(常考题)北师大版高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(有答案解析)

一、选择题
1．直线34y kx k =-+与双曲线22
1169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有（ ）个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．设1F 、2F 分别是椭圆22:1259
x y
C +=的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆C
上且满足4OP =，则12PF F △的面积为（ ）
A ．3
B ．
C ．6
D ．9
3．设1F 、2F 是双曲线()222
2:10,0x y
C a b a b
-=>>的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上
一点.若126PF PF a +=，且122
PF F S =△，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）
A 0y ±=
B ．0x ±=
C 20y ±=
D ．20x =
4．已知双曲线()222
2:10,0x y C a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，点P 为其右支上一点，点Q 在以()0,4为圆心、半径为1的圆上，若1PF PQ +的最小值为
8，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．1
2
y x =±
B ．y x =±
C ．y x =
D ．y x = 5．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，M 为抛物线上异于顶点的一点，且M 在直线
1x =-上的射影为N ，若MNF 的垂心在抛物线C 上，则MNF 的面积为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
6．已知两定点()0,1M -，()0,1N ，直线l ：y x =+，在l 上满足
PM PN +=P 的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．0或1或2
7．已知抛物线2:C x y =，点()2,0A ，()0,2B -，点P 在抛物线上，则满足PAB △为直角三角形的点P 的个数有（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
8．P 为椭圆22:11713
x y C +=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1F P 至点Q ，使得
2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为（ ）
A ．()2
2234x y ++= B ．()2
2268x y ++= C ．()2
2234x y -+=
D ．()2
2268x y -+=
9．已知直线l 的方程为1y kx =-，双曲线C 的方程为221x y -=.若直线l 与双曲线C 的右支相交于不同的两点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(2,2)
B ．2)
C ．[2,2]
D ．2)
10．设双曲线2
2
14
y x -=的左、右焦点分别为12,F F ，若点P 在双曲线上，且12F PF △为
锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ） A ．(42,6)
B ．(6,8)
C ．(42,8)
D ．(6,10)
11．已知点P 在双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>上，点()2,0A a ，当PA 最小时，点P
不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．
)
2,+∞
B ．)
2,⎡+∞⎣
C ．(2
D ．(
2⎤⎦
12．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、
B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆上，则双曲线的离心率的值为（ ） A ．12B 2
C ．13+
D 3二、填空题
13．若A ､B ､C 是三个雷达观察哨，A 在B 的正东，两地相距6km ，C 在A 的北偏东30°，两地相距4km ，在某一时刻，B 观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为
1km /s ，4s 后A ､C 两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出
发出了这种信号的点P 的坐标___________.
14．已知双曲线M ：22
221x y a b
-=(0a >，0b >)的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点
T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是___________.
15．过双曲线221x y -=上的任意一点(除顶点外)作圆221x y +=的切线，切点为,A B ，若直线AB 在x 轴､y 轴上的截距分别为,m n ，则
22
11m n -=___________. 16．双曲线()22
2210,0x y a b a b
-->>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作直线l 与双曲线
有唯一交点P ，若124
sin 5
F PF ∠=
，则该双曲线的离心率为___________. 17．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的左、焦点为1F 、2F ，点P 为双曲线C 的渐近线上一点，120PF PF ⋅=，若直线1PF 与圆2
2
2
x y a +=相切，则双曲线C 的离心率为___________.
18．若实数x ，y 满足方程22
5
1162x y +=2222(1)(3)x y x y -++-___________．
19．直线AB 过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点，且线段AB 的中点的横坐标是3，则直线AB 的斜率是_____________.
20．设椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的左右焦点为12F F ，
，过2F 作x 轴的垂线与C 交于A B ，两点，若1ABF 是等边三角形，则椭圆C 的离心率等于________.
三、解答题
21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(),2P m 到其焦点F 的距离为4. （1）求抛物线C 的方程；
（2）过点F 且斜率为1的直线l 与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求OAB 的面积.
22．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>左右焦点分别为()12(,0),,0F c F c -，点Р为椭圆
C 上一点，满足1290F PF ∠=︒，且12F PF △的面积为2c .
（1）求椭圆C 的离心率； （2）已知直线()1
22
y x =
-与椭圆C 交于,M N 两点，点Q 坐标为()2,0，若3MQ NQ =，求椭圆C 的方程.
23．已知抛物线()2
:20C y px p =>过点()4,4-，直线2y x m =-+与抛物线C 相交于
不同两点A 、B .
（1）求实数m 的取值范围；
（2）若AB 中点的横坐标为1，求以AB 为直径的圆的方程.
24．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦距为2，离心率为12．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点,Q P ，与椭圆分别交于点,M N ，各点均不重合且满足,PM MQ PN NQ λμ==．若4λμ+=-，证明：直线l 恒过定点．
25．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的离心率为12，且点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程;
（2）设点B 为椭圆的右顶点，直线AB 与y 轴交于点,M 过点M 作直线与椭圆交于,P Q 两点，若6MB MP MA MQ ⋅=⋅，求直线PQ 的斜率.
26．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，点M 为短轴的一个
端点，离心率为
1
2
，12MF F △的面积S = （1）求椭圆C 的方程；
（2）设A 是椭圆上的一点，B 是点A 关于x 轴的对称点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别于x 轴交于不同的点C 、D ，O 为坐标原点，求
POC POD S S ⋅△△的最大值，并求出此时P 点的坐标
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一、选择题 1．D 解析：D
【分析】
将直线方程与双曲线的方程联立，得出关于x 的方程，根据直线与双曲线只有一个公共点，求出对应的k 值，即可得解. 【详解】
联立22341169
y kx k x y =-+⎧⎪
⎨-=⎪
⎩，
消去y 并整理得()
()()2
2
2
1693243164390k x k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦
，
由于直线34y kx k =-+与双曲线22
1169
x y -
=有且只有一个公共点， 所以，21690k -=或()()
()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪
⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩
， 解得3
4
k =±
或2724250k k +-=， 对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程
2724250k k +-=有两个不等的实数解.
显然3
4
k =±
不满足方程2724250k k +-=. 综上所述，k 的取值有4个. 故选：D. 【点睛】
方法点睛：将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．
2．D
解析：D 【分析】
设点()00,P x y ，求出2
0y 的值，由此可求得12PF F △的面积.
【详解】
在椭圆22
:1259
x y C +=中，5a =，3b =
，则4c ==，所以，
1228F F c ==，
设点()00,P x y ，则22
001259
x y +=，可得2
20025259x y =-，
4OP ===，解得2
8116y =，094y ∴=，
因此，12PF F △的面积为12120119
89224
PF F S F F y =⋅=⨯⨯=△. 故选：D. 【点睛】
方法点睛：本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，常用以下两种方法求解： （1）求出顶点P 的坐标，利用三角形面积公式求解；
（2）利用余弦定理和椭圆的定义求得12PF PF ⋅的值，利用三角形面积公式求解.
3．A
解析：A 【分析】
利用双曲线的定义、余弦定理以及三角形的面积公式可求得123
F PF π
∠=
，利用双曲线的
定义以及126PF PF a +=可求得14PF a =，22PF a =，再利用余弦定理可得出b
a
的值，由此可求得双曲线C 的渐近线方程. 【详解】
设12F PF θ∠=，由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 在12PF F △中，由余弦定理可得2
22
1212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，
即
()()
()
2
2212
121212222cos 421cos c PF PF PF PF PF PF a PF PF θθ=-+⋅-⋅=+⋅-，
所以，222
122221cos 1cos c a b PF PF θθ
-⋅==
--，
12
22
221222sin cos 1sin 22sin 21cos tan
112sin 22PF F b b b S PF PF θθ
θθθθθ⋅=⋅====-⎛
⎫-- ⎪⎝⎭△
，
tan
2
θ
∴= 0θπ<<，可得022
θπ<
<，26θπ∴=，所以，3πθ=，
由已知可得121226PF PF a PF PF a ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得12
42PF a
PF a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
由余弦定理可得2
22
12
12122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，
即2
2
2
2
21
416416122
c a a a a =+-⨯
=，则223c a =，即2223a b a +=
，b ∴=，
因此，双曲线C 的渐近线方程为b
y x a
=±=0y ±=. 故选：A. 【点睛】
思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：
（1）转化已知条件，得到a 、b 、c 中任意两个量的等量关系；
（2）若得到a 、b 的等量关系，则渐近线方程可得；若已知a 、c 或b 、c 之间的等量关系，结合222+=a b c 可求得
b
a
的值，则渐近线方程可求. 4．D
解析：D 【分析】
设设()0,4E ，由12224PF PF a PF =+=+，可得124P PF PQ PQ F +++=，当且仅当,P Q ，()0,4E 和2F 四点共线时取得最小值，进而可得25EF =，设()2,0F c 即可求出c 的值，进而可求出b 的值，由b
y x a
=±可得渐近线方程. 【详解】
设()0,4E ，由双曲线的定义可知：12224PF PF a PF =+=+， 所以124P PF PQ PQ F +++=，
当,P Q 在圆心()0,4E 和2F 连线上时，1PF PQ +最小，
()2mi 2
n 1PF
PQ EF =-+，
所以2418EF +-=，解得25EF =，
设()2,0F c ()0c >5=，解得3c =，
因为2a =，所以b =，
所以双曲线的渐进线为：b y x x a =±=， 故选：D 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是由双曲线的定义可得124P PF PQ PQ F +++=，利用2,,,P Q E F 共线时()
2mi 2n
1PF PQ
EF =-+求出25EF =.
5．B
解析：B 【分析】
设点200,4y M y ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则点()01,N y -，求出MNF 的垂心H 的坐标，再由MH FN ⊥可求得0y 的值，进而可求得MNF 的面积. 【详解】
设点200,4y M y ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则点()01,N y -，设点M 在第一象限， 抛物线C 的焦点为()1,0F ，设MNF 的垂心为H ， 由于FH
MN ⊥，则点H 的横坐标为1，可得点()1,2H ，
MH FN ⊥，则0HM FN ⋅=，2
00
1,24y HM y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()02,FN y =-， ()()22
2
00000012122220422y y HM FN y y y y ⎛⎫⋅=--+-=-+=-= ⎪⎝⎭
，解得02y =，
所以，点M 的坐标为()1,2，所以，2MN =，1
2222
MNF S =⨯⨯=△. 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键在于利用已知条件求出点M 的坐标，本题特殊的地方在于
MN y ⊥轴，可得出垂心与焦点的连线垂直于x 轴，再结合垂心在抛物线求出垂心的坐标.
6．B
解析：B 【分析】
求出P 点所在轨迹方程，与直线方程联立方程组，方程组解的个数就是满足题意的P 点的个数． 【详解】
∵PM PN +=2MN =，∴P 在以,M N
为焦点，
由于2a =
，a =
1c =
，因此1b ==，
椭圆方程为2
212
x y +=，
由22
1
2y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩
，解得33x y ⎧=-
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴P 点只有一个． 故选：B ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查求平面满足题意的的个数，方法是求出满足动点P 的一个条件的轨迹方程，由方程组的解的个数确定曲线交点个数，从而得出结论，这也是解析几何的基本
7．B
解析：B 【分析】
分三个角为直角分别进行讨论，通过数形结合即得结果. 【详解】
(1)若APB ∠为直角，如下图，即以AB 为直径的圆与抛物线的交点为P ，易见有O ，P 两个点符合题意；
（2）若PAB ∠为直角，则过A 作直线垂直AB ，如下图，易见有P ，P '两个点符合题意；
（3）若PBA ∠为直角，则过B 作直线垂直AB ，如上图，易见无交点，不存在点P 符合题意.
综上，共有4个点符合题意. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：
本题的解题关键在于对三个角为直角进行分类讨论，再结合数形结合思想即突破难点.
8．B
解析：B 【分析】 由椭圆的
122217PF PF a +==2PQ PF =，所以
11
2217PF PQ FQ a +===Q 的轨迹为以()12,0F -为圆心，17径的圆，即可求得动点Q 的轨迹方程.
由2211713
x y +=可得：a =，
因为122PF PF a +==2PQ PF =，
所以
11
2PF PQ FQ a +===
所以动点Q 的轨迹为以()12,0F -为圆心， 故动点Q 的轨迹方程为()2
2268x y ++=. 故选：B. 【点睛】
方法点睛：求轨迹方程的常用方法
（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为,x y 的等式，就能得到曲线的轨迹方程；
（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；
（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；
（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；
（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.
9．D
解析：D 【分析】
联立直线方程1y kx =-和双曲线方程2
2
1x y -=，化为22
(12)20k x kx --=+，由于直线1y kx =-与双曲线2
2
1x y -=的右支交于不同两点，可得210k -≠，由
2248(1)0k k ∆=+->，1k <，解得即可
【详解】
解：联立直线方程1y kx =-和双曲线方程2
2
1x y -=，化为22
(12)20k x kx --=+， 因为直线1y kx =-与双曲线2
2
1x y -=的右支交于不同两点， 所以210k -≠，且2
2
48(1)0k k ∆=+->，1k <，
解得1k <<
，
所以实数k 的取值范围为，
【点睛】
关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是直线方程和双曲线方程联立方程组，消元后结合题意可得2
2
48(1)0k k ∆=+->，1k <，从而可得答案
10．D
解析：D 【分析】
由题意画出图形，不妨设P 在第一象限，P 点在1P 与2P 之间运动，求出112F PF ∠和122F F P ∠ 为直角时12PF PF +的值，可得12F PF △ 为锐角三角形时12PF PF +的取值
范围． 【详解】
12F PF △为锐角三角形，不妨设P 在第一象限，P 点在1P 与2P 之间运动，如图，
当P 在1P 处，11290F PF
∠=，又1,2,5a b c ===
由222
111212|||||20|PF PF F F =+=，1112||||2PF
PF -=， 可得1112||||8PF PF ⋅=， 此时 1112||||6PF PF +=；
当P 在2P 处，12290F F P ∠=，25P x = 易知24P y = 则224P F =
此时12222222||||||2||10P F P F P F a P F +=++=
∴12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是()6,10， 故选：D ． 【点晴】
关键点点晴：本题的关键在于求出112F PF ∠和122F F P ∠ 为直角时12PF PF +的值.
11．C
【分析】
把P 的坐标表示出来，PA 转化为二次函数，利用二次函数最值取得条件求离心率的范围． 【详解】 设00(,)P x y ，
则||PA ==
又∵点P 在双曲线上，
∴2200221x y a b -=，即2222002
b x y b a
=-，
∴||PA ==
=
．
当PA 最小时，022
4202a a
x e e -=-=>． 又点P 不在顶点位置，
∴
22a
a e
>，∴22e <，∴e < ∵双曲线离心率1e >，∴
1e <<
故选：C ． 【点睛】
求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．
12．A
解析：A 【分析】
先由题意求出以AB 为直径的圆的半径为2
b r a
=和圆心坐标得到圆的方程，然后代入左焦
点坐标，利用222c a b =+化简后可得答案. 【详解】
将x c =代入22221x y a b
-=可得2b
y a =±，
所以以AB 为直径的圆的半径为2
b r a
=，圆心为(),0c ，
圆的方程为()4
2
2
2a
b x
c y -+=，左焦点为(),0c -，
因为双曲线的左焦点在圆上，
所以()2
24
0b c a
c +--=，整理得242460a c c c +=-，即42610e e -+=，
解得23e =+23e =-
所以1e = 故选：A . 【点睛】
关键点点睛：本题考查直线和双曲线的位置关系、点和圆的位置关系，关键点是先求出以
AB 为直径的圆的半径，再根据双曲线的左焦点在圆上，得到所要求的,,a b c 等量关系即可，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力． 二、填空题
13．【分析】转化条件为点在线段的垂直平分线上再结合双曲线的定义可得点在以､为焦点的双曲线的左支上联立方程即可得解【详解】由题意点即则线段的中点为直线的斜率所以线段的垂直平分线的斜率所以线段的垂直平分线的
解析：(-
【分析】
转化条件为点P 在线段AC 的垂直平分线上，再结合双曲线的定义可得点P 在以A ､B 为焦点的双曲线的左支上，联立方程即可得解. 【详解】
由题意，点()3,0A ，()3,0B -，()
34cos60,4sin 60C +即(5,C ，
则线段AC 的中点为(，直线AC 的斜率AC k ==，
所以线段AC 的垂直平分线的斜率k =，
所以线段AC 的垂直平分线的方程为)4y x =-即y x =+， 设(),P x y ，由PA PC =可得点P 在线段AC 的垂直平分线上，
又46PA PB AB -=<=，所以点P 在以A ､B 为焦点的双曲线的左支上，
该双曲线的方程为()22
1245
x y x -=≤-，
所以22
145233x y x y x ⎧-
=⎪⎪⎪≤-⎨⎪
⎪=-+⎪⎩
，解得8
x y =-⎧⎪⎨
=⎪⎩. 所以点P
的坐标为(-.
故答案为：(-. 【点睛】 关键点点睛：
解决本题的关键是对条件的转化，转化条件为点P 为线段AC 的垂直平分线与双曲线左支的交点，运算即可得解.
14．【分析】设双曲线的右焦点经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直等价于转化为点到渐近线的距离解得再根据离心率公式可得结果【详解】依题意可得双曲线的右焦点渐近线方程为因为M 的渐近线上存在点T 使得经过点T 所作
解析：1e <≤【分析】
设双曲线M 的右焦点(c,0)F ，经过点T 所作的圆2
2
2
()a c y x +=-的两条切线互相垂
直，等价于TF =
，转化为点(c,0)F 到渐近线的距离d TF ≤
，解得
b
a
据离心率公式可得结果. 【详解】
依题意可得双曲线M 的右焦点(c,0)F ，渐近线方程为0bx ay ±=，
因为M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆2
2
2
()a c y x +=-的两条切线互相垂直，设两个切点为,P Q ，所以PTQ ∠2
π
=，4
PTF π
∠=
，
因为FP PT ⊥，PF a =
，所以TF =
，
所以双曲线M 的渐近线上存在点T
，使得TF =，
所以点(c,0)F
到渐近线的距离d =
≤
，即b a
所以离心率c e a =====≤=
又1e >
，所以1e <≤
所以双曲线M
的离心率的取值范围是1e <≤
故答案为：1e <≤【点睛】
关键点点睛：求双曲线离心率的取值范围的关键是得到,,a b c 的不等式，根据M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，得到圆心到
可得,,a b c 的不等式.
15．1【分析】设出三点坐标表示出直线利用方程思想得到直线的方程算出可计算得到解【详解】设双曲线上任意一点为过作圆的切线切点为不是双曲线的顶点故切线存在斜率且则故直线化简得：即同理有又均过点有故直线故答案
解析：1 【分析】
设出,,P A B 三点坐标，表示出直线,PA PB ，利用方程思想，得到直线MN 的方程，算出
,m n ，可计算2211m n
-得到解.
【详解】
设双曲线上任意一点为()11,P x y ，()22,A x y ，()33,B x y 过()11,P x y 作圆2
2
1x y +=的切线，切点为,A B
()11,P x y 不是双曲线的顶点，故切线存在斜率
且OA PA ⊥，则22
1
PA OA x k k y =-=- 故直线()2
222
:x PA y y x x y -=-
- 化简得：222222y y y x x x -=-+即22
22221x x y y x y +=+=
同理有33:1PB x x y y +=
又,PA PB 均过点()11,P x y ，有313131311,1x x y y x x y y +=+= 故直线11:1MN x x y y +=
11
11,m n x y =
= 221222111x x m n
-=-= 故答案为：1
16．或【分析】首先设出直线的方程与双曲线方程联立求得点的坐标利用弦长公式求得并根据定义表示中根据余弦定理表示再求离心率【详解】如图当直线与渐近线平行时与双曲线有唯一交点设与双曲线方程联立得解得：中由余弦
【分析】
首先设出直线l 的方程，与双曲线方程联立，求得点P 的坐标，利用弦长公式求得1PF ，
并根据定义表示2PF ，12F PF △中，根据余弦定理表示1228
1cos 3
F PF e ∴-∠=+，再求离心率. 【详解】
如图，当直线与渐近线平行时，l 与双曲线有唯一交点P ，设():b
l y x c a
=
+，与双曲线方程联立，得2
2
2cx a c -=+，解得：22a c
x c
+=-，
()22222
122
122P b c a c b PF x c c a a c a +=+--=-+=， 22
21422b a PF PF a a +=+=
，122F F c =， 12F PF △中，124sin 5F PF ∠=
，123cos 5
F PF ∴∠=±， 由余弦定理2
2
2
12
1212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠
()
()2
12
121221cos PF PF PF PF F PF =-+-∠，
()()()2222
2122
44221cos 4b a b c a F PF a
+∴=+⋅
-∠，
221222222
888
1cos 433
a a F PF
b a
c a e ∴-∠===+++， 当123cos 5F PF ∠=
时，2
82
35
e =+，17e =， 当123cos 5F PF ∠=-
时，2
88
35
e =+，2e =，
172 【点睛】
方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式
c e a =求解；2.
公式法：22
2111c b e a a b c ==+=⎛⎫- ⎪
⎝⎭
，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.
17．【分析】作出图形设与圆相切于点分析出可求得的值进而可得出双曲线的离心率为即可得解【详解】如下图所示设与圆相切于点则则则为的中点则为的中点由直角三角形的性质可得因为为的中点则由于双曲线的两渐近线关于轴 解析：2
【分析】
作出图形，设1PF 与圆222
x y a +=相切于点E ，分析出23
POF π
∠=
，可求得
b
a
的值，进而可得出双曲线C 的离心率为2
1b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，即可得解. 【详解】
如下图所示，设1PF 与圆222
x y a +=相切于点E ，则OE a =，
120PF PF ⋅=，则12PF PF ⊥，1OE PF ⊥，则2//OE PF ， O 为12F F 的中点，则E 为1PF 的中点，222PF OE a ∴==，
由直角三角形的性质可得1OF OP =，因为E 为
1PF 的中点，则1EOF POE ∠=∠， 由于双曲线的两渐近线关于y 轴对称，可得21POF EOF ∠=∠，
所以，12EOF POE POF ∠=∠=∠，则1223EOF POE POF POF π∠+∠+∠=∠=， 所以，23
POF π
∠=
，则
tan 33
b a π
==，
因此，双曲线C 的离心率为2c e a =====. 故答案为：2. 【点睛】
方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率
e 的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
18．【分析】由题可知可表示为椭圆上的点到点上焦点的距离之和设其椭圆的下焦点为再由椭圆定义转化为求解的范围【详解】可表示为椭圆上的点到点上焦点的距离之和即设其椭圆的下焦点为又由椭圆定义得所以又所以故故答案
解析：[10-+
【分析】
(),P x y 到点1,0A ，上
焦点()20,3F 的距离之和，设其椭圆的下焦点为()10,3F -，再由椭圆定义转化为求解
110PA PF +-的范围.
【详解】
+(),P x y 到点1,0A ，上焦点
()
20,3F 2PA PF =+，设其椭圆的下焦
点为()10,3F -，
又由椭圆定义得1210PF PF +=，所以2110PA PF PA PF +=+-，
又11PA PF AF -≤=1PA PF -≤
故21010PA PF +≤
故答案为：[10-+ 【点睛】
点(),P x y 到点1,0A ，上焦点()20,3F 的距离之和的问题.
19．1或【分析】根据抛物线方程得到设直线方程为与抛物线方程联立得：再根据线段的中点的横坐标为3求得即可得到直线斜率【详解】因为直线AB 过抛物线的焦点F 且与抛物线交于AB 两点所以斜率不为0设直线AB 方程为
解析：1或1- 【分析】
根据抛物线方程，得到()1,0F ，设直线方程为1x my =+，与抛物线方程联立得：
2440y my --=，再根据线段AB 的中点的横坐标为3，126x x +=，求得m ，即可得到
直线斜率. 【详解】
因为直线AB 过抛物线2
4y x =的焦点F (1,0)且与抛物线交于A 、B 两点， 所以斜率不为0，
设直线AB 方程为1x my =+，
与抛物线方程联立得：2440y my --=， 由韦达定理得：12124,4y y m y y +=⋅=-， 所以()2
1212424223x x m y y m +=++=+=⨯，
解得1m =±
所以直线的方程为1x y =±+， 所以1AB k =±. 故答案为：1或1-
20．【分析】利用已知条件推出的关系然后求解椭圆的离心率即可【详解】解：椭圆的左右焦点为过作轴的垂线与交于两点若是等边三角形如图：可得可得即可得解得故答案为：【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用离心率的求
【分析】
利用已知条件．推出a 、b 、c 的关系，然后求解椭圆的离心率即可． 【详解】
解：椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点为1F ，2F ，过2F 作x 轴的垂线与C 交于
A ，
B 两点，若1ABF 是等边三角形，
如图：可得2|c AB =，2(,0)F c ，可得2
2||b AB a
=
，
即2222ac ==，
220e +=，(0,1)e ∈
解得3e =
．
故答案为：
3
．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．
三、解答题
21．（1）28x y =；（2）2 【分析】
（1）由题中条件，根据抛物线的定义，得到242
p
+
=，求出p ，即可得出抛物线方程； （2）先由（1）得到焦点坐标，得出直线l 的方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，以及抛物线的焦点弦公式，求出弦长AB ，再由点到直线距离公式，以及三角形面积公式，即可求出结果. 【详解】
（1）因为抛物线2
:2(0)C x py p =>上一点(),2P m 到其焦点F 的距离为4，
所以242
p
+
=，解得4p =， 所以抛物线C 的方程为2
8x y =； （2）由（1）可得，()0,2F ；
则过点F 且斜率为1的直线l 的方程为：2y x =+，即20x y -+=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，
由228y x x y
=+⎧⎨=⎩消去x ，整理得21240y y -+=， 则1212y y +=，因此1212416AB AF BF y y p =+=++=+=， 又点O 到直线20x y -+=的距离为002211
d -+==+，
所以OAB 的面积为1
822
OAB
S AB d =
=. 【点睛】
思路点睛：
求解圆锥曲线中三角形的面积问题时，一般需要联立直线与曲线方程，结合韦达定理，弦长公式，以及三角形面积公式，即可得出三角形的面积.
22．（1）2
；（2）答案见解析. 【分析】
（1）利用椭圆定义122PF PF a +=和1290F PF ∠=︒求得2
12
2PF PF b =，再根据12F PF △的面积为2c 求解；
（2）椭圆方程222
2x y a +=与直线1
(2)2
y x =
-联立，由韦达定理得到2
121244,36
a y y y y -+=-=
，再根据3MQ NQ =，分3MQ NQ =和3MQ NQ =-求解. 【详解】
（1）由椭圆定义可得122PF PF a +=，① 又1290F PF ∠=，所以2
2
2124PF PF c +=，②
①和②可得
2122PF PF b ⋅=，所以12F PF △的面积为2b ，所以22b c =，即222a c =，
所以椭圆C 的离心率为
2
； （2）椭圆方程可化为222
2x y a +=，与1
(2)2
y x =
-联立可得： 226840y y a ++-=，由()2
642440a ∆=-->可得243
a >，
设()()1122,,,M x y N x y ，所以2
121244,36
a y y y y -+=-=，③
又直线1
(2)2
y x =
-过点Q ，且3MQ NQ =，()112,MQ x y =--，()222,NQ x y =--.
（i ）当3MQ NQ =时，即123y y =时，则1224
43
y y y +==-
，可得213y =-，
则22
122
14336
a y y y -===，可得2
423a =>，
所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=；
（ii ）当3MQ NQ =-，即123y y =-时，则122423
y y y +=-=-
，则223y =，
可得2
22
122
24433336a y y y -⎛⎫=-=-⨯=-= ⎪⎝⎭
，解得2
4123a =>，
所以椭圆C 的方程为22
1126
x y +=.
【点睛】
方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法：
①定义法：根据椭圆的定义，确定2a 、2b 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程； ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a 、b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为
()2210,0,Ax By A B A B +=>>≠．
23．（1）1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
；（2）()()22
15114x y -++=.
【分析】
（1）将点()4,4-的坐标代入抛物线C 的方程，求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，再将直线2y x m =-+的方程与抛物线C 的方程联立，利用0∆>可求得实数m 的取值范围；
（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，列出韦达定理，由线段AB 的中点的横坐标可求得m 的值，可求得线段AB 的中点坐标，利用弦长公式可求得AB ，进而可求得以线段AB 为直径的圆的方程. 【详解】
（1）将点()4,4-的坐标代入抛物线C 的方程，可得()2
8416p =-=，解得2p =，
所以，抛物线C 的方程为2
4y x =，
联立224y x m y x
=-+⎧⎨=⎩，整理可得()22
4440x m x m -++=，
由已知条件可得()2
2441632160m m m ∆=+-=+>，解得12
m >-， 因此，实数m 的取值范围是1,2⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
； （2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由韦达定理可得121x x m +=+，2
124
m x x =，
由于AB 中点的横坐标为1，则1212x x m +=+=，解得1m =，1214
x x ∴=， 由弦长公式可得
12AB x x =-===，
所以，所求圆的圆心坐标为()1,1-
，半径为
2
， 因此，以AB 为直径的圆的方程为()()2
2
15114
x y -++=. 【点睛】
方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.
24．（1）22
143
x y +=；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题意可得1
22,2
c c a ==，再由222b a c =-求出b 的值，从而可得椭圆C 的标准方程；
（2）设()()(0,),(,0)(0),,,,M M N N P p Q q q M x y N x y >，从而得
()()()(),,,,,,,M M M M N N N N PM x y p MQ q x y PN x y p NQ q x y =-=--=-=--，然
后由,PM MQ PN NQ λμ==，可得(
)
2
22
312244120q p λλ--+-=和
()2
22312244120q
p μμ--+-=，由此可知,λμ为方程
()222312244120q x x p --+-=的两不相等实数根，所以有224
4312
q λμ+=
=--，可
求出q 的值，从而可得答案 【详解】
（1）依题意，22,1c c =∴=．由
1
2
c a =
，得2,a b =∴= 故椭圆方程为22
143
x y +=．
（2）设()()(0,),(,0)(0),,,,M M N N P p Q q q M x y N x y >，
()()()(),,,,,,,M M M M N N N N PM x y p MQ q x y PN x y p NQ q x y ∴=-=--=-=--．
由PM MQ λ=，得()
()M M M M x q x y p y λλ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩，11M M q x p y λλλ⎧
=⎪⎪+∴⎨⎪=
⎪+⎩
．
∵点M 在椭圆上，22
11143
q p λλλ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴+=，整理得()2
22312244120q
p λλ--+-=．
同理，由PN NQ μ=可得(
)
2
22
312244120q p μμ--+-=．
,λμ∴为方程()222312244120q x x p --+-=的两不相等实数根，
2
24
4312
q λμ∴+=
=--． 22q ∴=
．又0,q q >∴=∴直线l
恒过定点Q ．
【点睛】
关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是由
,PM MQ PN NQ λμ==，得到()
222
312244120q p λλ--+-=和
()2
22312244120q p μμ--+-=，从而有,λμ为方程
()2
22312244120q
x x p --+-=的两不相等实数根，再利用根与系数的关系可得答案，
考查数学转化思想，属于中档题
25．（1）22143x y +=；（2
）2
±
. 【分析】
（1）由222
21
4
a b e a -==以及将点代入椭圆方程即可求解.
（2）求出直线AB 的方程，进而求出()0,1M ，再由6MB MP MA MQ ⋅=⋅，根据数量积的运算可得3MP MQ =，讨论直线PQ 的斜率存在情况，从而设其方程为1y kx =+，将直线与椭圆方程联立，设()()1122,,,P x y Q x y ，可得123x x =-，利用韦达定理即可求解. 【详解】
命题意图本题考查椭圆的方程和性质，椭圆与直线的位置关系.
解析()1由题意知离心率e 满足22
2
21
4
a b e a -==
， 所以2
2
34a b =
， 又因为点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
在椭圆上，
所以()2
222312143
b b ⎛⎫ ⎪-⎝⎭+=，解得23b =， 所以24a =，
故椭圆的标准方程为22
143
x y +=.
()2由()1得()2,0B ，
所以直线AB 的方程为()1
22
y x =-
-，与y 轴的交点为()0,1M . 由6MB MP MA MQ ⋅=⋅，得6,MB MP cos BMP MA MQ cos AMQ ∠=∠ 而,2BMP AMQ MB MA ∠=∠=， 因此3MP MQ =.
当PQ 与x 轴垂直时，不合题意. 当PQ 与x 轴不垂直时， 设其方程为1y kx =+，
联立方程得221143y kx x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩
，消去y 可得()22
43880k x kx ++-=，
设()()1122,,,P x y Q x y ， 则1212
2288
,4343k x x x x k k --+=
=++ 由3MP MQ =得123x x =-， 所以2
22
22882,34343
k x x k k ---=
-=++ 显然k 不为0,两式相除得22
,3x k
= 所以
248343
k k k --=+
解得k =± 【点睛】
关键点点睛：本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，解题的关键是根据向量数量积得出3MP MQ =，进而得出123x x =-，考查了运算求解能力.
26．（1）22
143
x y +=；（2）POC POD S S ⋅△△的最大值为3，此时P
点坐标为(0,和
(.
【分析】
（1
）由面积得bc =,,a b c ，得椭圆方程；
（2）设()00,A x y ，则()00,B x y -，不妨设00y >，设()11,P x y ，写出直线,PA PB 方程，求得,C D 两点的横坐标，计算C D x x ⋅，注意点,A P 是椭圆上的点由此可得
4C D x x ⋅=为常数，这样可计算出POC POD S S ⋅△△＝2
P y ，最大值易得．
【详解】 解：（1）由1
2
c a =，2a c =
，得b =，
又121
22
MF F S c b =
⨯⨯=△ 所以1c =，2a =
，b =
所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=
（2）设()00,A x y ，则()00,B x y -，不妨设00y >，设()11,P x y 则直线PA 的方程为：()011101y y y y x x x x --=--，令0y =，得100101
C x y x y
x y y -=-， 同理1001
01
D x y x y x y y +=
+，
所以22221001
2
2
01C D x y x y x x y y -⋅=-， 又点A 与点P 均在椭圆上，故2
2
00
413y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，22
11413y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
得()2
22
20122
0101222
2
010*********C D y y y y y y x x y y y y ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⋅===--， 所以4C D OC CD x x ⋅=⋅=为定值， 因为221114224
POC POD P p p p S S OC y OD y y y ⋅=
⋅⋅⋅=⨯⨯=△△ 由P 为椭圆上的一点，所以要使POC POD S S ⋅△△最大，只要2
p y 最大 而2
p y 最大为3，
所以POC POD S S ⋅△△的最大值为3，此时P
点坐标为(
0,
和(. 【点睛】
关键点点睛：本题考查由离心率求椭圆方程，考查椭圆中的最值问题，解题方法是解析几。