河南省南阳市南召县2020-2021学年七年级(上)期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年河南省南阳市南召县七年级（上）期中
数学试卷
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．气温由4℃下降了5℃后的气温是（）
A．﹣1℃B．1℃C．﹣9℃D．9℃
2．下列各数中，属于正数的是（）
A．+（﹣2）B．﹣3的相反数C．﹣（﹣a）D．3﹣a
3．有四包真空小包装火腿，每包以标准克数（450克）为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（）
A．+2B．﹣3C．+3D．+4
4．今年春期，全国人民团结一致，全力抗击新型冠状病毒，社会各界人士积极捐款．截止2月5日，武汉市慈善总会接收捐赠款约3230000000元．将3230000000用科学记数法表示应为（）
A．323×107B．32.3×108C．3.23×109D．3.23×1010
5．单项式的次数是（）
A．2B．C．3D．5
6．下列正确的是（）
A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若a2＝b2，则a＝b
C．若a3＝b3，则a＝b D．若|a|＝a，则a＞0
7．数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B．则点B表
示的数是（）
A．4B．﹣4或10C．﹣10D．4或﹣10
8．下列说法：①整数和分数统称为有理数；②绝对值是它本身的数只有0；③两数之和一定大于每个加数；④如果两个数积为0，那么至少有一个因数为0；⑤0是最小的有理数；⑥数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧；⑦几个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，那么积为负数；其中正确的个数是（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
9．如果a＞0，b＜0，a+b＜0，那么下列各式正确的是（）
A．﹣b＜﹣a＜b＜a B．﹣a＜b＜0＜a＜﹣b
C．b＜﹣a＜﹣b＜a D．﹣b＞a＞0＞﹣a＞b
10．现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b＝．如5*3＝2×5﹣3＝7，*1＝﹣2×1＝﹣，若x*3＝5，则有理数x的值为（）
A．4B．11C．4或11D．1或11
二、填空题（每小题3分；共15分）
11．比﹣3小1的数是．
12．把多项式2m2﹣4m4+2m﹣1按m的升幂排列．
13．若|x|≤3，则所有满足条件的整数x的和为．
14．在学习完《有理数》后，小明对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝a×b+2×a．则的值为．15．计算：1+3+32+33+34+…+32020＝．
三、解答题（8+9+9+9+9+10+10+11=75分）
16．直接写得数：
①﹣（﹣6）＝；
②﹣2﹣1＝；
③＝；
④（﹣6）÷（﹣）＝；
⑤＝；
⑥＝；
⑦＝；
⑧＝；
17．把下列各数填在相应的集合里：，+3，﹣6.3，，0，﹣4，6.9，，﹣10%，
0.031，+4．
整数：{…}；
比﹣2小的数：{…}；
非负数：{…}．
18．计算：．
19．计算：．
20．．
21．王师傅去水果批发市场采购苹果，他看中了A，B两家商店的苹果，这两家商店的苹果品质一样，零售价都是6元/千克，批发价各不相同．A家商店规定：一次性批发数量不超过1000千克，按零售价的92%优惠计算；一次性批发数量不超过2000千克，按零售价的90%优惠计算；一次性批发数量超过2000千克的按零售价的88%优惠计
算．
B家商店的价格分段计算，规定如下表：
数量范围（千克）0～500部分500以上～1500部
分1500以上～2500部
分
2500以上部
分
价格零售价的95%零售价的85%零售价的75%零售价的
70%（1）如果他计划批发700千克苹果，通过计算说明：他在哪家商店批发比较优惠？
（2）如果他批发x千克苹果（1500＜x＜2000），请你计算他在A、B两家商店批发所需的费用（用含x的代数式表示）．
22．我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”，这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|a|的值时，就会对a进行分类讨论，当a≥0时，|a|＝a；当a ＜0时，|a|＝﹣a．现在请你利用这一思想解决下列问题：
（1）＝（a≠0）；
（2）＝（ab≠0）；
（3）若abc≠0，的值为；
（4）拓展应用：试比较a 与大小．
23．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．请阅读下列材料：
材料（一）：代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上表示有理数x所对应的点与表示有理数2所对应的点之间的距离；因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上表示有理数x所对应的点与表示有理数﹣1所对应的点之间的距离．
材料（二）：如图，点A、B、P分别表示有理数数﹣1、2、x，AB＝3．
∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段P A与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，P A+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，P A+PB ＞3．
∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．
解决问题：
（1）在数轴上，若点M表示的数为﹣2，点Q表示的数为1，点N表示的数为6，请画出一条数轴，标出点M、Q、N的位置，直接写出线段NQ＝；
（2）在（1）的条件下，若数轴上点C表示的有理数为x，当|x+2|+|x﹣6|取最小值时，最小值为；直接写出此时x的取值范围；
（3）在（1）的条件下，现有一只红色电子蚂蚁从数轴上的M点以每秒5个单位的速度出发，同时，另一只黑色电子蚂蚁从数轴上的N点以每秒4个单位的速度出发，设运动时间为t秒，试探究：经过多少秒后，两只电子蚂蚁的距离为10个单位？
2020-2021学年河南省南阳市南召县七年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．气温由4℃下降了5℃后的气温是（）
A．﹣1℃B．1℃C．﹣9℃D．9℃
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：4﹣5＝﹣1（℃），
即气温由4℃下降了5℃后的气温是﹣1℃．
故选：A．
2．下列各数中，属于正数的是（）
A．+（﹣2）B．﹣3的相反数C．﹣（﹣a）D．3﹣a
【分析】根据正、负数的定义对各数进行判断即可得解．
【解答】解：A、+（﹣2）＝﹣2，是负数，故本选项不合题意；
B、﹣3的相反数是3，是正数，故本选项符合题意；
C、当a＜0时，﹣（﹣a）是负数，当a＝0时，﹣（﹣a）＝0，故本选项不合题意；
D、当a＞3时，3﹣a为负数，当a＝3时，3﹣a＝0，故本选项不合题意；
故选：B．
3．有四包真空小包装火腿，每包以标准克数（450克）为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（）
A．+2B．﹣3C．+3D．+4
【分析】实际克数最接近标准克数的是绝对值最小的那个数．
【解答】解：A、+2的绝对值是2；
B、﹣3的绝对值是3；
C、+3的绝对值是3；
D、+4的绝对值是4．
A选项的绝对值最小．
故选：A．
4．今年春期，全国人民团结一致，全力抗击新型冠状病毒，社会各界人士积极捐款．截止2月5日，武汉市慈善总会接收捐赠款约3230000000元．将3230000000用科学记数法表示应为（）
A．323×107B．32.3×108C．3.23×109D．3.23×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：3230000000＝3.23×109，
故选：C．
5．单项式的次数是（）
A．2B．C．3D．5
【分析】直接利用单项式的次数的定义得出答案．
【解答】解：单项式的次数是：3．
故选：C．
6．下列正确的是（）
A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若a2＝b2，则a＝b
C．若a3＝b3，则a＝b D．若|a|＝a，则a＞0
【分析】跟绝对值的特点，可判断A、D，根据乘方相等，可得底数的关系，可判断B、C．
【解答】解：A、若|a|＝|b|，则a＝b或a+b＝0，故A错误；
B、若a2＝b2，则a＝b或a+b＝0，故B错误；
C、若a3＝b3，则a＝b，故C正确；
D、若|a|＝a，则a≥0，故D错误；
故选：C．
7．数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B．则点B表示的数是（）
A．4B．﹣4或10C．﹣10D．4或﹣10
【分析】根据题意，分两种情况，数轴上的点右移加，左移减，求出点B表示的数是多少即可．
【解答】解：点A表示的数是﹣3，左移7个单位，得﹣3﹣7＝﹣10，
点A表示的数是﹣3，右移7个单位，得﹣3+7＝4．
所以点B表示的数是4或﹣10．
故选：D．
8．下列说法：①整数和分数统称为有理数；②绝对值是它本身的数只有0；③两数之和一定大于每个加数；④如果两个数积为0，那么至少有一个因数为0；⑤0是最小
的有理数；⑥数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧；⑦几个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，那么积为负数；其中正确的个数是（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】①⑤根据有理数的分类可判断正误；
②根据绝对值的性质可判断正误；
③根据有理数的加法法则可判断出正误；
④⑦根据有理数的乘法法则可判断出正误；
⑥根据相反数的定义可判断正误．
【解答】解：①整数和分数统称为有理数是正确的；
②绝对值是它本身的数有正数和0，原来的说法是错误的；
③两数之和可能小于每个加数，原来的说法是错误的；
④如果两个数积为0，那么至少有一个因数为0是正确的；
⑤没有最小的有理数，原来的说法是错误的；
⑥数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧（0除外），原来的说法是错误的；
⑦几个有理数（非0）相乘，如果负因数的个数是奇数，那么积为负数，原来的说法
是错误的．
故选：A．
9．如果a＞0，b＜0，a+b＜0，那么下列各式正确的是（）
A．﹣b＜﹣a＜b＜a B．﹣a＜b＜0＜a＜﹣b
C．b＜﹣a＜﹣b＜a D．﹣b＞a＞0＞﹣a＞b
【分析】首先根据题目所跟的条件确定a、b的正负，以及绝对值的大小，再根据分
析画出数轴标出a、b、﹣a、﹣b在数轴上的位置，根据数轴上的数左边的总比右边的小即可选出答案．
【解答】解：∵a＞0，b＜0，
∴a为正数，b为负数，
∵a+b＜0，
∴负数b的绝对值较大，
则a、b、﹣a、﹣b在数轴上的位置如图所示：，
由数轴可得：﹣b＞a＞0＞﹣a＞b，
故选：D．
10．现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b＝．如5*3＝2×5﹣3＝7，*1＝﹣2×1＝﹣，若x*3＝5，则有理数x的值为（）
A．4B．11C．4或11D．1或11
【分析】分x≥3与x＜3两种情况求解．
【解答】解：当x≥3，则x*3＝2x﹣3＝5，x＝4；
当x＜3，则x*3＝x﹣2×3＝5，x＝11，
但11＞3，这与x＜3矛盾，所以此种情况舍去．
即：若x*3＝5，则有理数x的值为4，
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．比﹣3小1的数是﹣4．
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：﹣3﹣1＝﹣3+（﹣1）＝﹣4．
故答案为：﹣4．
12．把多项式2m2﹣4m4+2m﹣1按m的升幂排列﹣1+2m+2m2﹣4m4．【分析】先分清多项式的各项，然后按多项式升幂排列的定义排列．
【解答】解：多项式2m2﹣4m4+2m﹣1按m的升幂排列为﹣1+2m+2m2﹣4m4，
故答案为：﹣1+2m+2m2﹣4m4．
13．若|x|≤3，则所有满足条件的整数x的和为0．
【分析】由|x|≤3可得所有x的值，再把它们相加即可．
【解答】解：∵|x|≤3，
∴﹣3≤x≤3，
∴满足条件的整数x有：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3；
∴﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3＝0，
故答案为：0．
14．在学习完《有理数》后，小明对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝a×b+2×a．则的值为24．【分析】用﹣4与的积加上﹣4的2倍，求出﹣4⊕的值是多少，进而求出的值为多少即可．
【解答】解：∵a⊕b＝a×b+2×a，
∴
＝﹣3⊕[（﹣4）×+2×（﹣4）]
＝﹣3⊕（﹣2﹣8）
＝﹣3⊕（﹣10）
＝（﹣3）×（﹣10）+2×（﹣3）
＝30﹣6
＝24．
15．计算：1+3+32+33+34+…+32020＝．
【分析】根据题目中的式子和数字的特点，我们不妨设S＝1+3+32+33+34+ (32020)
然后等式两边同乘以3，然后整理即可得到所求式子的值．
【解答】解：设S＝1+3+32+33+34+ (32020)
则3S＝3+32+33+34+ (32021)
3S﹣S＝32021﹣1，
2S＝32021﹣1，
则S＝，
故答案为：．
三．解答题
16．直接写得数：
①﹣（﹣6）＝6；
②﹣2﹣1＝﹣3；
③＝﹣；
④（﹣6）÷（﹣）＝18；
⑤＝；
⑥＝﹣9；
⑦＝﹣；
⑧＝2；
【分析】根据有理数加减乘除的运算方法，以及有理数的混合运算的方法，求出每个算式的值是多少即可，注意计算的值是多少时，应用乘法分配律．【解答】解：①﹣（﹣6）＝6；
②﹣2﹣1＝﹣3；
③＝﹣；
④（﹣6）÷（﹣）＝18；
⑤＝；
⑥＝﹣9；
⑦＝﹣；
⑧＝2；
故答案为：6；﹣3；﹣；18；；﹣9；﹣；2．
17．把下列各数填在相应的集合里：，+3，﹣6.3，，0，﹣4，6.9，，﹣10%，
0.031，+4．
整数：{+3，0，﹣4，+4…}；
比﹣2小的数：{﹣6.3，﹣4…}；
非负数：{+3，0，6.9，2，0.031，+4，…}．
【分析】利用有理数的分类和有理数比较大小的法则进行解答即可．
【解答】解：整数：{+3，0，﹣4，+4 …}；
比﹣2小的数：{﹣6.3，﹣4，…}；
非负数：{+3，0，6.9，2，0.031，+4，…}．
故答案为：+3，0，﹣4，+4；﹣6.3，﹣4；+3，0，6.9，2，0.031，+4．
18．计算：．
【分析】将原式写出省略加号代数和的形式，再根据加法的结合律进行计算即可．【解答】解：6.14+（﹣2）﹣（﹣5.86）﹣（+）
＝6.14﹣2+5.86﹣
＝（6.14+5.86）+（﹣2﹣）
＝12+（﹣3）
＝9．
19．计算：．
【分析】首先计算除法、乘法，然后计算减法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
＝（﹣36）×（﹣）﹣16
＝16﹣16
＝﹣．
20．．
【分析】首先计算乘方、乘法，并应用乘法分配律计算（﹣+）÷（﹣）；然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：﹣32×+（﹣+）÷（﹣）
＝﹣9×+×（﹣24）﹣×（﹣24）+×（﹣24）
＝﹣1﹣18+4﹣9
＝﹣24．
21．王师傅去水果批发市场采购苹果，他看中了A，B两家商店的苹果，这两家商店的苹果品质一样，零售价都是6元/千克，批发价各不相同．A家商店规定：一次性批发数量不超过1000千克，按零售价的92%优惠计算；一次性批发数量不超过2000千克，按零售价的90%优惠计算；一次性批发数量超过2000千克的按零售价的88%优惠计算．
B家商店的价格分段计算，规定如下表：
数量范围（千克）0～500部分500以上～1500部
分1500以上～2500部
分
2500以上部
分
价格零售价的95%零售价的85%零售价的75%零售价的
70%
（1）如果他计划批发700千克苹果，通过计算说明：他在哪家商店批发比较优惠？（2）如果他批发x千克苹果（1500＜x＜2000），请你计算他在A、B两家商店批发所需的费用（用含x的代数式表示）．
【分析】（1）A家商店批发需要费用：质量×单价×92%；B家商店批发需要费用：500×单价×95%+（700﹣500）×单价×85%；把相关数值代入求解即可；
（2）根据“A家商店批发需要费用：质量×单价×92%；B家商店批发需要费用：500×单价×95%+1000×单价×85%+（x﹣1500）×单价×75%”；依此即可求解．
【解答】解：（1）他在B家商店批发比较优惠．
A家商店费用：700×6×92%＝3864（元），
B家商店费用：500×6×95%+200×6×85%＝3870（元），
3864＜3870，
故他在A家商店批发比较优惠；
（2）A家商店费用：x×6×90%＝5.4x（元）；
B家商店费用：500×6×95%+1000×6×85%+（x﹣1500）×6×75%＝（4.5x+1200）（元）．
22．我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”，这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|a|的值时，就会对a进行分类讨论，当a≥0时，|a|＝a；当a ＜0时，|a|＝﹣a．现在请你利用这一思想解决下列问题：
（1）＝1或﹣1（a≠0）；
（2）＝﹣2或2或0（ab≠0）；
（3）若abc≠0，的值为±4，0；
（4）拓展应用：试比较a与大小．
【分析】（1）分别利用a＞0或a＜0分析得出答案；
（2）分a＞0，b＞0或a＞0，b＜0或a＜0，b＞0或a＜0，b＜0等情况讨论得出答案；
（3）分a、b、c同时为正数或同时为负数或a、b、c中有两个为正数，一个为负数或两个为负数，一个为正数讨论得出答案；
（4）分a＞1，a＝1，0＜a＜1，a＝﹣1，﹣1＜a＜0等情况讨论得出答案．
【解答】解：（1）若有理数a不等于零，当a＞0时，＝1，当a＜0时，＝﹣1；
故答案为：1或﹣1；
（2）当a＞0，b＞0时，＝1+1＝2；
当a＞0，b＜0时，＝1﹣1＝0；
当a＜0，b＞0时，＝﹣1+1＝0；
当a＜0，b＜0时，＝﹣1﹣1＝﹣2．
故答案为：﹣2或2或0；
（3）当a＞0，b＞0，c＞0时，＝1+1+1+1＝4；
当a＜0，b＜0，c＜0时，＝﹣1﹣1﹣1﹣1＝﹣4；
当a、b、c中有两个为正数，一个为负数时，＝1×2﹣（﹣1）×2＝0；
当a、b、c中有两个为负数，一个为正数时，＝1×2﹣（﹣1）×2＝0；
故答案为：±4，0；
（4）
当；
当，
当；
当；
当；
当．
23．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．请阅读下列材料：
材料（一）：代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上表示有理数x所对应的点与表示有理数2所对应的点之间的距离；因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上表示有理数x所对应的点与表示有理数﹣1所对应的点之间的距离．
材料（二）：如图，点A、B、P分别表示有理数数﹣1、2、x，AB＝3．
∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段P A与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，P A+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，P A+PB ＞3．
∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．
解决问题：
（1）在数轴上，若点M表示的数为﹣2，点Q表示的数为1，点N表示的数为6，请画出一条数轴，标出点M、Q、N的位置，直接写出线段NQ＝5；
（2）在（1）的条件下，若数轴上点C表示的有理数为x，当|x+2|+|x﹣6|取最小值时，最小值为8；直接写出此时x的取值范围﹣2≤x≤6；
（3）在（1）的条件下，现有一只红色电子蚂蚁从数轴上的M点以每秒5个单位的速度出发，同时，另一只黑色电子蚂蚁从数轴上的N点以每秒4个单位的速度出发，设运动时间为t秒，试探究：经过多少秒后，两只电子蚂蚁的距离为10个单位？
【分析】（1）根据题意作出图形即可；由两点间的距离公式求得NQ的值；
（2）|x+2|+|x﹣6|的几何意义是线段CM与CN的长度之和；
（3）分四种情况进行讨论：①两只电子蚂蚁同时向左出发，②两只电子蚂蚁同时向右出发，③红色电子蚂蚁向左，同时黑色电子蚂蚁向右出发，④红色电子蚂蚁向右，同时黑色电子蚂蚁向左出发，根据“两只电子蚂蚁的距离为10个单位”分别列出方程并解答．
【解答】解：（1）如图：
NQ＝6﹣1＝5．
故答案是：5．
（2）如图，点M、N、C分别表示有理数数﹣2、6、x，MN＝8．
∵|x+2|+|x﹣6|的几何意义是线段CM与CN的长度之和，
∴当点C在线段MN上时，CM+CN＝8，当点C在点M的左侧或点N的右侧时，CM+CN ＞8．
∴|x+2|+|x﹣6|的最小值是8此时．
故答案是：8；﹣2≤x≤6；
（3）①两只电子蚂蚁同时向左出发，依题意得|﹣5t﹣2﹣（6﹣4t）|＝10．
解得t＝2（t＝﹣18舍去）；
②两只电子蚂蚁同时向右出发，依题意得|5t﹣2﹣（6+4t）|＝10．
解得t＝18（t＝﹣2舍去）．
③红色电子蚂蚁向左，同时黑色电子蚂蚁向右出发，依题意得|﹣5t﹣2﹣（6+4t）|＝10．
解得．
④红色电子蚂蚁向右，同时黑色电子蚂蚁向左出发，依题意得|5t﹣2﹣（6﹣4t）|＝10．解得．
综上可知，经过2秒或18秒或秒后，两只电子蚂蚁的距离为10个单位．。