去，其他不变，
则函数y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；
故①②③正确，
而函数y=f（|x|）=，则图象如下图：
由图得，图象关于y轴对称，故y=f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）上不是单调递增的，
故④不正确，
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=3，sinC=2sinB，求b、c的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）由已知利用正弦定理余弦定理可得：=，
化为2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，即可得出；
（2）利用正弦定理余弦定理即可得出．
【解答】解：（1）由正弦定理余弦定理得=，
∴2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，
∵sinC≠0，
∴，
∵A∈（0，π），
∴．
（2）由sinC=2sinB，得c=2b，
由条件a=3，，
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=3b2，
解得．
18．由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：
组别候车时间（单位：min）人
数
一[0，5） 1
二[5，10） 5
三[10，15） 3
四[15，20） 1
（Ⅰ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（Ⅱ）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；
（Ⅲ）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望．
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（Ⅰ）用总人数乘以样本中候车时间少于10分钟的人数所占的比例，即为所求．（Ⅱ）用1减去这三个人都不是第二组的人的概率，即得至少有一人来自第二组的概率．（Ⅲ）X的可能值为1，2，3，P（X=1）、P（X=2）、P（X=3）的值，可得X的分布列以及X的数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）候车时间少于10分钟的人数为60×（+）=36（人）．
（Ⅱ）设“至少有一人来自第二组为事件A”，则P（A）=1﹣=．
（Ⅲ）X的可能值为1，2，3，P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
∴EX=+2+3×=．
19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥PB，PA=PD．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAB；
（Ⅱ）设E是棱AB的中点，∠PEC=90°，AB=2，求二面角E﹣PC﹣B的余弦值．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面PAD⊥平面PAB；
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法进行求解即可．
【解答】（1）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD 所以AB⊥平面PAD…
又PD⊂平面PAD，所以PD⊥AB…
又PD⊥PB，所以PD⊥平面PAB…
而PD⊂平面PCD，故平面PCD⊥平面PAB…
（2）如图，建立空间直角坐标系…
设AD=2a，则A（a，0，0），D（﹣a，0，0）B（a，2，0），C（﹣a，2，0），P（0，0，a），E（a，1，0）…
，
则得，…
设平面PEC的一个法向量，
由得
令x1=1，则…
，，
设平面PEC的一个法向量，
由得，
令y2=1，则…
设二面角E﹣PC﹣B的大小为θ，
则…
故二面角E﹣PC﹣B的余弦值为…
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），F（，0）为其右焦点，过F垂直于x轴的直
线与椭圆相交所得的弦长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（|k|≤）与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻
边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点，求|OP|的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）先由已知F（，0）为椭圆的右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交
所得的弦长为2，可得c=，=1，结合a2=b2+c2，解之即得a，b，从而写出椭圆C的
方程；
（Ⅱ）先对k 分类讨论：当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得m=±，所以|OP|=；
当k≠0时，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|OP|的取值范围，从而解决问题．
【解答】解：（Ⅰ）∵F（，0）为椭圆的右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．
∴c=，=1，
∵a2=b2+c2
∴a2=4，b2=2．
故椭圆C的方程为；
（Ⅱ）当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得m=±，
∴|OP|=；
当k≠0时，直线方程代入椭圆方程，消y化简整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，
△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣4）=8（4k2﹣m2﹣2＞0①
设A，B，P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），
则x0=x1+x2=﹣，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=．
由于点P在椭圆C上，∴．
从而，化简得2m2=1+2k2，经检验满足①式，
又|OP|==，
∵0＜|k|≤，
∴1＜1+2k2≤2，
∴1≤＜2，
∴＜|OP|≤，
综上，所求|OP|的取值范围是[，]．
21．已知函数f（x）=x2﹣1﹣．
（1）求函数y=f（x）的零点的个数；
（2）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（0，）内有极值，求实数a的取值
范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求导，得到f（x）在（0，+∞）单调递增，根据函数零点的判定定理证得函数f（x）在（0，+∞）上有唯一零点，从而得出结论．
（2）先化简得到g（x）=+lnx，再求导，令设h（x）=x2﹣（2+a）x+1，要使函数g
（x）在（0，）内有极值，设有两个不等实根x1，x2，至少有一根在（0，）内，结合
题意即可求得实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵f′（x）=2x+＞0
∴f（x）在（0，+∞）单调递增，
又f（1）=﹣1＜0，f（2）=3﹣＞0，
∴f（x）在（0，+∞）内有唯一的零点
故f（x）在（0，+∞）上有一个零点．
（2）g（x）=+lnx=+lnx=+lnx=+lnx，
其定义域（0，1）∪（1，+∞），
则g′（x）=﹣=，
设h（x）=x2﹣（2+a）x+1，要使函数g（x）在（0，）内有极值，
由于h（0）=1，则h（x）=0在（0，+∞）内有两个不等实根x1，x2，
∴△=（2+a）2﹣4＞0．
解得a＞0，或a＜﹣4
又x1，x2至少有一根在（0，）内，不妨设x1∈（0，），
由x1•x2=1得0＜x1＜＜x2，
∴只需h（）＜0，
∴a＞e+﹣2
【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）
22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BA和CD相交于点P，=，
=．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若BD为⊙O的直径，且PA=1，求BC的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（Ⅰ）证明△PAD与△PCB相似，即可求的值；
（Ⅱ）求出PB，PC，利用勾股定理求BC的长．
【解答】解：（Ⅰ）由∠PAD=∠PCB，∠A=∠A，得△PAD与△PCB相似，
设PA=x，PD=y则有，
所以…
（Ⅱ）因为PA=1，=，所以PB=4，
因为PA•PB=PD•PC，=，所以PC=2，
因为BD为⊙O的直径，所以∠C=90°，
所以BC==2．…
【选修4-4：坐标系与参数方程】共1小题，满分0分）
23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原
点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程ρ=2cos（θ+）．
（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；
（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）由直线的参数方程消去t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；
（Ⅱ）设出曲线C上的点的参数方程，由x+y=sinθ+cosθ，利用两角和的正弦化简后可得x+y 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由，消去t得：y=x+．
由，得，即
，
∴，即．
化为标准方程得：．
圆心坐标为，半径为1，圆心到直线x﹣y+=0的距离
d=＞1．
∴直线l与曲线C相离；
（Ⅱ）由M为曲线C上任意一点，可设，
则x+y=sinθ+cosθ=，
∴x+y的取值范围是．
【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）
24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2
（Ⅰ）解不等式f（x）≥0
（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集．
（Ⅱ）不等式即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．根据绝对值的意义可
得|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，由此求得a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2=，
当x＜﹣时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．
当﹣≤x＜0时，由3x﹣1≥0，求得x∈∅．
当x≥0时，由x﹣1≥0，求得x≥1．
综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣3 或x≥1}．
（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．
由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|
﹣|x|∈[﹣，]，
故有+1≥﹣，求得a≥﹣3．
2016年10月14日。